Analyse d'un Système de Siphon

Comprendre le Siphon

Un siphon est un dispositif ingénieux qui permet de transférer un liquide d'un réservoir à un autre situé à un niveau inférieur, en faisant passer le liquide par un point plus élevé que le niveau du réservoir de départ. Son fonctionnement repose sur la différence de pression hydrostatique et l'équation de Bernoulli. Le calcul du débit dans un siphon est un problème classique d'hydraulique en charge qui nécessite de prendre en compte les pertes d'énergie (pertes de charge) dues à la friction du fluide contre les parois de la conduite (pertes linéaires) et aux singularités du circuit comme les coudes, l'entrée et la sortie (pertes locales).

Données de l'étude

Un siphon en PVC est utilisé pour vidanger un bassin.

Caractéristiques du système :

Différence de niveau entre les deux plans d'eau (\(\Delta z\)) : \(4.0 \, \text{m}\).
Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\).
Longueur totale de la conduite (\(L\)) : \(12 \, \text{m}\).
Hauteur du point le plus haut du siphon au-dessus du plan d'eau amont (\(h_S\)) : \(1.5 \, \text{m}\).
Rugosité de la conduite PVC (\(\epsilon\)) : \(0.015 \, \text{mm}\).
Coefficient de perte de charge à l'entrée (crépine) : \(K_{ent} = 0.8\).
Coefficient de perte de charge pour chaque coude (2 coudes à 90°) : \(K_{coude} = 0.4\).
Coefficient de perte de charge à la sortie : \(K_{sort} = 1.0\).
Pour l'eau à 20°C : masse volumique \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), viscosité cinématique \(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\).

Schéma du Système de Siphon

Questions à traiter

Écrire l'équation de Bernoulli généralisée entre les surfaces libres des deux réservoirs.
Déterminer la vitesse de l'écoulement (\(V\)) dans la conduite (processus itératif).
Calculer le débit volumique (\(Q\)) dans le siphon.
Vérifier s'il y a un risque de cavitation au sommet du siphon.

Correction : Analyse d'un Système de Siphon : Calcul du Débit

Question 1 : Équation de Bernoulli Généralisée

Principe :

On applique le théorème de Bernoulli entre la surface libre du réservoir amont (point A) et celle du réservoir aval (point B). En ces points, les vitesses sont considérées comme nulles (\(V_A \approx V_B \approx 0\)) et les pressions sont égales à la pression atmosphérique (\(P_A = P_B = P_{\text{atm}}\)). L'équation se simplifie et montre que la différence de niveau est le moteur de l'écoulement, équilibrant toutes les pertes de charge.

\frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B + \sum \Delta H

Après simplification, avec \(z_A - z_B = \Delta z\) :

\Delta z = \sum \Delta H = \left( f \frac{L}{D} + \sum K \right) \frac{V^2}{2g}

Question 2 : Calcul de la Vitesse d'Écoulement (\(V\))

Principe :

Le calcul est itératif car le coefficient de perte de charge linéaire \(f\) dépend du nombre de Reynolds \(Re\), qui lui-même dépend de la vitesse \(V\) que l'on cherche. On commence par une estimation de \(f\), on calcule \(V\), puis \(Re\), puis un nouveau \(f\) avec l'équation de Colebrook-White. On répète jusqu'à convergence.

Somme des coefficients de pertes locales : \(\sum K = K_{ent} + 2 \cdot K_{coude} + K_{sort} = 0.8 + 2(0.4) + 1.0 = 2.6\).

Itération 1 :

On suppose \(f_0 = 0.02\). On isole V de l'équation de Bernoulli :

\begin{aligned} V_1 &= \sqrt{\frac{2g \Delta z}{f_0 \frac{L}{D} + \sum K}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \cdot 9.81 \cdot 4}{0.02 \frac{12}{0.05} + 2.6}} \\ &= \sqrt{\frac{78.48}{4.8 + 2.6}} \approx 3.26 \, \text{m/s} \end{aligned}

On calcule le Reynolds et la rugosité relative :

Re_1 = \frac{V_1 D}{\nu} = \frac{3.26 \cdot 0.05}{10^{-6}} = 163000 \quad | \quad \frac{\epsilon}{D} = \frac{0.015}{50} = 0.0003

On calcule \(f_1\) avec Colebrook-White :

\frac{1}{\sqrt{f_1}} = -2 \log\left(\frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re_1\sqrt{f_1}}\right) \Rightarrow f_1 \approx 0.0178

Itération 2 :

On recommence avec \(f_1 = 0.0178\).

\begin{aligned} V_2 &= \sqrt{\frac{78.48}{0.0178 \frac{12}{0.05} + 2.6}} \\ &= \sqrt{\frac{78.48}{4.272 + 2.6}} \approx 3.37 \, \text{m/s} \end{aligned}

Le changement de vitesse est faible. On peut considérer que la vitesse a convergé.

Résultat Question 2 : La vitesse de l'écoulement dans la conduite est d'environ 3.37 m/s.

Question 3 : Calcul du Débit Volumique (\(Q\))

Principe :

Le débit est le produit de la vitesse du fluide par la section de la conduite.

Formule(s) utilisée(s) :

Q = V \cdot A = V \cdot \frac{\pi D^2}{4}

Calcul :

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.05)^2}{4} \approx 0.001963 \, \text{m}^2 \\ Q &= 3.37 \, \text{m/s} \times 0.001963 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.00662 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}

En litres par seconde : \(0.00662 \, \text{m}^3/\text{s} \times 1000 = 6.62 \, \text{L/s}\).

Résultat Question 3 : Le débit dans le siphon est d'environ 6.62 L/s.

Question 4 : Vérification du Risque de Cavitation

Principe :

La cavitation se produit si la pression en un point du circuit descend en dessous de la pression de vapeur saturante du liquide (\(P_v\), environ 2340 Pa pour l'eau à 20°C). Le point le plus critique est le sommet (S) du siphon. On applique Bernoulli entre A et S pour trouver la pression en S.

\frac{P_A}{\rho g} + z_A = \frac{P_S}{\rho g} + \frac{V_S^2}{2g} + z_S + \sum \Delta H_{A \to S}

Calcul :

Pertes de charge de A à S (longueur \(L_{AS}\) estimée à 4m) :

\begin{aligned} \sum \Delta H_{A \to S} &= \left( f \frac{L_{AS}}{D} + K_{ent} + K_{coude} \right) \frac{V^2}{2g} \\ &= \left( 0.0178 \frac{4}{0.05} + 0.8 + 0.4 \right) \frac{3.37^2}{2 \cdot 9.81} \\ &\approx 1.52 \, \text{m} \end{aligned}

On isole la pression en S, avec \(P_A=P_{atm} \approx 101325 \, Pa\) et \(z_S - z_A = h_S\):

\begin{aligned} \frac{P_S}{\rho g} &= \frac{P_{atm}}{\rho g} - h_S - \frac{V^2}{2g} - \sum \Delta H_{A \to S} \\ &= \frac{101325}{9810} - 1.5 - \frac{3.37^2}{19.62} - 1.52 \\ &= 10.33 - 1.5 - 0.58 - 1.52 \\ &= 6.73 \, \text{m de colonne d'eau} \end{aligned}

P_S = 6.73 \times 9810 \approx 66021 \, \text{Pa}

Résultat Question 4 : La pression au sommet est de 66 kPa. C'est bien supérieur à la pression de vapeur (2.3 kPa), donc il n'y a pas de risque de cavitation.

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