Analyse des vibrations dans une tuyauterie

Contexte : Le phénomène de coup de bélierSurpression ou dépression rapide dans une canalisation, provoquée par une variation brusque de la vitesse du fluide (ex: fermeture de vanne)..

Les réseaux hydrauliques sous pression sont sujets à des phénomènes vibratoires qui, s'ils ne sont pas maîtrisés, peuvent entraîner des ruptures par fatigue, des nuisances sonores importantes ou des dommages sur les équipements (pompes, vannes). L'une des causes principales est le coup de bélier, qui génère une onde de pression se propageant dans la tuyauterie. Cet exercice se concentre sur l'analyse du risque de résonanceAmplification des oscillations lorsqu'une fréquence d'excitation externe coïncide avec une des fréquences propres du système. entre la fréquence propre du circuit hydraulique et la fréquence d'excitation d'une pompe.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un circuit hydraulique comme un oscillateur, à calculer sa fréquence propre fondamentale et à évaluer le risque de résonance, une compétence essentielle pour le dimensionnement sécuritaire des installations hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la célérité de l'onde de pression dans une conduite.
Déterminer la période et la fréquence propre fondamentale d'un système hydraulique.
Identifier les fréquences d'excitation d'une source vibratoire (pompe).
Évaluer le risque de résonance en comparant les fréquences.

Données de l'étude

On étudie une conduite de refoulement en acier transportant de l'eau. La conduite relie une station de pompage à un réservoir. La pompe centrifuge présente une source potentielle de vibrations.

Schéma de l'Installation

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur de la conduite	\(L\)	1200	\(\text{m}\)
Diamètre intérieur	\(D\)	500	\(\text{mm}\)
Épaisseur de la conduite	\(e\)	10	\(\text{mm}\)
Module de Young (Acier)	\(E_{\text{acier}}\)	210	\(\text{GPa}\)
Module de compressibilité (Eau)	\(K_{\text{eau}}\)	2.2	\(\text{GPa}\)
Masse volumique (Eau)	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Vitesse de rotation de la pompe	\(N\)	1500	\(\text{tr/min}\)

Questions à traiter

Calculer la célérité de l'onde de pression (\(a\)) dans la conduite.
Déterminer la période fondamentale (\(T\)) de l'installation.
Calculer la fréquence propre fondamentale du système hydraulique (\(f_h\)).
Déterminer la fréquence d'excitation principale de la pompe (\(f_e\)).
Comparer les fréquences et conclure sur le risque de résonance.

Phénomènes Vibratoires en Hydraulique

Une conduite hydraulique peut être vue comme un oscillateur. Une perturbation, comme la fermeture d'une vanne, y crée une onde de pression qui se propage. La vitesse de cette propagation est la célérité. Le temps que met l'onde pour faire un aller-retour définit la période de l'oscillation.

1. Célérité de l'onde (Formule d'Allievi)
La célérité (\(a\)) dépend des caractéristiques du fluide (masse volumique \(\rho\), module de compressibilité \(K\)) et de la conduite (diamètre \(D\), épaisseur \(e\), module de Young \(E\)). \[ a = \frac{1}{\sqrt{\rho \left( \frac{1}{K_{\text{fluide}}} + \frac{D}{E_{\text{conduite}} \cdot e} \right)}} \]

2. Période Fondamentale (Formule de Joukowsky)
La période fondamentale \(T\) d'une conduite de longueur \(L\) correspond au temps nécessaire pour que l'onde de pression effectue deux allers-retours (ex: vanne -> réservoir -> vanne -> réservoir -> vanne). Pour le mode fondamental (le plus simple), on utilise souvent une simplification où \(T\) est le temps pour un seul aller-retour. La formule la plus courante pour l'analyse est : \[ T = \frac{4L}{a} \quad \text{et la fréquence propre est} \quad f = \frac{1}{T} = \frac{a}{4L} \]

Correction : Analyse des Vibrations dans une Tuyauterie en Charge

Question 1 : Calculer la célérité de l'onde (\(a\))

Principe (le concept physique)

La célérité est la vitesse à laquelle une "information" de pression (une onde) se propage dans la conduite. Elle n'est pas infinie car le fluide (l'eau) est légèrement compressible et la conduite (l'acier) est élastique. Plus ces deux éléments sont rigides, plus l'onde se déplace vite. C'est l'équivalent de la vitesse du son, mais dans notre système couplé fluide/structure.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule d'Allievi combine deux flexibilités : celle du fluide (caractérisée par \(1/K_{\text{eau}}\)) et celle de la conduite (caractérisée par \(D/(E \cdot e)\)). La célérité est donc une propriété intrinsèque du système et ne dépend pas de la manière dont l'onde est générée (par une pompe ou une vanne). C'est la vitesse maximale à laquelle une perturbation peut voyager.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez ce calcul comme la pierre angulaire de toute l'analyse dynamique. Une erreur ici se répercutera sur tous les calculs suivants (période, fréquence). Prenez le temps de bien poser les unités ; c'est là que se trouvent 90% des erreurs.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'existe pas de "norme" pour la formule d'Allievi elle-même, car c'est une loi physique fondamentale. Cependant, les codes de conception pour les réseaux hydrauliques (comme les manuels de l'AWWA - American Water Works Association ou les normes européennes EN 805) exigent la prise en compte des phénomènes transitoires comme le coup de bélier, dont l'analyse repose entièrement sur le calcul de cette célérité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la célérité d'Allievi

a = \frac{1}{\sqrt{\rho \left( \frac{1}{K_{\text{eau}}} + \frac{D}{E_{\text{acier}} \cdot e} \right)}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le fluide remplit entièrement et en permanence la conduite (pas de poches d'air).
La conduite a des parois minces (\(D/e > 10\)), ce qui est le cas ici (\(500/10=50\)).
Le matériau de la conduite est homogène, isotrope et se comporte de manière linéairement élastique.
La présence de supports ou le type d'ancrage de la conduite sont négligés dans ce calcul de célérité.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous convertissons toutes les données dans les unités du Système International (m, kg, s, Pa) avant de commencer.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité (SI)
Masse volumique	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Module de compressibilité	\(K_{\text{eau}}\)	\(2.2 \times 10^9\)	\(\text{Pa}\)
Module de Young	\(E_{\text{acier}}\)	\(210 \times 10^9\)	\(\text{Pa}\)
Diamètre	\(D\)	0.5	\(\text{m}\)
Épaisseur	\(e\)	0.01	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

En ordre de grandeur, la célérité de l'onde dans une conduite d'eau en acier se situe souvent entre 1000 et 1300 m/s. Si votre résultat est très éloigné de cette plage (par exemple 200 m/s ou 5000 m/s), il est très probable qu'il y ait une erreur d'unité dans vos conversions, notamment sur les GPa ou les mm.

Schéma (Avant les calculs)

Section transversale de la conduite

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la flexibilité du fluide

\begin{aligned} \frac{1}{K_{\text{eau}}} &= \frac{1}{2.2 \times 10^9 \text{ Pa}} \\ &= 4.545 \times 10^{-10} \text{ Pa}^{-1} \end{aligned}

Calcul de la flexibilité de la conduite

\begin{aligned} \frac{D}{E_{\text{acier}} \cdot e} &= \frac{0.5 \text{ m}}{210 \times 10^9 \text{ Pa} \cdot 0.01 \text{ m}} \\ &= 2.381 \times 10^{-10} \text{ Pa}^{-1} \end{aligned}

Calcul de la célérité de l'onde

\begin{aligned} a &= \frac{1}{\sqrt{\rho \left( \frac{1}{K_{\text{eau}}} + \frac{D}{E_{\text{acier}} \cdot e} \right)}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1000 \cdot (4.545 \times 10^{-10} + 2.381 \times 10^{-10})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1000 \cdot (6.926 \times 10^{-10})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{6.926 \times 10^{-7}}} \\ &= \frac{1}{8.322 \times 10^{-4}} \\ &\Rightarrow a \approx 1201.6 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Propagation de l'Onde de Pression

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une célérité de 1202 m/s est très rapide. C'est plus de 3.5 fois la vitesse du son dans l'air (~340 m/s). Cela signifie qu'une perturbation à la vanne mettra seulement \(1200\text{m} / 1202\text{m/s} \approx 1\) seconde pour atteindre la pompe. Les phénomènes sont donc très rapides et ne peuvent pas être négligés.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de ne pas convertir les unités. Les GPa doivent devenir des Pa (\(10^9\)), et les mm des mètres (\(10^{-3}\)). Une autre erreur est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul du dénominateur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La célérité de l'onde dépend à la fois du fluide et du contenant.
La formule d'Allievi est l'outil de base pour ce calcul.
La cohérence des unités (Système International) est absolument cruciale pour obtenir un résultat correct.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de célérité et de coup de bélier a été formalisé par l'ingénieur italien Lorenzo Allievi au début du 20ème siècle. Ses travaux font encore aujourd'hui autorité et sont à la base de tous les logiciels modernes de simulation des réseaux hydrauliques.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La célérité de l'onde dans la conduite est d'environ \(a \approx 1202\) m/s.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la célérité si la conduite était en PVC, avec un module de Young \(E_{\text{PVC}} = 3\) GPa. (Toutes les autres données restent identiques).

Question 2 : Déterminer la période fondamentale (\(T\))

Principe (le concept physique)

La période fondamentale est le temps caractéristique de l'oscillation "naturelle" la plus lente du système. Elle correspond au temps nécessaire à l'onde de pression pour faire un aller-retour complet dans le système, en tenant compte des conditions aux limites (pompe/vanne d'un côté, réservoir de l'autre).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un système "pompe-conduite-réservoir" peut être assimilé à un tuyau fermé à une extrémité (la vanne ou le clapet de la pompe, qui peut se fermer) et ouvert à l'autre (le réservoir à pression constante). En acoustique, un tel système a une période fondamentale correspondant au temps de parcours de quatre fois la longueur du tuyau (\(T=4L/a\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne vous trompez pas de formule ! La période dépend des conditions aux extrémités. La formule en \(2L/a\) est pour des conditions identiques (ouvert-ouvert ou fermé-fermé). Le cas mixte (ouvert-fermé) en \(4L/a\) est le plus courant et le plus conservateur pour les réseaux de refoulement.

Normes (la référence réglementaire)

Les principes de calcul de la période sont issus de la mécanique des ondes et ne sont pas directement "normés". Cependant, les guides de bonne pratique en conception hydraulique s'appuient sur ces formules pour l'analyse vibratoire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la période fondamentale

T = \frac{4L}{a}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La conduite a une longueur et une section constantes.
L'onde subit une réflexion parfaite aux deux extrémités.
On considère le système comme un oscillateur à une dimension (propagation uniquement le long de la conduite).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité (SI)
Longueur	\(L\)	1200	\(\text{m}\)
Célérité (calculée)	\(a\)	1202	\(\text{m/s}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Une période de quelques secondes est typique pour les longues conduites de refoulement. Si vous obtenez une période de quelques millisecondes, vous avez probablement oublié un facteur 4 ou utilisé des unités incorrectes (km au lieu de m, par exemple).

Schéma (Avant les calculs)

Trajet de l'onde pour une Période (T = 4L/a)

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la période fondamentale

\begin{aligned} T &= \frac{4 \times 1200 \text{ m}}{1202 \text{ m/s}} \\ &= \frac{4800}{1202} \\ &\Rightarrow T \approx 3.993 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Pression à la Vanne

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une période de près de 4 secondes est relativement longue. Cela signifie que le système hydraulique oscille lentement. C'est une caractéristique typique des grands systèmes d'adduction d'eau ou des oléoducs, où les longueurs sont importantes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le piège principal est d'utiliser la mauvaise formule. Ne pas utiliser \(T=L/a\) (simple temps de parcours) ou \(T=2L/a\) (aller-retour simple), qui ne représentent pas la période fondamentale du système oscillant ouvert-fermé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La période fondamentale dépend de la longueur et de la célérité.
La formule \(T=4L/a\) est la référence pour un circuit type refoulement.
Une grande longueur implique une longue période.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'équation du coup de bélier de Joukowsky, qui relie la surpression \(\Delta P\) à la célérité \(a\) et au changement de vitesse \(\Delta v\) (\(\Delta P = \rho \cdot a \cdot \Delta v\)), a été développée à la fin du 19ème siècle après l'étude de plusieurs accidents sur des conduites forcées hydroélectriques.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La période fondamentale de l'installation est \(T \approx 3.99\) s.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la période si la conduite ne faisait que 600 m de long (avec la même célérité) ?

Question 3 : Calculer la fréquence propre fondamentale (\(f_h\))

Principe (le concept physique)

La fréquence est l'inverse de la période. Elle représente le nombre d'oscillations complètes que le système effectuerait naturellement par seconde s'il était perturbé puis laissé à lui-même. C'est la "note" sur laquelle le système hydraulique "chante" naturellement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Tout système mécanique ou structurel possède une ou plusieurs fréquences propres. Lorsqu'il est excité à l'une de ces fréquences, l'amplitude de ses vibrations est maximale : c'est le phénomène de résonance. La fréquence fondamentale est la plus basse de ces fréquences et, souvent, la plus dangereuse car elle est la plus facile à exciter.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette valeur de fréquence propre est le "chiffre magique" à protéger. L'objectif de l'ingénieur est de s'assurer qu'aucune source d'excitation permanente dans le système ne fonctionne à une fréquence proche de celle-ci (ou de ses premiers multiples).

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception industrielle (par ex. pour les installations pétrolières ou chimiques) imposent souvent un "facteur de séparation". Par exemple, la fréquence de fonctionnement d'une machine doit être inférieure à 0.8 fois la première fréquence propre, ou supérieure à 1.2 fois celle-ci, pour éviter toute interaction.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la fréquence propre

f_h = \frac{1}{T} = \frac{a}{4L}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le système est non-amorti (en réalité, il y a toujours un peu d'amortissement, mais on calcule la fréquence propre non-amortie par sécurité).
Le comportement est linéaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité (SI)
Période (calculée)	\(T\)	3.99	\(\text{s}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque la période était longue (plusieurs secondes), attendez-vous à une fréquence très basse (inférieure à 1 Hz). Si vous obtenez une fréquence de plusieurs dizaines ou centaines de Hz, votre calcul de période est probablement incorrect.

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre Période et Fréquence

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la fréquence propre

\begin{aligned} f_h &= \frac{1}{T} \\ &= \frac{1}{3.99 \text{ s}} \\ &\Rightarrow f_h \approx 0.2506 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Spectre de Fréquence du Système

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une fréquence de 0.25 Hz est extrêmement basse. Elle correspond à un cycle toutes les 4 secondes. Cela indique que le système est "lent" et "mou" d'un point de vue hydraulique. Il est peu probable que des équipements industriels standards, qui tournent beaucoup plus vite, puissent exciter ce mode fondamental.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention, ceci n'est que la fréquence fondamentale. Pour un système ouvert-fermé, les harmoniques impaires existent aussi, à \(3 \cdot f_h\), \(5 \cdot f_h\), etc. Bien que moins énergétiques, elles doivent être vérifiées si une fréquence d'excitation se trouve à proximité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Fréquence et période sont inversement liées : \(f = 1/T\).
La fréquence propre est LA caractéristique dynamique clé d'un oscillateur.
Les systèmes réels ont plusieurs fréquences propres (fondamentale + harmoniques).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de fréquence propre a été étudié pour la première fois par Galilée au 17ème siècle en observant des lustres se balançant dans la cathédrale de Pise. Il a remarqué que la période d'oscillation ne dépendait que de la longueur du pendule, une première intuition de la notion de fréquence propre.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fréquence propre fondamentale du système est \(f_h \approx 0.25\) Hz.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si une autre conduite a une période de 0.5 s, quelle est sa fréquence propre ?

Question 4 : Déterminer la fréquence d'excitation de la pompe (\(f_e\))

Principe (le concept physique)

Toute machine tournante génère des vibrations. La source principale de vibration (l'excitation) est directement liée à sa vitesse de rotation. Cette vibration se transmet à la structure et au fluide, agissant comme une force périodique qui "pousse" le système.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une pompe centrifuge, il existe plusieurs fréquences d'excitation. La plus évidente est la fréquence de rotation (\(f_e = N/60\)). Une autre, souvent plus énergétique, est la fréquence de passage des aubes (Blade Pass Frequency, BPF), qui est \(f_{\text{BPF}} = f_e \times (\text{nombre d'aubes})\). Pour une première analyse, on se concentre toujours sur la fréquence de rotation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La conversion de tours/minute en Hertz est une opération simple mais fondamentale. Assurez-vous de la maîtriser. C'est le pont entre le monde de la mécanique des machines (les RPM des catalogues) et le monde de l'analyse vibratoire (les Hertz des spectres).

Normes (la référence réglementaire)

La norme ISO 10816 ("Vibrations mécaniques -- Évaluation des vibrations des machines par mesurages sur les parties non tournantes") fournit des seuils de vibration admissibles pour les pompes en fonction de leur puissance et de leur type. Ces mesures sont effectuées à la fréquence de rotation et à ses harmoniques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de conversion de la fréquence

f_e (\text{Hz}) = \frac{N (\text{tr/min})}{60}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La vitesse de rotation de la pompe est constante et stable à 1500 tr/min.
La source de vibration principale est liée à la rotation (balourd résiduel) et non à d'autres phénomènes (hydrauliques, électriques).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de rotation	\(N\)	1500	\(\text{tr/min}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour les moteurs asynchrones standards sur un réseau 50 Hz (Europe), les vitesses synchrones sont 3000, 1500, 1000, 750 tr/min. Leurs fréquences correspondantes sont donc 50, 25, 16.7, 12.5 Hz. Connaître ces valeurs par cœur est très utile pour une estimation rapide.

Schéma (Avant les calculs)

Source d'Excitation : Pompe Rotative

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la fréquence d'excitation

\begin{aligned} f_e &= \frac{N (\text{tr/min})}{60} \\ &= \frac{1500}{60} \\ &\Rightarrow f_e = 25 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Spectre d'Excitation de la Pompe

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une fréquence de 25 Hz est typique pour un équipement industriel. C'est une fréquence relativement élevée par rapport aux fréquences propres habituelles des grandes structures de génie civil, mais elle peut être proche des fréquences propres de petits éléments de tuyauterie ou de supports locaux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier les autres sources d'excitation ! La fréquence de passage des aubes est souvent plus critique. Si la pompe a 7 aubes, la fréquence BPF serait de \(25 \text{ Hz} \times 7 = 175 \text{ Hz}\). Il faut aussi vérifier cette fréquence et ses harmoniques.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La fréquence d'excitation principale d'une machine tournante est sa vitesse de rotation en Hz.
La conversion se fait en divisant les tr/min par 60.
D'autres fréquences d'excitation (harmoniques, BPF) existent et ne doivent pas être ignorées dans une analyse complète.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les variateurs de fréquence (VFD) modernes permettent de faire tourner les pompes à des vitesses variables pour économiser de l'énergie. C'est une excellente chose, mais cela complique l'analyse vibratoire car la pompe peut traverser des zones de résonance lors de ses montées en régime. Les ingénieurs doivent donc définir des "zones de vitesse interdites" à éviter.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fréquence d'excitation de la pompe est \(f_e = 25\) Hz.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la fréquence d'excitation pour un moteur tournant à 1800 tr/min ?

Question 5 : Conclure sur le risque de résonance

Principe (le concept physique)

La résonance se produit lorsque l'énergie injectée par l'excitateur (la pompe) arrive "au bon moment" pour amplifier une oscillation naturelle du système (le balancement de l'eau dans la conduite). Si la fréquence d'excitation \(f_e\) est égale à une fréquence propre \(f_h\), chaque "poussée" de la pompe renforce la précédente, et l'amplitude des vibrations peut augmenter jusqu'à la rupture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le risque de résonance existe si \(f_e \approx n \cdot f_h\), où \(n\) est un entier (\(n=1, 2, 3...\)). Le cas le plus dangereux est \(n=1\) (résonance primaire). Les résonances sur les harmoniques (\(n > 1\)) sont généralement moins sévères car l'énergie transmise est plus faible et l'amortissement du système est plus efficace à haute fréquence.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La conclusion est l'étape la plus importante. Un simple "c'est différent" ne suffit pas. Il faut quantifier l'écart et vérifier les harmoniques. Un ingénieur ne dit pas "ça passe", il dit "ça passe avec une marge de sécurité de X%", en se référant à une norme ou une règle de l'art.

Normes (la référence réglementaire)

De nombreuses normes, comme celles de l'American Petroleum Institute (API) pour les machines tournantes, exigent une "marge de séparation" (separation margin). Par exemple, la norme API 610 stipule que toute vitesse de fonctionnement continue doit être à au moins 15% d'écart de toute fréquence propre critique identifiée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Calcul du rapport harmonique

n = \frac{f_e}{f_h}

Si \(n\) est un entier (ou très proche d'un entier), il y a un risque de résonance.

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'amortissement du système est suffisant pour dissiper l'énergie des harmoniques de très haut rang.
Le modèle linéaire est suffisant pour prédire le comportement du système.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité (SI)
Fréquence propre	\(f_h\)	0.25	\(\text{Hz}\)
Fréquence d'excitation	\(f_e\)	25	\(\text{Hz}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour visualiser rapidement le risque, placez les fréquences sur un axe. Si elles sont visiblement très éloignées (comme 0.25 et 25), le risque de résonance primaire est nul. Il ne reste plus qu'à vérifier les harmoniques, mais seul un rapport simple (2, 3, 4...) est généralement préoccupant.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des Fréquences sur un Axe

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du rapport harmonique

\begin{aligned} n &= \frac{f_e}{f_h} \\ &= \frac{25 \text{ Hz}}{0.25 \text{ Hz}} \\ &\Rightarrow n = 100 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Évaluation du Risque de Résonance

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre que la fréquence d'excitation de la pompe coïncide parfaitement avec la 100ème harmonique de la fréquence propre du système. Cependant, en pratique, l'énergie des harmoniques de rang aussi élevé est extrêmement faible et totalement dissipée par l'amortissement naturel du système (frottements, etc.). Le risque d'une résonance destructrice à ce niveau est donc considéré comme nul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne concluez pas trop vite ! Si le rapport avait été de 2, 3 ou 4, même si l'on est sur une harmonique, une analyse plus poussée serait nécessaire. Le danger diminue très vite avec le rang de l'harmonique, mais les tout premiers rangs peuvent encore être problématiques.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La résonance se produit lorsque \(f_e\) est un multiple entier de \(f_h\).
Une large séparation entre \(f_e\) et les premières harmoniques de \(f_h\) est la clé de la sécurité.
Les harmoniques de rang élevé (>10) sont rarement une source de préoccupation majeure en hydraulique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effondrement du pont du Tacoma Narrows en 1940 est l'exemple le plus célèbre de destruction par oscillations. Bien qu'il s'agisse d'un phénomène aéroélastique complexe (le flottement) et non d'une simple résonance, cette catastrophe a gravé dans l'esprit de tous les ingénieurs la puissance destructrice des vibrations non maîtrisées.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fréquence d'excitation (25 Hz) est très éloignée de la fréquence propre fondamentale (0.25 Hz) et de ses premières harmoniques. Le risque de résonance est donc négligeable.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pompe tournait à 45 tr/min, quel serait le rang harmonique 'n' excité ? Entrez la valeur de n.

Outil Interactif : Fréquence hydraulique

Utilisez cet outil pour voir comment la longueur de la conduite et la célérité de l'onde influencent la période et la fréquence propre du système.

Paramètres d'Entrée

Longueur de la conduite (L) 1200 m

Célérité de l'onde (a) 1200 m/s

Résultats Clés

Période Fondamentale (T) - s

Fréquence Propre (fₕ) - Hz

Glossaire

Coup de bélier: Phénomène de surpression et dépression qui se propage sous forme d'onde dans une canalisation, suite à une variation brusque de la vitesse du fluide (par exemple, fermeture/ouverture rapide d'une vanne, arrêt/démarrage d'une pompe).
Célérité: Vitesse de propagation de l'onde de pression dans le milieu (fluide + conduite). Elle dépend de la compressibilité du fluide et de l'élasticité de la conduite.
Résonance: Phénomène d'amplification des oscillations d'un système, qui se produit lorsque la fréquence d'une excitation externe est proche d'une des fréquences propres (ou naturelles) du système.
Fréquence Propre: Fréquence à laquelle un système oscille naturellement lorsqu'il est perturbé et laissé à lui-même, sans excitation extérieure. Un système peut avoir plusieurs fréquences propres (la fondamentale et ses harmoniques).