ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse des Pertes de Charge dans un Collecteur

Analyse des Pertes de Charge dans un Collecteur en Hydraulique

Analyse des Pertes de Charge dans un Collecteur

Contexte : L'efficacité des systèmes hydrauliques.

En mécanique des fluides, la gestion des pertes de chargePerte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide, en mètres, ou en pression, en Pascals) subie par un fluide en mouvement. Elle est due aux frottements sur les parois (pertes régulières) et aux accidents de parcours comme les coudes ou les vannes (pertes singulières). est essentielle pour le dimensionnement efficace des réseaux de tuyauterie. Un collecteur, ou "manifold", est un composant clé qui distribue un fluide depuis une entrée principale vers plusieurs sorties. Chaque division du flux et chaque section de tuyau engendre des pertes d'énergie qui réduisent la pression disponible aux sorties. Cet exercice a pour but de calculer la chute de pression totale dans un collecteur simple, en se basant sur les principes fondamentaux de l'hydraulique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un problème d'ingénierie courant : assurer une distribution équilibrée de fluide. Nous allons décomposer le problème en calculant les pertes dans chaque segment du collecteur. Cela implique de déterminer le régime d'écoulementCaractérise la nature de l'écoulement d'un fluide. Il peut être laminaire (faibles vitesses, trajectoires lisses) ou turbulent (hautes vitesses, tourbillons chaotiques). Le nombre de Reynolds permet de le déterminer., de trouver le facteur de frottementCoefficient sans dimension qui quantifie la résistance due au frottement d'un fluide contre la paroi d'une conduite. Il dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité de la paroi., et d'appliquer l'équation de Darcy-Weisbach, un pilier de la mécanique des fluides.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse du fluide dans différentes sections d'une tuyauterie.
  • Déterminer le nombre de ReynoldsNombre sans dimension utilisé pour prédire le régime d'écoulement d'un fluide. Un Re faible (< 2000) indique un écoulement laminaire, un Re élevé (> 4000) un écoulement turbulent. pour caractériser le régime d'écoulement.
  • Utiliser l'équation de Colebrook (ou une approximation) pour trouver le facteur de frottement.
  • Appliquer l'équation de Darcy-WeisbachÉquation fondamentale en hydraulique qui permet de calculer les pertes de charge dues au frottement (pertes de charge régulières) dans une conduite. pour calculer les pertes de charge régulières.
  • Comprendre comment les débits et les pertes de charge se répartissent dans un collecteur.

Données de l'étude

Un collecteur en PVC distribue de l'eau à 20°C. Il est composé d'un tuyau principal qui se divise en deux branches secondaires identiques. On souhaite déterminer la perte de charge totale entre le point A (entrée) et le point C (sortie de la première branche).

Schéma du collecteur hydraulique
A Q_AB B C Q_BC D Q_BD L_AB = 2 m L_BC = 1.5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit total à l'entrée A \(Q_{\text{AB}}\) 10 \(\text{m}^3/\text{h}\)
Diamètre interne du tuyau AB \(D_{\text{AB}}\) 50 \(\text{mm}\)
Diamètre interne du tuyau BC \(D_{\text{BC}}\) 32 \(\text{mm}\)
Rugosité du PVC \(\epsilon\) 0.0015 \(\text{mm}\)
Viscosité cinématique de l'eau \(\nu\) \(1.0 \times 10^{-6}\) \(\text{m}^2/\text{s}\)
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 \(\text{kg}/\text{m}^3\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse d'écoulement \(V_{\text{AB}}\) et le nombre de Reynolds \(Re_{\text{AB}}\) dans le tronçon AB.
  2. Déterminer le facteur de frottement \(f_{\text{AB}}\) et calculer la perte de charge régulière \(h_{f,\text{AB}}\) dans ce tronçon.
  3. En supposant que le débit se divise équitablement au point B, calculer la vitesse \(V_{\text{BC}}\) et le nombre de Reynolds \(Re_{\text{BC}}\) dans le tronçon BC.
  4. Déterminer le facteur de frottement \(f_{\text{BC}}\) et la perte de charge régulière \(h_{f,\text{BC}}\) dans le tronçon BC. (On négligera les pertes singulières au niveau du raccord en T).

Les bases de l'Hydraulique

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés sur les pertes de charge.

1. Le Nombre de Reynolds :
Ce nombre sans dimension est crucial car il détermine le régime de l'écoulement. Il compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. \[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \] Où \(V\) est la vitesse, \(D\) le diamètre et \(\nu\) la viscosité cinématique. Typiquement, si \(Re < 2000\), l'écoulement est laminaire. Si \(Re > 4000\), il est turbulent.

2. L'équation de Darcy-Weisbach :
C'est la formule reine pour calculer la perte de charge due au frottement dans une conduite (perte de charge régulière). \[ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \] Où \(h_f\) est la perte de charge (en mètres), \(f\) le facteur de frottement, \(L\) la longueur, \(D\) le diamètre, \(V\) la vitesse et \(g\) l'accélération de la pesanteur (\(9.81 \, \text{m/s}^2\)).

3. L'équation de Colebrook-White :
Pour les écoulements turbulents, le facteur de frottement \(f\) dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative (\(\epsilon/D\)). L'équation de Colebrook, implicite, permet de le trouver : \[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}} \right) \] En pratique, on utilise souvent des approximations explicites (comme l'équation de Swamee-Jain) ou des diagrammes (Moody) pour la résoudre.

Correction : Analyse des Pertes de Charge dans un Collecteur

Question 1 : Vitesse et Reynolds dans le tronçon AB

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à convertir toutes nos données dans un système d'unités cohérent (le Système International : mètres, secondes, etc.). Ensuite, à partir du débit volumique et de la section de la conduite, on peut calculer la vitesse moyenne du fluide. Cette vitesse est fondamentale pour ensuite calculer le nombre de Reynolds, qui nous indiquera si l'écoulement est calme (laminaire) ou chaotique (turbulent).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et le chaos) et les forces visqueuses (qui tendent à amortir les perturbations et à maintenir l'écoulement en couches lisses, ou "lamines"). Un Re élevé signifie que l'inertie domine, menant à un écoulement turbulent. Un Re faible signifie que la viscosité domine, favorisant un écoulement laminaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez verser du miel (très visqueux) et de l'eau (peu visqueux) à la même vitesse. Le miel s'écoulera de manière lisse et ordonnée (laminaire, Re faible), tandis que l'eau formera rapidement des remous et des tourbillons (turbulent, Re élevé). Le nombre de Reynolds quantifie cette différence de comportement.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de plomberie et de CVC (Chauffage, Ventilation, Climatisation), comme le DTU en France, spécifient souvent des vitesses maximales recommandées dans les tuyauteries (par ex., 1.5 à 2 m/s) pour limiter le bruit acoustique généré par la turbulence et pour prévenir l'érosion des conduites.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La relation entre le débit \(Q\), la vitesse \(V\) et l'aire de la section \(A\) est :

\[ Q = V \cdot A \quad \Rightarrow \quad V = \frac{Q}{A} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Le nombre de Reynolds est donné par :

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le fluide (l'eau) est incompressible et que la vitesse calculée est une vitesse moyenne sur toute la section du tuyau. L'écoulement est considéré comme établi (ne variant pas avec le temps).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Débit, \(Q_{\text{AB}} = 10 \, \text{m}^3/\text{h}\)
  • Diamètre, \(D_{\text{AB}} = 50 \, \text{mm}\)
  • Viscosité, \(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La conversion des débits est une source d'erreur fréquente. Retenez que 1 m³ = 1000 litres et 1 heure = 3600 secondes. Donc, pour passer de m³/h à m³/s, il suffit de diviser par 3600. Pour les diamètres, divisez simplement les millimètres par 1000 pour obtenir des mètres.

Schéma (Avant les calculs)
Section de conduite et paramètres
V = ?D = 50 mmQ = 10 m³/h
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{AB}} &= \frac{10}{3600} \\ &\approx 0.00278 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{AB}} &= 50 \, \text{mm} \\ &= 0.050 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'aire de la section :

\[ \begin{aligned} A_{\text{AB}} &= \frac{\pi \cdot (0.050)^2}{4} \\ &\approx 0.001963 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

3. Calcul de la vitesse :

\[ \begin{aligned} V_{\text{AB}} &= \frac{0.00278}{0.001963} \\ &\approx 1.41 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

4. Calcul du nombre de Reynolds :

\[ \begin{aligned} Re_{\text{AB}} &= \frac{1.41 \cdot 0.050}{1.0 \times 10^{-6}} \\ &\approx 70500 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultats pour le tronçon AB
V ≈ 1.41 m/sRe ≈ 70500 (Turbulent)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre de Reynolds est de 70500. Cette valeur est très supérieure à 4000, ce qui indique sans ambiguïté que l'écoulement dans le tronçon principal est turbulent. Cette information est cruciale car elle dicte la méthode à utiliser pour calculer le facteur de frottement à la question suivante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est l'incohérence des unités. Assurez-vous que toutes les longueurs sont en mètres (m), les temps en secondes (s) et les débits en mètres cubes par seconde (m³/s) avant d'appliquer les formules pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 ou 3600.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vitesse se déduit du débit et de l'aire de la section : \(V = Q/A\).
  • Le nombre de Reynolds (\(Re = VD/\nu\)) permet de connaître le régime d'écoulement.
  • Un \(Re > 4000\) signifie que l'écoulement est turbulent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En 1883, l'ingénieur et physicien Osborne Reynolds a visualisé la transition laminaire-turbulent en injectant un filet d'encre dans un écoulement d'eau dans un tube de verre. À faible vitesse, le filet restait droit (laminaire), puis à plus haute vitesse, il se mettait soudainement à onduler et se mélanger de façon chaotique (turbulent). C'est cette expérience qui a mené à la formulation du nombre qui porte son nom.

FAQ (pour lever les doutes)
Le nombre de Reynolds a-t-il des unités ?

Non, c'est un nombre adimensionnel. Si vous analysez ses unités (\((m/s) \cdot m / (m^2/s)\)), vous verrez que toutes les unités s'annulent. C'est ce qui le rend si puissant : un écoulement avec Re=50000 se comportera de la même manière, qu'il s'agisse d'eau dans un tuyau ou d'air autour d'une maquette d'avion, à condition que les géométries soient similaires.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse dans le tronçon AB est d'environ 1.41 m/s et le nombre de Reynolds est d'environ 70500, indiquant un régime turbulent.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre du tuyau AB était de 63 mm, quelle serait la nouvelle vitesse en m/s ?

Question 2 : Facteur de frottement et perte de charge dans AB

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous savons que l'écoulement est turbulent, la perte d'énergie par frottement dépend à la fois de la turbulence (via le nombre de Reynolds) et de l'état de surface de la conduite (la rugosité). Nous utilisons l'équation de Swamee-Jain, une approximation explicite très précise de l'équation de Colebrook, pour trouver le facteur de frottement \(f\). Une fois ce facteur connu, il suffit de l'injecter dans l'équation de Darcy-Weisbach pour quantifier la perte de charge en mètres de colonne d'eau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La perte de charge représente l'énergie "perdue" par le fluide, transformée en chaleur par les forces de frottement. La formule de Darcy-Weisbach montre qu'elle augmente avec le carré de la vitesse (\(V^2\)). C'est pourquoi doubler le débit dans une conduite ne double pas les pertes, mais les quadruple approximativement. Elle augmente aussi avec la longueur L et diminue avec le diamètre D.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la perte de charge comme à la "fatigue" du fluide. Plus il va vite, plus le tuyau est long et rugueux, et plus il se "fatigue", perdant de la pression. Notre travail d'ingénieur est de dimensionner les tuyaux et les pompes pour que le fluide arrive à destination avec encore assez d'énergie (de pression) pour faire son travail.

Normes (la référence réglementaire)

Les fabricants de tuyaux fournissent des tableaux et des abaques basés sur ces formules pour aider au dimensionnement. Les normes sur les matériaux, comme celles pour le PVC (par ex. NF EN ISO 1452), garantissent des valeurs de rugosité fiables pour les calculs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Approximation de Swamee-Jain pour le facteur de frottement :

\[ f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2} \]

Équation de Darcy-Weisbach :

\[ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'écoulement est "pleinement développé", c'est-à-dire que le profil de vitesse ne change plus le long du tuyau. C'est généralement vrai si le tuyau est assez long après une perturbation (coude, vanne...).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(Re_{\text{AB}} = 70500\) (de Q1)
  • \(V_{\text{AB}} = 1.41 \, \text{m/s}\) (de Q1)
  • \(D_{\text{AB}} = 0.050 \, \text{m}\)
  • Longueur, \(L_{\text{AB}} = 2 \, \text{m}\)
  • Rugosité, \(\epsilon = 0.0015 \, \text{mm} = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{m}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une vérification rapide, de nombreux calculateurs en ligne ou applications mobiles permettent de résoudre l'équation de Colebrook ou d'appliquer la formule de Darcy-Weisbach. C'est un excellent moyen de valider vos calculs manuels.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la Perte de Charge
P₁P₂h_f = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la rugosité relative :

\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D_{\text{AB}}} &= \frac{1.5 \times 10^{-6}}{0.050} \\ &= 0.00003 \end{aligned} \]

2. Calcul du facteur de frottement \(f_{\text{AB}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{AB}} &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D_{\text{AB}}}{3.7} + \frac{5.74}{Re_{\text{AB}}^{0.9}} \right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{0.00003}{3.7} + \frac{5.74}{70500^{0.9}} \right) \right]^2} \\ &\approx \frac{0.25}{(-3.67)^2} \\ &\approx 0.0186 \end{aligned} \]

3. Calcul de la perte de charge \(h_{f,\text{AB}}\) :

\[ \begin{aligned} h_{f,\text{AB}} &= f_{\text{AB}} \cdot \frac{L_{\text{AB}}}{D_{\text{AB}}} \cdot \frac{V_{\text{AB}}^2}{2g} \\ &= 0.0186 \cdot \frac{2}{0.050} \cdot \frac{(1.41)^2}{2 \cdot 9.81} \\ &\approx 0.075 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne d'Énergie pour le Tronçon AB
Perte h_f = 0.075 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte de charge dans ce premier tronçon est de 0.075 mètres, soit 7.5 cm de colonne d'eau. Cela signifie que l'énergie du fluide a diminué d'une quantité équivalente à ce qu'il faudrait pour l'élever de 7.5 cm. On peut aussi convertir cette perte en pression : \(\Delta P = \rho g h_f \approx 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.075 \approx 736 \, \text{Pa}\). C'est une perte relativement faible, ce qui est attendu pour un tuyau court et lisse.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la base du logarithme dans la formule de Swamee-Jain (log base 10). Assurez-vous également que votre calculatrice est correctement utilisée. N'oubliez pas le terme \(2g\) au dénominateur de l'équation de Darcy-Weisbach, une omission fréquente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La perte de charge régulière se calcule avec l'équation de Darcy-Weisbach.
  • Le facteur de frottement \(f\) dépend du Reynolds et de la rugosité relative \(\epsilon/D\).
  • La perte de charge est une perte d'énergie, exprimée en mètres de hauteur de fluide.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les écoulements très turbulents dans des tuyaux très rugueux ("régime turbulent rugueux"), le facteur de frottement \(f\) ne dépend quasiment plus du nombre de Reynolds, mais seulement de la rugosité relative \(\epsilon/D\). Les pertes de charge deviennent alors purement proportionnelles au carré de la vitesse.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre perte de charge (m) et perte de pression (Pa) ?

Elles représentent la même perte d'énergie, mais exprimée dans des unités différentes. La relation est directe : \(\Delta P = \rho \cdot g \cdot h_f\). La perte de charge en mètres est souvent plus intuitive car elle peut être directement comparée à des hauteurs et est indépendante de la nature du fluide (pour une même cinématique).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge régulière dans le tronçon AB est d'environ 0.075 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le tuyau était en fonte (rugosité \(\epsilon\) = 0.26 mm), quelle serait la nouvelle perte de charge \(h_{f,\text{AB}}\) en mètres ?

Question 3 : Vitesse et Reynolds dans le tronçon BC

Principe (le concept physique)

Au point B, le collecteur se divise. L'énoncé nous demande de supposer une division équitable du débit. Le débit dans la branche BC sera donc la moitié du débit total. Comme le diamètre de cette branche est également plus petit, nous devons recalculer la nouvelle vitesse et le nouveau nombre de Reynolds pour cette section.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce problème applique le principe de conservation de la masse à un volume de contrôle entourant la jonction en T. Pour un écoulement permanent, la masse de fluide qui entre dans le volume par unité de temps doit être égale à la masse qui en sort. Comme le fluide est incompressible (\(\rho\) = constante), cela se simplifie en conservation du débit volumique : \(Q_{\text{entrant}} = \sum Q_{\text{sortants}}\), soit \(Q_{\text{AB}} = Q_{\text{BC}} + Q_{\text{BD}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme une autoroute à deux voies (tronçon AB) qui se sépare en deux routes nationales à une voie (BC et BD). Le nombre total de voitures par heure qui arrive à la bifurcation doit être égal à la somme des voitures qui s'engagent sur chaque route nationale. Si les routes sont identiques, on s'attend à ce que le trafic se divise en deux parts égales.

Normes (la référence réglementaire)

La conception de collecteurs (pour l'irrigation, le chauffage au sol, etc.) vise à obtenir une distribution de débit la plus uniforme possible. Des règles de conception, souvent basées sur des simulations et des expériences, permettent de dimensionner les diamètres successifs pour équilibrer les pertes de charge et garantir que la dernière sortie ne soit pas trop défavorisée par rapport à la première.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules sont les mêmes que pour la Question 1, mais avec les nouvelles valeurs de débit et de diamètre.

\[ V = \frac{Q}{A} \quad \text{et} \quad Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse clé ici est la division parfaite du débit : \(Q_{\text{BC}} = Q_{\text{BD}} = Q_{\text{AB}} / 2\). En réalité, de légères asymétries pourraient modifier cette répartition, mais c'est une simplification courante et raisonnable pour une première analyse.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Débit total, \(Q_{\text{AB}} = 0.00278 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Diamètre, \(D_{\text{BC}} = 32 \, \text{mm} = 0.032 \, \text{m}\)
  • Viscosité, \(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Notez la relation \(V \propto Q/D^2\). Si vous divisez le débit par 2 et le diamètre par 2, la vitesse sera multipliée par \( (1/2) / (1/2)^2 = (1/2) / (1/4) = 2 \). La vitesse double ! C'est pourquoi les réductions de diamètre ont un effet si spectaculaire sur la vitesse.

Schéma (Avant les calculs)
Division du Débit au Point B
Q_ABQ_BC = ?Q_BD = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du débit dans la branche BC :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{BC}} &= \frac{Q_{\text{AB}}}{2} \\ &= \frac{0.00278}{2} \\ &= 0.00139 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'aire de la section BC :

\[ \begin{aligned} A_{\text{BC}} &= \frac{\pi \cdot (0.032)^2}{4} \\ &\approx 0.000804 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

3. Calcul de la vitesse \(V_{\text{BC}}\) :

\[ \begin{aligned} V_{\text{BC}} &= \frac{0.00139}{0.000804} \\ &\approx 1.73 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

4. Calcul du nombre de Reynolds \(Re_{\text{BC}}\) :

\[ \begin{aligned} Re_{\text{BC}} &= \frac{1.73 \cdot 0.032}{1.0 \times 10^{-6}} \\ &\approx 55360 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vitesses et Débits dans le Collecteur
V=1.41 m/sV=1.73 m/sV=1.73 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Fait intéressant : bien que le débit ait été divisé par deux, la vitesse a augmenté (de 1.41 à 1.73 m/s). C'est dû à la forte réduction du diamètre, dont l'effet (au carré dans l'aire) est plus important que la réduction du débit. Le nombre de Reynolds a diminué mais reste bien au-dessus du seuil de turbulence (55360 > 4000). L'écoulement dans la branche secondaire est donc également turbulent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'hypothèse de division égale du débit est une simplification. En réalité, le fluide se répartit en fonction des résistances hydrauliques de chaque branche. Si les branches ne sont pas parfaitement identiques (longueurs différentes, etc.), le débit ne se divisera pas à 50/50. Un calcul précis nécessiterait de résoudre un système d'équations.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le débit se conserve aux jonctions : ce qui entre doit sortir.
  • Une réduction de diamètre à débit constant (ou quasi-constant) augmente la vitesse.
  • Chaque tronçon d'un réseau a sa propre vitesse et son propre nombre de Reynolds.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les moteurs à combustion, les collecteurs d'admission et d'échappement sont des pièces d'ingénierie extrêmement complexes. Leur forme est optimisée par simulation numérique (CFD) pour non seulement distribuer le mélange air-carburant de façon égale, mais aussi pour utiliser les ondes de pression afin d'améliorer le remplissage et la vidange des cylindres, augmentant ainsi le rendement du moteur.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si les branches C et D n'étaient pas identiques ?

Le débit se répartirait de manière inégale. La branche ayant la plus faible "résistance hydraulique" (pertes de charge plus faibles) recevrait un débit plus important. Pour trouver la répartition exacte, il faudrait utiliser le fait que la pression au point B est la même pour les deux branches, et que la pression à la sortie (C et D) est souvent la même (par exemple, la pression atmosphérique). On résout alors un système d'équations pour trouver les débits qui satisfont cette condition.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse dans le tronçon BC est d'environ 1.73 m/s et le nombre de Reynolds est d'environ 55360.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le débit se répartissait de manière inégale (60% vers C, 40% vers D), quelle serait la vitesse dans le tronçon BC en m/s ?

Question 4 : Perte de charge dans le tronçon BC

Principe (le concept physique)

La démarche est identique à celle de la question 2. Nous utilisons les nouvelles valeurs de vitesse, de diamètre et de Reynolds pour le tronçon BC afin de calculer son facteur de frottement, puis la perte de charge correspondante. La perte de charge totale du point A au point C est simplement la somme des pertes des deux tronçons en série.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul des pertes de charge en série est une application directe du principe de conservation de l'énergie (équation de Bernoulli généralisée). L'énergie totale en A est égale à l'énergie totale en C plus la somme de toutes les pertes d'énergie survenues entre A et C. En négligeant les changements d'altitude et de vitesse (ou en les incluant), la différence de pression est directement liée à la somme des pertes de charge.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme un budget. Vous partez du point A avec une certaine somme d'énergie (pression). Chaque tronçon de tuyau vous "coûte" un peu d'énergie (la perte de charge). Pour savoir combien il vous reste à l'arrivée en C, vous devez additionner toutes les dépenses engagées sur le chemin (perte en AB + perte en BC).

Normes (la référence réglementaire)

Les logiciels de conception de réseaux hydrauliques (comme EPANET pour l'eau potable) sont basés sur ces principes fondamentaux. Ils calculent et additionnent les pertes de charge pour des milliers de tuyaux afin de simuler le comportement de réseaux entiers et de s'assurer que la pression minimale requise est respectée en tout point.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les équations de Swamee-Jain et Darcy-Weisbach sont à nouveau utilisées, ainsi que le principe d'additivité :

\[ h_{f, \text{Total}} = \sum h_{f, i} = h_{f, \text{AB}} + h_{f, \text{BC}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les pertes de charge singulières, c'est-à-dire la perte d'énergie supplémentaire causée par la division du flux dans le raccord en T. Cette simplification est acceptable si les longueurs de tuyau sont importantes par rapport à l'effet du raccord.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(Re_{\text{BC}} = 55360\) (de Q3)
  • \(V_{\text{BC}} = 1.73 \, \text{m/s}\) (de Q3)
  • \(D_{\text{BC}} = 0.032 \, \text{m}\)
  • Longueur, \(L_{\text{BC}} = 1.5 \, \text{m}\)
  • Rugosité, \(\epsilon = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque la perte de charge \(h_f\) est proportionnelle à \(L \cdot V^2 / D\), et que dans le tronçon BC la vitesse a augmenté et le diamètre a diminué, attendez-vous à ce que la perte de charge par mètre de tuyau soit bien plus élevée dans cette section que dans la première.

Schéma (Avant les calculs)
Chemin d'Analyse des Pertes A → C
ABCh_f,AC = h_f,AB + h_f,BC
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la rugosité relative :

\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D_{\text{BC}}} &= \frac{1.5 \times 10^{-6}}{0.032} \\ &\approx 0.000047 \end{aligned} \]

2. Calcul du facteur de frottement \(f_{\text{BC}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{BC}} &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D_{\text{BC}}}{3.7} + \frac{5.74}{Re_{\text{BC}}^{0.9}} \right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{0.000047}{3.7} + \frac{5.74}{55360^{0.9}} \right) \right]^2} \\ &\approx \frac{0.25}{(-3.59)^2} \\ &\approx 0.0194 \end{aligned} \]

3. Calcul de la perte de charge \(h_{f,\text{BC}}\) :

\[ \begin{aligned} h_{f,\text{BC}} &= f_{\text{BC}} \cdot \frac{L_{\text{BC}}}{D_{\text{BC}}} \cdot \frac{V_{\text{BC}}^2}{2g} \\ &= 0.0194 \cdot \frac{1.5}{0.032} \cdot \frac{(1.73)^2}{2 \cdot 9.81} \\ &\approx 0.138 \, \text{m} \end{aligned} \]

4. Calcul de la perte de charge totale de A à C :

\[ \begin{aligned} h_{f, \text{AC}} &= h_{f, \text{AB}} + h_{f, \text{BC}} \\ &= 0.075 + 0.138 \\ &= 0.213 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne d'Énergie Complète A → C
Δh=0.075mΔh=0.138mTotal = 0.213 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte de charge dans le second tronçon (0.138 m) est presque deux fois plus élevée que dans le premier (0.075 m), bien qu'il soit plus court. Ceci est dû à la vitesse plus élevée et au diamètre plus petit, deux facteurs qui augmentent significativement les pertes par frottement. La perte de charge totale pour atteindre la sortie C est de 0.213 m, soit une chute de pression d'environ \(1000 \cdot 9.81 \cdot 0.213 \approx 2090 \, \text{Pa}\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas d'utiliser les caractéristiques du tronçon BC (\(D_{\text{BC}}, V_{\text{BC}}, Re_{\text{BC}}\)) pour ce calcul. Une erreur commune serait de réutiliser le facteur de frottement du tronçon AB, ce qui serait incorrect car le diamètre et le Reynolds ont changé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les pertes de charge régulières s'additionnent pour des tuyaux en série.
  • La perte de charge totale est la somme des pertes de chaque tronçon parcouru.
  • Les tronçons à haute vitesse et faible diamètre contribuent de manière disproportionnée aux pertes totales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les pertes de charge singulières dans un raccord en T sont complexes. La valeur du coefficient de perte \(K\) dépend non seulement de la géométrie du T, mais aussi de la répartition du débit. La perte pour le flux qui va tout droit est différente de celle du flux qui bifurque à 90 degrés. Des abaques spécifiques sont nécessaires pour des calculs précis.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette perte de charge de 0.213 m, est-ce beaucoup ?

Tout est relatif. Pour un système de chauffage domestique avec une pompe qui fournit une hauteur de 5 à 10 mètres, c'est une perte faible. Pour un système d'irrigation par gravité avec une très faible pente, cela pourrait être une perte significative. La perte de charge doit toujours être comparée à l'énergie disponible fournie par la pompe ou la différence d'altitude.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge régulière dans le tronçon BC est d'environ 0.138 m. La perte de charge totale de A à C est de 0.213 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la chute de pression totale de A à C en Pascals (Pa) ? (Rappel : \(\Delta P = \rho g h_f\))

Outil Interactif : Paramètres du Collecteur

Modifiez le débit et les diamètres pour observer leur impact sur les pertes de charge.

Paramètres d'Entrée
10 m³/h
50 mm
32 mm
Résultats Clés (A -> C)
Perte Charge AB (m) -
Perte Charge BC (m) -
Perte Charge Totale (m) -

Le Saviez-Vous ?

Le diagramme de Moody, qui représente graphiquement l'équation de Colebrook, a été développé en 1944 par Lewis Ferry Moody. Il a révolutionné l'ingénierie hydraulique en fournissant une méthode graphique simple pour déterminer le facteur de frottement, évitant ainsi la résolution fastidieuse d'une équation implicite à une époque où les calculatrices n'existaient pas.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi néglige-t-on les pertes de charge singulières ?

Les pertes singulières sont dues aux "accidents" : coudes, tés, vannes, etc. Dans les réseaux avec de grandes longueurs de tuyaux droits, les pertes régulières (par frottement) sont prédominantes et on peut négliger les pertes singulières en première approximation. Pour un calcul de précision, surtout dans des réseaux compacts avec beaucoup de raccords, il faudrait les calculer et les ajouter. La perte dans un té comme celui-ci serait calculée avec un coefficient de perte \(K\) spécifique.

Comment la température de l'eau affecte-t-elle les calculs ?

La température affecte principalement la viscosité du fluide. Une eau plus chaude est moins visqueuse. Une viscosité plus faible \(\nu\) entraîne un nombre de Reynolds plus élevé pour la même vitesse, ce qui peut légèrement modifier le facteur de frottement. Pour des applications de haute précision ou avec de grands écarts de température, il est crucial d'utiliser la valeur de viscosité correspondant à la température de service.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le débit dans une conduite, la perte de charge régulière (h_f) sera approximativement...

2. Un écoulement avec un nombre de Reynolds de 1500 est considéré comme...

Perte de Charge (h_f)
Perte d'énergie d'un fluide en mouvement due aux frottements et aux singularités du réseau. Exprimée en mètres de colonne de fluide, elle représente une diminution de la pression.
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent) en comparant les forces d'inertie et les forces de viscosité.
Facteur de Frottement (f)
Coefficient adimensionnel qui intervient dans l'équation de Darcy-Weisbach et qui quantifie l'importance des pertes par frottement sur les parois de la conduite.
Analyse des Pertes de Charge dans un Collecteur

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