Analyse d'une Courbe de Remous

Contexte : L'étude des écoulements graduellement variésÉcoulements à surface libre où la profondeur et la vitesse varient lentement le long du canal. en hydraulique.

Lorsqu'un obstacle (barrage, seuil) ou un changement de pente modifie un écoulement en canal, la surface de l'eau ne reste pas parallèle au fond. Elle adopte un profil courbe appelé courbe de remousProfil longitudinal de la surface libre de l'eau dans un canal lorsque l'écoulement est graduellement varié.. Comprendre et calculer ces courbes est essentiel pour dimensionner des ouvrages hydrauliques, prévoir des zones d'inondation ou analyser le transport de sédiments. Cet exercice vous guidera dans le calcul pas à pas d'un profil de remous en amont d'un contrôle aval.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les concepts fondamentaux de l'hydraulique à surface libre (profondeurs critique et normale, équation de l'énergie) et de vous initier à une méthode numérique simple (méthode du pas standard) pour résoudre l'équation des écoulements graduellement variés.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la profondeur critiqueProfondeur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné (Nombre de Froude = 1). (\(y_c\)) et la profondeur normaleProfondeur d'eau atteinte lorsque l'écoulement est uniforme (pente de la ligne d'énergie = pente du fond du canal). (\(y_n\)).
Identifier le type de profil de la courbe de remous (ex: M1, S2...).
Appliquer la méthode du pas standardMéthode numérique itérative pour calculer le profil de la surface libre en résolvant l'équation de l'énergie entre deux sections successives. pour calculer la variation de la profondeur.
Comprendre l'influence des paramètres (débit, pente, rugosité) sur la forme de la courbe.

Données de l'étude

On considère un canal rectangulaire de grande longueur, charriant un débit constant. Un ouvrage (seuil) à l'extrémité aval impose une profondeur d'eau spécifique.

Caractéristiques du Canal

Schéma du canal et de la courbe de remous

Paramètre Hydraulique	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Largeur au fond	\(b\)	5	m
Coefficient de Manning	\(n\)	0.015	s/m\(^{1/3}\)
Pente du fond	\(S_0\)	0.0005	m/m
Profondeur imposée à l'aval (x=0)	\(y_{\text{aval}}\)	2.5	m

Questions à traiter

Calculer la profondeur critique (\(y_c\)) du canal.
Calculer la profondeur normale (\(y_n\)) du canal.
Quel est le type de pente du canal (forte, faible, critique, horizontale, adverse) ? En déduire la nature de la courbe de remous (ex: M1, S2...).
En utilisant la méthode du pas standard avec un seul pas, déterminer la profondeur d'eau (\(y\)) à une distance \(\Delta x = 100\) m en amont de l'ouvrage (c'est-à-dire à x = 100 m). Utiliser la profondeur aval comme point de départ.
Commenter la valeur de profondeur obtenue à x=100 m par rapport à \(y_{\text{aval}}\) et \(y_n\). Est-ce cohérent avec le type de courbe déterminé ?

Les bases sur les Écoulements Graduellement Variés

L'écoulement graduellement varié (EGV) décrit la situation où la profondeur de l'eau change progressivement le long du canal. L'équation différentielle qui régit ce phénomène est obtenue à partir de la conservation de l'énergie.

1. Énergie Spécifique (\(E\))
L'énergie par unité de poids de fluide, par rapport au fond du canal : \[ E = y + \frac{V^2}{2g} = y + \frac{Q^2}{2gA^2} \] Où \(y\) est la profondeur, \(V\) la vitesse moyenne, \(g\) l'accélération gravitationnelle, \(Q\) le débit et \(A\) l'aire de la section mouillée.

2. Profondeur Critique (\(y_c\))
Correspond au minimum d'énergie spécifique pour un débit \(Q\) donné. Le nombre de FroudeNombre sans dimension comparant les forces d'inertie aux forces de gravité. Fr=1 en régime critique, Fr<1 en fluvial, Fr>1 en torrentiel. \(Fr = 1\). Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\), avec \(q=Q/b\): \[ y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3} \]

3. Profondeur Normale (\(y_n\))
Profondeur atteinte en régime uniforme (écoulement permanent et uniforme). Elle est calculée avec la formule de Manning : \[ Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2} \] Où \(n\) est le coefficient de Manning, \(R_h = A/P\) le rayon hydraulique (P = périmètre mouillé), et \(S_0\) la pente du fond. Le calcul de \(y_n\) est souvent implicite.

4. Équation Différentielle de l'EGV
Elle décrit la variation de la profondeur \(y\) par rapport à la distance \(x\) : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} \] Où \(S_f\) est la pente de frictionPente de la ligne d'énergie, représentant les pertes de charge dues à la friction. Calculée par Manning : S_f = (n V / R_h^(2/3))². et \(Fr\) le nombre de Froude (\(Fr^2 = Q^2 T / (g A^3)\) avec T la largeur au miroir).

5. Méthode du Pas Standard
Méthode numérique pour intégrer l'équation de l'EGV. On applique l'équation de l'énergie entre deux sections 1 (amont) et 2 (aval) distantes de \(\Delta x\): \[ y_1 + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = y_2 + z_2 + \frac{V_2^2}{2g} + h_f \] Avec \(z_1 - z_2 = S_0 \Delta x\) et \(h_f = \bar{S}_f \Delta x\). En posant \(E = y + V^2/(2g)\): \[ E_1 + S_0 \Delta x = E_2 + \bar{S}_f \Delta x \] ce qui peut se réécrire : \[ E_1 = E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x \] ou \[ \Delta x = \frac{E_1 - E_2}{S_0 - \bar{S}_f} \] Où \(\bar{S}_f = (S_{f1} + S_{f2})/2\) est la moyenne de \(S_f\) entre les sections 1 et 2. On part d'une profondeur connue (ex: \(y_2=y_{\text{aval}}\)) et on calcule \(\Delta x\) pour une petite variation de \(y\) (ou on calcule \(y_1\) pour un \(\Delta x\) fixé, souvent par itération).

Correction : Analyse d’une Courbe de Remous

Question 1 : Calculer la profondeur critique (\(y_c\)) du canal.

Principe (le concept physique)

La profondeur critique est une caractéristique intrinsèque du canal et du débit. Elle correspond à l'état où l'énergie spécifique est minimale et le nombre de Froude est égal à 1. C'est une profondeur clé pour classifier les écoulements.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La profondeur critique \(y_c\) marque la transition entre le régime fluvial (subcritique, \(Fr < 1\)) et le régime torrentiel (supercritique, \(Fr > 1\)). À cette profondeur, la célérité des ondes de surface est égale à la vitesse moyenne de l'écoulement. Pour un débit donné, toute modification de la géométrie ou de la pente qui force l'écoulement à passer par \(y_c\) crée un point de contrôle critique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Identifiez toujours \(y_c\) en début d'exercice. C'est une valeur de référence fondamentale. Comparez systématiquement les profondeurs calculées (\(y_n\), \(y\)) à \(y_c\) pour déterminer le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel), ce qui conditionne la direction du contrôle (aval ou amont) et la forme des courbes de remous.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la profondeur critique ne découle pas directement d'une norme spécifique (comme l'Eurocode), mais des principes fondamentaux de l'hydraulique à surface libre (conservation de l'énergie). Cependant, les normes interviennent dans le choix des coefficients de sécurité ou des méthodes de calcul globales intégrant ces principes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Débit par unité de largeur \(q\)

q = \frac{Q}{b}

Profondeur critique \(y_c\) pour canal rectangulaire

y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour l'application de cette formule simplifiée, on suppose :

Canal rectangulaire prismatique (section constante).
Répartition hydrostatique des pressions (pente faible, courbure des lignes de courant négligeable).
Coefficient de Coriolis (répartition des vitesses) \(\alpha \approx 1\).
Fluide incompressible et écoulement permanent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les données suivantes pour cette question :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Largeur au fond	\(b\)	5	m
Accélération gravitationnelle	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Pré-calculez \(q=Q/b\). Gardez la valeur de \(q^2/g\) pour d'éventuels calculs ultérieurs du nombre de Froude (\(Fr^2 = q^2 / (gy^3) = (y_c/y)^3\)).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma de la section rectangulaire pour visualiser \(b\) et \(y\).

Section Rectangulaire

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du débit par unité de largeur \(q\)

\begin{aligned} q &= \frac{Q}{b} \\ &= \frac{10 \text{ m³/s}}{5 \text{ m}} \\ &= 2 \text{ m²/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la profondeur critique \(y_c\)

\begin{aligned} y_c &= \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3} \\ &= \left( \frac{(2 \text{ m²/s})^2}{9.81 \text{ m/s²}} \right)^{1/3} \\ &= \left( \frac{4}{9.81} \right)^{1/3} \\ &\approx (0.4077)^{1/3} \\ &\approx 0.74 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de l'énergie spécifique \(E(y)\) montre que l'énergie est minimale pour \(y = y_c \approx 0.74 \text{ m}\).

Courbe d'Énergie Spécifique E(y)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La profondeur critique est d'environ 0.74 m. Cette valeur nous servira de référence pour comparer les autres profondeurs et comprendre le régime d'écoulement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités lors du calcul. Assurez-vous que toutes les grandeurs sont exprimées dans le Système International (mètres, secondes). Vérifiez que la formule de \(y_c\) utilisée correspond bien à la géométrie de la section (ici, rectangulaire).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse Q1 :

Concept Clé : Profondeur critique \(y_c\) = énergie spécifique minimale, Fr=1.
Formule (Rectangulaire) : \(y_c = ( (Q/b)^2 / g )^{1/3}\).
Point de Vigilance : Utiliser le débit par unité de largeur \(q\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de profondeur critique est fondamental dans la conception des déversoirs et des canaux Venturi, où l'on force l'écoulement à passer par le régime critique pour mesurer le débit.

FAQ (pour lever les doutes)

Questions fréquentes sur la profondeur critique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La profondeur critique est \(y_c \approx 0.74 \text{ m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Si le débit était doublé (\(Q=20\) m³/s), quelle serait la nouvelle profondeur critique \(y_c\) ?

Question 2 : Calculer la profondeur normale (\(y_n\)) du canal.

Principe (le concept physique)

La profondeur normale \(y_n\) est la profondeur d'équilibre atteinte lorsque l'écoulement est uniforme, c'est-à-dire quand les forces motrices (composante du poids de l'eau selon la pente \(S_0\)) sont exactement compensées par les forces de frottement sur le fond et les parois. Elle représente la tendance naturelle de l'écoulement dans un canal long et régulier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Manning-Strickler est une loi empirique décrivant la relation entre la vitesse moyenne (\(V\)), le rayon hydraulique (\(R_h\)), la pente de la ligne d'énergie (\(S_f\), égale à \(S_0\) en régime uniforme) et la rugosité (\(n\) ou \(K_s=1/n\)). Pour un débit \(Q\) donné, \(Q=VA\), l'équation permet de trouver la profondeur \(y_n\) qui satisfait cette condition d'équilibre. La résolution est souvent itérative car \(A\) et \(R_h\) dépendent de \(y_n\) de manière complexe.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul de \(y_n\) est fondamental. Une fois \(y_n\) et \(y_c\) connus, vous pouvez immédiatement classifier la pente (faible si \(y_n > y_c\), forte si \(y_n < y_c\), etc.). C'est la première étape indispensable avant d'analyser une courbe de remous. Utilisez un outil numérique (calculatrice programmable, tableur, script) pour résoudre l'équation de Manning, car la méthode manuelle par essais successifs peut être longue.

Normes (la référence réglementaire)

Les coefficients de rugosité de Manning (\(n\)) sont tabulés dans de nombreux ouvrages et normes d'hydraulique, basés sur des expériences en laboratoire et in situ pour différents types de matériaux de canaux (béton, terre, enrochements, végétation...). Le choix d'un \(n\) approprié est crucial pour la précision du calcul de \(y_n\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de Manning pour le débit \(Q\)

Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2}

Pour un canal rectangulaire (\(A = b y_n\), \(P = b + 2y_n\), \(R_h = \frac{A}{P}\))

Q = \frac{1}{n} (b y_n) \left( \frac{b y_n}{b + 2y_n} \right)^{2/3} S_0^{1/2}

Cette équation est implicite en \(y_n\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour l'application de la formule de Manning, on suppose :

Écoulement uniforme et permanent.
Canal prismatique.
Pente \(S_0\) relativement faible (sin \(\theta \approx \tan \theta \approx S_0\)).
Coefficient de Manning \(n\) constant sur la section et le long du bief considéré.
Écoulement turbulent rugueux (la formule est moins précise pour d'autres régimes).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les données suivantes pour cette question :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Largeur au fond	\(b\)	5	m
Coefficient de Manning	\(n\)	0.015	s/m\(^{1/3}\)
Pente du fond	\(S_0\)	0.0005	m/m

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour la résolution itérative, commencez par une estimation. Une première approximation peut être obtenue en considérant un canal très large (\(R_h \approx y_n\)), ce qui donne \(Q \approx (1/n) b y_n^{5/3} S_0^{1/2}\), d'où \(y_n \approx [Qn / (b S_0^{1/2})]^{3/5}\). Utilisez cette valeur comme point de départ pour les itérations avec la formule complète.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma de la section mouillée rectangulaire pour visualiser l'Aire \(A = by\) et le Périmètre mouillé \(P = b + 2y\).

Section Mouillée (pour Manning)

Calcul(s) (l'application numérique)

Équation à résoudre

10 = \frac{1}{0.015} (5 y_n) \left( \frac{5 y_n}{5 + 2y_n} \right)^{2/3} \sqrt{0.0005}

Réorganisation de l'équation

\begin{aligned} \frac{Q n}{S_0^{1/2}} &= A R_h^{2/3} \\ \frac{10 \times 0.015}{\sqrt{0.0005}} &= (5 y_n) \left( \frac{5 y_n}{5 + 2y_n} \right)^{2/3} \\ 6.708 &\approx (5 y_n) \left( \frac{5 y_n}{5 + 2y_n} \right)^{2/3} \end{aligned}

Résolution par essais successifs. Appelons \(f(y_n) = (5 y_n) \left( \frac{5 y_n}{5 + 2y_n} \right)^{2/3}\). On cherche \(y_n\) tel que \(f(y_n) \approx 6.708\).

Essai 1 : \(y_n = 1.0 \text{ m}\)

\begin{aligned} f(1.0) &= (5 \times 1.0) \left( \frac{5 \times 1.0}{5 + 2 \times 1.0} \right)^{2/3} \\ &= 5 \left( \frac{5}{7} \right)^{2/3} \\ &\approx 5 \times (0.714)^{2/3} \\ &\approx 5 \times 0.797 \\ &\approx 3.99 \end{aligned}

Résultat (\(3.99\)) < \(6.708\) \(\Rightarrow\) Trop petit.

Essai 2 : \(y_n = 1.5 \text{ m}\)

\begin{aligned} f(1.5) &= (5 \times 1.5) \left( \frac{5 \times 1.5}{5 + 2 \times 1.5} \right)^{2/3} \\ &= 7.5 \left( \frac{7.5}{8} \right)^{2/3} \\ &\approx 7.5 \times (0.9375)^{2/3} \\ &\approx 7.5 \times 0.958 \\ &\approx 7.18 \end{aligned}

Résultat (\(7.18\)) > \(6.708\) \(\Rightarrow\) Trop grand.

Essai 3 : \(y_n = 1.4 \text{ m}\)

\begin{aligned} f(1.4) &= (5 \times 1.4) \left( \frac{5 \times 1.4}{5 + 2 \times 1.4} \right)^{2/3} \\ &= 7.0 \left( \frac{7.0}{7.8} \right)^{2/3} \\ &\approx 7.0 \times (0.897)^{2/3} \\ &\approx 7.0 \times 0.930 \\ &\approx 6.51 \end{aligned}

Résultat (\(6.51\)) < \(6.708\) \(\Rightarrow\) Trop petit.

Essai 4 : \(y_n = 1.45 \text{ m}\)

\begin{aligned} f(1.45) &= (5 \times 1.45) \left( \frac{5 \times 1.45}{5 + 2 \times 1.45} \right)^{2/3} \\ &= 7.25 \left( \frac{7.25}{7.9} \right)^{2/3} \\ &\approx 7.25 \times (0.918)^{2/3} \\ &\approx 7.25 \times 0.944 \\ &\approx 6.84 \end{aligned}

Résultat (\(6.84\)) > \(6.708\) \(\Rightarrow\) Un peu trop grand.

Essai 5 : \(y_n = 1.43 \text{ m}\)

\begin{aligned} f(1.43) &= (5 \times 1.43) \left( \frac{5 \times 1.43}{5 + 2 \times 1.43} \right)^{2/3} \\ &= 7.15 \left( \frac{7.15}{7.86} \right)^{2/3} \\ &\approx 7.15 \times (0.9097)^{2/3} \\ &\approx 7.15 \times 0.938 \\ &\approx 6.70 \end{aligned}

Résultat (\(6.70\)) \(\approx\) \(6.708\) \(\Rightarrow\) Très proche.

Une valeur plus précise est \(y_n \approx 1.43 \text{ m}\).

Schéma (Après les calculs)

Schéma longitudinal montrant la profondeur normale \(y_n\) parallèle au fond du canal, indiquant l'équilibre \(S_f = S_0\).

Illustration de la Profondeur Normale \(y_n\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La profondeur normale \(y_n \approx 1.43\) m est la profondeur que l'eau aurait si le canal était infiniment long sans obstacle, avec les caractéristiques données. Le fait que \(y_n > y_c\) indique que le régime uniforme serait fluvial.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La résolution de l'équation de Manning pour \(y_n\) est souvent la partie la plus délicate. L'utilisation d'un solveur numérique ou d'une méthode graphique est recommandée pour une bonne précision. Vérifiez la cohérence des unités de \(n\) et \(S_0\). Ne pas confondre rayon hydraulique (\(R_h=A/P\)) et profondeur hydraulique (\(D_h = A/T\), T=largeur au miroir).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse Q2 :

Concept Clé : Profondeur normale \(y_n\) = profondeur en régime uniforme (\(S_f=S_0\)).
Formule : Manning \(Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2}\).
Point de Vigilance : Résolution implicite, nécessite itération/solveur. Vérifier les unités et les définitions de A, P, Rh.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule de Manning a été développée à la fin du 19ème siècle par l'ingénieur irlandais Robert Manning. Bien qu'empirique, elle reste la formule la plus utilisée dans le monde pour les calculs d'écoulements à surface libre en charge uniforme.

FAQ (pour lever les doutes)

Questions fréquentes sur la profondeur normale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La profondeur normale est \(y_n \approx 1.43 \text{ m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Si le canal était plus rugueux, avec \(n=0.020\), quelle serait approximativement la nouvelle profondeur normale \(y_n\) ? (Utilisez une ou deux itérations ou un solveur).

Question 3 : Type de pente et nature de la courbe de remous.

Principe

Le type de pente est déterminé en comparant la profondeur normale (\(y_n\)) et la profondeur critique (\(y_c\)). La nature de la courbe de remous dépend ensuite de ce type de pente et de la position de la profondeur réelle (\(y\)) par rapport à \(y_n\) et \(y_c\).

Mini-Cours

Classification des pentes :

Pente faible (Mild, M): \(y_n > y_c\) (Écoulement fluvial en régime uniforme)
Pente forte (Steep, S): \(y_n < y_c\) (Écoulement torrentiel en régime uniforme)
Pente critique (Critical, C): \(y_n = y_c\)
Pente horizontale (Horizontal, H): \(S_0 = 0\) (\(y_n \rightarrow \infty\))
Pente adverse (Adverse, A): \(S_0 < 0\) (\(y_n\) n'est pas défini physiquement)

Classification des courbes : La lettre (M, S, C, H, A) indique le type de pente. Le chiffre (1, 2, 3) indique la position de \(y\) :

Zone 1: \(y > y_n\) et \(y > y_c\)
Zone 2: \(y\) est entre \(y_n\) et \(y_c\)
Zone 3: \(y < y_n\) et \(y < y_c\)

Les courbes de remous tendent vers \(y_n\) (si elle existe) ou \(y_c\). Elles sont tracées de l'aval vers l'amont si l'écoulement est fluvial (contrôle aval) et de l'amont vers l'aval si l'écoulement est torrentiel (contrôle amont).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur critique	\(y_c\)	0.74	m
Profondeur normale	\(y_n\)	1.43	m
Profondeur imposée à l'aval	\(y_{\text{aval}}\)	2.5	m

Calcul(s)

Étape 1 : Comparaison de \(y_n\) et \(y_c\)

\(y_n (1.43 \text{ m}) > y_c (0.74 \text{ m})\). La pente est donc faible (Mild, M).

Étape 2 : Position de \(y_{\text{aval}}\)

\(y_{\text{aval}} (2.5 \text{ m}) > y_n (1.43 \text{ m})\) et \(y_{\text{aval}} (2.5 \text{ m}) > y_c (0.74 \text{ m})\). La profondeur à l'aval se situe dans la Zone 1.

Étape 3 : Type de courbe

L'écoulement étant contrôlé par l'aval (pente faible) et partant de la zone 1, la courbe de remous est de type M1.

Réflexions

Une courbe M1 est une courbe de remous typique en amont d'un barrage ou d'un seuil sur une rivière à pente faible. La profondeur diminue progressivement vers l'amont en tendant asymptotiquement vers la profondeur normale \(y_n\). L'écoulement est fluvial (\(Fr < 1\)) sur toute la courbe.

Schéma

Illustration des Zones pour Pente Faible (M)

Résultat Final

La pente est faible (M) et la courbe de remous est de type M1.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Type Pente : Comparer \(y_n\) et \(y_c\). Si \(y_n > y_c \Rightarrow\) Pente Faible (M).
Type Courbe : Comparer \(y\) à \(y_n\) et \(y_c\). Si \(y > y_n > y_c \Rightarrow\) Zone 1. Pente M + Zone 1 = Courbe M1.
Comportement M1 : \(y\) diminue vers l'amont, tendant vers \(y_n\).

Question 4 : Calculer la profondeur à \(\Delta x = 100\) m en amont.

Principe (le concept physique)

L'écoulement graduellement varié n'est pas uniforme, l'énergie se dissipe (\(S_f \ne S_0\)) et la profondeur change. La méthode du pas standard applique le bilan d'énergie entre deux sections proches pour calculer cette variation de profondeur sur une distance donnée (ou vice-versa). On suppose que sur une courte distance \(\Delta x\), la pente de friction moyenne \(\bar{S}_f\) peut être utilisée pour estimer la perte de charge \(h_f = \bar{S}_f \Delta x\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de l'énergie entre la section amont (1) et aval (2) s'écrit : \(Z_1 + E_1 = Z_2 + E_2 + h_f\), où \(Z\) est la cote du fond et \(E\) l'énergie spécifique. Comme \(Z_1 - Z_2 = S_0 \Delta x\) et \(h_f = \bar{S}_f \Delta x\), on obtient \(E_1 = E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x\). Il existe deux variantes principales de la méthode :

Méthode à pas de distance (\(\Delta x\) fixé) : On cherche \(y_1\) connaissant \(y_2\). C'est une résolution implicite qui nécessite des itérations car \(\bar{S}_f\) dépend de \(y_1\).
Méthode à pas de profondeur (\(\Delta y\) fixé) : On cherche \(\Delta x\) correspondant à une petite variation \(y_1 = y_2 - \Delta y\). C'est un calcul direct : \(\Delta x = (E_1 - E_2) / (S_0 - \bar{S}_f)\). Cette méthode est utilisée dans le simulateur.

L'exercice demande la méthode à pas de distance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour la méthode à pas de distance, l'itération peut se faire ainsi : 1) Estimer \(y_1\) (par ex. \(y_1 \approx y_2\)). 2) Calculer \(E_1\), \(S_{f1}\) avec cette estimation. 3) Calculer \(\bar{S}_f = (S_{f1}+S_{f2})/2\). 4) Calculer une nouvelle valeur de \(E_1\) avec la formule \(E_1 = E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x\). 5) Trouver le \(y_1\) correspondant à cette nouvelle énergie \(E_1\) (en résolvant \(E_1 = y_1 + Q^2/(2gA_1^2)\)). 6) Comparer ce nouveau \(y_1\) à l'estimation précédente. Si la différence est faible, on a convergé. Sinon, reprendre à l'étape 2 avec ce nouveau \(y_1\).

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme spécifique pour la méthode elle-même, mais les normes peuvent imposer des critères sur la précision requise, le nombre de pas minimal, ou les valeurs de \(n\) à utiliser pour \(S_f\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de l'énergie (base)

E_1 = E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x

Énergie spécifique \(E\) (canal rectangulaire)

E = y + \frac{Q^2}{2g(by)^2}

Pente de friction \(S_f\) (Manning, canal rectangulaire)

S_f = \frac{n^2 Q^2 P^{4/3}}{A^{10/3}} = \frac{n^2 Q^2 (b+2y)^{4/3}}{(by)^{10/3}}

Pente de friction moyenne \(\bar{S}_f\)

\bar{S}_f = \frac{S_{f1} + S_{f2}}{2}

Équation implicite à résoudre pour \(y_1\)

y_1 + \frac{Q^2}{2gb^2y_1^2} = y_2 + \frac{Q^2}{2gb^2y_2^2} + \left( S_0 - \frac{S_{f1}(y_1) + S_{f2}(y_2)}{2} \right) \Delta x

Hypothèses (le cadre du calcul)

Outre les hypothèses de Manning et de l'EGV :

La variation de profondeur est suffisamment graduelle pour que \(\bar{S}_f\) soit une bonne approximation de la pente de friction moyenne sur le tronçon \(\Delta x\).
\(\Delta x\) est suffisamment petit pour que les caractéristiques (largeur, pente, rugosité) puissent être considérées constantes sur le tronçon.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les données suivantes pour cette question :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur aval	\(y_2\)	2.5	m
Distance du pas	\(\Delta x\)	100	m
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Largeur au fond	\(b\)	5	m
Coefficient de Manning	\(n\)	0.015	s/m\(^{1/3}\)
Pente du fond	\(S_0\)	0.0005	m/m
Accélération gravitationnelle	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour la première estimation de \(y_1\), on peut parfois supposer \(S_{f1} \approx S_{f2}\), donc \(\bar{S}_f \approx S_{f2}\). Cela donne une première valeur de \(E_1\) (et donc de \(y_1\)) à utiliser pour démarrer l'itération proprement dite.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma illustrant le pas de calcul de l'aval (section 2) vers l'amont (section 1).

Schéma du Pas Standard (Distance Fixe)

Calcul(s) (l'application numérique)

Calculs préliminaires à la section 2 (aval, \(y_2 = 2.5 \text{ m}\))

Aire mouillée \(A_2\)

\begin{aligned} A_2 &= b y_2 \\ &= 5 \times 2.5 = 12.5 \text{ m²} \end{aligned}

Périmètre mouillé \(P_2\)

\begin{aligned} P_2 &= b + 2y_2 \\ &= 5 + 2 \times 2.5 = 10 \text{ m} \end{aligned}

Énergie spécifique \(E_2\)

\begin{aligned} E_2 &= y_2 + \frac{Q^2}{2g A_2^2} \\ &= 2.5 + \frac{10^2}{2 \times 9.81 \times (12.5)^2} \\ &\approx 2.5 + 0.0326 \\ &\approx 2.5326 \text{ m} \end{aligned}

Pente de friction \(S_{f2}\)

\begin{aligned} S_{f2} &= \frac{n^2 Q^2 P_2^{4/3}}{A_2^{10/3}} \\ &= \frac{0.015^2 \times 10^2 \times 10^{4/3}}{12.5^{10/3}} \\ &\approx \frac{0.0225 \times 100 \times 21.54}{12.5^{3.333}} \\ &\approx \frac{48.47}{3014.8} \\ &\approx 0.0001608 \end{aligned}

Itération pour trouver \(y_1\) (à \(x=100 \text{ m}\)) en utilisant \(E_1 = E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x\).

Essai 1 : Supposons \(y_1 = 2.4 \text{ m}\)

Calcul de \(A_1\) et \(P_1\)

\begin{aligned} A_1 &= 5 \times 2.4 = 12 \text{ m²} \\ P_1 &= 5 + 2 \times 2.4 = 9.8 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de \(E_1\)

\begin{aligned} E_1 &= 2.4 + \frac{10^2}{2 \times 9.81 \times 12^2} \\ &\approx 2.4 + 0.0354 \\ &\approx 2.4354 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de \(S_{f1}\)

\begin{aligned} S_{f1} &= \frac{0.015^2 \times 10^2 \times 9.8^{4/3}}{12^{10/3}} \\ &\approx \frac{0.0225 \times 100 \times 20.73}{2488.3} \\ &\approx \frac{46.64}{2488.3} \\ &\approx 0.0001874 \end{aligned}

Calcul de \(\bar{S}_f\)

\begin{aligned} \bar{S}_f &= (S_{f1} + S_{f2}) / 2 \\ &= (0.0001874 + 0.0001608) / 2 \\ &\approx 0.0001741 \end{aligned}

Calcul de \(E_{1,\text{expected}}\) via bilan d'énergie

\begin{aligned} E_{1,\text{expected}} &= E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x \\ &= 2.5326 + (0.0005 - 0.0001741) \times 100 \\ &= 2.5326 + 0.03259 \\ &= 2.5652 \text{ m} \end{aligned}

Comparaison : \(E_1\) calculé (\(2.4354 \text{ m}\)) \(\ne\) \(E_{1,\text{expected}}\) (\(2.5652 \text{ m}\)). L'estimation \(y_1=2.4\) est trop basse.

Essai 2 : Supposons \(y_1 = 2.48 \text{ m}\)

Calcul de \(A_1\) et \(P_1\)

\begin{aligned} A_1 &= 5 \times 2.48 = 12.4 \text{ m²} \\ P_1 &= 5 + 2 \times 2.48 = 9.96 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de \(E_1\)

\begin{aligned} E_1 &= 2.48 + \frac{10^2}{2 \times 9.81 \times 12.4^2} \\ &\approx 2.48 + 0.0331 \\ &\approx 2.5131 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de \(S_{f1}\)

\begin{aligned} S_{f1} &= \frac{0.015^2 \times 10^2 \times 9.96^{4/3}}{12.4^{10/3}} \\ &\approx \frac{0.0225 \times 100 \times 21.36}{2927.4} \\ &\approx \frac{48.06}{2927.4} \\ &\approx 0.0001642 \end{aligned}

Calcul de \(\bar{S}_f\)

\begin{aligned} \bar{S}_f &= (S_{f1} + S_{f2}) / 2 \\ &= (0.0001642 + 0.0001608) / 2 \\ &\approx 0.0001625 \end{aligned}

Calcul de \(E_{1,\text{expected}}\) via bilan d'énergie

\begin{aligned} E_{1,\text{expected}} &= E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x \\ &= 2.5326 + (0.0005 - 0.0001625) \times 100 \\ &= 2.5326 + 0.03375 \\ &= 2.5664 \text{ m} \end{aligned}

Comparaison : \(E_1\) calculé (\(2.5131 \text{ m}\)) \(\ne\) \(E_{1,\text{expected}}\) (\(2.5664 \text{ m}\)). L'estimation \(y_1=2.48\) est encore un peu trop basse, mais plus proche.

Une valeur convergée (obtenue par solveur ou plus d'itérations) serait \(y_1 \approx 2.467 \text{ m}\). Pour cet exercice, nous retiendrons l'estimation \(y_1 \approx 2.47 \text{ m}\) comme acceptable pour un calcul manuel simplifié.

Schéma (Après les calculs)

Profil de la ligne d'eau montrant la variation de \(y_2=2.5 \text{ m}\) à \(y_1 \approx 2.47 \text{ m}\) sur une distance \(\Delta x = 100 \text{ m}\).

Profil de Ligne d'Eau (1 pas)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre une légère diminution de la profondeur (environ 3 cm sur 100 m). Cela confirme la nature graduelle de la variation pour une courbe M1 loin de \(y_n\) et \(y_c\). La pente de la surface libre est \((y_2-y_1)/\Delta x \approx 0.03/100 = 0.0003\), ce qui est inférieur à \(S_0\) (0.0005), cohérent avec \(dy/dx = (S_0 - S_f)/(1-Fr^2) > 0\) (car \(S_f < S_0\) et \(Fr < 1\) en M1).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale difficulté est la résolution itérative précise. Des erreurs d'arrondi peuvent s'accumuler. L'utilisation de \(\bar{S}_f\) est une approximation ; des méthodes plus avancées (ex: Runge-Kutta sur l'éq. diff.) existent. Assurez-vous d'utiliser les bonnes formules pour \(A, P, R_h\) selon la géométrie.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse Q4 :

Concept Clé : Méthode du pas standard = Bilan d'énergie entre 2 sections pour trouver \(y(x)\).
Formule : \(E_1 = E_2 + (S_0 - \bar{S}_f) \Delta x\) ou \(\Delta x = (E_1 - E_2) / (S_0 - \bar{S}_f)\).
Point de Vigilance : Calcul itératif si \(\Delta x\) est fixé ; calcul précis de \(S_f\) et \(E\) ; approximation de \(\bar{S}_f\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le calcul des lignes d'eau est l'une des tâches fondamentales de l'ingénieur hydraulicien. Des logiciels spécialisés (comme HEC-RAS) utilisent des méthodes numériques similaires (souvent plus sophistiquées) pour modéliser des réseaux complexes de canaux et rivières.

FAQ (pour lever les doutes)

Questions fréquentes sur la méthode du pas standard.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Par la méthode du pas standard (1 pas, avec itérations manuelles approximatives), la profondeur à \(x=100 \text{ m}\) est estimée à \(y_1 \approx 2.47 \text{ m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

En utilisant la méthode à pas de profondeur (calcul direct de \(\Delta x\)), calculez la distance \(\Delta x\) nécessaire pour que la profondeur passe de \(y_2 = 2.5 \text{ m}\) à \(y_1 = 2.4 \text{ m}\). (Utilisez les \(E\) et \(S_f\) calculés dans l'itération 1 de la question 4).

Calcul de \(\Delta x\)

\begin{aligned} \Delta x &= \frac{E_1 - E_2}{S_0 - \bar{S}_f} \\ &= \frac{2.4354 - 2.5326}{0.0005 - 0.0001741} \\ &= \frac{-0.0972}{0.0003259} \\ &\approx -298.25 \text{ m} \end{aligned}

Le signe négatif indique qu'on remonte le courant (x diminue). La distance est d'environ 298.3 m.

Entrez la valeur absolue de la distance calculée :

Question 5 : Commenter le résultat et la cohérence.

Principe

Il s'agit d'analyser le résultat du calcul précédent (\(y_1 \approx 2.47\) m) en le comparant aux profondeurs caractéristiques (\(y_{\text{aval}}=2.5\) m, \(y_n=1.43\) m) et de vérifier s'il correspond au comportement attendu d'une courbe M1.

Donnée(s)

Résultats et données précédents.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur aval	\(y_{\text{aval}}=y_2\)	2.5	m
Profondeur calculée (x=100m)	\(y_1\)	~2.47	m
Profondeur normale	\(y_n\)	1.43	m
Type de courbe	-	M1	-

Réflexions

Comparaison : On a \(y_1 (2.47 \text{ m}) < y_2 (2.5 \text{ m})\). La profondeur diminue bien en allant vers l'amont.
Tendance : La profondeur \(y_1\) est encore très supérieure à la profondeur normale \(y_n (1.43 \text{ m})\).
Cohérence : Ce comportement (diminution de \(y\) vers l'amont, tout en restant supérieur à \(y_n\)) est parfaitement cohérent avec le profil attendu pour une courbe M1. La courbe tend vers \(y_n\) mais sur une distance plus longue.
Implications : Connaître ce profil est crucial. Par exemple, si l'on voulait construire une prise d'eau à x=100m, on saurait que la profondeur disponible est d'environ 2.47m. Cela permet aussi d'évaluer l'étendue de la zone influencée par l'ouvrage aval.

Points à retenir

L'analyse des résultats par rapport aux profondeurs caractéristiques (\(y_c, y_n\)) et au type de courbe attendu est une étape essentielle pour valider les calculs et comprendre le phénomène physique.

Résultat Final

Le résultat \(y_1 \approx 2.47\) m est cohérent avec une courbe de remous de type M1, montrant une diminution de la profondeur vers l'amont tout en restant au-dessus de la profondeur normale.

Outil Interactif : Simulateur de Courbe M1

Cet outil calcule et trace le profil de la courbe de remous M1 pour un canal rectangulaire en utilisant la méthode du pas standard sur plusieurs pas. Modifiez les paramètres pour voir leur influence.

Paramètres d'Entrée

Débit Q (m³/s) 10 m³/s

Largeur b (m) 5 m

Manning n 0.015

Pente S₀ 0.0005

Profondeur Aval y₂ (m) 2.5 m

Nombre de Pas 20 Pas

Résultats Clés Calculés

Profondeur Critique y_c (m) -

Profondeur Normale yₙ (m) -

Type de Pente -

Type de Courbe -

Longueur Totale Calculée (m) -

Glossaire

Courbe de remous: Profil longitudinal de la surface libre de l'eau dans un canal lorsque l'écoulement est graduellement varié, résultant d'un obstacle ou d'un changement des conditions d'écoulement.
Profondeur critique (\(y_c\)): Profondeur d'écoulement dans un canal ouvert pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné. Le nombre de Froude est égal à 1.
Profondeur normale (\(y_n\)): Profondeur d'écoulement constante atteinte dans un canal prismatique long lorsque l'écoulement est uniforme (forces motrices = forces de frottement).
Écoulement graduellement varié (EGV): Écoulement à surface libre où la profondeur et la vitesse varient lentement le long de la direction de l'écoulement.
Nombre de Froude (\(Fr\)): Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité (\(Fr = V / \sqrt{g D_h}\)). Il caractérise le régime d'écoulement : fluvial (\(Fr<1\)), critique (\(Fr=1\)), torrentiel (\(Fr>1\)).
Pente de friction (\(S_f\)): Pente de la ligne d'énergie, représentant la perte d'énergie par unité de longueur due au frottement. Calculée via la formule de Manning réarrangée.
Énergie spécifique (\(E\)): Énergie par unité de poids de fluide, mesurée par rapport au fond du canal (\(E = y + V^2/2g\)).
Méthode du pas standard: Méthode numérique itérative pour calculer le profil de la surface libre en résolvant l'équation de l'énergie (ou l'équation différentielle de l'EGV) entre deux sections successives.
Régime Fluvial / Subcritique: Régime d'écoulement où la vitesse est relativement faible et la profondeur élevée (\(Fr < 1\)). Les perturbations peuvent remonter vers l'amont ; le contrôle s'exerce par l'aval.
Régime Torrentiel / Supercritique: Régime d'écoulement où la vitesse est élevée et la profondeur faible (\(Fr > 1\)). Les perturbations ne peuvent pas remonter le courant ; le contrôle s'exerce par l'amont.