Analyse d'un écoulement graduellement varié par la méthode du pas à pas
Comprendre les Écoulements Graduellement Variés
Lorsqu'un écoulement à surface libre rencontre un obstacle (comme un barrage, un seuil) ou un changement de pente, la hauteur d'eau ne peut plus rester constante (écoulement uniforme). Elle varie progressivement le long du canal : c'est un écoulement graduellement varié. Le calcul de la forme de cette ligne d'eau, appelée courbe de remous ou de rabattement, est crucial pour prédire les niveaux d'eau et les risques d'inondation. La méthode du pas à pas direct est une technique numérique classique pour calculer ce profil en partant d'un point où la hauteur est connue.
Données de l'étude
- Débit (\(Q\)) : \(15 \, \text{m}^3/\text{s}\)
- Largeur au fond (\(b\)) : \(5 \, \text{m}\)
- Pente des talus (\(m\)) : \(1.5\) (1.5H:1V)
- Pente du fond (\(S_f\)) : \(0.1 \% = 0.001\)
- Coefficient de Manning (\(n\)) : \(0.022 \, \text{s/m}^{1/3}\)
- Condition de contrôle : La hauteur d'eau juste en amont du barrage (\(x=0\)) est de \(y_0 = 3.0 \, \text{m}\).
Schéma : Courbe de Remous en Amont d'un Barrage
Profil en long montrant le relèvement de la ligne d'eau à l'approche d'un obstacle.
Questions à traiter
- Calculer la hauteur d'eau normale (\(y_n\)) pour ce canal.
- Calculer la hauteur d'eau critique (\(y_c\)).
- Déterminer le type de pente du canal et le type de la courbe de remous.
- En utilisant la méthode du pas à pas direct, calculer la distance \(\Delta x\) entre la section où la hauteur est de 3.0 m et celle où elle est de 2.8 m.
- Calculer le profil complet de la ligne d'eau depuis \(y=3.0\) m jusqu'à une hauteur de 1% supérieure à la hauteur normale (\(1.01 \times y_n\)), par pas de 0.2 m. Présenter les résultats sous forme de tableau et de graphique.
Correction : Analyse d'un Écoulement Graduellement Varié
Question 1 : Hauteur d'Eau Normale (\(y_n\))
Principe :
On cherche la hauteur \(y_n\) qui satisfait l'équation de Manning pour un écoulement uniforme. Comme pour l'exercice précédent, l'équation est implicite et doit être résolue par itérations.
Calcul du terme de droite :
L'équation à résoudre est donc \(A^{5/3} / P^{2/3} = 10.436\).
Détail de la résolution par itérations
On cherche la valeur de \(y_n\) qui vérifie l'égalité. Pour un canal trapézoïdal : \(A=(5+1.5y_n)y_n\) et \(P=5+2y_n\sqrt{1+1.5^2} \approx 5+3.61y_n\).
| Essai | \(y_n\) (m) | A (m²) | P (m) | \(f(y_n) = A^{5/3}/P^{2/3}\) | Observation |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.0 | 16.00 | 12.22 | 19.2 | Trop grand |
| 2 | 1.5 | 10.88 | 10.41 | 10.08 | Trop petit |
| 3 | 1.55 | 11.36 | 10.59 | 10.77 | Trop grand |
| 4 | 1.53 | 11.18 | 10.52 | 10.50 | Très proche de 10.436 |
Question 2 : Hauteur d'Eau Critique (\(y_c\))
Principe :
La hauteur critique \(y_c\) est atteinte lorsque le nombre de Froude vaut 1. Pour une section non rectangulaire, elle satisfait la condition suivante :
Où \(B\) est la largeur au miroir, \(B = b + 2my_c\). L'équation se résout aussi par itérations.
Calcul du terme de gauche :
Résolution
On cherche \(y_c\) tel que \(A^3/B = 22.936\). Après itérations (non détaillées ici), on trouve :
Question 3 : Type de Pente et de Courbe
Principe :
Le type de pente dépend de la comparaison entre la hauteur normale \(y_n\) et la hauteur critique \(y_c\). Le type de courbe dépend de la position de la hauteur d'eau réelle par rapport à \(y_n\) et \(y_c\).
Analyse :
- Type de pente : On a \(y_n \approx 1.53 \, \text{m}\) et \(y_c \approx 1.21 \, \text{m}\). Puisque \(y_n > y_c\), la pente est de type **faible** (M, pour "Mild slope").
- Type de courbe : La hauteur d'eau au barrage (\(y_0=3.0\)) est supérieure à \(y_n\) et \(y_c\). La courbe de remous est donc dans la "Zone 1". Il s'agit d'une courbe de type **M1**.
Question 4 : Calcul d'un Pas (\(y=3.0\)m à \(y=2.8\)m)
Principe :
On utilise la formule du pas à pas direct. Elle calcule la distance horizontale \(\Delta x\) nécessaire pour que la hauteur d'eau passe d'une valeur \(y_1\) à \(y_2\).
Ici, on regarde vers l'amont, donc on calcule \(x_2-x_1\). La formule s'écrit :
Où \(E\) est l'énergie spécifique (\(y+V^2/2g\)) et \(\bar{S_e}\) est la moyenne de la pente de la ligne d'énergie aux points 1 et 2. On a \(S_e = (n V / R_h^{2/3})^2\).
Calcul pour les deux sections
Section 1 (aval) : \(y_1 = 3.0 \, \text{m}\)
Section 2 (amont) : \(y_2 = 2.8 \, \text{m}\)
Calcul de \(\Delta x\)
Question 5 : Profil Complet de la Ligne d'Eau
Principe :
On répète le calcul de la question 4 par pas successifs pour tracer la courbe de remous complète jusqu'à atteindre une hauteur proche de la hauteur normale \(y_n\).
La cible est d'atteindre \(1.01 \times y_n = 1.01 \times 1.53 \approx 1.55 \, \text{m}\).
Tableau de Calcul du Pas à Pas Direct
| y (m) | E (m) | S_e | \(\bar{S_e}\) | \(\Delta x\) (m) | x (m) |
|---|---|---|---|---|---|
| 3.00 | 3.014 | 5.90E-05 | - | - | 0 |
| 2.80 | 2.817 | 7.40E-05 | 6.65E-05 | 211 | 211 |
| 2.60 | 2.624 | 9.41E-05 | 8.41E-05 | 211 | 422 |
| 2.40 | 2.437 | 1.22E-04 | 1.08E-04 | 210 | 632 |
| 2.20 | 2.258 | 1.64E-04 | 1.43E-04 | 209 | 841 |
| 2.00 | 2.089 | 2.33E-04 | 1.98E-04 | 211 | 1052 |
| 1.80 | 1.936 | 3.62E-04 | 2.97E-04 | 218 | 1270 |
| 1.60 | 1.808 | 6.52E-04 | 5.07E-04 | 259 | 1529 |
| 1.55 | 1.782 | 7.83E-04 | 7.18E-04 | 92 | 1621 |
Profil de la Ligne d'Eau (Courbe de Remous M1)
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Une courbe de remous de type M1 se produit lorsque :
2. Dans la méthode du pas à pas, la pente de la ligne d'énergie \(S_e\) représente :
3. Si la rugosité du canal \(n\) augmentait (par exemple, à cause de la végétation), la courbe de remous pour le même débit :
Glossaire
- Écoulement Graduellement Varié
- Écoulement permanent dans lequel la profondeur et la vitesse varient lentement le long du canal. Les lignes de courant sont quasi parallèles et la répartition des pressions est hydrostatique.
- Courbe de Remous (Backwater Curve)
- Profil longitudinal de la surface libre de l'eau lorsque celle-ci est située au-dessus de la hauteur normale, typiquement en amont d'un barrage ou d'un rétrécissement.
- Pente Faible (Mild Slope)
- Une pente de canal est dite "faible" si la hauteur d'eau normale (\(y_n\)) est supérieure à la hauteur critique (\(y_c\)), ce qui signifie qu'un écoulement uniforme sur cette pente serait fluvial (subcritique).
- Pente de la Ligne d'Énergie (\(S_e\))
- Pente qui représente la perte d'énergie par unité de longueur due au frottement. En écoulement uniforme, \(S_e = S_f\). En écoulement varié, elle est calculée par la formule de Manning réarrangée.
- Méthode du Pas à Pas Direct (Direct Step Method)
- Procédure numérique pour calculer le profil d'une ligne d'eau en écoulement graduellement varié. Elle calcule la distance \(\Delta x\) correspondant à une variation de hauteur \(\Delta y\) prédéfinie.
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