ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse d’un Ressaut Hydraulique

Analyse d'un Ressaut Hydraulique : Calcul de la Hauteur Conjuguée

Analyse d'un Ressaut Hydraulique : Calcul de la Hauteur Conjuguée

Comprendre le Ressaut Hydraulique

Le ressaut hydraulique est un phénomène fascinant et important en hydraulique à surface libre. Il se manifeste par une transition brusque et turbulente d'un écoulement supercritique (rapide, peu profond) à un écoulement subcritique (lent, profond). Ce "saut" de la hauteur d'eau est accompagné d'une forte dissipation d'énergie, ce qui en fait un outil très utile pour les ingénieurs. On conçoit des structures (appelées bassins de dissipation) au pied des barrages ou des déversoirs pour provoquer un ressaut hydraulique et ainsi protéger le lit de la rivière en aval contre l'érosion. L'analyse du ressaut permet de calculer la hauteur d'eau en aval (appelée hauteur conjuguée) en fonction des conditions en amont.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule à grande vitesse à la sortie d'une vanne dans un canal rectangulaire et forme un ressaut hydraulique.

Conditions de l'écoulement en amont du ressaut (Section 1) :

  • Hauteur d'eau amont (\(y_1\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
  • Vitesse de l'écoulement amont (\(v_1\)) : \(8.0 \, \text{m/s}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
Schéma : Ressaut Hydraulique dans un Canal
y1 y2 v1 v2

Transition brutale d'un écoulement supercritique (gauche) à subcritique (droite).

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre de Froude de l'écoulement en amont (\(Fr_1\)) pour confirmer que le régime est supercritique.
  2. En utilisant la formule de Bélanger, calculer la hauteur conjuguée (\(y_2\)) en aval du ressaut.
  3. (Bonus) Calculer la perte d'énergie (\(\Delta E\)) à travers le ressaut hydraulique.

Correction : Analyse d'un Ressaut Hydraulique

Question 1 : Calcul du Nombre de Froude Amont (\(Fr_1\))

Principe :

Le nombre de Froude compare les forces d'inertie (vitesse) aux forces de gravité. Un ressaut ne peut se former que si l'écoulement amont est supercritique, c'est-à-dire si son nombre de Froude est supérieur à 1.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Fr_1 = \frac{v_1}{\sqrt{g y_1}} \]

Pour un canal rectangulaire, la profondeur hydraulique \(D_h\) est égale à la hauteur d'eau \(y\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} Fr_1 &= \frac{8.0 \, \text{m/s}}{\sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.5 \, \text{m}}} \\ &= \frac{8.0}{\sqrt{4.905}} \\ &= \frac{8.0}{2.215} \approx 3.61 \end{aligned} \]

Puisque \(Fr_1 > 1\), l'écoulement amont est bien supercritique et un ressaut hydraulique peut se former.

Résultat Question 1 : Le nombre de Froude en amont est \(Fr_1 \approx 3.61\).

Question 2 : Calcul de la Hauteur Conjuguée (\(y_2\))

Principe :

La relation entre la hauteur amont (\(y_1\)) et la hauteur aval (\(y_2\)) d'un ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire est donnée par l'équation de Bélanger. Cette équation est dérivée de l'application du théorème de la quantité de mouvement à travers le ressaut.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_2 &= \frac{y_1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot (3.61)^2} - 1 \right) \\ &= \frac{0.5}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot 13.03} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{1 + 104.24} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{105.24} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( 10.26 - 1 \right) \\ &= 0.25 \times 9.26 \approx 2.315 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La hauteur conjuguée en aval du ressaut est \(y_2 \approx 2.32 \, \text{m}\).

Question 3 (Bonus) : Calcul de la Perte d'Énergie (\(\Delta E\))

Principe :

Le ressaut hydraulique est un phénomène très dissipatif. La perte d'énergie spécifique (\(\Delta E\)) est la différence entre l'énergie spécifique en amont (\(E_1\)) et en aval (\(E_2\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Énergie spécifique : \(E = y + \frac{v^2}{2g}\). Perte d'énergie : \(\Delta E = E_1 - E_2\).

\[ \Delta E = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta E &= \frac{(2.315 - 0.5)^3}{4 \times 0.5 \times 2.315} \\ &= \frac{(1.815)^3}{4.63} \\ &= \frac{5.98}{4.63} \approx 1.29 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le ressaut dissipe une énergie équivalente à 1.29 m de hauteur d'eau, ce qui est considérable.

Résultat Question 3 : La perte d'énergie à travers le ressaut est d'environ \(1.29 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La principale caractéristique d'un ressaut hydraulique est :

2. Les deux hauteurs de part et d'autre d'un ressaut sont appelées :

3. Si le nombre de Froude amont (\(Fr_1\)) est très élevé, la hauteur aval (\(y_2\)) est :

Glossaire

Ressaut Hydraulique
Phénomène localisé et stationnaire où un écoulement passe brusquement de l'état supercritique (rapide) à l'état subcritique (lent), avec une augmentation soudaine de la hauteur d'eau et une forte turbulence.
Hauteur Conjuguée
La hauteur d'eau en aval (\(y_2\)) d'un ressaut hydraulique est dite "conjuguée" à la hauteur en amont (\(y_1\)). Elles sont liées par l'équation de Bélanger, qui découle de la conservation de la quantité de mouvement.
Énergie Spécifique (\(E\))
Énergie totale de l'écoulement par unité de poids, par rapport au fond du canal. \(E = y + v^2/2g\). Cette énergie diminue de manière significative à travers un ressaut.
Ressaut Hydraulique - Exercice d'Application

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