ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse d’un Réseau de Conduites en Série

Exercice : Analyse d'un Réseau de Conduites en Série

Analyse d’un Réseau de Conduites en Série

Contexte : Le dimensionnement d'un système de pompage.

L'un des défis les plus courants en ingénierie hydraulique est de concevoir un système capable de transporter un fluide d'un point A à un point B. Cet exercice simule un cas réel : le transfert d'eau d'un réservoir inférieur vers un réservoir supérieur. Le réseau est composé de plusieurs tronçons de conduites de matériaux et de diamètres différents, connectés en série, ainsi que de divers accessoires (coudes, vannes...). Votre mission est de calculer l'énergie totale que la pompe doit fournir au système pour vaincre les forces de frottement et la différence d'altitude, garantissant ainsi le débit souhaité. Vous utiliserez le théorème de BernoulliPrincipe fondamental de la dynamique des fluides qui établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en mouvement. généralisé pour prendre en compte les pertes de chargePerte d'énergie (ou de pression) d'un fluide due au frottement contre les parois de la conduite (pertes linéaires) et aux obstacles comme les vannes ou les coudes (pertes singulières)..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème hydraulique complexe en étapes simples et logiques. Vous apprendrez à quantifier les pertes d'énergie dues à la friction (linéaires) et aux accessoires (singulières), deux compétences essentielles pour tout ingénieur ou technicien travaillant avec des systèmes de fluides.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème de Bernoulli généralisé à un système de pompage.
  • Calculer les vitesses, nombres de Reynolds et régimes d'écoulement dans des conduites.
  • Déterminer les facteurs de frottement à l'aide de formules empiriques (Swamee-Jain).
  • Quantifier et additionner les pertes de charge linéaires et singulières dans un circuit en série.
  • Calculer la hauteur manométrique requise pour une pompe.

Données de l'étude

Le système de pompage doit transférer de l'eau entre deux réservoirs à surface libre. La pompe est située près du réservoir inférieur.

Schéma du Système Hydraulique
Réservoir A Zₐ = 10 m Réservoir B Zₑ = 70 m P Tronçon 1 (Fonte, D₁) Tronçon 2 (PVC, D₂) Entrée (K=0.5) Coude 90° (K=0.9) Contraction (K=0.25) Vanne (K=0.2) Sortie (K=1.0) Q
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique \(Q\) 150 L/s
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 kg/m³
Viscosité cinématique de l'eau \(\nu\) \(1.0 \times 10^{-6}\) m²/s
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 m/s²
Tronçon Longueur (L) Diamètre (D) Matériau Rugosité (\(\epsilon\))
1 200 m 400 mm Fonte 0.26 mm
2 300 m 300 mm PVC 0.0015 mm

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'écoulement (\(v_1\) et \(v_2\)) dans chaque conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re_1\) et \(Re_2\)) et déterminer le régime d'écoulement pour chaque conduite.
  3. Déterminer le facteur de frottement (\(f_1\) et \(f_2\)) pour chaque conduite en utilisant la formule de Swamee-Jain.
  4. Calculer les pertes de charge linéaires (majeures) totales (\(H_{f,\text{total}}\)).
  5. Calculer les pertes de charge singulières (mineures) totales (\(H_{m,\text{total}}\)).
  6. En déduire la hauteur manométrique totale (\(H_{MT}\)) que la pompe doit fournir au fluide.

Les bases sur les écoulements en charge

1. Équation de Bernoulli généralisée
Pour un fluide réel, l'énergie se dissipe. L'équation de Bernoulli est donc complétée pour inclure l'énergie ajoutée par une pompe (\(H_{\text{pompe}}\)) et l'énergie perdue (\(\Delta H_{\text{total}}\)) entre deux points (1 et 2) : \[ \frac{P_1}{\rho g} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + H_{\text{pompe}} = \frac{P_2}{\rho g} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \Delta H_{\text{total}, 1 \to 2} \]

2. Pertes de Charge (Linéaires et Singulières)
Les pertes d'énergie totales (\(\Delta H_{\text{total}}\)) sont la somme des pertes linéaires (dues au frottement sur la longueur, \(H_f\)) et des pertes singulières (dues aux accidents de parcours, \(H_m\)).
Linéaires (Darcy-Weisbach) : \[ H_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \] Singulières : \[ H_m = \sum K_i \frac{v_i^2}{2g} \] Où \(f\) est le facteur de frottement, \(L\) la longueur, \(D\) le diamètre, \(v\) la vitesse, et \(K\) le coefficient de perte de charge de chaque accessoire.

Correction : Analyse d’un Réseau de Conduites en Série

Question 1 : Calcul des vitesses d'écoulement

Principe

La vitesse d'écoulement dans une conduite est directement liée au débit et à la section transversale de cette conduite. Le principe de conservation de la masse (ou du débit) nous dit que le débit \(Q\) est le produit de la vitesse \(v\) par l'aire de la section \(A\). Nous pouvons donc isoler la vitesse.

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que le débit volumique (\(Q\)) est constant tout au long d'un circuit en série. C'est pourquoi le même \(Q\) est utilisé pour calculer les deux vitesses, même si les diamètres (et donc les sections) diffèrent.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique est presque toujours de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes. Une erreur de conversion ici (L/s en m³/s, mm en m) se répercutera sur tous les calculs suivants.

Normes

Les calculs de débit et de vitesse sont universels et ne dépendent pas d'une norme spécifique, mais reposent sur les principes fondamentaux de la mécanique des fluides.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2} \]
Hypothèses

On suppose que l'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps) et que la conduite est pleine sur toute sa section.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé pour le débit et les diamètres.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)150L/s
Diamètre 1\(D_1\)400mm
Diamètre 2\(D_2\)300mm
Astuces

Pour vérifier rapidement, rappelez-vous que si le diamètre diminue, la vitesse doit augmenter pour maintenir le même débit. Ici, \(D_2 < D_1\), donc on s'attend à ce que \(v_2 > v_1\).

Schéma (Avant les calculs)
Identification des paramètres sur le schéma
Tronçon 1 (D₁) Tronçon 2 (D₂) Q
Calcul(s)

Conversion du débit

\[ Q = 150 \text{ L/s} = 0.150 \text{ m}^3\text{/s} \]

Conversion des diamètres

\[ D_1 = 400 \text{ mm} = 0.4 \text{ m} \quad | \quad D_2 = 300 \text{ mm} = 0.3 \text{ m} \]

Calcul de la vitesse \(v_1\)

\[ \begin{aligned} v_1 &= \frac{4 \times 0.150}{\pi \times (0.4)^2} \\ &= \frac{0.6}{\pi \times 0.16} \\ &\approx 1.19 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse \(v_2\)

\[ \begin{aligned} v_2 &= \frac{4 \times 0.150}{\pi \times (0.3)^2} \\ &= \frac{0.6}{\pi \times 0.09} \\ &\approx 2.12 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des vitesses
Tronçon 1 (D₁ = 400mm) v₁ ≈ 1.2 m/s Tronçon 2 (D₂ = 300mm) v₂ ≈ 2.1 m/s
Réflexions

Comme attendu, la vitesse dans la conduite la plus étroite (\(D_2\)) est significativement plus élevée que dans la conduite plus large (\(D_1\)). Cette augmentation de vitesse aura un impact direct sur les pertes de charge.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de l'aire. C'est une erreur très fréquente qui fausse l'ensemble des résultats.

Points à retenir
  • La vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre (\(v \propto 1/D^2\)).
  • La conversion des unités est une étape non négociable avant tout calcul.
Le saviez-vous ?

L'équation de continuité est une manifestation locale de l'un des principes les plus fondamentaux de la physique : la conservation de la masse. Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme... ou ici, tout s'écoule !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi la vitesse change-t-elle si le débit est constant ?

Imaginez un tuyau d'arrosage. Si vous pincez l'extrémité (réduisez la section), l'eau sort beaucoup plus vite. C'est le même principe : pour faire passer la même quantité d'eau par seconde dans un passage plus étroit, le fluide doit accélérer.

Résultat Final
Les vitesses d'écoulement sont de \(v_1 \approx 1.19\) m/s et \(v_2 \approx 2.12\) m/s.
A vous de jouer

Si le débit était de 200 L/s, quelle serait la vitesse \(v_1\) dans la première conduite ?

Question 2 : Nombre de Reynolds et régime d'écoulement

Principe

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Il compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Une valeur faible (\(Re < 2000\)) indique un écoulement laminaire (régulier), tandis qu'une valeur élevée (\(Re > 4000\)) indique un écoulement turbulent (chaotique).

Mini-Cours

Le type de régime (laminaire ou turbulent) est crucial car il détermine la manière dont les pertes de charge sont calculées. En régime laminaire, les pertes sont proportionnelles à la vitesse, tandis qu'en régime turbulent, elles sont approximativement proportionnelles au carré de la vitesse.

Remarque Pédagogique

En pratique, dans les applications de génie civil (adduction d'eau, assainissement), les vitesses et diamètres sont tels que l'écoulement est presque toujours turbulent. Calculer le nombre de Reynolds est une vérification systématique pour confirmer cette hypothèse.

Normes

Les seuils de 2000 et 4000 pour le nombre de Reynolds sont des valeurs conventionnelles reconnues internationalement pour les conduites circulaires.

Formule(s)

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{v D}{\nu} \]
Hypothèses

On suppose que les propriétés du fluide (ici la viscosité cinématique \(\nu\) de l'eau) sont constantes et correspondent à la température de service.

Donnée(s)

On utilise les vitesses calculées, les diamètres et la viscosité cinématique de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse 1\(v_1\)1.19m/s
Diamètre 1\(D_1\)0.4m
Vitesse 2\(v_2\)2.12m/s
Diamètre 2\(D_2\)0.3m
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1.0 \times 10^{-6}\)m²/s
Astuces

Pour l'eau à température ambiante, une estimation rapide est que \(Re \approx 10^6 \times v \times D\). Si votre résultat est très différent, vérifiez vos unités et vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Paramètres pour le calcul de Reynolds
v D Fluide de viscosité ν
Calcul(s)

Calcul de \(Re_1\)

\[ \begin{aligned} Re_1 &= \frac{v_1 D_1}{\nu} \\ &= \frac{1.19 \times 0.4}{1.0 \times 10^{-6}} \\ &= 476,000 \end{aligned} \]

Calcul de \(Re_2\)

\[ \begin{aligned} Re_2 &= \frac{v_2 D_2}{\nu} \\ &= \frac{2.12 \times 0.3}{1.0 \times 10^{-6}} \\ &= 636,000 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Régimes d'Écoulement
Régime Laminaire (Re < 2000) Régime Turbulent (Re > 4000) Nos deux écoulements sont turbulents.
Réflexions

Les deux nombres de Reynolds sont très supérieurs à 4000. L'écoulement dans les deux conduites est donc très clairement turbulent. Cela est typique des applications d'ingénierie civile.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les grandeurs (v, D, \(\nu\)) sont en unités SI de base (m/s, m, m²/s) avant de faire le calcul. Une erreur d'unité sur la viscosité est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir
  • Un nombre de Reynolds élevé (\(> 4000\)) signifie un régime turbulent.
  • Le régime d'écoulement détermine la méthode de calcul du facteur de frottement.
Le saviez-vous ?

Le nombre de Reynolds a été introduit par George Stokes en 1851, mais il a été popularisé par Osborne Reynolds en 1883 suite à ses expériences qui ont permis de visualiser la transition entre les régimes laminaire et turbulent.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Qu'est-ce que la viscosité cinématique ?

C'est le rapport de la viscosité dynamique d'un fluide sur sa masse volumique. Elle représente la capacité du fluide à diffuser la quantité de mouvement. Plus elle est faible, plus le fluide s'écoule facilement.

Résultat Final
Les nombres de Reynolds sont \(Re_1 \approx 4.76 \times 10^5\) et \(Re_2 \approx 6.36 \times 10^5\). L'écoulement est turbulent dans les deux tronçons.
A vous de jouer

Si on transportait une huile plus visqueuse (\(\nu = 50 \times 10^{-6}\) m²/s) avec la même vitesse \(v_1=1.19\) m/s, quel serait le nouveau \(Re_1\) ?

Question 3 : Facteur de frottement

Principe

Le facteur de frottement \(f\) quantifie la résistance à l'écoulement due à la rugosité des parois de la conduite. Pour un écoulement turbulent, il dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite. La formule de Swamee-Jain est une approximation explicite de la formule implicite de Colebrook-White, très utilisée en pratique.

Mini-Cours

Le diagramme de Moody est la représentation graphique de l'équation de Colebrook. Il permet de trouver le facteur de frottement \(f\) à partir du nombre de Reynolds et de la rugosité relative. Les formules comme celle de Swamee-Jain ont été développées pour permettre un calcul direct sans avoir à utiliser le diagramme ou à résoudre une équation implicite.

Remarque Pédagogique

Notez comment la rugosité du PVC est beaucoup plus faible que celle de la fonte. Même si la vitesse est plus élevée dans le tronçon 2, ce matériau plus lisse contribuera à limiter les pertes de charge par frottement, ce que le calcul du facteur \(f\) mettra en évidence.

Normes

Les valeurs de rugosité absolue (\(\epsilon\)) sont issues de tables de référence normalisées pour différents matériaux de conduites.

Formule(s)

Formule de Swamee-Jain

\[ f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right) \right]^2} \]
Hypothèses

On considère que la rugosité est uniforme sur toute la longueur de chaque tronçon et que les valeurs données sont représentatives de l'état des conduites (neuves ou en service).

Donnée(s)

On utilise les \(Re\) calculés et les valeurs de \(\epsilon\) et \(D\) pour chaque tronçon.

ParamètreSymboleValeurUnité
Reynolds 1\(Re_1\)476,000-
Rugosité 1\(\epsilon_1\)0.26mm
Diamètre 1\(D_1\)400mm
Reynolds 2\(Re_2\)636,000-
Rugosité 2\(\epsilon_2\)0.0015mm
Diamètre 2\(D_2\)300mm
Astuces

Le terme avec \(Re\) dans la formule de Swamee-Jain devient moins important à très haut nombre de Reynolds (régime turbulent rugueux). Dans ce cas, \(f\) dépend principalement de la rugosité relative \(\epsilon/D\).

Schéma (Avant les calculs)
Concept de Rugosité Relative
D ε Le rapport ε/D est crucial.
Calcul(s)

Calcul de la rugosité relative pour le tronçon 1

\[ \left(\frac{\epsilon}{D}\right)_1 = \frac{0.00026 \text{ m}}{0.4 \text{ m}} = 0.00065 \]

Calcul de la rugosité relative pour le tronçon 2

\[ \left(\frac{\epsilon}{D}\right)_2 = \frac{0.0000015 \text{ m}}{0.3 \text{ m}} = 0.000005 \]

Calcul du facteur de frottement \(f_1\)

\[ \begin{aligned} f_1 &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{0.00065}{3.7} + \frac{5.74}{476000^{0.9}}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(1.757 \times 10^{-4} + 2.783 \times 10^{-5}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(2.035 \times 10^{-4}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left( -3.691 \right)^2} \\ &\approx 0.0183 \end{aligned} \]

Calcul du facteur de frottement \(f_2\)

\[ \begin{aligned} f_2 &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{0.000005}{3.7} + \frac{5.74}{636000^{0.9}}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(1.351 \times 10^{-6} + 2.228 \times 10^{-5}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(2.363 \times 10^{-5}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left( -4.626 \right)^2} \\ &\approx 0.0117 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Facteurs de Frottement
Facteur de Frottement (f) Tronçon 1 (Fonte) 0.0183 Tronçon 2 (PVC) 0.0117
Réflexions

Comme attendu, le facteur de frottement de la conduite en fonte (\(f_1=0.0183\)) est plus élevé que celui de la conduite en PVC (\(f_2=0.0117\)), beaucoup plus lisse, malgré un nombre de Reynolds plus faible.

Points de vigilance

Faites attention aux logarithmes ! Assurez-vous d'utiliser le logarithme en base 10 (\(\log_{10}\)) comme spécifié dans la formule, et non le logarithme népérien (\(\ln\)).

Points à retenir
  • Le facteur de frottement \(f\) dépend du régime d'écoulement (\(Re\)) et de la rugosité relative (\(\epsilon/D\)).
  • Les matériaux plus lisses (comme le PVC) ont un facteur de frottement plus faible que les matériaux plus rugueux (comme la fonte).
Le saviez-vous ?

Au fil du temps, des dépôts et de la corrosion peuvent augmenter la rugosité interne des conduites métalliques, ce qui accroît le facteur de frottement et les pertes de charge. Le dimensionnement doit parfois en tenir compte en utilisant une valeur de rugosité "en service" plutôt que "neuve".

FAQ

Questions fréquentes.

Pourquoi ne pas utiliser la formule de Colebrook-White directement ?

La formule de Colebrook-White est implicite, ce qui signifie que le facteur \(f\) apparaît des deux côtés de l'équation. On ne peut pas l'isoler directement. Il faut la résoudre par des méthodes numériques itératives. Les formules comme Swamee-Jain donnent un résultat très proche de manière directe, ce qui est plus pratique pour les calculs manuels ou sur tableur.

Résultat Final
Les facteurs de frottement sont \(f_1 \approx 0.0183\) et \(f_2 \approx 0.0117\).
A vous de jouer

Si la conduite en fonte était remplacée par une conduite en PVC de même diamètre (D=400mm, \(\epsilon=0.0015\)mm), quel serait approximativement le nouveau facteur de frottement \(f_1\) (avec \(Re_1=476000\)) ?

Question 4 : Pertes de charge linéaires totales

Principe

Les pertes de charge linéaires (ou majeures) représentent l'énergie dissipée par le frottement du fluide contre les parois de la conduite sur toute sa longueur. On les calcule pour chaque tronçon à l'aide de la formule de Darcy-Weisbach, puis on les additionne car les conduites sont en série.

Mini-Cours

Les pertes de charge linéaires sont directement proportionnelles à la longueur de la conduite et au facteur de frottement, et inversement proportionnelles au diamètre. Elles sont également proportionnelles au carré de la vitesse, ce qui signifie qu'elles augmentent très rapidement avec le débit.

Remarque Pédagogique

Cette question combine tous les résultats précédents (\(v, f\)) pour quantifier la perte d'énergie la plus significative dans les longues conduites. C'est le cœur du calcul de dimensionnement hydraulique.

Normes

La formule de Darcy-Weisbach est la méthode de référence internationalement reconnue pour le calcul des pertes de charge linéaires dans les écoulements en charge.

Formule(s)

Formule de Darcy-Weisbach

\[ H_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]

Pertes totales en série

\[ H_{f,\text{total}} = H_{f1} + H_{f2} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment : écoulement permanent, conduites pleines, propriétés du fluide et des conduites constantes.

Donnée(s)

On utilise les données et résultats précédents.

ParamètreSymboleValeurUnité
Facteur de frottement 1\(f_1\)0.0183-
Longueur 1\(L_1\)200m
Diamètre 1\(D_1\)0.4m
Vitesse 1\(v_1\)1.19m/s
Facteur de frottement 2\(f_2\)0.0117-
Longueur 2\(L_2\)300m
Diamètre 2\(D_2\)0.3m
Vitesse 2\(v_2\)2.12m/s
Astuces

Le terme \(v^2/(2g)\) est appelé "hauteur cinétique". Il est souvent utile de le calculer une fois pour chaque vitesse, car il est réutilisé dans le calcul des pertes singulières.

Schéma (Avant les calculs)
Identification des longueurs des tronçons
L₁ = 200 m L₂ = 300 m
Calcul(s)

Calcul de la hauteur cinétique pour le tronçon 1

\[ \begin{aligned} \frac{v_1^2}{2g} &= \frac{(1.19)^2}{2 \times 9.81} \\ &= \frac{1.4161}{19.62} \\ &\approx 0.072 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la hauteur cinétique pour le tronçon 2

\[ \begin{aligned} \frac{v_2^2}{2g} &= \frac{(2.12)^2}{2 \times 9.81} \\ &= \frac{4.4944}{19.62} \\ &\approx 0.229 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes linéaires pour le tronçon 1 (\(H_{f1}\))

\[ \begin{aligned} H_{f1} &= f_1 \frac{L_1}{D_1} \frac{v_1^2}{2g} \\ &= 0.0183 \times \frac{200}{0.4} \times 0.072 \\ &\approx 0.66 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes linéaires pour le tronçon 2 (\(H_{f2}\))

\[ \begin{aligned} H_{f2} &= f_2 \frac{L_2}{D_2} \frac{v_2^2}{2g} \\ &= 0.0117 \times \frac{300}{0.3} \times 0.229 \\ &\approx 2.68 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes linéaires totales

\[ \begin{aligned} H_{f,\text{total}} &= H_{f1} + H_{f2} \\ &= 0.66 + 2.68 \\ &= 3.34 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de Charge et Pertes Linéaires
Évolution de l'Énergie (Ligne de Charge) E Pertes Hf₁ = 0.66 m Pertes Hf₂ = 2.68 m Tronçon 1 Tronçon 2
Réflexions

Il est intéressant de noter que le tronçon 2, bien que plus lisse (\(f\) plus faible), génère beaucoup plus de pertes de charge (2.68 m contre 0.66 m). Cela est dû à sa plus grande longueur et, surtout, à la vitesse d'écoulement beaucoup plus élevée.

Points de vigilance

Ne mélangez pas les indices ! Assurez-vous d'utiliser \(f_1, L_1, D_1, v_1\) pour le premier tronçon et \(f_2, L_2, D_2, v_2\) pour le second. L'organisation est la clé.

Points à retenir
  • Les pertes linéaires dépendent de \(f, L, D\) et \(v^2\).
  • Pour un réseau en série, les pertes de charge linéaires s'additionnent.
Le saviez-vous ?

La formule de Darcy-Weisbach est nommée d'après Henry Darcy, un ingénieur français, et Julius Weisbach, un ingénieur allemand. Leurs travaux au milieu du 19ème siècle ont jeté les bases de l'hydraulique moderne.

FAQ

Questions fréquentes.

Pourquoi les appelle-t-on pertes "majeures" ?

Dans les systèmes avec de longues conduites, les pertes par frottement sur la longueur sont généralement beaucoup plus importantes que les pertes dues aux accessoires. C'est pourquoi on les qualifie de "majeures" ou "linéaires".

Résultat Final
Les pertes de charge linéaires totales sont de \(H_{f,\text{total}} \approx 3.34\) m.
A vous de jouer

Si la longueur du tronçon 2 (\(L_2\)) était de 400 m au lieu de 300 m, quelle serait la nouvelle perte de charge linéaire totale \(H_{f,total}\) ?

Question 5 : Pertes de charge singulières totales

Principe

Les pertes de charge singulières (ou mineures) sont dues aux perturbations de l'écoulement causées par les accessoires (coudes, vannes, changements de section, etc.). Chaque accessoire est caractérisé par un coefficient de perte de charge \(K\). La perte est proportionnelle à l'énergie cinétique du fluide à l'endroit de l'accessoire.

Mini-Cours

Le coefficient \(K\) est une valeur empirique, déterminée expérimentalement pour chaque type d'accessoire. Il représente le nombre de "hauteurs cinétiques" (\(v^2/2g\)) perdues lors du passage du fluide à travers l'obstacle. Plus le \(K\) est élevé, plus l'accessoire est pénalisant pour l'écoulement.

Remarque Pédagogique

Il est crucial d'associer chaque coefficient \(K\) à la bonne vitesse. Par exemple, les pertes à l'entrée et au coude, situés sur le premier tronçon, doivent être calculées avec \(v_1\). Celles sur le second tronçon doivent utiliser \(v_2\).

Normes

Les valeurs des coefficients \(K\) sont tabulées dans des manuels d'hydraulique et des normes de conception (par ex. Crane Technical Paper No. 410).

Formule(s)

Formule de la perte singulière

\[ H_m = K \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que les coefficients K fournis sont corrects et qu'il n'y a pas d'interaction entre les pertes des accessoires (ils sont suffisamment espacés).

Donnée(s)

On utilise les coefficients K et les hauteurs cinétiques.

ParamètreSymboleValeur
K Entrée, K Coude\(K_1, K_2\)0.5, 0.9
K Contraction, K Vanne, K Sortie\(K_3, K_4, K_5\)0.25, 0.2, 1.0
Hauteur cinétique 1\(v_1^2/2g\)0.072 m
Hauteur cinétique 2\(v_2^2/2g\)0.229 m
Astuces

On peut regrouper les coefficients \(K\) qui s'appliquent à la même vitesse avant de faire la multiplication. Cela simplifie le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation des Pertes Singulières
Entrée Coude Contraction Vanne Sortie
Calcul(s)

Formule des pertes singulières totales

\[ H_{m,\text{total}} = \underbrace{\left( K_{\text{entrée}} + K_{\text{coude}} \right) \frac{v_1^2}{2g}}_{\text{associées à } v_1} + \underbrace{\left( K_{\text{contraction}} + K_{\text{vanne}} + K_{\text{sortie}} \right) \frac{v_2^2}{2g}}_{\text{associées à } v_2} \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} H_{m,\text{total}} &= (0.5 + 0.9) \times 0.072 + (0.25 + 0.2 + 1.0) \times 0.229 \\ &= (1.4 \times 0.072) + (1.45 \times 0.229) \\ &= 0.101 + 0.332 \\ &\approx 0.433 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de Charge et Pertes Singulières
Chutes d'Énergie dues aux Accessoires Coude Contraction Vanne
Réflexions

La perte totale singulière (0.43 m) est bien plus faible que la perte linéaire (3.34 m), ce qui justifie leur appellation de pertes "mineures" dans ce cas précis de longues conduites.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'appliquer tous les coefficients \(K\) à une seule et même vitesse. Il faut bien identifier sur quel tronçon se trouve chaque accessoire.

Points à retenir
  • Les pertes singulières sont calculées avec des coefficients \(K\) et la hauteur cinétique \(v^2/(2g)\).
  • Pour un réseau en série, les pertes singulières s'additionnent.
Le saviez-vous ?

Certains accessoires très pénalisants, comme une vanne presque fermée, peuvent avoir un coefficient \(K\) très élevé et générer une perte de charge "singulière" qui devient en fait "majeure" par rapport aux pertes linéaires !

FAQ

Questions fréquentes.

Le coefficient K d'une contraction dépend-il de la vitesse ?

Non, le coefficient \(K\) est considéré comme constant pour un régime turbulent pleinement développé. La perte de charge, elle, dépend de la vitesse (\(H_m = K \times v^2/2g\)).

Résultat Final
Les pertes de charge singulières totales sont de \(H_{m,\text{total}} \approx 0.43\) m.
A vous de jouer

Si la vanne était complètement ouverte avec un K de 0.1, quelle serait la nouvelle perte de charge singulière totale \(H_{m,\text{total}}\) ?

Question 6 : Hauteur manométrique totale de la pompe

Principe

La hauteur manométrique totale (\(H_{MT}\)), ou charge de la pompe, est l'énergie par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide. Elle doit compenser la différence d'altitude entre les réservoirs (charge statique) et toutes les pertes de charge (linéaires et singulières).

Mini-Cours

En appliquant le théorème de Bernoulli entre deux points où les conditions sont connues (ici, les surfaces libres des réservoirs), on peut isoler l'inconnue, qui est l'énergie apportée par la pompe. Aux surfaces libres, la pression est atmosphérique (on peut donc les annuler) et la vitesse est considérée comme nulle (le niveau d'un grand réservoir baisse très lentement).

Remarque Pédagogique

C'est la question de synthèse qui réunit tous les éléments calculés. Elle représente l'aboutissement du dimensionnement : quel est le besoin énergétique total du système ? Cette valeur est fondamentale pour choisir la bonne pompe dans le catalogue d'un fabricant.

Normes

Le calcul de la HMT est une pratique standardisée en ingénierie des fluides, suivant les principes de Bernoulli.

Formule(s)

Formule de la Hauteur Manométrique Totale

\[ H_{MT} = (Z_B - Z_A) + H_{f,\text{total}} + H_{m,\text{total}} \]
Hypothèses

On suppose que les niveaux des réservoirs sont constants durant le pompage et que la pression à la surface des deux réservoirs est la même (pression atmosphérique).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude Réservoir A\(Z_A\)10m
Altitude Réservoir B\(Z_B\)70m
Pertes linéaires totales\(H_{f,\text{total}}\)3.34m
Pertes singulières totales\(H_{m,\text{total}}\)0.43m
Astuces

La charge de la pompe peut être vue comme la somme de deux composantes : la charge statique (\(Z_B - Z_A\)) qui est constante, et la charge dynamique (\(H_{f,\text{total}} + H_{m,\text{total}}\)) qui varie avec le débit.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la Hauteur Manométrique
Zₐ Zₑ Charge Statique (Zₑ - Zₐ) Pertes totales
Calcul(s)

Application Numérique

\[ \begin{aligned} H_{MT} &= (70 \text{ m} - 10 \text{ m}) + 3.34 \text{ m} + 0.43 \text{ m} \\ &= 60 \text{ m} + 3.77 \text{ m} \\ &= 63.77 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne d'Énergie Complète du Système
Ligne de Charge Totale avec Pompe Zₐ H Zₑ Saut de pression (Pompe) HMT = 63.8 m Pertes de charge totales = 3.77 m
Réflexions

La pompe doit fournir une énergie équivalente à une colonne d'eau de près de 64 mètres. La grande majorité (60 m) sert à vaincre la gravité. Les pertes par frottement (environ 3.8 m) représentent une part non négligeable de l'énergie à fournir, soulignant l'importance de bien les calculer pour dimensionner correctement la pompe.

Points de vigilance

Ne pas oublier une composante (charge statique, pertes linéaires ou singulières) est l'erreur la plus grave à ce stade. Faites une somme méthodique de tous les termes.

Points à retenir
  • \(H_{MT}\) = Charge Statique + Pertes Linéaires + Pertes Singulières.
  • C'est la valeur clé pour la sélection d'une pompe.
Le saviez-vous ?

La puissance hydraulique fournie par la pompe est \(P_h = \rho g Q H_{MT}\). Pour notre exercice, cela représente environ 94 kilowatts ! Il faudrait ensuite prendre en compte le rendement de la pompe pour connaître la puissance électrique réelle consommée.

FAQ

Questions fréquentes.

Que se passe-t-il si la pompe est sous-dimensionnée ?

Si la pompe ne peut pas fournir la \(H_{MT}\) requise, elle ne pourra pas assurer le débit désiré de 150 L/s. Le système s'équilibrera à un point de fonctionnement avec un débit plus faible, où les pertes de charge seront moindres.

Résultat Final
La hauteur manométrique totale que la pompe doit fournir est de \(H_{MT} \approx 63.8\) m.
A vous de jouer

Si le réservoir B était à une altitude de 80 m, quelle serait la nouvelle \(H_{MT}\) requise ?

Outil Interactif : Simulateur de Pertes de Charge

Utilisez cet outil pour voir comment le débit et la rugosité des conduites influencent la hauteur manométrique totale requise pour la pompe. Le graphique montre l'évolution de la charge de la pompe en fonction du débit pour la rugosité sélectionnée.

Paramètres d'Entrée
150 L/s
1.0x (Normal)
Résultats Clés
Pertes Linéaires (\(H_{f,\text{total}}\)) -
Pertes Singulières (\(H_{m,\text{total}}\)) -
Charge Pompe (\(H_{MT}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le débit dans un réseau en série double, comment les pertes de charge linéaires évoluent-elles approximativement ?

2. Quel est l'élément qui n'influence PAS directement le facteur de frottement \(f\) en régime turbulent ?

3. Les pertes de charge singulières sont causées par :

Perte de Charge
Perte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide, en mètres) subie par un fluide en mouvement. Elle se divise en pertes linéaires (frottement) et singulières (accessoires).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité.
Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))
Rapport entre la hauteur moyenne des aspérités de la paroi interne d'une conduite (\(\epsilon\)) et son diamètre intérieur (\(D\)). Ce rapport est crucial pour déterminer le frottement en régime turbulent.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale communiquée par une pompe à un fluide par unité de poids. Elle correspond à la hauteur que la pompe doit "ajouter" au système pour assurer le débit désiré.
Exercice d'Application : Hydraulique en Charge

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