Analyse d'un Circuit de Distribution d'Eau Potable

Comprendre les Réseaux Maillés

Les réseaux de distribution d'eau potable dans les zones urbaines sont souvent maillés, c'est-à-dire qu'ils forment des boucles fermées. Cette configuration offre une grande sécurité d'approvisionnement : en cas de rupture d'une conduite, les points de consommation peuvent toujours être alimentés par d'autres chemins. Cependant, l'analyse de ces réseaux est complexe car le sens et la répartition des débits dans les boucles sont inconnus a priori. La méthode de Hardy-Cross est une technique itérative classique qui permet de résoudre ce problème en ajustant progressivement les débits pour satisfaire deux conditions fondamentales : la conservation du débit à chaque nœud et la nullité de la somme des pertes de charge sur une boucle fermée.

Données de l'étude

On analyse le réseau maillé simple d'un petit lotissement.

Caractéristiques du réseau et de l'écoulement :

Le réseau forme une boucle A-B-C-D.
Débit entrant au nœud A : \(Q_{\text{in}} = 80 \, \text{L/s}\).
Débits sortants (consommation) : \(Q_B = 20 \, \text{L/s}\), \(Q_C = 30 \, \text{L/s}\), \(Q_D = 30 \, \text{L/s}\).
Toutes les conduites sont en PVC (\(f \approx 0.015\), coefficient de friction de Darcy constant pour simplifier).
Pression au point A : \(P_A = 5 \, \text{bar}\).

Tronçon	Longueur L (m)	Diamètre D (mm)
AB	400	200
BC	300	150
CD	400	150
DA	300	200

Schéma du Réseau Maillé

Questions à traiter

Faire une première répartition des débits dans la boucle qui respecte la loi des nœuds.
Appliquer une itération de la méthode de Hardy-Cross pour corriger les débits.
Calculer la pression au nœud C, point le plus éloigné.

Correction : Analyse d'un Circuit de Distribution d'Eau Potable

Question 1 : Répartition Initiale des Débits

Principe :

On doit d'abord faire une hypothèse sur la manière dont le débit se sépare au nœud A et se recombine aux autres nœuds, tout en respectant la loi des nœuds (somme des débits entrants = somme des débits sortants). Un choix simple est de diviser le débit de manière plausible.

Hypothèse :

Sur les 80 L/s entrant en A, supposons que 50 L/s vont vers B et 30 L/s vers D.

Tronçon AB : \(Q_{AB} = +50 \, \text{L/s}\)
Tronçon BC : Au nœud B, 50 entrent, 20 sortent \(\Rightarrow\) \(Q_{BC} = +30 \, \text{L/s}\)
Tronçon DA : \(Q_{DA} = -30 \, \text{L/s}\) (sens inverse)
Tronçon CD : Au nœud D, 30 entrent (de A), 30 sortent \(\Rightarrow\) \(Q_{CD} = 0\). Il faut réajuster.

L'hypothèse CD=0 n'est pas réaliste. Révisons : Supposons 40 L/s vers B et 40 L/s vers D.

\(Q_{AB} = +40 \, \text{L/s}\). Au nœud B, 40 entrent, 20 sortent \(\Rightarrow\) \(Q_{BC} = +20 \, \text{L/s}\)
\(Q_{AD} = +40 \, \text{L/s}\). Au nœud D, 40 entrent, 30 sortent \(\Rightarrow\) \(Q_{DC} = +10 \, \text{L/s}\) (ou \(Q_{CD} = -10 \, \text{L/s}\)).
Vérification au nœud C : \(Q_{BC} + Q_{DC} = 20 + 10 = 30 \, \text{L/s}\), ce qui correspond à la consommation. L'hypothèse est cohérente.

Question 2 : Itération de Hardy-Cross

Principe :

La méthode vise à annuler la somme des pertes de charge sur la boucle. On calcule la perte de charge \(\Delta H = kQ^2\) pour chaque tronçon, avec un signe positif si le sens est horaire, négatif sinon. On calcule ensuite un débit correctif \(\Delta Q\) et on l'ajoute à tous les débits de la boucle.

\Delta Q = - \frac{\sum (kQ|Q|)}{2 \sum (k|Q|)}

avec \(k = \frac{8fL}{\pi^2gD^5}\). On calcule \(k\) pour chaque tronçon (en unités SI).

Calculs Préliminaires (k) :

\(k_{AB} = \frac{8 \cdot 0.015 \cdot 400}{\pi^2 \cdot 9.81 \cdot 0.2^5} \approx 1555\) | \(k_{BC} = \frac{8 \cdot 0.015 \cdot 300}{\pi^2 \cdot 9.81 \cdot 0.15^5} \approx 4913\)
\(k_{CD} = \frac{8 \cdot 0.015 \cdot 400}{\pi^2 \cdot 9.81 \cdot 0.15^5} \approx 6551\) | \(k_{DA} = \frac{8 \cdot 0.015 \cdot 300}{\pi^2 \cdot 9.81 \cdot 0.2^5} \approx 1166\)

Tableau d'itération (débits en m³/s) :

Tronçon	Q (m³/s)	k	k\|Q\|	\(\Delta H = kQ\|Q\|\)
AB	+0.04	1555	62.2	2.49
BC	+0.02	4913	98.3	1.97
CD	-0.01	6551	65.5	-0.66
DA	-0.04	1166	46.6	-1.87
Total			272.6	1.93

Calcul du débit correctif :

\Delta Q = - \frac{1.93}{2 \times 272.6} \approx -0.0035 \, \text{m}^3/\text{s} \quad (= -3.5 \, \text{L/s})

Nouveaux débits :

\(Q'_{AB} = 40 - 3.5 = 36.5 \, \text{L/s}\)
\(Q'_{BC} = 20 - 3.5 = 16.5 \, \text{L/s}\)
\(Q'_{CD} = -10 - 3.5 = -13.5 \, \text{L/s}\)
\(Q'_{DA} = -40 - 3.5 = -43.5 \, \text{L/s}\)

Question 3 : Calcul de la Pression au Nœud C

Principe :

On calcule les pertes de charge sur un chemin allant de A à C en utilisant les débits corrigés. La pression en C sera la pression en A diminuée de ces pertes de charge. On choisit le chemin A-B-C.

Calcul des pertes de charge sur le chemin A-B-C :

\( \Delta H_{AB} = k_{AB} (Q'_{AB})^2 = 1555 \times (0.0365)^2 \approx 2.07 \, \text{m} \)

\( \Delta H_{BC} = k_{BC} (Q'_{BC})^2 = 4913 \times (0.0165)^2 \approx 1.34 \, \text{m} \)

Perte de charge totale de A à C : \( \Delta H_{AC} = 2.07 + 1.34 = 3.41 \, \text{m} \)

Calcul de la pression en C :

Conversion de la perte de charge en pression : \( \Delta P_{AC} = \rho g \Delta H_{AC} = 1000 \times 9.81 \times 3.41 \approx 33452 \, \text{Pa} \approx 0.33 \, \text{bar} \)

\begin{aligned} P_C &= P_A - \Delta P_{AC} \\ &= 5 \, \text{bar} - 0.33 \, \text{bar} \\ &= 4.67 \, \text{bar} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La pression au nœud C est d'environ 4.67 bar.

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