ÉTUDE HYDRAULIQUE

Application de l’Équation de Continuité

Application de l'Équation de Continuité

Application de l'Équation de Continuité

Comprendre l'Équation de Continuité

L'équation de continuité est un principe fondamental en mécanique des fluides qui découle de la loi de conservation de la masse. Pour un fluide incompressible (dont la masse volumique est constante), cette équation stipule que le débit volumique doit rester constant tout au long d'un conduit. Concrètement, si la section d'un tuyau diminue, la vitesse du fluide doit augmenter pour maintenir le même débit, et inversement. Ce principe explique pourquoi l'eau jaillit plus vite d'un tuyau d'arrosage quand on en pince l'extrémité.

Données de l'étude

De l'eau, considérée comme un fluide incompressible, s'écoule dans un conduit horizontal qui présente un rétrécissement.

Caractéristiques et mesures :

  • Diamètre de la section large (Point 1) : \(D_1 = 100 \, \text{mm}\)
  • Vitesse du fluide au Point 1 : \(v_1 = 2 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre de la section étroite (Point 2) : \(D_2 = 50 \, \text{mm}\)
Schéma : Conduit à Section Variable
Section 1 D1 Section 2 D2 v1 v2

Le fluide passe d'une section large à une section étroite, ce qui modifie sa vitesse.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire des sections transversales \(A_1\) et \(A_2\).
  2. Calculer le débit volumique (\(Q\)) dans le conduit.
  3. Déterminer la vitesse du fluide (\(v_2\)) dans la section étroite.

Application de l'Équation de Continuité

Question 1 : Calcul des Aires de Section (\(A_1\) et \(A_2\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par la formule \(A = \pi \cdot r^2\), où \(r\) est le rayon. Comme le diamètre \(D\) est égal à deux fois le rayon (\(D = 2r\)), on peut aussi utiliser la formule \(A = \pi \cdot (D/2)^2\). Il faut veiller à convertir les diamètres en mètres avant le calcul pour obtenir une aire en mètres carrés (\(\text{m}^2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2\]
Données spécifiques (unités SI) :
  • \(D_1 = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
  • \(D_2 = 50 \, \text{mm} = 0.05 \, \text{m}\)
Calcul :

Pour la section 1 :

\[ \begin{aligned} A_1 &= \pi \cdot \left(\frac{0.1 \, \text{m}}{2}\right)^2 \\ &= \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Pour la section 2 :

\[ \begin{aligned} A_2 &= \pi \cdot \left(\frac{0.05 \, \text{m}}{2}\right)^2 \\ &= \pi \cdot (0.025 \, \text{m})^2 \\ &\approx 0.001963 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les aires sont \(A_1 \approx 0.007854 \, \text{m}^2\) et \(A_2 \approx 0.001963 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si on double le diamètre d'un tuyau, son aire de section est :

Question 2 : Calcul du Débit Volumique (\(Q\))

Principe :

Le débit volumique (\(Q\)) représente le volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Il est calculé en multipliant l'aire de la section (\(A\)) par la vitesse moyenne du fluide (\(v\)) à travers cette section. L'unité SI du débit est le mètre cube par seconde (\(\text{m}^3/\text{s}\)). Selon le principe de continuité, ce débit est le même en tout point du conduit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = A_1 \cdot v_1\]
Données spécifiques (unités SI) :
  • \(A_1 \approx 0.007854 \, \text{m}^2\)
  • \(v_1 = 2 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 0.007854 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{m/s} \\ &= 0.015708 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

On peut convertir ce débit en litres par seconde pour une meilleure représentation : \(0.015708 \, \text{m}^3/\text{s} \times 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 15.7 \, \text{L/s}\).

Résultat Question 2 : Le débit volumique dans le conduit est d'environ \(0.0157 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'équation de continuité (\(A_1 v_1 = A_2 v_2\)) est une expression de :

Question 3 : Calcul de la Vitesse (\(v_2\))

Principe :

L'équation de continuité pour un fluide incompressible (\(A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2\)) nous permet de trouver la vitesse dans la seconde section (\(v_2\)) si nous connaissons les aires des deux sections et la vitesse dans la première. Puisque le débit \(Q\) est constant (\(Q = A_1 v_1 = A_2 v_2\)), nous pouvons calculer \(v_2\) en divisant le débit par l'aire de la seconde section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = A_2 \cdot v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{Q}{A_2}\]
Données spécifiques :
  • \(Q \approx 0.015708 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(A_2 \approx 0.001963 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_2 &= \frac{0.015708 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.001963 \, \text{m}^2} \\ &\approx 8.00 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Comme prévu, la vitesse dans la section étroite est beaucoup plus élevée que dans la section large. Ici, l'aire a été divisée par quatre, donc la vitesse a été multipliée par quatre.

Résultat Question 3 : La vitesse dans la section étroite est d'environ \(8.0 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Dans une rivière, l'eau s'écoule plus vite dans les zones où le lit de la rivière est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le débit volumique \(Q\) est défini comme :

2. L'équation de continuité s'applique à un fluide qui est supposé :

3. Un jardinier place son pouce sur l'extrémité d'un tuyau. La vitesse de l'eau en sortie...

Glossaire

Équation de Continuité
Principe de conservation de la masse appliqué aux fluides en mouvement. Pour un fluide incompressible, elle se simplifie en \(A \cdot v = \text{constante}\), signifiant que le débit volumique est constant.
Débit Volumique (\(Q\))
Volume de fluide qui s'écoule à travers une section par unité de temps. Son unité SI est le mètre cube par seconde (\(\text{m}^3/\text{s}\)).
Fluide Incompressible
Fluide dont la masse volumique (\(\rho\)) est considérée comme constante, quelle que soit la pression. Les liquides comme l'eau sont souvent approchés comme incompressibles.
Section (ou Aire de Section)
Surface transversale d'un conduit ou d'un canal, perpendiculaire à la direction de l'écoulement.
Équation de Continuité - Exercice d'Application

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