ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse de l’écoulement dans un égout pluvial

Hydraulique : Analyse de l'Écoulement dans un Égout Pluvial Partiellement Rempli

Analyse de l'écoulement dans un égout pluvial partiellement rempli

Contexte : La Géométrie au Service de l'Hydraulique Urbaine

Les réseaux d'assainissement pluvial sont constitués de conduites, le plus souvent circulaires, conçues pour fonctionner en écoulement à surface libreÉcoulement d'un liquide dont la surface supérieure est en contact avec un gaz (généralement l'atmosphère) à une pression constante. C'est le cas des rivières, des canaux, et des égouts non pleins.. Contrairement aux conduites en charge qui sont pleines et sous pression, un égout n'est que partiellement rempli. Cette particularité complique les calculs : les propriétés géométriques de l'écoulement — la section mouilléeAire de la section transversale de l'écoulement, en contact avec le fluide. Notée A., le périmètre mouilléLongueur de la paroi du canal ou de la conduite en contact avec le fluide. Noté P. et le rayon hydrauliqueRapport de la section mouillée sur le périmètre mouillé (Rh = A/P). C'est un paramètre clé qui représente l'efficacité hydraulique d'une section. — ne sont pas constantes et varient de manière non linéaire avec la hauteur d'eau. La détermination de la hauteur d'eau pour un débit donné, appelée hauteur normaleHauteur d'eau constante atteinte dans un canal long de pente et de section uniformes, pour un débit donné. C'est l'état d'équilibre où les forces motrices (gravité) compensent les forces de frottement., est un problème central pour le dimensionnement et la vérification de ces réseaux.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'école de l'application de la formule de Manning-Strickler à une géométrie non rectangulaire. Il met en évidence la nécessité de savoir calculer les propriétés géométriques complexes d'une section circulaire et montre comment la résolution d'un problème d'ingénierie passe souvent par des méthodes numériques ou graphiques lorsque les équations deviennent implicites.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et calculer les propriétés géométriques (section, périmètre, rayon hydraulique) d'une section circulaire partiellement remplie.
  • Appliquer la formule de Manning-Strickler pour déterminer la capacité d'un collecteur.
  • Comprendre la relation non linéaire entre la hauteur de remplissage et le débit.
  • Déterminer la hauteur normale par une méthode de calcul itérative ou graphique.
  • Vérifier le régime d'écoulement (nombre de Froude) pour la hauteur normale.

Données de l'étude

On étudie un collecteur d'eaux pluviales de section circulaire, en béton. Il doit évacuer un débit de pointe de \(Q = 0.8 \, \text{m}^3/\text{s}\) en régime uniforme.

Schéma d'une Section d'Égout Partiellement Remplie
R θ h

Données :

  • Diamètre de la conduite : \(D = 1.20 \, \text{m}\)
  • Pente de la conduite : \(S_0 = 0.2 \% = 0.002\)
  • Coefficient de Manning pour le béton : \(n = 0.013 \, \text{s/m}^{1/3}\)

Questions à traiter

  1. Exprimer les formules de la section mouillée \(A\), du périmètre mouillé \(P\), et du rayon hydraulique \(R_h\) en fonction du rayon \(R\) et de l'angle au centre \(2\theta\).
  2. Écrire la formule de Manning-Strickler reliant le débit \(Q\) aux propriétés de l'écoulement. En la combinant avec les formules géométriques, exprimer la relation \(A \cdot R_h^{2/3} = f(\theta)\) qui doit être satisfaite pour le débit donné.
  3. Sachant que la résolution numérique donne un angle \(\theta \approx 1.98\) radians, calculer la hauteur normale \(h_n\).
  4. Pour cette hauteur normale, calculer la vitesse de l'écoulement \(v\) et le nombre de Froude \(Fr\). Le régime est-il fluvial ou torrentiel ?

Correction : Analyse de l'écoulement dans un égout pluvial partiellement rempli

Question 1 : Propriétés Géométriques de la Section Circulaire

Principe :
Section A Périmètre P

Pour une section non rectangulaire, les propriétés hydrauliques doivent être calculées à partir de la géométrie de base. Pour un cercle, tout peut être exprimé en fonction du rayon \(R\) et de l'angle au centre \(2\theta\) qui sous-tend la surface libre. La section mouillée \(A\) est l'aire du secteur angulaire moins l'aire du triangle supérieur. Le périmètre mouillé \(P\) est la longueur de l'arc de cercle en contact avec l'eau.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il est essentiel de travailler avec l'angle en radians pour que les formules géométriques soient correctes, notamment \(P = 2R\theta\) et l'aire du secteur \(A_{secteur} = R^2\theta\). Oublier cette conversion est une source d'erreur majeure.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = R^2 (\theta - \sin\theta \cos\theta) = \frac{R^2}{2}(2\theta - \sin(2\theta)) \]
\[ P = 2R\theta \]
\[ R_h = \frac{A}{P} = \frac{R}{2\theta}(\theta - \sin\theta \cos\theta) \]
Donnée(s) :

Cette question est purement littérale et ne nécessite pas de données numériques. Elle prépare le terrain pour les calculs suivants.

Calcul(s) :

Aucun calcul numérique n'est demandé à cette étape.

Points de vigilance :

Angle \(\theta\) vs \(2\theta\) : Attention à la définition de l'angle. Certaines formules utilisent le demi-angle \(\theta\), d'autres l'angle total \(2\theta\). Il faut être cohérent. Ici, \(\theta\) est le demi-angle au centre.

Le saviez-vous ?

Le rayon hydraulique n'est pas un rayon au sens géométrique ! C'est un paramètre d'échelle qui quantifie l'efficacité d'une section à évacuer un débit. Pour une même section mouillée, un rayon hydraulique plus grand (forme plus "ronde") signifie moins de frottements et donc une plus grande vitesse.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le rayon hydraulique d'un tuyau plein est-il D/4 ?

Pour un tuyau plein, \(A = \pi R^2 = \pi (D/2)^2 = \pi D^2 / 4\). Le périmètre mouillé est la circonférence totale, \(P = 2\pi R = \pi D\). Le rayon hydraulique est donc \(R_h = A/P = (\pi D^2 / 4) / (\pi D) = D/4\).

Résultat : Les formules littérales sont établies pour les calculs ultérieurs.

Question 2 : Équation de Manning-Strickler

Principe :
Pente S0 Eau Gravité Frottement

L'équation de Manning-Strickler (avec \(K_s = 1/n\)) décrit la vitesse en régime uniforme, où la force motrice due à la pente est équilibrée par les forces de frottement. En la combinant avec l'équation de continuité (\(Q=vA\)), on obtient une relation directe entre le débit et les caractéristiques de la conduite. Le terme \(A \cdot R_h^{2/3}\) est parfois appelé "module de débit".

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette étape aboutit à une seule équation avec une seule inconnue (l'angle \(\theta\)). Cependant, cette équation est "implicite" ou "transcendante" : on ne peut pas isoler \(\theta\) par des manipulations algébriques simples. C'est le cœur du problème de la détermination de la hauteur normale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = \frac{1}{n} R_h^{2/3} S_0^{1/2} \]
\[ Q = v \cdot A = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2} \]
\[ \Rightarrow A R_h^{2/3} = \frac{Qn}{S_0^{1/2}} \]
Donnée(s) :
  • Débit : \(Q = 0.8 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Coefficient de Manning : \(n = 0.013 \, \text{s/m}^{1/3}\)
  • Pente : \(S_0 = 0.002\)
Calcul(s) :

On calcule d'abord la valeur numérique du terme de droite, qui est une constante pour notre problème :

\[ \begin{aligned} \frac{Qn}{S_0^{1/2}} &= \frac{0.8 \times 0.013}{\sqrt{0.002}} \\ &\approx \frac{0.0104}{0.0447} \\ &\approx 0.2326 \end{aligned} \]

L'équation à résoudre pour trouver la géométrie de l'écoulement est donc :

\[ A \cdot R_h^{2/3} \approx 0.2326 \]
Points de vigilance :

Pente sans dimension : La pente \(S_0\) doit être un nombre sans dimension (m/m). Une pente de 0.2% doit être convertie en 0.002. Utiliser 0.2 est une erreur très courante.

Le saviez-vous ?

La formule a été développée par l'ingénieur irlandais Robert Manning en 1889. Il a analysé des centaines de mesures d'écoulement pour proposer sa formule empirique, qui s'est avérée remarquablement robuste et est encore la plus utilisée au monde pour les calculs de canaux, plus de 130 ans plus tard.

FAQ en rapport avec la question :
Quelle est la différence avec la formule de Chézy ?

La formule de Chézy est une autre formule d'écoulement uniforme (\(v = C \sqrt{R_h S_0}\)). Les deux sont liées : le coefficient de Chézy \(C\) peut être exprimé en fonction du coefficient de Manning \(n\) par la relation \(C = \frac{1}{n}R_h^{1/6}\). La formule de Manning est souvent préférée car le coefficient \(n\) est considéré comme plus constant pour une large gamme d'écoulements.

Résultat : L'équation à résoudre pour trouver la géométrie de l'écoulement est \(A \cdot R_h^{2/3} \approx 0.2326\).

Question 3 : Calcul de la Hauteur Normale

Principe :
Cible = 0.2326 Angle θ f(θ) Solution θ ≈ 1.98

L'équation \(A \cdot R_h^{2/3} = 0.2326\) ne peut pas être résolue directement pour trouver l'angle \(\theta\), et donc la hauteur \(h\). On doit utiliser une méthode numérique : soit un solveur informatique, soit une méthode par essais-erreurs, soit des abaques pré-calculés. Une fois l'angle \(\theta\) déterminé (ici, donné par l'énoncé), on peut en déduire la hauteur d'eau correspondante par une simple relation trigonométrique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est un excellent exemple de la différence entre un problème "académique" simple et un problème d'ingénierie réel. La plupart des problèmes réels n'ont pas de solution analytique simple et nécessitent le recours à des outils de calcul numérique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h = R(1 - \cos\theta) \]
Donnée(s) :
  • Rayon de la conduite : \(R = D/2 = 1.20 / 2 = 0.6 \, \text{m}\)
  • Angle solution (donné) : \(\theta \approx 1.98 \, \text{rad}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} h_n &= 0.6 \times (1 - \cos(1.98)) \\ &\approx 0.6 \times (1 - (-0.392)) \\ &\approx 0.6 \times 1.392 \\ &\approx 0.835 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calculatrice en Radians : L'erreur la plus commune à cette étape est de laisser sa calculatrice en mode "degrés" pour calculer le cosinus. L'angle \(\theta\) étant le résultat de formules géométriques pures, il est obligatoirement en radians.

Le saviez-vous ?

Il existe des abaques (graphiques) qui donnent directement la valeur de \(A R_h^{2/3}\) en fonction du rapport de remplissage \(h/D\). Avant l'ère des ordinateurs, ces abaques étaient l'outil principal des ingénieurs pour dimensionner les égouts.

FAQ en rapport avec la question :
Comment un ordinateur résout-il cette équation ?

Un ordinateur utilise un algorithme de recherche de racine, comme la méthode de Newton-Raphson ou la méthode de la bissection. Il teste une valeur de \(\theta\), calcule l'erreur par rapport à la valeur cible (0.2326), puis ajuste intelligemment \(\theta\) pour réduire cette erreur, et répète le processus jusqu'à ce que l'erreur soit suffisamment petite.

Résultat : La hauteur normale de l'écoulement est \(h_n \approx 0.84 \, \text{m}\).

Question 4 : Vitesse et Régime d'Écoulement Final

Principe :
v ≈ 0.95 m/s Fr ≈ 0.35 (< 1) Régime Fluvial

Maintenant que la hauteur normale est connue, toutes les autres caractéristiques de l'écoulement peuvent être calculées. La vitesse se déduit de la continuité (\(v = Q/A\)). Le nombre de Froude, qui nécessite la largeur au miroir \(T\), permet de confirmer le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel), ce qui est important pour prévoir le comportement de l'eau face à d'éventuels obstacles en aval.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette dernière étape boucle la boucle : on a utilisé un débit pour trouver une géométrie, et maintenant on utilise cette géométrie pour trouver la vitesse et le régime. C'est la vérification finale du comportement de l'écoulement dans les conditions de projet.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = \frac{Q}{A} \]
\[ T = 2R\sin\theta \quad ; \quad D_h = \frac{A}{T} \]
\[ Fr = \frac{v}{\sqrt{gD_h}} \]
Donnée(s) :
  • Angle : \(\theta \approx 1.98 \, \text{rad}\)
  • Rayon : \(R = 0.6 \, \text{m}\)
  • Débit : \(Q = 0.8 \, \text{m}^3/\text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} A &= R^2 (\theta - \sin\theta \cos\theta) \\ &= (0.6)^2 (1.98 - \sin(1.98)\cos(1.98)) \\ &= 0.36 (1.98 - (0.917)(-0.392)) \\ &= 0.36 (1.98 + 0.359) \approx 0.842 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ v = \frac{0.8}{0.842} \approx 0.95 \, \text{m/s} \]
\[ \begin{aligned} T &= 2 \times 0.6 \times \sin(1.98) \approx 1.2 \times 0.917 \approx 1.10 \, \text{m} \\ D_h &= \frac{A}{T} = \frac{0.842}{1.10} \approx 0.765 \, \text{m} \\ Fr &= \frac{0.95}{\sqrt{9.81 \times 0.765}} \approx \frac{0.95}{2.74} \approx 0.35 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Profondeur hydraulique pour le Froude : Pour une section non rectangulaire, le Froude doit être calculé avec la profondeur hydraulique \(D_h = A/T\) et non la hauteur d'eau \(h\). Pour une section circulaire, ces deux valeurs peuvent être très différentes.

Le saviez-vous ?

De manière contre-intuitive, le débit maximal dans une conduite circulaire n'est pas atteint quand elle est pleine, mais à environ 93% de sa hauteur. Au-delà, l'augmentation du périmètre mouillé (et donc des frottements) est plus rapide que l'augmentation de la section mouillée, ce qui fait chuter le débit. La vitesse maximale est, elle, atteinte encore plus tôt, vers 81% de la hauteur.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie un Froude de 0.35 ?

Un nombre de Froude de 0.35 est nettement inférieur à 1. Cela confirme que l'écoulement est bien en régime fluvial (subcritique). Il est lent, calme, et la surface de l'eau est contrôlée par les conditions en aval (par exemple, un obstacle ou un changement de pente plus loin dans le réseau).

Résultat : La vitesse est \(v \approx 0.95 \, \text{m/s}\) et le nombre de Froude est \(Fr \approx 0.35\), confirmant un régime fluvial.

Simulation Interactive de l'Écoulement en Conduite

Faites varier le débit et la pente de la conduite. Observez comment la hauteur de remplissage et la vitesse s'ajustent.

Paramètres du Projet
Hauteur Normale
Vitesse d'Écoulement
Taux de Remplissage
Relation Débit-Hauteur

Pour Aller Plus Loin : Conception et Limites

Au-delà du régime uniforme : Notre calcul suppose un régime uniforme, ce qui est rare en pratique sur de longues distances. En réalité, les ingénieurs doivent calculer des "lignes d'eau" complètes, qui modélisent la variation de la hauteur d'eau le long de la conduite en tenant compte des changements de pente, des arrivées de débits latéraux (branchements), et des points de contrôle (regards, chutes, etc.). De plus, une contrainte de "vitesse d'autocurage" (souvent > 0.7 m/s) est imposée pour éviter le dépôt de sédiments.

Le Saviez-Vous ?

Les égouts de Paris, rendus célèbres par Victor Hugo dans "Les Misérables", constituent un réseau de plus de 2600 km. Initié sous Napoléon III par l'ingénieur Eugène Belgrand, ce système unitaire (mélangeant eaux de pluie et eaux usées) était une révolution pour la salubrité publique au 19ème siècle. Aujourd'hui, la tendance est aux réseaux "séparatifs" pour mieux traiter les eaux usées et gérer les eaux de pluie.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas simplement utiliser un tuyau plus grand ?

Surdimensionner un égout coûte cher en matériaux et en travaux de terrassement. De plus, pour les faibles débits (par temps sec), la vitesse de l'eau serait trop faible, entraînant le dépôt de sables et de sédiments qui finiraient par boucher la conduite. Le dimensionnement est donc un compromis entre la capacité à évacuer les fortes pluies et la capacité à s'auto-nettoyer par temps sec.

Que se passe-t-il si le débit dépasse la capacité maximale ?

Si le débit entrant est supérieur au débit maximal que la conduite peut évacuer à pleine section, elle se met en charge. La surface libre disparaît, la pression augmente et l'écoulement n'est plus régi par la pente mais par la différence de charge entre les points du réseau. Cela peut provoquer des débordements aux points bas du réseau, comme les regards ou les avaloirs.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le débit maximal dans une conduite circulaire est atteint lorsque :

2. Le rayon hydraulique d'une section circulaire à moitié pleine (h=R) est :

Glossaire

Section Mouillée (A)
Aire de la section transversale de l'écoulement occupée par le fluide.
Périmètre Mouillé (P)
Longueur de la paroi de la conduite en contact avec le fluide.
Rayon Hydraulique (Rh)
Rapport \(A/P\). Il caractérise l'efficacité hydraulique d'une section. Plus il est grand, moins il y a de frottements pour une section donnée.
Hauteur Normale (hn)
Hauteur d'eau d'un écoulement uniforme, où les forces de gravité (pente) et de frottement s'équilibrent parfaitement pour un débit donné.
Formule de Manning-Strickler
Formule empirique fondamentale pour calculer la vitesse d'un écoulement uniforme à surface libre en fonction du rayon hydraulique, de la pente et de la rugosité.
Hydraulique à Surface Libre : Écoulement en Égout Pluvial

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