Analyse d'un Seuil de Mesure Noyé

Contexte : L'étude du seuil noyéUn seuil où le niveau d'eau aval est suffisamment haut pour influencer le niveau amont et réduire le débit..

Cet exercice porte sur le calcul du débit d'un canal rectangulaire équipé d'un seuil à large crête. Nous analyserons spécifiquement le cas où le niveau d'eau à l'aval est élevé, créant un écoulement "noyé" (ou submergé). Comprendre cette condition est crucial pour mesurer correctement les débits dans les rivières et canaux, car le simple fait de mesurer la hauteur d'eau amont ne suffit plus.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à différencier un écoulement dénoyé d'un écoulement noyé et à appliquer la formule de correction de Villemonte pour calculer le débit réel.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les hauteurs d'eau amont (\(h_{\text{1}}\)) et aval (\(h_{\text{2}}\)) par rapport à la crête du seuil.
Vérifier le critère de dénoyage (ou de noyage) de l'écoulement.
Calculer le débit dénoyé théorique (\(Q_{\text{d}}\)) et le débit noyé corrigé (\(Q_{\text{n}}\)).
Appliquer la formule de Villemonte pour corriger le débit en condition noyée.

Données de l'étude

On étudie un canal rectangulaire de 4,0 m de large, équipé d'un seuil de mesure à large crête d'une hauteur de 0,8 m par rapport au lit du canal.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur / Formule
Formule de débit (dénoyé)	\( Q_{\text{d}} = 1.7 \cdot L \cdot h_{\text{1}}^{1.5} \)
Critère de noyage	\( h_{\text{2}} / h_{\text{1}} > 0.7 \)
Formule (noyé, Villemonte)	\( Q_{\text{n}} = Q_{\text{d}} \left[1 - (\frac{h_{\text{2}}}{h_{\text{1}}})^{1.5}\right]^{0.385} \)

Schéma de l'Écoulement sur Seuil

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur du canal	\(L\)	4.0	m
Hauteur du seuil (/lit)	\(P\)	0.8	m
Niveau amont (/lit)	\(Z_{\text{1}}\)	2.5	m
Niveau aval (/lit)	\(Z_{\text{2}}\)	2.0	m

Questions à traiter

Calculer la hauteur d'eau amont (\(h_{\text{1}}\)) et la hauteur d'eau aval (\(h_{\text{2}}\)) par rapport à la crête du seuil.
En utilisant le critère \( h_{\text{2}} / h_{\text{1}} > 0.7 \), déterminer si l'écoulement est dénoyé ou noyé.
Calculer le débit d'écoulement dénoyé théorique (\(Q_{\text{d}}\)) en utilisant la formule \(Q_{\text{d}} = 1.7 \cdot L \cdot h_{\text{1}}^{1.5}\).
Calculer le coefficient de correction de noyage (\(C_{\text{n}}\)) avec la formule de Villemonte: \(C_{\text{n}} = \left[1 - (\frac{h_{\text{2}}}{h_{\text{1}}})^{1.5}\right]^{0.385}\).
En déduire le débit réel noyé (\(Q_{\text{n}}\)) en appliquant la correction (\(Q_{\text{n}} = Q_{\text{d}} \times C_{\text{n}}\)).

Principes de l'Écoulement sur Seuil

Un seuil est un ouvrage placé en travers d'un canal ou d'une rivière pour élever le niveau de l'eau en amont ou pour mesurer le débit. Le calcul du débit dépend crucialement de la relation entre le niveau amont et le niveau aval.

1. Écoulement Dénoyé (Libre)
L'écoulement est 'dénoyé' lorsque le niveau aval est suffisamment bas pour ne pas influencer l'amont (il y a une "chute" visible). Le débit ne dépend que de la hauteur amont \(h_{\text{1}}\) (charge au-dessus de la crête). \[ Q_{\text{d}} = K \cdot L \cdot h_{\text{1}}^n \] (Pour notre exercice, \(K=1.7\) et \(n=1.5\))

2. Écoulement Noyé (Submergé)
L'écoulement est 'noyé' lorsque le niveau aval \(h_{\text{2}}\) "remonte" sur le seuil et freine l'écoulement. Le débit diminue et dépend à la fois de \(h_{\text{1}}\) et \(h_{\text{2}}\). On doit appliquer un coefficient de correction \(C_{\text{n}}\) au débit dénoyé. \[ Q_{\text{n}} = Q_{\text{d}} \times C_{\text{n}} \]

Correction : Analyse d’un Seuil de Mesure Noyé

Question 1 : Calculer la hauteur d'eau amont (\(h_{\text{1}}\)) et la hauteur d'eau aval (\(h_{\text{2}}\)) par rapport à la crête du seuil.

Principe

Les formules de débit pour les seuils (comme \(Q_{\text{d}} = 1.7 L h_{\text{1}}^{1.5}\)) sont basées sur la "charge" ou hauteur d'eau *au-dessus de la crête*, car c'est cette hauteur qui génère l'écoulement. Les niveaux \(Z_{\text{1}}\) et \(Z_{\text{2}}\) (mesurés par rapport au lit) ne sont pas directement utilisables. Cette étape consiste donc à "changer de référence" : passer de la référence "lit" à la référence "crête du seuil".

Mini-Cours

En hydraulique à surface libre, \(Z\) représente une élévation (une "cote") par rapport à une référence arbitraire (ici, le lit du canal à Z=0). La hauteur d'eau, ou "charge", \(h\) au-dessus d'un obstacle est la différence entre l'élévation de la surface libre et l'élévation de l'obstacle. C'est cette différence de niveau (\(h_{\text{1}}\)) qui contient l'énergie potentielle convertie en énergie cinétique pour l'écoulement.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante. Une erreur ici faussera tous les calculs suivants. Pensez à \(h_{\text{1}}\) et \(h_{\text{2}}\) comme "la hauteur d'eau que 'voit' le seuil".

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme mais d'une convention de calcul fondamentale en hydraulique des seuils.

Formule(s)

Les formules sont basées sur une simple soustraction géométrique.

Hauteur amont (charge amont)

h_{\text{1}} = Z_{\text{1}} - P

Hauteur aval (charge aval)

h_{\text{2}} = Z_{\text{2}} - P

Hypothèses

Nous supposons que le lit du canal est horizontal et sert de référence (Z=0).

Le niveau \(Z_{\text{1}}\) est mesuré sufficiently en amont pour ne pas être affecté par la courbure de la ligne d'eau.
Le niveau \(Z_{\text{2}}\) est mesuré sufficiently en aval pour représenter le niveau de restitution.

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs directement de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Niveau amont (/lit)	\(Z_{\text{1}}\)	2.5	m	Énoncé
Niveau aval (/lit)	\(Z_{\text{2}}\)	2.0	m	Énoncé
Hauteur du seuil (/lit)	\(P\)	0.8	m	Énoncé

Astuces

Faites toujours un schéma rapide pour visualiser \(Z_{\text{1}}\), \(Z_{\text{2}}\) et \(P\). L'erreur classique est de se tromper dans les soustractions.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre clairement les cotes \(Z_{\text{1}}\), \(Z_{\text{2}}\), \(P\) et les hauteurs \(h_{\text{1}}\), \(h_{\text{2}}\) recherchées. \(h_{\text{1}}\) est la différence entre \(Z_{\text{1}}\) et \(P\). \(h_{\text{2}}\) est la différence entre \(Z_{\text{2}}\) et \(P\).

Visualisation des hauteurs h₁ et h₂

Calcul(s)

Nous appliquons les formules avec les données numériques.

Étape 1 : Calcul de h₁

On prend le niveau amont \(Z_{\text{1}}\) et on soustrait la hauteur du seuil \(P\).

\begin{aligned} h_{\text{1}} &= Z_{\text{1}} - P \\ &= 2.5 \text{ m} - 0.8 \text{ m} \\ &= 1.7 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de h₂

On prend le niveau aval \(Z_{\text{2}}\) et on soustrait la hauteur du seuil \(P\).

\begin{aligned} h_{\text{2}} &= Z_{\text{2}} - P \\ &= 2.0 \text{ m} - 0.8 \text{ m} \\ &= 1.2 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Aucun nouveau schéma n'est nécessaire, les valeurs sont simplement ajoutées au schéma mental.

Réflexions

Nous avons trouvé \(h_{\text{1}} = 1.7 \text{ m}\) et \(h_{\text{2}} = 1.2 \text{ m}\). Le fait que les deux valeurs soient positives confirme que la surface de l'eau est bien au-dessus de la crête du seuil, à la fois en amont et en aval. Si \(h_{\text{2}}\) avait été négatif, cela aurait signifié que le niveau aval était *sous* la crête (cas évident d'écoulement dénoyé).

Points de vigilance

Ne jamais utiliser \(Z_{\text{1}}\) (2.5 m) ou \(Z_{\text{2}}\) (2.0 m) directement dans les formules de débit ! C'est la hauteur *au-dessus de la crête* (\(h_{\text{1}}\) et \(h_{\text{2}}\)) qui compte.

Points à retenir

La charge amont est \(h_{\text{1}} = Z_{\text{1}} - P\).
La charge aval est \(h_{\text{2}} = Z_{\text{2}} - P\).

Le saviez-vous ?

La position exacte de la mesure de \(Z_{\text{1}}\) est importante. Les normes (comme la norme ISO) spécifient qu'elle doit être prise à une distance d'au moins 3 à 4 fois la charge maximale \(h_{\text{1}}\) en amont du seuil, pour être hors de la zone de dépression.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La hauteur d'eau amont par rapport à la crête est \(h_{\text{1}} = 1.7 \text{ m}\).
La hauteur d'eau aval par rapport à la crête est \(h_{\text{2}} = 1.2 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si \(Z_{\text{1}} = 3.0 \text{ m}\) et \(P = 1.2 \text{ m}\), que vaut \(h_{\text{1}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Calcul des charges hydrauliques.
Formule Essentielle : \(h = Z - P\).
Résultats : \(h_{\text{1}} = 1.7 \text{ m}\), \(h_{\text{2}} = 1.2 \text{ m}\).

Question 2 : En utilisant le critère \( h_{\text{2}} / h_{\text{1}} > 0.7 \), déterminer si l'écoulement est dénoyé ou noyé.

Principe

Pour savoir si le niveau aval influence le débit, on compare le ratio de la hauteur aval sur la hauteur amont (\(h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\)) à un seuil critique. Si le niveau aval est "haut" (ratio élevé), il exerce une "contre-pression" qui freine l'écoulement : c'est le régime noyé. Si le niveau aval est "bas" (ratio faible), l'eau "chute" librement et l'aval n'a pas d'influence : c'est le régime dénoyé.

Mini-Cours

Le "taux de noyage" (ou "submergence") est le rapport \( S = h_{\text{2}} / h_{\text{1}} \). La transition théorique se produit à \( S = 2/3 \approx 0.667 \), ce qui correspond au moment où la hauteur \(h_{\text{2}}\) devient supérieure à la hauteur critique (\(y_{\text{c}}\)) sur le seuil. En pratique, pour garder une marge de sécurité et garantir la fiabilité de la mesure dénoyée, on utilise un critère plus conservateur, comme \(0.7\) (imposé ici) ou parfois \(0.8\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est une simple comparaison, mais elle est fondamentale car elle est le "aiguillage" qui détermine quelle formule de débit utiliser ensuite. Si l'écoulement est dénoyé, on s'arrête à \(Q_{\text{d}}\). S'il est noyé, on doit continuer pour calculer la correction \(C_{\text{n}}\).

Normes

Le critère de \(0.7\) (ou \(70\%\)) est une valeur d'ingénierie couramment utilisée pour les seuils à large crête. L'énoncé nous fixe cette valeur. Sans cette information, on utiliserait la valeur théorique (\(2/3\)) ou une valeur issue d'une norme (ex: ISO 4359).

Formule(s)

Calcul du ratio de noyage

S = \frac{h_{\text{2}}}{h_{\text{1}}}

Critère de diagnostic

\text{Si } S \le 0.7 \Rightarrow \text{Écoulement DÉNOYÉ}

Hypothèses

On suppose que le critère de \(0.7\) est valide et suffisamment précis pour ce type de seuil.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Hauteur amont	\(h_{\text{1}}\)	1.7	m	Résultat Q1
Hauteur aval	\(h_{\text{2}}\)	1.2	m	Résultat Q1
Critère de noyage	\(S_{\text{critique}}\)	0.7	-	Énoncé

Astuces

Attention à ne pas inverser le ratio ! C'est toujours \(h_{\text{2}}\) (aval) divisé par \(h_{\text{1}}\) (amont). Le résultat doit être inférieur ou égal à 1 (sauf cas très particuliers comme une marée).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien que \(h_{\text{2}}\) est "haut" par rapport à \(h_{\text{1}}\). Visuellement, on s'attend à un écoulement noyé, car il n'y a pas de "chute" nette après le seuil. La surface de l'eau à l'aval est au-dessus de la crête.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du ratio S

On divise la hauteur aval \(h_{\text{2}}\) (calculée à Q1) par la hauteur amont \(h_{\text{1}}\) (calculée à Q1).

\begin{aligned} S &= \frac{h_{\text{2}}}{h_{\text{1}}} \\ &= \frac{1.2 \text{ m}}{1.7 \text{ m}} \\ &\approx 0.70588... \end{aligned}

Étape 2 : Comparaison au critère

On compare le résultat (0.70588) au critère donné (0.7).

\[ 0.70588 > 0.7 \]

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre notre résultat. L'aiguille est juste au-dessus du critère 0.7, dans la zone "Noyé".

Diagnostic du Régime d'Écoulement

Réflexions

Le ratio calculé (\(0.7059\)) est très légèrement supérieur au critère (\(0.7\)). Notre diagnostic, basé sur le calcul, est donc "Écoulement Noyé". Cela confirme l'intuition visuelle du schéma. L'influence de l'aval est présente, et nous *devons* la prendre en compte, même si le dépassement est faible.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser le ratio (\(h_{\text{1}} / h_{\text{2}}\)), ce qui donnerait \(1.7 / 1.2 = 1.41\). Ce chiffre, étant supérieur à 0.7, mènerait à la même conclusion (noyé), mais le calcul serait fondamentalement faux et inutilisable pour les étapes suivantes (la formule de Villemonte nécessite \(S \le 1\)).

Points à retenir

Le taux de noyage est \(S = h_{\text{2}} / h_{\text{1}}\).
Le régime est noyé si \(S > S_{\text{critique}}\).

Le saviez-vous ?

La valeur critique théorique pour un seuil à large crête est de \(2/3\) (\(\approx 0.667\)). Elle correspond au moment où la hauteur aval \(h_{\text{2}}\) atteint la hauteur critique \(y_{\text{c}}\) sur le seuil. En pratique, on prend une marge de sécurité (ex: \(0.7\)) car la mesure de débit devient imprécise près de la transition.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le ratio de noyage est \(S \approx 0.706\). Comme \(0.706 > 0.7\), l'écoulement est noyé.

A vous de jouer

Si \(h_{\text{1}} = 2.0 \text{ m}\) et \(h_{\text{2}} = 1.2 \text{ m}\), l'écoulement est-il noyé (selon le critère de 0.7) ? (Répondez 1 pour Noyé, 0 pour Dénoyé)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Diagnostic du régime d'écoulement.
Formule Essentielle : \(S = h_{\text{2}} / h_{\text{1}}\).
Résultat : \(S \approx 0.706 > 0.7 \Rightarrow\) Écoulement Noyé.

Question 3 : Calculer le débit d'écoulement dénoyé théorique (\(Q_{\text{d}}\)) en utilisant la formule \(Q_{\text{d}} = 1.7 \cdot L \cdot h_{\text{1}}^{1.5}\).

Principe

Avant de calculer le débit *réel* noyé, nous devons d'abord calculer le débit *théorique* que l'on aurait si l'écoulement était dénoyé (c'est-à-dire, si \(h_{\text{2}}\) était très bas). Ce débit dénoyé, \(Q_{\text{d}}\), est le débit maximum que le seuil peut évacuer pour cette hauteur amont \(h_{\text{1}}\). Il sert de valeur de référence pour la suite.

Mini-Cours

La formule \(Q = K L h^n\) est une loi "puissance" typique en hydraulique, où \(K\) est un coefficient de débit et \(n\) un exposant (ici 1.5, typique de la relation charge-vitesse). \(Q_{\text{d}}\) est le débit maximum que le seuil peut évacuer pour une hauteur amont \(h_{\text{1}}\) donnée. Tout noyage ne peut que *réduire* ce débit.

Remarque Pédagogique

Notez bien que cette formule n'utilise *que* la hauteur amont \(h_{\text{1}}\). C'est le débit "potentiel" du seuil. Même si on sait que l'écoulement est noyé (d'après Q2), on doit *quand même* calculer cette valeur de base pour la corriger ensuite.

Normes

La formule \(Q_{\text{d}} = 1.7 L h_{\text{1}}^{1.5}\) est une formule empirique de type Bazin (simplifiée) pour un seuil rectangulaire à large crête, avec des unités en S.I. (m, s). Le coefficient \(1.7\) inclut l'accélération de la gravité \(g\).

Formule(s)

Formule de débit dénoyé (donnée)

Q_{\text{d}} = 1.7 \cdot L \cdot h_{\text{1}}^{1.5}

Hypothèses

On suppose que le coefficient \(K=1.7\) et l'exposant \(n=1.5\) (donnés dans l'énoncé) sont corrects pour la géométrie de notre seuil.

Donnée(s)

Nous utilisons \(h_{\text{1}}\) de Q1 et \(L\) de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Largeur du canal	\(L\)	4.0	m	Énoncé
Hauteur amont	\(h_{\text{1}}\)	1.7	m	Résultat Q1
Coefficient de débit	\(K\)	1.7	-	Énoncé

Astuces

Rappel de calcul : \(h_{\text{1}}^{1.5} = h_{\text{1}} \times \sqrt{h_{\text{1}}}\). Assurez-vous d'utiliser la bonne touche sur votre calculatrice (souvent \(x^y\) ou \(\^ \)).

Schéma (Avant les calculs)

On imagine un écoulement libre (dénoyé) avec une hauteur amont \(h_{\text{1}} = 1.7 \text{ m}\). On calcule le débit qui passerait dans cette situation hypothétique.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(h_{\text{1}}^{1.5}\)

On isole le terme \(h_{\text{1}}^{1.5}\) de la formule. On prend la valeur de \(h_{\text{1}}\) (1.7) et on l'élève à la puissance 1.5.

\begin{aligned} h_{\text{1}}^{1.5} &= (1.7)^{1.5} \\ &= 1.7 \times \sqrt{1.7} \\ &\approx 1.7 \times 1.3038 \\ &\approx 2.2165 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(Q_{\text{d}}\)

On applique la formule complète en remplaçant le coefficient \(K\) (1.7), \(L\) (4.0) et \(h_{\text{1}}^{1.5}\) (résultat de l'étape 1).

\begin{aligned} Q_{\text{d}} &= 1.7 \cdot L \cdot h_{\text{1}}^{1.5} \\ &= 1.7 \times 4.0 \times (2.2165) \\ &= (6.8) \times 2.2165 \\ &\approx 15.072 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre le concept de \(Q_{\text{d}}\) : un écoulement dénoyé "idéal" où l'aval est bas et n'a aucune influence.

Visualisation du Débit Dénoyé Théorique (Qd)

Réflexions

Le débit dénoyé théorique est d'environ 15.07 m³/s. C'est le débit *maximum* possible pour \(h_{\text{1}} = 1.7 \text{ m}\). Puisque notre écoulement est noyé (résultat de Q2), nous savons que le débit réel sera *inférieur* à cette valeur.

Points de vigilance

Ne soyez pas tenté d'utiliser \(h_{\text{2}}\) ou une moyenne de \(h_{\text{1}}\) et \(h_{\text{2}}\) dans cette formule. \(Q_{\text{d}}\) ne dépend *que* de \(h_{\text{1}}\).

Points à retenir

Le débit dénoyé \(Q_{\text{d}}\) est le débit de référence (ou potentiel).
Il se calcule uniquement avec la charge amont \(h_{\text{1}}\).

Le saviez-vous ?

Les formules de débit de seuil, comme celle de Bazin ou de l'US Bureau of Reclamation (USBR), sont le résultat de centaines d'essais en laboratoire (modèles réduits) pour déterminer les coefficients \(K\) et \(n\) de manière empirique.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le débit dénoyé théorique est \(Q_{\text{d}} \approx 15.07 \text{ m}^3/\text{s}\).

A vous de jouer

Avec \(L=4.0\) m, si \(h_{\text{1}} = 2.0 \text{ m}\), que vaut \(Q_{\text{d}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Calcul du débit de référence (dénoyé).
Formule Essentielle : \(Q_{\text{d}} = 1.7 \cdot L \cdot h_{\text{1}}^{1.5}\).
Résultat : \(Q_{\text{d}} \approx 15.07 \text{ m}^3/\text{s}\).

Question 4 : Calculer le coefficient de correction de noyage (\(C_{\text{n}}\)) avec la formule de Villemonte.

Principe

Maintenant que nous savons que l'écoulement est noyé, nous devons quantifier *à quel point* il est noyé. Le coefficient \(C_{\text{n}}\) est un "facteur de réduction" (un nombre entre 0 et 1) qui va nous dire quel pourcentage du débit théorique (\(Q_{\text{d}}\)) passe réellement. Si \(C_{\text{n}}=1\), l'écoulement est dénoyé. Si \(C_{\text{n}}=0\), le débit est nul.

Mini-Cours

La formule de Villemonte (1947) est une formule empirique très utilisée pour corriger le débit noyé. Elle a la forme \( C_{\text{n}} = \left[1 - (S)^{n}\right]^{m} \).

\(S\) est le ratio \(h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\).
\(n\) est l'exposant de la loi de débit dénoyé (ici, 1.5).
\(m\) est un exposant de correction (ici, 0.385).

Si \(S=0\) (dénoyé), \(C_{\text{n}} = [1-0]^{0.385} = 1\). Si \(S=1\) (pas d'écoulement), \(C_{\text{n}} = [1-1]^{0.385} = 0\).

Remarque Pédagogique

Ce calcul quantifie l'effet du noyage. Si \(C_{\text{n}} = 0.95\), le noyage réduit le débit de 5%. Si \(C_{\text{n}} = 0.5\), il le réduit de 50%. Notre ratio \(S\) étant proche de la limite (0.706), on peut s'attendre à une correction notable, mais pas extrême.

Normes

Ceci est une formule empirique standard, pas une norme au sens strict. Les exposants peuvent varier légèrement selon les auteurs et la forme du seuil.

Formule(s)

Formule de Villemonte (donnée)

C_{\text{n}} = \left[1 - \left(\frac{h_{\text{2}}}{h_{\text{1}}}\right)^{1.5}\right]^{0.385}

Ratio S (de Q2)

S = \frac{h_{\text{2}}}{h_{\text{1}}} \approx 0.7059

Hypothèses

On suppose que les exposants 1.5 (pour la loi de débit) et 0.385 (pour la correction de Villemonte) sont corrects.

Donnée(s)

Nous n'avons besoin que du ratio \(S\) calculé à la Question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Ratio de noyage	\(S = h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\)	~0.7059	-	Résultat Q2
Exposant débit	\(n\)	1.5	-	Énoncé
Exposant correction	\(m\)	0.385	-	Énoncé

Astuces

C'est un calcul à étapes : 1. Calculer le ratio \(S = h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\). 2. Élever ce ratio à la puissance 1.5 (\(S^{1.5}\)). 3. Soustraire le résultat de 1 (\(1 - S^{1.5}\)). 4. Élever ce résultat à la puissance 0.385.

Schéma (Avant les calculs)

Ce graphique montre la relation \(C_{\text{n}}\) en fonction de \(S\) (selon Villemonte). On voit que \(C_{\text{n}}\) vaut 1 (pas de correction) jusqu'à \(S=0.7\), puis chute rapidement. Nous allons calculer notre position sur cette courbe.

Courbe de Correction de Villemonte (Cn)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du terme \( (h_{\text{2}}/h_{\text{1}})^{1.5} \)

On prend le ratio \(S = h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\) (calculé à Q2, \(\approx 0.70588\)) et on l'élève à la puissance 1.5 (l'exposant de la loi de débit).

\begin{aligned} S^{1.5} &= \left(\frac{h_{\text{2}}}{h_{\text{1}}}\right)^{1.5} = (0.70588)^{1.5} \\ &\approx 0.5934 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du terme \([1 - ...]\)

On soustrait le résultat de l'étape 1 de la valeur 1, comme indiqué à l'intérieur des crochets de la formule.

\begin{aligned} 1 - S^{1.5} &= 1 - 0.5934 \\ &= 0.4066 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de \(C_{\text{n}}\)

On prend le résultat de l'étape 2 (0.4066) et on l'élève à la puissance 0.385 (l'exposant de Villemonte).

\begin{aligned} C_{\text{n}} &= (1 - S^{1.5})^{0.385} = (0.4066)^{0.385} \\ &\approx 0.7078 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma avant calcul montre déjà la relation et notre point de calcul (\(S \approx 0.706\), \(C_{\text{n}} \approx 0.708\)), confirmant que nous sommes dans la zone de correction.

Réflexions

Le coefficient de correction est \(C_{\text{n}} \approx 0.708\), soit \(70.8\%\). Cela signifie que le débit réel ne sera que \(70.8\%\) du débit dénoyé théorique. L'influence de l'aval est donc très significative. La réduction de débit est de \(1 - 0.708 = 0.292\), soit \(29.2\%\). Mon intuition à Q2 (impact faible) était fausse : un "léger" dépassement du critère peut avoir un fort impact.

Points de vigilance

Attention à l'ordre des opérations (parenthèses, exposants). Une erreur fréquente est de calculer \((1 - S)^{1.5}\) au lieu de \((1 - S^{1.5})\).

Points à retenir

La formule de Villemonte permet de quantifier la réduction de débit due au noyage.
\(C_{\text{n}}\) est toujours compris entre 0 et 1 (pour \(S \ge 0\)).

Le saviez-vous ?

Pourquoi 0.385 ? Cet exposant étrange est le résultat d'un "calage" statistique (régression) sur de nombreuses données expérimentales. Il est parfois arrondi à 0.4 ou 0.5 pour d'autres types d'ouvrages, mais 0.385 est la valeur classique pour les seuils.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le coefficient de correction de noyage est \(C_{\text{n}} \approx 0.708\).

A vous de jouer

Si le ratio \(S = h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\) était de 0.8, que vaudrait \(C_{\text{n}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Quantification de l'effet de noyage.
Formule Essentielle : \(C_{\text{n}} = [1 - (h_{\text{2}}/h_{\text{1}})^{1.5}]^{0.385}\).
Résultat : \(C_{\text{n}} \approx 0.708\).

Question 5 : En déduire le débit réel noyé (\(Q_{\text{n}}\)) en appliquant la correction (\(Q_{\text{n}} = Q_{\text{d}} \times C_{\text{n}}\)).

Principe

C'est l'étape finale et la plus simple. Nous avons le débit dénoyé "potentiel" (\(Q_{\text{d}}\)) et le "facteur de réduction" (\(C_{\text{n}}\)) qui quantifie l'effet de freinage de l'aval. Il suffit de les multiplier pour obtenir le débit réel noyé (\(Q_{\text{n}}\)).

Mini-Cours

Le débit noyé \(Q_{\text{n}}\) est le débit final, corrigé, qui s'écoule réellement dans le canal. C'est la valeur que l'on cherche à mesurer. Cette approche "Débit de base × Correction" est très fréquente en ingénierie, que ce soit en hydraulique, en thermique ou en RDM.

Remarque Pédagogique

Comparez ce résultat final \(Q_{\text{n}}\) avec le \(Q_{\text{d}}\) de la question 3. Cela vous donnera une mesure concrète de l'impact du noyage. La différence \(Q_{\text{d}} - Q_{\text{n}}\) est le "débit perdu" à cause du niveau d'eau aval élevé.

Normes

Cette étape est l'application finale des formules de l'exercice.

Formule(s)

Formule du débit noyé

Q_{\text{n}} = Q_{\text{d}} \times C_{\text{n}}

Hypothèses

On suppose que la formule de Villemonte est la seule correction à appliquer (on néglige les effets de la vitesse d'approche, de la contraction, etc.).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des Questions 3 et 4.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Débit dénoyé théorique	\(Q_{\text{d}}\)	~15.072	m³/s	Résultat Q3
Coefficient de correction	\(C_{\text{n}}\)	~0.7078	-	Résultat Q4

Astuces

Gardez les valeurs les plus précises de \(Q_{\text{d}}\) et \(C_{\text{n}}\) en mémoire de votre calculatrice pour ce calcul final, afin d'éviter les erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(Q_{\text{n}}\)

On multiplie le débit dénoyé théorique \(Q_{\text{d}}\) (calculé à Q3) par le coefficient de correction \(C_{\text{n}}\) (calculé à Q4).

\begin{aligned} Q_{\text{n}} &= Q_{\text{d}} \times C_{\text{n}} \\ &= 15.072 \text{ m}^3/\text{s} \times 0.7078 \\ &\approx 10.668 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma final montre la situation réelle de l'écoulement noyé avec le débit corrigé.

Schéma de Synthèse avec Débit Réel (Qn)

Réflexions

Le débit réel dans le canal est d'environ 10.67 m³/s. Si nous n'avions pas pris en compte le noyage (en supposant à tort que \(Q = Q_{\text{d}}\)), nous aurions mesuré 15.07 m³/s. L'erreur aurait été de \(15.07 - 10.67 = 4.4\) m³/s. En pourcentage, l'erreur est de \((4.4 / 10.67) \times 100 \approx 41.2\%\). Cela montre l'importance capitale de vérifier le noyage : l'ignorer aurait conduit à une surestimation massive de 41% du débit.

Points de vigilance

Le résultat final \(Q_{\text{n}}\) doit *toujours* être inférieur (ou égal, si dénoyé) à \(Q_{\text{d}}\). Si vous trouvez \(Q_{\text{n}} > Q_{\text{d}}\), vous avez fait une erreur (probablement dans le calcul de \(C_{\text{n}}\)).

Points à retenir

Le débit réel noyé est le débit dénoyé multiplié par le coefficient de correction.
L'oubli de la correction de noyage entraîne une forte surestimation du débit.

Le saviez-vous ?

Dans les stations de mesure de rivières, les capteurs mesurent en continu \(Z_1\) et \(Z_2\). L'ordinateur de la station effectue ces calculs en temps réel (vérification du régime, application de la bonne formule) pour fournir un débit fiable.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le débit réel (noyé) s'écoulant dans le canal est \(Q_{\text{n}} \approx 10.67 \text{ m}^3/\text{s}\).

A vous de jouer

Si \(Q_{\text{d}} = 19.23 \text{ m}^3/\text{s}\) et \(C_{\text{n}} = 0.598\), que vaut \(Q_{\text{n}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Calcul du débit réel corrigé.
Formule Essentielle : \(Q_{\text{n}} = Q_{\text{d}} \times C_{\text{n}}\).
Résultat : \(Q_{\text{n}} \approx 10.67 \text{ m}^3/\text{s}\).

Outil Interactif : Simulateur de Seuil Noyé

Utilisez cet outil pour voir comment le débit change en fonction de la hauteur amont (\(h_{\text{1}}\)) et du ratio de noyage (\(h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\)). La largeur \(L\) est fixée à 4.0 m et le critère de noyage à 0.7.

Paramètres d'Entrée

Hauteur Amont \(h_{\text{1}}\) (m) 1.7 m

Ratio de Noyage (\(h_{\text{2}}/h_{\text{1}}\)) 0.70

Résultats Clés

Débit Dénoyé (Qd) (m³/s) -

Correction (Cn) -

Débit Réel (Qn) (m³/s) -

Glossaire

Seuil (Hydraulique): Ouvrage construit en travers d'un cours d'eau pour en élever le niveau ou mesurer le débit. Peut être à paroi mince ou, comme ici, à crête large.
Écoulement Dénoyé (ou Libre): Régime d'écoulement sur un seuil où le niveau aval est suffisamment bas pour ne pas influencer le niveau amont. Le débit est maximal pour la hauteur amont donnée.
Écoulement Noyé (ou Submergé): Régime d'écoulement où le niveau aval est suffisamment haut pour "freiner" l'écoulement sur le seuil, ce qui réduit le débit par rapport à un écoulement dénoyé.
Charge hydraulique (\(h\)): Hauteur d'eau au-dessus d'une référence, typiquement la crête du seuil (\(h_{\text{1}}\), \(h_{\text{2}}\)). À ne pas confondre avec la profondeur d'eau \(Z\) par rapport au lit.
Coefficient de débit (\(K\) ou \(C_d\)): Coefficient empirique qui regroupe les effets de la géométrie, de la viscosité et de la gravité pour lier la hauteur d'eau au débit.