ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse des Réflexions d’Onde de Coup de Bélier

Hydraulique : Analyse des Réflexions d'Onde de Coup de Bélier dans un Réseau Ramifié

Analyse des Réflexions d'Onde de Coup de Bélier dans un Réseau Ramifié

Contexte : L'Écho des Ondes de Pression

Le coup de bélierPhénomène de surpression et de dépression qui se propage dans une conduite lorsqu'un fluide en mouvement est brusquement arrêté ou ralenti (ex: fermeture rapide d'une vanne). est un phénomène transitoire potentiellement destructeur dans les réseaux en charge. Lorsqu'une onde de pression, générée par la fermeture d'une vanne, se propage dans une conduite, son comportement devient complexe lorsqu'elle rencontre une discontinuité, comme une jonction (ou "nœud") où la conduite se divise. À ce point, une partie de l'onde est réfléchie vers l'origine, et des ondes sont transmises dans les autres branches. Comprendre et calculer ces coefficients de réflexion et de transmissionRapports qui déterminent l'amplitude de l'onde réfléchie et des ondes transmises par rapport à l'onde incidente à une discontinuité du réseau. est essentiel pour prédire les surpressions maximales en tout point du réseau.

Remarque Pédagogique : Ce problème est une analogie hydraulique parfaite avec la réflexion des ondes électromagnétiques sur une ligne de transmission ou des ondes acoustiques à une interface. Le concept clé est celui de l' "impédance" de la conduite. Une onde se réfléchit lorsqu'elle rencontre un changement d'impédance. Cet exercice permet de calculer ces phénomènes pour un cas simple de réseau ramifié.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la surpression initiale due à un coup de bélier avec la formule de Joukowsky.
  • Comprendre le concept d'impédance hydraulique d'une conduite.
  • Calculer les coefficients de réflexion et de transmission à une jonction simple.
  • Déterminer l'amplitude des ondes réfléchies et transmises.
  • Calculer la pression résultante à la jonction après le passage de l'onde.

Données de l'étude

Une conduite principale (1) se divise en un "Té" en deux conduites secondaires (2 et 3). De l'eau s'écoule de la conduite 1 vers les conduites 2 et 3. Une vanne située à l'extrémité de la conduite 2 est fermée instantanément, provoquant une onde de coup de bélier qui se propage en sens inverse vers la jonction (J).

Schéma du Réseau Ramifié
Conduite 1 D1=400mm, a1=1000m/s Conduite 2 D2=250mm, a2=1200m/s, V2=1.5m/s Conduite 3 D3=200mm, a3=1100m/s Vanne Fermée J

Questions à traiter

  1. Calculer la surpression initiale \(\Delta H_i\) (en mètres de colonne d'eau) générée dans la conduite 2 par la fermeture de la vanne.
  2. Calculer les coefficients de réflexion (\(C_R\)) et de transmission (\(C_T\)) pour l'onde arrivant de la conduite 2 à la jonction J.
  3. Déterminer l'amplitude de l'onde réfléchie dans la conduite 2 (\(\Delta H_r\)) et des ondes transmises dans les conduites 1 et 3 (\(\Delta H_t\)).

Correction : Analyse des Réflexions d'Onde de Coup de Bélier

Question 1 : Calcul de la Surpression Initiale

Principe :
Vanne ΔH = a*ΔV/g

La fermeture instantanée d'une vanne annule la vitesse de l'eau (\(\Delta V = V_0 - 0 = V_0\)). Cette décélération brutale convertit l'énergie cinétique de l'eau en énergie de pression, créant une onde de surpression. L'amplitude de cette surpression est donnée par la formule de Joukowsky.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule de Joukowsky est la pierre angulaire de l'analyse des coups de bélier. Elle montre que la surpression est directement proportionnelle à la vitesse de l'onde (célérité \(a\)) et à la variation de vitesse de l'eau (\(\Delta V\)). Une célérité élevée (conduite rigide) et une vitesse d'écoulement élevée mènent aux surpressions les plus dangereuses.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = \frac{a \cdot \Delta V}{g} \]
Donnée(s) :
  • Célérité dans la conduite 2 : \(a_2 = 1200 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse initiale dans la conduite 2 : \(V_2 = 1.5 \, \text{m/s} \Rightarrow \Delta V = 1.5 \, \text{m/s}\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H_i &= \frac{1200 \times 1.5}{9.81} \\ &\approx 183.49 \, \text{mCE} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités de Pression : Le résultat \(\Delta H\) est une hauteur de colonne d'eau (mCE). Pour obtenir la surpression en Pascals (Pa), il faut multiplier par \(\rho g\). Une surpression de 183 mCE correspond à environ 18 bars, ce qui est énorme et peut facilement détruire une conduite non conçue pour cela.

Le saviez-vous ?

La "célérité" de l'onde de coup de bélier n'est pas la vitesse du son dans l'eau. Elle est plus faible car elle dépend de l'élasticité combinée de l'eau ET de la conduite. Une conduite en plastique (plus souple) aura une célérité plus faible qu'une conduite en acier (plus rigide), et donc des coups de bélier moins violents.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie une "fermeture instantanée" ?

En théorie, c'est une fermeture en un temps nul. En pratique, une fermeture est considérée comme instantanée si son temps de manœuvre est inférieur au temps d'aller-retour de l'onde sur la longueur de la conduite (\(t_f < 2L/a\)). Si la fermeture est plus lente, la surpression maximale est réduite.

Résultat : La surpression initiale est \(\Delta H_i \approx 183.5 \, \text{mCE}\).

Question 2 : Coefficients de Réflexion et Transmission

Principe :
ΔHi ΔHr = CR * ΔHi ΔHt = CT * ΔHi ΔHt = CT * ΔHi

Lorsqu'une onde de pression atteint une jonction, la continuité de la pression et la conservation du débit imposent une redistribution de l'énergie de l'onde. Les coefficients de réflexion et de transmission dépendent du rapport des impédances hydrauliques (\(Z = a/A\)) de la conduite d'origine et des conduites de destination.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule peut sembler complexe, mais elle exprime une idée simple : l'onde se réfléchit d'autant plus que la "résistance" au changement (la somme des impédances des branches de sortie) est différente de l'impédance de la branche d'entrée. Si la sortie est très "ouverte" (faible impédance), l'onde est fortement réfléchie en dépression. Si la sortie est très "fermée" (forte impédance), l'onde est réfléchie en surpression.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_R = \frac{A_2/a_2 - A_1/a_1 - A_3/a_3}{A_2/a_2 + A_1/a_1 + A_3/a_3} \]
\[ C_T = 1 + C_R \]
Donnée(s) :
  • \(D_1=0.4\text{m}, D_2=0.25\text{m}, D_3=0.2\text{m}\)
  • \(a_1=1000\text{m/s}, a_2=1200\text{m/s}, a_3=1100\text{m/s}\)
Calcul(s) :

1. Calcul des aires :

\[ A_1 = \pi(0.4)^2/4 \approx 0.1257 \text{ m}^2 \]
\[ A_2 = \pi(0.25)^2/4 \approx 0.0491 \text{ m}^2 \]
\[ A_3 = \pi(0.2)^2/4 \approx 0.0314 \text{ m}^2 \]

2. Calcul des termes \(A/a\) :

\[ A_1/a_1 \approx 1.257 \times 10^{-4}, \ A_2/a_2 \approx 4.091 \times 10^{-5}, \ A_3/a_3 \approx 2.856 \times 10^{-5} \]

3. Calcul des coefficients :

\[ \begin{aligned} C_R &= \frac{4.091 - 12.57 - 2.856}{4.091 + 12.57 + 2.856} \times 10^{-5} \\ &= \frac{-11.335}{19.517} \approx -0.581 \end{aligned} \]
\[ C_T = 1 + (-0.581) = 0.419 \]
Points de vigilance :

Identifier la conduite d'origine : La formule des coefficients dépend de la direction de l'onde. Ici, l'onde arrive de la conduite 2. Le terme "positif" au numérateur est donc celui de la conduite 2 (\(A_2/a_2\)). Si l'onde était arrivée de la conduite 1, le terme positif aurait été \(A_1/a_1\).

Le saviez-vous ?

Les protections anti-bélier, comme les ballons anti-bélier ou les cheminées d'équilibre, sont conçues pour agir comme des "absorbeurs d'onde". Elles introduisent une discontinuité avec une impédance très faible, ce qui provoque une forte réflexion de l'onde en dépression (\(C_R \approx -1\)), annulant ainsi la surpression initiale.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie un coefficient de réflexion négatif ?

Un \(C_R\) négatif signifie que l'onde de pression est réfléchie en son opposé. Une surpression est réfléchie en dépression, et vice-versa. Cela se produit lorsque l'impédance "en aval" de la jonction (\(A_1/a_1 + A_3/a_3\)) est plus grande que l'impédance de la conduite d'origine (\(A_2/a_2\)), ce qui est le cas ici. La jonction apparaît comme une "ouverture" relative.

Résultat : Le coefficient de réflexion est \(C_R \approx -0.58\) et le coefficient de transmission est \(C_T \approx 0.42\).

Question 3 : Amplitude des Ondes Réfléchies et Transmises

Principe :
Pression Initiale ΔHi ΔHr

L'amplitude de l'onde réfléchie (\(\Delta H_r\)) est simplement le produit du coefficient de réflexion par l'amplitude de l'onde incidente (\(\Delta H_i\)). De même, l'amplitude de l'onde transmise (\(\Delta H_t\)) est le produit du coefficient de transmission par l'onde incidente. La nouvelle pression à la jonction est la somme de la pression initiale, de l'onde incidente et de l'onde réfléchie (ou, de manière équivalente, de la pression initiale plus l'onde transmise).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pression ne s'additionne pas simplement. C'est la surpression (l'onde) qui se réfléchit et se transmet. La pression finale en un point est le résultat de la superposition de toutes les ondes qui y sont passées. Le coefficient de transmission \(C_T = 1 + C_R\) représente directement le facteur par lequel la surpression à la jonction est multipliée par rapport à l'onde incidente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_r = C_R \cdot \Delta H_i \]
\[ \Delta H_t = C_T \cdot \Delta H_i \]
Donnée(s) :
  • \(\Delta H_i \approx 183.5 \, \text{mCE}\)
  • \(C_R \approx -0.581\), \(C_T \approx 0.419\)
Calcul(s) :

1. Onde réfléchie dans la conduite 2 :

\[ \begin{aligned} \Delta H_r &= -0.581 \times 183.5 \\ &\approx -106.6 \, \text{mCE} \end{aligned} \]

2. Ondes transmises dans les conduites 1 et 3 :

\[ \begin{aligned} \Delta H_t &= 0.419 \times 183.5 \\ &\approx 76.9 \, \text{mCE} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Onde réfléchie vs Pression totale : Ne pas confondre l'onde réfléchie (\(\Delta H_r\)) avec la pression totale à la jonction. La pression totale à la jonction après réflexion est \(H_{initiale} + \Delta H_i + \Delta H_r = H_{initiale} + \Delta H_t\). Ici, la surpression à la jonction tombe à 76.9 mCE.

Le saviez-vous ?

Le "bélier hydraulique" est un dispositif ingénieux qui utilise le coup de bélier de manière contrôlée pour pomper de l'eau à une hauteur supérieure à la source, sans autre apport d'énergie. Il utilise une série de réflexions d'ondes pour créer une surpression suffisante pour ouvrir un clapet et envoyer une petite quantité d'eau vers le haut.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il après cette première réflexion ?

C'est le début d'un processus complexe. L'onde réfléchie (\(\Delta H_r\)) retourne vers la vanne fermée où elle se réfléchit à nouveau. Les ondes transmises (\(\Delta H_t\)) se propagent dans les autres conduites jusqu'à rencontrer d'autres discontinuités (réservoir, autre jonction...), où elles se réfléchiront à leur tour. La pression en tout point du réseau est la superposition de toutes ces ondes qui vont et viennent.

Résultat : L'onde réfléchie est de \(-106.6 \, \text{mCE}\) et les ondes transmises sont de \(+76.9 \, \text{mCE}\).

Simulation des Coefficients à une Jonction

Explorez comment les diamètres des conduites de sortie influencent la manière dont une onde de coup de bélier se réfléchit et se transmet à une jonction.

Paramètres de la Jonction
Coeff. de Réflexion (CR)
Coeff. de Transmission (CT)
Répartition de l'Onde Incidente

Le Saviez-Vous ?

Le bruit caractéristique du "coup de bélier" que l'on entend parfois dans les vieilles tuyauteries est le son de l'onde de pression qui se propage et se réfléchit dans les conduites. Chaque "bang" correspond au passage d'un front d'onde à haute pression.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si une des conduites de sortie est un cul-de-sac ?

Un cul-de-sac (vanne fermée ou extrémité de réseau) a une aire nulle (\(A=0\)). Son terme \(A/a\) est donc nul. Si, par exemple, la conduite 3 était un cul-de-sac, le coefficient de réflexion à la jonction serait calculé avec \(A_3/a_3 = 0\), ce qui augmenterait la réflexion.

Et si la jonction se connecte à un réservoir à niveau constant ?

Un réservoir est considéré comme ayant une aire infinie (\(A \to \infty\)), donc son terme \(A/a\) est infini. La formule du coefficient de réflexion montre que si l'une des branches de sortie a une impédance nulle (terme \(A/a\) infini), le coefficient de réflexion devient \(C_R = -1\). L'onde de surpression est totalement réfléchie en une onde de dépression de même amplitude.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une onde de coup de bélier arrive à une jonction où le diamètre de la conduite double soudainement (même célérité). Le coefficient de réflexion sera :

2. Pour minimiser la réflexion d'une onde à une jonction, il faut que l'impédance de la conduite d'origine soit :

Glossaire

Coup de Bélier
Phénomène transitoire de surpression et dépression dans une conduite, causé par une variation rapide du débit.
Célérité (a)
Vitesse de propagation de l'onde de pression dans la conduite. Elle dépend des propriétés du fluide et de la conduite.
Coefficient de Réflexion (CR)
Rapport entre l'amplitude de l'onde réfléchie et l'amplitude de l'onde incidente à une discontinuité.
Coefficient de Transmission (CT)
Rapport entre l'amplitude de l'onde transmise et l'amplitude de l'onde incidente à une discontinuité. On a toujours \(C_T = 1 + C_R\).
Hydraulique : Analyse des Réflexions d'Onde de Coup de Bélier

D’autres exercices d’hydraulique en charge:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *