Application de l’Équation de Continuité
Contexte : L'étude des fluides incompressiblesUn fluide dont la masse volumique est considérée comme constante. L'eau est souvent modélisée comme un fluide incompressible en hydraulique. en mouvement.
L'équation de continuité est l'un des principes les plus fondamentaux de la mécanique des fluides. Elle repose sur la loi de conservation de la masse et stipule que pour un fluide incompressible en régime permanentUn type d'écoulement où les propriétés du fluide (vitesse, pression, etc.) en un point donné ne changent pas avec le temps., le débit volumiqueLe volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Il est constant dans une conduite pour un fluide incompressible. est constant tout au long d'une conduite. Cet exercice vous guidera dans l'application de ce principe pour déterminer comment la vitesse d'un fluide change lorsque la section de la conduite est modifiée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler l'équation de continuité, une compétence essentielle pour analyser des systèmes hydrauliques simples comme les réseaux de canalisations, les réducteurs ou les buses.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible.
- Calculer la vitesse d'un fluide dans une conduite de section variable.
- Maîtriser les calculs de sections et de débits, ainsi que les conversions d'unités.
- Appliquer la conservation du débit à une jonction (division de l'écoulement).
- Résoudre un problème inverse : déterminer les conditions d'entrée pour une sortie désirée.
Données de l'étude
Schéma de la conduite avec rétrécissement
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(D_{\text{1}}\) | Diamètre de la conduite à la section 1 | 100 | mm |
| \(V_{\text{1}}\) | Vitesse de l'eau à la section 1 | 2 | m/s |
| \(D_{\text{2}}\) | Diamètre de la conduite à la section 2 | 50 | mm |
Questions à traiter
- Calculer les aires des sections transversales \(A_{\text{1}}\) et \(A_{\text{2}}\).
- Déterminer la vitesse de l'eau \(V_{\text{2}}\) dans la section 2.
- Calculer le débit volumique \(Q\) de l'écoulement.
- La conduite se divise en deux branches identiques (sections 3 et 4) juste après la section 2. Le diamètre de chaque branche est de 40 mm. En supposant que le débit se répartit équitablement, quelle est la vitesse de l'eau (\(V_{\text{3}}\)) dans chaque branche ?
- Imaginons que la section 2 est une buse de lance d'incendie. Pour être efficace, l'eau doit sortir à une vitesse de 25 m/s. Quel débit en L/min cela représente-t-il ? Quelle devrait alors être la vitesse \(V_{\text{1}}\) dans la conduite d'alimentation (D₁ = 100 mm) ?
Les bases sur l'Équation de Continuité
L'équation de continuité est une expression mathématique du principe de conservation de la masse pour un fluide en mouvement.
1. Conservation du Débit Volumique
Pour un fluide incompressible (masse volumique \(\rho\) constante) en régime d'écoulement permanent, le débit volumique \(Q\) (volume de fluide traversant une section par unité de temps) est constant tout au long de la conduite.
\[ Q = A_{\text{1}} \cdot V_{\text{1}} = A_{\text{2}} \cdot V_{\text{2}} = \text{constante} \]
Où \(A\) est l'aire de la section transversale et \(V\) est la vitesse moyenne du fluide à travers cette section.
2. Aire d'une Section Circulaire
L'aire \(A\) d'une section circulaire de diamètre \(D\) est donnée par la formule :
\[ \begin{aligned} A &= \pi \cdot R^2 \\ &= \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2 \\ &= \frac{\pi D^2}{4} \end{aligned} \]
3. Conservation du Débit à une Jonction
À une jonction où une conduite se divise, le débit entrant est égal à la somme des débits sortants.
\[ Q_{\text{entrant}} = \sum Q_{\text{sortants}} \]
Par exemple, pour une conduite se divisant en deux : \(Q_{\text{1}} = Q_{\text{2}} + Q_{\text{3}}\).
Correction : Application de l’Équation de Continuité
Question 1 : Calculer les aires des sections transversales \(A_{\text{1}}\) et \(A_{\text{2}}\)
Principe
Le concept physique est la quantification de l'espace disponible pour l'écoulement. Pour appliquer l'équation de continuité, nous devons d'abord connaître la surface que le fluide traverse à chaque point d'intérêt. Comme les conduites sont circulaires, il s'agit de calculer l'aire d'un disque.
Mini-Cours
L'aire d'un cercle est l'espace contenu à l'intérieur de sa circonférence. Elle est directement proportionnelle au carré de son rayon (\(R\)) ou de son diamètre (\(D\)). La constante de proportionnalité est le nombre Pi (\(\pi \approx 3.14159\)). La formule \(A = \pi R^2\) est fondamentale en géométrie. Comme le diamètre est deux fois le rayon (\(D = 2R\)), on peut substituer \(R = D/2\) pour obtenir la formule en fonction du diamètre : \(A = \pi (D/2)^2 = \pi D^2 / 4\).
Remarque Pédagogique
Cette première étape est purement géométrique mais elle est cruciale. Une erreur ici se propagera dans toutes les questions suivantes. Prenez l'habitude de toujours commencer par lister et calculer toutes les aires des sections mentionnées dans l'énoncé, en faisant bien attention aux unités.
Normes
Le calcul de l'aire d'une section est une opération de géométrie euclidienne fondamentale. Il ne dépend pas d'une norme d'ingénierie spécifique, mais constitue la base de tous les calculs hydrauliques, qui sont eux régis par des normes (comme la série des normes ISO sur la mesure de débit en conduite).
Formule(s)
Hypothèses
Nous supposons que les sections transversales de la conduite sont des cercles parfaits et que les diamètres donnés sont les diamètres internes de la conduite (la surface mouillée).
Donnée(s)
- Diamètre \(D_{\text{1}}\) = 100 mm = 0.1 m
- Diamètre \(D_{\text{2}}\) = 50 mm = 0.05 m
Astuces
Attention aux unités ! Convertir tous les diamètres en mètres (l'unité du Système International pour la longueur) avant de commencer les calculs est la meilleure façon d'éviter les erreurs. Rappelez-vous que 1 m = 1000 mm.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation d'une section circulaire
Calcul(s)
Calcul de l'aire \(A_{\text{1}}\)
Calcul de l'aire \(A_{\text{2}}\)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison visuelle des aires
Réflexions
On remarque que bien que le diamètre \(D_{\text{2}}\) soit la moitié de \(D_{\text{1}}\), l'aire \(A_{\text{2}}\) n'est pas la moitié de \(A_{\text{1}}\). Elle est quatre fois plus petite (\(0.007854 / 0.001963 \approx 4\)). C'est une conséquence de la relation quadratique entre l'aire et le diamètre. Cette observation est fondamentale pour comprendre pourquoi la vitesse va changer de manière si significative.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier d'élever le diamètre au carré dans la formule. Une autre erreur fréquente est de mal convertir les millimètres en mètres (par exemple, diviser par 100 au lieu de 1000), ce qui conduit à une erreur d'un facteur 100 sur l'aire !
Points à retenir
- La formule de l'aire d'un cercle : \(A = \pi D^2 / 4\).
- La nécessité absolue de travailler avec des unités cohérentes (le mètre pour le SI).
- La relation n'est pas linéaire : si on divise le diamètre par 2, on divise l'aire par 4.
Le saviez-vous ?
Le concept de \(\pi\) comme rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est connu depuis l'Antiquité (Babyloniens, Égyptiens). Cependant, c'est Archimède qui a développé une méthode rigoureuse pour l'approximer en encadrant un cercle par des polygones, une des premières applications du calcul infinitésimal.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'aire d'une section de diamètre \(D = 75\) mm.
Question 2 : Déterminer la vitesse de l'eau \(V_{\text{2}}\) dans la section 2
Principe
Le concept physique est la conservation de la masse. Pour un fluide incompressible, la masse qui entre dans une section de la conduite pendant un temps donné doit être la même que celle qui en sort. Comme la masse volumique est constante, cela se traduit par la conservation du volume. Si la section de passage diminue, le fluide doit nécessairement accélérer pour que le même volume passe en un temps donné.
Mini-Cours
L'équation de continuité, \(A_{\text{1}} V_{\text{1}} = A_{\text{2}} V_{\text{2}}\), est la forme la plus simple de la conservation du débit volumique. Le produit \(A \cdot V\) représente le volume d'un cylindre de fluide de base \(A\) et de hauteur \(V\) qui traverse la section chaque seconde. En affirmant que ce produit est constant, on affirme que le volume qui s'écoule par seconde est le même partout. Cette loi est fondamentale et constitue la première des deux équations majeures en hydraulique, la seconde étant l'équation de Bernoulli (conservation de l'énergie).
Remarque Pédagogique
Visualisez un embouteillage sur l'autoroute. Quand les voitures passent de 3 voies à 1 voie, si elles veulent maintenir le même "débit" de voitures, elles doivent accélérer. C'est exactement la même chose pour les molécules d'eau dans une conduite. Cette analogie simple aide à ne jamais se tromper sur le sens de la variation de la vitesse.
Normes
Ce principe est universel en dynamique des fluides. Il est à la base des dispositifs de mesure de débit normalisés, comme les tubes de Venturi ou les diaphragmes, décrits dans la norme internationale ISO 5167. Ces appareils créent un rétrécissement contrôlé pour mesurer la variation de pression (liée à la variation de vitesse par le théorème de Bernoulli) et en déduire le débit.
Formule(s)
Hypothèses
Pour que cette formule simple soit valide, nous devons supposer que :
1. Le fluide est incompressible (sa masse volumique \(\rho\) est constante).
2. L'écoulement est en régime permanent (la vitesse en un point ne change pas avec le temps).
Donnée(s)
- Aire \(A_{\text{1}} \approx 0.007854 \text{ m}^2\) (calculée à la Q1)
- Aire \(A_{\text{2}} \approx 0.001963 \text{ m}^2\) (calculée à la Q1)
- Vitesse \(V_{\text{1}} = 2 \text{ m/s}\)
Astuces
Puisque \(A = \pi D^2 / 4\), le rapport des aires \(\frac{A_{\text{1}}}{A_{\text{2}}}\) se simplifie en \(\frac{\pi D_{\text{1}}^2 / 4}{\pi D_{\text{2}}^2 / 4} = \frac{D_{\text{1}}^2}{D_{\text{2}}^2} = \left(\frac{D_{\text{1}}}{D_{\text{2}}}\right)^2\). Vous pouvez donc calculer la vitesse directement à partir des diamètres : \(V_{\text{2}} = V_{\text{1}} \cdot (D_{\text{1}}/D_{\text{2}})^2\). C'est plus rapide et évite les erreurs d'arrondi sur les aires.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du problème
Le débit Q (flèches bleues) est constant. La section A1 étant plus grande que A2, la vitesse V2 doit être plus grande que V1.
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des vitesses
Réflexions
Le résultat montre que la vitesse dans la section rétrécie est quatre fois plus grande que dans la section large. Cela confirme l'intuition : pour un même débit, le fluide doit accélérer lorsqu'il passe dans un espace plus étroit. C'est le principe derrière l'effet Venturi ou le fonctionnement d'une lance d'arrosage.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'inverser le rapport des aires (\(A_{\text{2}}/A_{\text{1}}\)) au lieu de (\(A_{\text{1}}/A_{\text{2}}\)). Une simple vérification de bon sens permet de l'éviter : si la section diminue, la vitesse doit augmenter, donc le rapport doit être supérieur à 1.
Points à retenir
- L'équation de continuité : \(A_{\text{1}} V_{\text{1}} = A_{\text{2}} V_{\text{2}}\).
- La relation est inverse : si l'aire diminue, la vitesse augmente.
- La variation de vitesse est quadratique par rapport à la variation de diamètre.
Le saviez-vous ?
Le physicien italien Giovanni Battista Venturi (1746-1822) a été le premier à étudier le phénomène de réduction de pression dans un fluide lorsque sa vitesse augmente dans un rétrécissement. L' "effet Venturi" est aujourd'hui utilisé dans de nombreuses applications, des carburateurs de moteurs aux débitmètres industriels.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En gardant les mêmes diamètres, si la vitesse d'entrée \(V_{\text{1}}\) était de 3 m/s, quelle serait la nouvelle vitesse de sortie \(V_{\text{2}}\) ?
Question 3 : Calculer le débit volumique \(Q\) de l'écoulement
Principe
Le débit volumique est le concept central qui est conservé tout au long de l'écoulement. Il représente le volume de fluide qui traverse une section de la conduite chaque seconde. Puisqu'il est constant, on peut le calculer en n'importe quel point du circuit où l'on connaît à la fois l'aire et la vitesse.
Mini-Cours
Le débit volumique \(Q\) est une mesure de la "quantité" de fluide en mouvement. Il est fondamental pour le dimensionnement des pompes, des tuyaux et des vannes. Il ne doit pas être confondu avec le débit massique, noté \(\dot{m}\), qui représente la masse de fluide s'écoulant par seconde. Les deux sont liés par la masse volumique : \(\dot{m} = \rho \cdot Q\). Pour un fluide incompressible comme l'eau, \(\rho\) est constante, donc la conservation du débit volumique implique la conservation du débit massique.
Remarque Pédagogique
Il est toujours plus sûr de calculer le débit en utilisant les données initiales de l'énoncé (ici, \(A_{\text{1}}\) et \(V_{\text{1}}\)) lorsque c'est possible. Ensuite, on peut utiliser les valeurs calculées (comme \(A_{\text{2}}\) et \(V_{\text{2}}\)) pour faire une vérification. Si les deux calculs donnent le même résultat, vous pouvez être beaucoup plus confiant dans vos réponses.
Normes
La mesure précise du débit est une préoccupation majeure en industrie et en ingénierie civile. Des normes internationales (comme la série ISO 5167 mentionnée précédemment) et nationales existent pour standardiser les méthodes et les appareils de mesure (débitmètres électromagnétiques, à ultrasons, à effet Coriolis, etc.) afin de garantir la précision des transactions commerciales ou des processus industriels.
Formule(s)
Hypothèses
Les hypothèses d'incompressibilité et de régime permanent sont toujours nécessaires. On suppose aussi que la vitesse \(V\) est la vitesse moyenne sur toute la section (profil de vitesse uniforme), ce qui est une simplification courante pour les calculs de base.
Donnée(s)
On peut utiliser au choix les données de la section 1 ou 2.
- Option 1 : Aire \(A_{\text{1}} \approx 0.007854 \text{ m}^2\), Vitesse \(V_{\text{1}} = 2 \text{ m/s}\)
- Option 2 : Aire \(A_{\text{2}} \approx 0.001963 \text{ m}^2\), Vitesse \(V_{\text{2}} = 8 \text{ m/s}\)
Astuces
Pour avoir une meilleure intuition des valeurs, il est souvent utile de convertir les débits. Pour passer des m³/s aux litres par seconde (L/s), il suffit de multiplier par 1000. Pour passer aux litres par minute (L/min), on multiplie par 60 000. Pour passer aux mètres cubes par heure (m³/h), on multiplie par 3600.
Schéma (Avant les calculs)
Le débit est constant
Le "volume" de fluide qui passe par A1 et A2 chaque seconde est le même.
Calcul(s)
Calcul avec les données de la section 1
Vérification avec les données de la section 2
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du débit
Réflexions
Le résultat est d'environ 0.0157 mètres cubes par seconde. Pour se faire une idée, sachant que 1 m³ = 1000 litres, cela correspond à 15.7 litres par seconde. C'est un débit significatif, équivalent à remplir une grande bouteille d'eau en un dixième de seconde. Le fait que le calcul donne le même résultat pour les deux sections confirme la validité de nos calculs et du principe de continuité.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante ici est une erreur d'unité. Si vous multipliez une aire en cm² par une vitesse en m/s, le résultat n'aura aucun sens physique. Assurez-vous que toutes vos données sont dans le Système International (m², m/s) avant de multiplier pour obtenir un débit en m³/s.
Points à retenir
- La définition du débit volumique : \(Q = A \cdot V\).
- Le principe de conservation : le débit est le même en tout point d'une conduite simple.
- L'unité SI du débit est le m³/s.
Le saviez-vous ?
Le débit du fleuve Amazone, le plus grand du monde, est en moyenne de 209 000 m³/s. Cela signifie qu'en une seule seconde, il déverse dans l'océan un volume d'eau suffisant pour remplir plus de 83 piscines olympiques ! Notre débit de 15.7 L/s paraît bien modeste en comparaison.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le débit devait être de 30 L/s (soit 0.03 m³/s), quelle serait la vitesse \(V_{\text{1}}\) dans la première section ?
Question 4 : Vitesse dans deux branches de 40 mm
Principe
Le principe physique est toujours la conservation de la masse, mais appliquée à une jonction (un "nœud" dans un réseau). La quantité totale de matière qui arrive au point de division doit être égale à la quantité totale qui en repart. Comme le fluide est incompressible, on peut raisonner en termes de volumes : le débit volumique entrant est égal à la somme des débits volumiques sortants.
Mini-Cours
Ce principe est souvent appelé la "loi des nœuds" de l'hydraulique, en analogie avec la loi des nœuds de Kirchhoff en électricité (la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants). Cela montre que le débit peut être vu comme un "courant" de fluide. Pour un nœud avec une entrée et N sorties, on a : \(Q_{\text{entrée}} = Q_{\text{sortie 1}} + Q_{\text{sortie 2}} + ... + Q_{\text{sortie N}}\). C'est la base de l'analyse de tous les réseaux de distribution d'eau.
Remarque Pédagogique
Face à un problème de division de débit, la première étape est toujours d'écrire l'équation de conservation au nœud. Ensuite, utilisez les informations de l'énoncé (ici, "répartition équitable") pour déterminer la valeur de chaque débit sortant. Enfin, traitez chaque branche comme un nouveau problème de continuité simple.
Normes
La conception des systèmes de tuyauterie et de distribution (plomberie, CVC, protection incendie) est régie par des codes et normes (comme les DTU en France) qui s'appuient sur ce principe fondamental pour assurer un équilibrage correct des débits et des pressions dans les différentes branches d'un réseau.
Formule(s)
Conservation du débit à la jonction
Vitesse dans une branche
Hypothèses
En plus des hypothèses précédentes, nous ajoutons celle de la répartition équitable du débit. En réalité, cela ne se produit que si les deux branches sont parfaitement symétriques (même longueur, même rugosité, mêmes coudes, etc.).
Donnée(s)
- Débit total entrant \(Q \approx 0.0157 \text{ m}^3/\text{s}\) (de la Q3)
- Diamètre d'une branche \(D_{\text{3}}\) = 40 mm = 0.04 m
Astuces
Avant de calculer, comparez la somme des aires de sortie à l'aire d'entrée. Aire d'une branche de 40mm : \(A_{\text{3}} \approx 0.001257 \text{ m}^2\). Aire totale de sortie : \(2 \times A_{\text{3}} \approx 0.002514 \text{ m}^2\). C'est supérieur à l'aire d'entrée \(A_{\text{2}} \approx 0.001963 \text{ m}^2\). La section totale de passage augmente, donc la vitesse doit diminuer (\(V_{\text{3}} < V_{\text{2}}\)).
Schéma (Avant les calculs)
Division de l'écoulement
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du débit dans une branche \(Q_{\text{3}}\)
Étape 2 : Calcul de l'aire d'une branche \(A_{\text{3}}\)
Étape 3 : Calcul de la vitesse \(V_{\text{3}}\)
Schéma (Après les calculs)
Vecteurs vitesse à la jonction
Réflexions
La vitesse dans chaque branche (6.25 m/s) est inférieure à la vitesse dans la section 2 juste avant la division (8 m/s). C'est logique : la section totale de passage a augmenté (2 branches de 40mm ont une aire totale supérieure à une seule de 50mm), donc pour un même débit, le fluide doit ralentir.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de diviser le débit par le nombre de branches. On ne peut pas appliquer le débit total à l'aire d'une seule branche. Il faut toujours réfléchir à la quantité de fluide qui passe réellement par la section que l'on étudie.
Points à retenir
- La loi des nœuds : \(Q_{\text{entrant}} = \sum Q_{\text{sortants}}\).
- Pour résoudre, il faut connaître la loi de répartition du débit (ici, "équitablement").
- Chaque branche est ensuite un problème de continuité indépendant.
Le saviez-vous ?
Ce principe de division de débit est essentiel dans la conception des systèmes d'irrigation agricole "goutte-à-goutte". Un tuyau principal distribue l'eau à des milliers de petites dérivations, et les ingénieurs doivent calculer précisément les diamètres pour s'assurer que chaque plante reçoive la même petite quantité d'eau.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la conduite se divisait en trois branches identiques de 40 mm, quelle serait la vitesse dans chaque branche ?
Question 5 : Calcul inverse pour une lance d'incendie
Principe
C'est un problème de conception ou d'ingénierie "inverse". Au lieu de calculer les effets à partir des causes, on définit un effet désiré (la vitesse de sortie) et on doit déterminer les causes nécessaires pour l'atteindre (le débit et la vitesse d'alimentation). C'est une démarche très courante pour un ingénieur : partir d'un cahier des charges et dimensionner le système en amont.
Mini-Cours
La capacité à inverser les équations est une compétence mathématique fondamentale en sciences. L'équation de continuité \(Q = A \cdot V\) peut être réarrangée pour trouver n'importe laquelle des trois variables si les deux autres sont connues : \(A = Q/V\) ou \(V = Q/A\). Cette flexibilité permet de répondre à différents types de questions : analyse (calcul de V), vérification (calcul de Q) ou dimensionnement (calcul de A ou des conditions en amont).
Remarque Pédagogique
La meilleure approche pour un problème inverse est de tracer une "feuille de route" en partant de l'inconnue finale et en remontant. Ici : Pour trouver \(V_{\text{1}}\), j'ai besoin de \(Q\) et \(A_{\text{1}}\). Je connais \(A_{\text{1}}\), mais pas \(Q\). Pour trouver \(Q\), j'ai besoin de \(A_{\text{2}}\) et \(V_{\text{2}}\). Je connais les deux. Donc, je calcule d'abord \(Q\), puis je l'utilise pour calculer \(V_{\text{1}}\).
Normes
Les performances des équipements de lutte contre l'incendie sont très réglementées. Des normes comme la NFPA (National Fire Protection Association) aux États-Unis ou les normes EN en Europe spécifient des débits et des pressions minimaux pour les lances, les sprinklers et les bouches d'incendie, afin de garantir leur efficacité. Notre calcul est une version simplifiée de ce que font les ingénieurs en sécurité incendie.
Formule(s)
Calcul du débit requis
Calcul de la vitesse d'alimentation
Hypothèses
Les hypothèses de base (incompressibilité, régime permanent) restent valables.
Donnée(s)
- Vitesse de sortie désirée \(V_{\text{2}}\) = 25 m/s
- Diamètre de sortie \(D_{\text{2}}\) = 50 mm (Aire \(A_{\text{2}} \approx 0.001963 \text{ m}^2\))
- Diamètre d'entrée \(D_{\text{1}}\) = 100 mm (Aire \(A_{\text{1}} \approx 0.007854 \text{ m}^2\))
Astuces
La conversion du débit en Litres par minute (L/min) est courante en hydraulique appliquée. Retenez que 1 m³/s = 1000 L/s et 1 minute = 60 secondes. Donc, pour passer de m³/s à L/min, il faut multiplier par 1000 puis par 60, soit un facteur de 60 000.
Schéma (Avant les calculs)
Problème de dimensionnement
Objectif : V₂ = 25 m/s. Inconnues : Q et V₁.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du débit requis \(Q\)
Étape 2 : Conversion du débit en L/min
Étape 3 : Calcul de la vitesse d'alimentation \(V_{\text{1}}\)
Schéma (Après les calculs)
Résumé du design final
Réflexions
Pour obtenir une vitesse de jet très élevée (25 m/s, soit 90 km/h !), il faut un débit considérable de près de 3000 litres par minute. Cela impose également une vitesse déjà très rapide de 6.25 m/s dans la conduite d'alimentation, ce qui engendrerait des pertes de charge importantes en réalité. Cela montre que la conception d'un système est un jeu de compromis.
Points de vigilance
L'erreur principale dans ce type de problème est de se perdre dans les étapes. Il faut bien identifier l'objectif final et remonter la chaîne des calculs nécessaires. Une autre source d'erreur est la conversion d'unités, particulièrement pour les débits (L/s, L/min, m³/h, etc.).
Points à retenir
- La continuité permet de résoudre des problèmes "inverses" ou de conception.
- La démarche est : Objectif \(\Rightarrow\) Débit requis \(\Rightarrow\) Conditions d'entrée.
- Les conversions d'unités de débit sont essentielles en pratique.
Le saviez-vous ?
La technologie de découpe au jet d'eau utilise ce même principe, mais poussé à l'extrême. En forçant l'eau à travers une buse minuscule (parfois de 0.1 mm de diamètre) à des pressions des milliers de fois supérieures à la pression atmosphérique, on peut atteindre des vitesses de jet supersoniques (plus de 900 m/s) capables de découper de l'acier ou de la pierre !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la conduite d'alimentation ne permettait qu'une vitesse \(V_{\text{1}}\) maximale de 4 m/s, quel serait le diamètre de buse \(D_{\text{2}}\) nécessaire pour tout de même atteindre 25 m/s en sortie ?
Outil Interactif : Simulateur de Vitesse
Utilisez les curseurs pour modifier le diamètre et la vitesse d'entrée. Observez comment la vitesse de sortie change en conséquence, pour un diamètre de sortie fixe de 50 mm.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour D₂ = 50 mm)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si le diamètre d'une conduite double, que devient la vitesse du fluide pour un même débit ?
2. L'équation de continuité est une conséquence directe de :
3. Quelle est l'unité du débit volumique dans le Système International ?
4. L'équation de continuité \(A_{\text{1}} V_{\text{1}} = A_{\text{2}} V_{\text{2}}\) est valide pour :
5. Dans l'exercice, la vitesse est passée de 2 m/s à 8 m/s. Comment le rapport des aires \(A_{\text{1}}/A_{\text{2}}\) se compare-t-il ?
- Débit volumique (Q)
- Le volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Son unité SI est le m³/s. Pour un fluide incompressible, il est constant le long d'une conduite.
- Fluide incompressible
- Un fluide dont la masse volumique (et donc son volume) ne varie pas de manière significative sous l'effet des changements de pression. L'eau et de nombreux liquides sont considérés comme incompressibles en pratique.
- Régime permanent
- Un régime d'écoulement où les propriétés du fluide (vitesse, pression, masse volumique) en tout point de l'espace ne dépendent pas du temps. Les valeurs peuvent être différentes d'un point à l'autre, mais elles sont stables.
- Équation de continuité
- L'expression mathématique de la conservation de la masse pour un fluide en mouvement. Pour un fluide incompressible en régime permanent, elle se simplifie en \(Q = A \cdot V = \text{constante}\).
D’autres exercices de Fondamentaux de l’hydraulique:
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