ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse de l’Amorçage d’une Pompe Centrifuge

Exercice : Amorçage d'une Pompe Centrifuge

Analyse de l’Amorçage d’une Pompe Centrifuge

Contexte : L'un des défis majeurs en ingénierie hydraulique est d'assurer le bon fonctionnement des pompes, notamment en évitant le phénomène destructeur de la cavitationFormation de bulles de vapeur dans un liquide en raison d'une chute de pression locale, suivie de leur implosion violente..

Cet exercice porte sur l'analyse des conditions d'amorçage d'une pompe centrifuge installée en charge, c'est-à-dire au-dessus du niveau du réservoir d'aspiration. Nous allons vérifier si la pompe peut fonctionner sans risque de cavitation en calculant et comparant le NPSH disponibleNet Positive Suction Head Available : La pression absolue à l'entrée de la pompe, au-dessus de la pression de vapeur du liquide. C'est une caractéristique du circuit. du circuit avec le NPSH requisNet Positive Suction Head Required : La pression minimale requise à l'entrée de la pompe pour éviter la cavitation. C'est une caractéristique de la pompe, donnée par le fabricant. par la pompe.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de Bernoulli dans un cas pratique d'ingénierie, à quantifier les pertes de charge et à utiliser le critère du NPSH, une compétence essentielle pour le dimensionnement de tout réseau hydraulique.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et définir les notions de NPSH disponible et NPSH requis.
  • Calculer les pertes de charge linéaires et singulières dans une conduite d'aspiration.
  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour déterminer la pression à l'entrée de la pompe.
  • Vérifier la condition de non-cavitation pour une installation de pompage.
  • Déterminer la hauteur d'aspiration maximale admissible pour une pompe donnée.

Données de l'étude

On souhaite pomper de l'eau d'un bassin de stockage ouvert à l'atmosphère vers un réacteur pressurisé. La pompe centrifuge est installée en charge, comme le montre le schéma ci-dessous. Nous devons valider la conception de l'installation.

Schéma de l'Installation de Pompage
Bassin A (Source) Pression Atmosphérique Réacteur B (Destination) Pression Interne = 1.5 bar Zₐ = 0 m Zₚ = 2.5 m Zₑ = 15 m P Aspiration Refoulement h_asp
Caractéristique Valeur Unité
Fluide Eau à 25°C -
Débit volumique requis 80 m³/h
Altitude de l'installation Niveau de la mer -
Conduite d'aspiration Fonte, DN150 (Ø_int = 150 mm) -
Longueur de l'aspiration 8 m
Accessoires aspiration 1 crépine (K=2.0), 1 coude 90° (K=0.4) -
NPSH requis par la pompe 4.5 m

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'eau et le nombre de Reynolds dans la conduite d'aspiration.
  2. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire (\(\lambda\)) via la formule de Colebrook-White.
  3. Calculer les pertes de charge totales (linéaires et singulières) sur le tronçon d'aspiration.
  4. Calculer le NPSH disponible (\(\text{NPSH}_\text{a}\)) au niveau de la bride d'aspiration de la pompe.
  5. Conclure sur le risque de cavitation et proposer une solution si nécessaire.

Les bases de l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur trois piliers fondamentaux de la mécanique des fluides appliquée aux circuits.

1. Le Théorème de Bernoulli
Il exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait. Pour un fluide réel, on ajoute un terme de perte d'énergie (pertes de charge). Entre un point A et un point B, il s'écrit : \[ \frac{P_A}{\rho g} + Z_A + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{P_B}{\rho g} + Z_B + \frac{v_B^2}{2g} + \Delta h_{A \to B} \]

2. Les Pertes de Charge (\(\Delta h\))
Elles représentent l'énergie dissipée par frottement. On distingue les pertes de charge linéaires (frottement sur la longueur du tuyau) et singulières (obstacles : coudes, vannes...). \[ \Delta h_{\text{tot}} = \Delta h_{\text{lin}} + \Delta h_{\text{sing}} = \left( \lambda \frac{L}{D} \right) \frac{v^2}{2g} + \left( \sum K \right) \frac{v^2}{2g} \]

3. Le NPSH (Net Positive Suction Head)
Le critère fondamental pour éviter la cavitation est de s'assurer que le NPSH disponible dans l'installation est supérieur au NPSH requis par la pompe. \[ \text{NPSH}_{\text{disponible}} = \frac{P_{\text{aspiration}}}{\rho g} - \frac{P_{\text{vapeur}}}{\rho g} \] La condition à vérifier est : \(\text{NPSH}_{\text{disponible}} \ge \text{NPSH}_{\text{requis}} \times 1.3\) (marge de sécurité de 30%).

Correction : Analyse de l’Amorçage d’une Pompe Centrifuge

Question 1 : Vitesse de l'eau et nombre de Reynolds

Principe (le concept physique)

Pour caractériser l'écoulement, la première étape consiste à calculer la vitesse du fluide à partir du débit et de la section de la conduite. Le nombre de Reynolds nous permettra ensuite de déterminer le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent), ce qui est indispensable pour le calcul des pertes de charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vitesse (v) est une mesure du déplacement du fluide par unité de temps. Le nombre de Reynolds (Re) est un nombre sans dimension qui caractérise un écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie (qui tendent à créer des turbulences) et les forces de viscosité (qui tendent à amortir ces turbulences). Un Re faible (< 2000) indique un écoulement laminaire (ordonné), tandis qu'un Re élevé (> 4000) indique un écoulement turbulent (chaotique).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La source d'erreur la plus fréquente dans ce type de calcul est la gestion des unités. Prenez toujours le temps de convertir toutes vos données dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes...) AVANT de commencer le moindre calcul. Un débit en m³/h doit impérativement être converti en m³/s.

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" à proprement parler pour ce calcul de base, les définitions de la vitesse, du débit et du nombre de Reynolds sont universelles et formalisées par des organismes comme l'ISO (Organisation internationale de normalisation). Les propriétés des fluides (viscosité, masse volumique) sont également tabulées dans des normes internationales.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la Vitesse (v)

\[ v = \frac{Q_v}{A} = \frac{Q_v}{\pi \cdot (D/2)^2} \]

Formule du Nombre de Reynolds (Re)

\[ Re = \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\mu} = \frac{v \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour cette étape, nous posons les hypothèses suivantes :

  • L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
  • Le fluide est incompressible (la masse volumique de l'eau est constante).
  • La conduite est pleine et la vitesse est uniforme sur toute la section (profil de vitesse "moyen").
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité (SI)
Débit volumique\(Q_v\)\(80 \, \text{m}^3/\text{h}\)\(0.0222 \, \text{m}^3/\text{s}\)
Diamètre intérieurD\(150 \, \text{mm}\)\(0.15 \, \text{m}\)
Viscosité cinématique (eau 25°C)\(\nu\)\(0.89 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)\(0.89 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une première estimation dans les réseaux d'eau, une vitesse comprise entre 1 et 3 m/s est très courante. Si votre calcul vous donne une valeur très éloignée de cet intervalle (par exemple 0.05 m/s ou 20 m/s), il y a de fortes chances qu'une erreur d'unité ou de calcul se soit glissée.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite d'aspiration
D/2Débit Qv, Vitesse v
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du débit

\[ \begin{aligned} Q_v &= \frac{80 \, \text{m}^3}{1 \, \text{h}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} \\ &= 0.0222 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Calcul de la section de la conduite

\[ \begin{aligned} A &= \pi \frac{D^2}{4} \\ &= \pi \frac{(0.15 \, \text{m})^2}{4} \\ &= 0.01767 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse d'écoulement

\[ \begin{aligned} v &= \frac{0.0222 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.01767 \, \text{m}^2} \\ &= 1.256 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Calcul du nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.256 \, \text{m/s} \times 0.15 \, \text{m}}{0.89 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= 211966 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement du Régime d'Écoulement
Re20004000LaminaireTransitoireTurbulentNotre cas (≈2.1e5)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre de Reynolds est de 211,966, ce qui est très supérieur au seuil critique (environ 4000). L'écoulement est donc pleinement turbulent, ce qui est typique pour ce genre d'application industrielle. Cela signifie que les forces d'inertie dominent largement les forces de viscosité, et que les pertes de charge seront significatives.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Les erreurs classiques sont :

  • Oublier de convertir le débit en m³/s.
  • Utiliser le diamètre en mm au lieu de m.
  • Confondre le rayon et le diamètre dans la formule de l'aire (\(A = \pi r^2\) ou \(A = \pi D^2/4\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vitesse se déduit directement du débit et de la géométrie : \(v = Q/A\).
  • Le nombre de Reynolds (\(Re\)) détermine le régime d'écoulement.
  • Pour l'eau dans les tuyaux industriels, l'écoulement est presque toujours turbulent (\(Re > 4000\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'expérience qui a permis de visualiser la transition entre les régimes laminaire et turbulent a été réalisée en 1883 par l'ingénieur britannique Osborne Reynolds. Il injectait un filet d'encre dans un tube en verre transparent pour observer le comportement de l'écoulement à différentes vitesses.

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi la viscosité de l'eau change-t-elle avec la température ?

La viscosité d'un liquide est une mesure de sa résistance à l'écoulement. Lorsque la température augmente, l'agitation thermique des molécules augmente, ce qui réduit les forces intermoléculaires et permet au liquide de s'écouler plus facilement. La viscosité diminue donc.

Que se passerait-il si l'écoulement était laminaire ?

Si l'écoulement était laminaire, le profil de vitesse dans la conduite serait parabolique (vitesse maximale au centre, nulle sur les parois) et les pertes de charge seraient beaucoup plus faibles et plus simples à calculer, car elles ne dépendraient plus de la rugosité de la conduite.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse de l'eau est de \(1.26 \, \text{m/s}\) et le nombre de Reynolds est d'environ 212,000.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la vitesse et le nombre de Reynolds si l'on augmentait le débit à 120 m³/h.

Question 2 : Coefficient de perte de charge linéaire (\(\lambda\))

Principe (le concept physique)

Le coefficient de perte de charge linéaire, \(\lambda\) (lambda), aussi appelé facteur de friction de Darcy, est un nombre sans dimension qui quantifie la résistance à l'écoulement due aux frottements du fluide sur la paroi interne de la conduite. Il n'est pas une constante et dépend du régime d'écoulement (Re) et de la "propreté" de la surface du tuyau (rugosité relative).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse, le calcul de \(\lambda\) est complexe. La relation la plus précise est l'équation de Colebrook-White. Elle est implicite, ce qui signifie que \(\lambda\) apparaît des deux côtés de l'équation et ne peut pas être isolé directement. Sa résolution nécessite soit une méthode numérique itérative (on essaie une valeur de \(\lambda\), on calcule le résultat, on réinjecte le résultat, et ainsi de suite jusqu'à convergence), soit l'utilisation d'un abaque graphique comme le diagramme de Moody.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

N'essayez pas de résoudre l'équation de Colebrook à la main, c'est une perte de temps. En situation d'examen ou professionnelle, vous utiliserez soit un solveur sur calculatrice/ordinateur, soit une lecture sur le diagramme de Moody, qui est conçu précisément pour cela. Apprenez à bien lire ce diagramme, c'est une compétence clé en hydraulique.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Colebrook-White est la base de la plupart des normes et codes de calcul modernes pour les pertes de charge en régime turbulent, notamment dans les normes européennes (EN) et américaines (ASME). Les valeurs de rugosité absolue (\(\varepsilon\)) pour différents matériaux de tuyauterie sont également standardisées et disponibles dans les manuels de référence.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que la valeur de rugosité absolue (\(\varepsilon\)) pour la fonte est uniforme sur toute la longueur du tuyau et ne changera pas avec le temps (pas de corrosion ou d'entartrage).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité absolue (fonte)\(\varepsilon\)\(0.26\)\(\text{mm}\)
Diamètre intérieurD\(150\)\(\text{mm}\)
Nombre de ReynoldsRe\(211,966\)-
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, on peut utiliser des formules explicites approchées comme celle de Haaland. Pour la plupart des réseaux d'eau en charge, le coefficient \(\lambda\) se situe entre 0.015 (tuyau lisse) et 0.035 (tuyau rugueux). Si votre résultat est très différent, vérifiez vos calculs, notamment la rugosité relative.

Schéma (Avant les calculs)
Rugosité relative d'une conduite
Dε
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{\varepsilon}{D} &= \frac{0.26 \, \text{mm}}{150 \, \text{mm}} \\ &= 0.00173 \end{aligned} \]

Résolution itérative de Colebrook-White

Puisque l'équation est implicite, nous la résolvons par itérations successives. On commence avec une estimation initiale pour \(\lambda\) (par exemple, la valeur pour un tuyau lisse ou une valeur typique comme 0.02) et on l'injecte dans la partie droite de l'équation pour calculer une nouvelle valeur, jusqu'à ce que le résultat se stabilise.

Itération 1

On part d'une estimation initiale : \(\lambda_0 = 0.02\). On injecte cette valeur dans le membre de droite de l'équation :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00173}{3.7} + \frac{2.51}{211966 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000467 + \frac{2.51}{211966 \times 0.1414} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000467 + 0.0000838 \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.0005508 \right) \\ &= -2 \times (-3.259) \\ &= 6.518 \end{aligned} \]

On en déduit la nouvelle valeur \(\lambda_1\) :

\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \left( \frac{1}{6.518} \right)^2 \\ &= 0.0234 \end{aligned} \]

Itération 2

On réitère le calcul avec cette nouvelle valeur \(\lambda_1 = 0.0234\) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00173}{3.7} + \frac{2.51}{211966 \sqrt{0.0234}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000467 + \frac{2.51}{211966 \times 0.1530} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000467 + 0.0000775 \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.0005445 \right) \\ &= -2 \times (-3.264) \\ &= 6.528 \end{aligned} \]

On en déduit \(\lambda_2\) :

\[ \begin{aligned} \lambda_2 &= \left( \frac{1}{6.528} \right)^2 \\ &= 0.0231 \end{aligned} \]

Itération 3

On recommence avec \(\lambda_2 = 0.0231\) pour confirmer la convergence :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00173}{3.7} + \frac{2.51}{211966 \sqrt{0.0231}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000467 + \frac{2.51}{211966 \times 0.1520} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.000467 + 0.0000779 \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 0.0005449 \right) \\ &= -2 \times (-3.2637) \\ &= 6.527 \end{aligned} \]

On en déduit la valeur finale \(\lambda_3\) :

\[ \begin{aligned} \lambda_3 &= \left( \frac{1}{6.527} \right)^2 \\ &= 0.0231 \end{aligned} \]

Les valeurs de \(\lambda_2\) et \(\lambda_3\) sont identiques aux quatre premières décimales. La valeur a convergé.

Schéma (Après les calculs)
Lecture sur le Diagramme de Moody (principe)
Nombre de Reynolds, Re (échelle log)Facteur de friction, λε/D2.12e50.0231
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de \(\lambda=0.0231\) est cohérente pour un tuyau en fonte avec un écoulement turbulent. Un tuyau plus lisse (PVC, \(\varepsilon\)=0.0015mm) aurait eu un \(\lambda\) plus faible (environ 0.016), tandis qu'un tuyau très dégradé aurait eu un \(\lambda\) bien plus élevé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

  • Utiliser la rugosité relative \(\varepsilon/D\) (sans dimension) et non la rugosité absolue \(\varepsilon\) (en mm) dans les formules.
  • Vérifier la base du logarithme dans l'équation (log₁₀ et non le logarithme népérien ln).
  • Ne pas oublier la racine carrée sur \(\lambda\) dans l'équation.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le coefficient de perte de charge \(\lambda\) n'est pas une constante.
  • Il dépend du nombre de Reynolds (effets de la viscosité) et de la rugosité relative (effets de la paroi).
  • L'équation de Colebrook-White est la référence pour le calculer en régime turbulent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'équation a été développée par Cyril F. Colebrook et C. M. White en 1939. En raison de sa nature implicite, elle fut peu utilisée jusqu'à l'avènement des calculatrices et ordinateurs. Avant cela, les ingénieurs se fiaient presque exclusivement au diagramme développé par Lewis Ferry Moody en 1944, qui est une représentation graphique de cette équation.

FAQ (pour lever les doutes)

Est-ce que \(\lambda\) change si le débit change ?

Oui. Si le débit change, la vitesse change, et donc le nombre de Reynolds change. Comme \(\lambda\) dépend de Re (sauf en régime "pleinement turbulent rugueux"), le coefficient de perte de charge va également changer.

Pourquoi utilise-t-on le log₁₀ ?

La forme logarithmique de l'équation vient de l'intégration du profil de vitesse turbulent près de la paroi de la conduite, qui suit une loi de puissance ou logarithmique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) est de 0.0231.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conduite était en PVC (\(\varepsilon\) = 0.0015 mm), quelle serait la nouvelle valeur de \(\lambda\) (approximativement, en utilisant un solveur ou un diagramme) ?

Question 3 : Pertes de charge totales à l'aspiration

Principe (le concept physique)

L'énergie d'un fluide qui s'écoule n'est pas conservée : une partie est "perdue" ou dissipée sous forme de chaleur à cause des frottements. Ces pertes d'énergie, appelées pertes de charge, sont la somme des pertes par frottement sur toute la longueur de la conduite (linéaires) et des pertes dues aux perturbations locales de l'écoulement (coudes, vannes, crépines...) qu'on appelle pertes singulières.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les pertes de charge linéaires (\(\Delta h_{\text{lin}}\)) sont proportionnelles à la longueur de la conduite et inversement proportionnelles à son diamètre. Elles sont quantifiées par le coefficient \(\lambda\). Les pertes de charge singulières (\(\Delta h_{\text{sing}}\)) sont modélisées en utilisant des coefficients empiriques K, propres à chaque accessoire (coude, vanne, etc.). Les deux types de pertes de charge sont proportionnels au carré de la vitesse, via le terme d'énergie cinétique \(\frac{v^2}{2g}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans les circuits courts avec de nombreux accessoires (comme c'est souvent le cas à l'aspiration d'une pompe), les pertes de charge singulières peuvent être du même ordre de grandeur, voire supérieures, aux pertes de charge linéaires. Ne les négligez jamais ! Une erreur courante est de se concentrer uniquement sur la longueur du tuyau.

Normes (la référence réglementaire)

Les coefficients de perte de charge singulière (K) sont tabulés dans de nombreux ouvrages de référence et normes d'ingénierie, comme le "Technical Paper No. 410" de la société Crane ou les publications du "Hydraulic Institute". Ces valeurs sont issues de tests en laboratoire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule des Pertes de charge totales (\(\Delta h_{\text{asp}}\))

\[ \Delta h_{\text{asp}} = \left( \lambda \frac{L}{D} + \sum K \right) \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que les coefficients K fournis pour les accessoires sont corrects pour notre régime d'écoulement (ce qui est une hypothèse valide en régime pleinement turbulent, où K devient presque indépendant de Re).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coeff. perte de charge\(\lambda\)\(0.0231\)-
Longueur aspirationL\(8\)\(\text{m}\)
DiamètreD\(0.15\)\(\text{m}\)
Vitessev\(1.256\)\(\text{m/s}\)
Somme des K\(\sum K\)\(2.0 + 0.4 = 2.4\)-
Accélération gravitationnelleg\(9.81\)\(\text{m/s}^2\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Calculez d'abord le terme d'énergie cinétique \(\frac{v^2}{2g}\) qui est commun à tous les calculs de perte de charge. Ensuite, calculez le "coefficient de perte de charge global" du tronçon en additionnant le terme linéaire (\(\lambda \frac{L}{D}\)) et la somme des K. Vous n'aurez plus qu'à multiplier les deux pour obtenir le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Sources de Pertes de Charge à l'Aspiration
Crépine (K=2.0)Coude 90° (K=0.4)Pertes Linéaires (L=8m, λ=0.0231)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'énergie cinétique

\[ \begin{aligned} \frac{v^2}{2g} &= \frac{(1.256 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.0805 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge

\[ \begin{aligned} \Delta h_{\text{asp}} &= \left( 0.0231 \frac{8}{0.15} + 2.4 \right) \times 0.0805 \\ &= (1.232 + 2.4) \times 0.0805 \\ &= 3.632 \times 0.0805 \\ &= 0.292 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Lignes de Charge et Piézométrique (Aspiration)
ZₐLigne de Charge (EGL)Ligne Piézométrique (HGL)v²/2gPompeCrépine (Δh)Frottement (Δh)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte de charge totale de 0.29 m est relativement faible. Cela indique une conception correcte de la conduite d'aspiration (diamètre suffisant, longueur raisonnable). On note que les pertes singulières (liées au coefficient \(K_{\text{tot}}=2.4\)) sont environ deux fois plus importantes que les pertes linéaires (liées au terme \(\lambda L/D = 1.232\)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

  • Ne pas oublier de faire la somme de TOUS les coefficients K des accessoires présents sur le tronçon.
  • S'assurer que L et D sont dans la même unité (mètres) dans le terme \(\lambda L/D\).
  • Ne pas oublier le carré sur la vitesse dans le terme d'énergie cinétique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La perte de charge totale est la somme des pertes linéaires et singulières : \(\Delta h_{\text{tot}} = \Delta h_{\text{lin}} + \Delta h_{\text{sing}}\).
  • Les deux composantes sont proportionnelles au carré de la vitesse du fluide.
  • La bonne estimation de ces pertes est cruciale pour le calcul du NPSH et le dimensionnement de la pompe.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "longueur équivalente" est une autre façon de calculer les pertes singulières. Au lieu d'un coefficient K, on attribue à chaque accessoire une longueur de tuyau droit qui provoquerait la même perte de charge. Par exemple, un coude à 90° peut être "équivalent" à plusieurs mètres de tuyau droit.

FAQ (pour lever les doutes)

Si je double le débit, est-ce que les pertes de charge doublent ?

Non, elles sont plus que doublées ! Comme les pertes de charge sont proportionnelles au carré de la vitesse (\(v^2\)), et que la vitesse est proportionnelle au débit (v=Q/A), les pertes de charge sont en fait proportionnelles au carré du débit (\(Q^2\)). Si vous doublez le débit, vous multipliez les pertes de charge par quatre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes de charge totales sur le tronçon d'aspiration sont de \(0.29 \, \text{m}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait l'impact sur les pertes de charge si on remplaçait la crépine (K=2.0) par une crépine de meilleure conception (K=0.8) ?

Question 4 : NPSH disponible (\(\text{NPSH}_\text{a}\))

Principe (le concept physique)

Le NPSH disponible est la marge d'énergie absolue disponible à l'entrée de la pompe pour empêcher le liquide de se vaporiser. On le calcule en partant de la pression à la surface du réservoir (pression atmosphérique), puis en soustrayant toutes les "pertes" de pression jusqu'à la pompe : la hauteur géométrique d'aspiration, les pertes par frottement, et la propre tendance du liquide à s'évaporer (pression de vapeur).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du NPSH disponible découle directement de l'application du théorème de Bernoulli entre la surface libre du réservoir amont (point A) et la bride d'aspiration de la pompe (point asp). L'équation fondamentale exprime que l'énergie en A (pression + altitude) est égale à l'énergie en 'asp' (pression + altitude + vitesse) plus les pertes entre les deux. En isolant la pression à l'aspiration et en la corrigeant de la pression de vapeur, on obtient le NPSHa.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez le NPSH comme un "budget" de pression. Vous partez avec un budget initial (la pression atmosphérique). Chaque mètre que vous élevez la pompe vous coûte 1m de budget. Chaque perte de charge vous coûte une fraction de mètre. La pression de vapeur représente un coût fixe. Ce qui reste à la fin est votre NPSH disponible.

Normes (la référence réglementaire)

La pression atmosphérique standard au niveau de la mer est définie internationalement comme étant de 101325 Pa (ou 10.33 mCE). Les valeurs de pression de vapeur des liquides comme l'eau sont également standardisées et disponibles dans des tables thermodynamiques (tables de vapeur).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Application de Bernoulli

\[ \frac{P_A}{\rho g} + Z_A + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{P_{\text{asp}}}{\rho g} + Z_{\text{asp}} + \frac{v_{\text{asp}}^2}{2g} + \Delta h_{A \to \text{asp}} \]

Formule du NPSH disponible

\[ \text{NPSH}_{\text{a}} = \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} - (Z_{\text{asp}} - Z_A) - \Delta h_{\text{asp}} - \frac{P_{\text{v}}}{\rho g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

  • La vitesse à la surface du bassin A est négligeable (\(v_A \approx 0\)).
  • La pression à la surface est la pression atmosphérique standard.
  • Les propriétés de l'eau (masse volumique, pression de vapeur) sont constantes à 25°C.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression atmosphérique\(P_{\text{atm}}\)\(101325\)\(\text{Pa}\)
Masse volumique (eau 25°C)\(\rho\)\(997\)\(\text{kg/m}^3\)
Pression de vapeur (eau 25°C)\(P_{\text{v}}\)\(3170\)\(\text{Pa}\)
Hauteur d'aspiration\(h_{\text{asp}} = Z_{\text{asp}}-Z_A\)\(2.5\)\(\text{m}\)
Pertes de charge aspiration\(\Delta h_{\text{asp}}\)\(0.29\)\(\text{m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour l'eau, retenez qu'au niveau de la mer, la pression atmosphérique équivaut à environ 10.3 m de colonne d'eau. La pression de vapeur est souvent faible pour l'eau froide (quelques dizaines de cm). Vous pouvez donc faire une première estimation rapide : \(NPSH_a \approx 10.3 - h_{asp} - \Delta h_{asp}\).

Schéma (Avant les calculs)
Composantes du calcul du NPSHa
Hauteur (m)10.35Pression Atmosphérique(+10.35 m)Hauteur Aspiration(-2.5 m)Pertes de Charge(-0.29 m)Pression Vapeur(-0.32 m)7.24NPSHa(7.24 m)0
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la pression atmosphérique

\[ \begin{aligned} \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} &= \frac{101325 \, \text{Pa}}{997 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 10.35 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion de la pression de vapeur

\[ \begin{aligned} \frac{P_{\text{v}}}{\rho g} &= \frac{3170 \, \text{Pa}}{997 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.32 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul final du NPSH disponible

\[ \begin{aligned} \text{NPSH}_{\text{a}} &= \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} - h_{\text{asp}} - \Delta h_{\text{asp}} - \frac{P_{\text{v}}}{\rho g} \\ &= 10.35 - 2.5 - 0.29 - 0.32 \\ &= 7.24 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison NPSH disponible vs. requis
Bilan NPSHNPSH disponible7.24 mNPSH requis4.5 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un NPSH disponible de 7.24 m est une valeur confortable. Elle indique que la pression à l'entrée de la pompe reste très au-dessus de la pression de vapeur de l'eau. Les choix de conception (hauteur d'aspiration, diamètre de la tuyauterie) semblent judicieux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

  • Confondre la pression absolue et la pression relative. Tous les calculs de NPSH utilisent des pressions absolues.
  • Oublier de soustraire la pression de vapeur. C'est une erreur fréquente qui surestime le NPSH disponible.
  • Se tromper dans les signes : la hauteur d'aspiration et les pertes de charge sont bien des termes négatifs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule du NPSH disponible : \(P_{\text{atm}} - h_{\text{asp}} - \Delta h_{\text{asp}} - P_{\text{v}}\) (en mètres de colonne de fluide).
  • Le NPSHa est une caractéristique du circuit, pas de la pompe.
  • Il diminue si : l'altitude augmente, la température augmente, la hauteur d'aspiration augmente ou les pertes de charge augmentent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour pomper des liquides très volatils (GPL, azote liquide) où la pression de vapeur est très élevée, il est quasi impossible d'avoir une hauteur d'aspiration. Les pompes sont alors immergées dans le réservoir ou installées en contrebas ("en charge") pour que la pression hydrostatique du liquide contribue positivement au NPSH disponible.

FAQ (pour lever les doutes)

Que se passe-t-il si le bassin n'est pas ouvert à l'atmosphère ?

Si le bassin est fermé et pressurisé (par exemple sous une couverture d'azote), il faut remplacer le terme \(P_{\text{atm}}\) par la pression absolue qui règne au-dessus de la surface libre du liquide dans le réservoir.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le NPSH disponible pour cette installation est de \(7.24 \, \text{m}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la hauteur d'aspiration maximale théorique (\(h_{\text{asp,max}}\)) pour que le NPSH disponible soit exactement égal au NPSH requis de 4.5 m ?

Question 5 : Conclusion sur le risque de cavitation

Principe (le concept physique)

La cavitation est un phénomène de vaporisation du liquide dans la pompe. Pour l'éviter, il faut que la "pression disponible" à l'entrée de la pompe (le NPSHₐ) soit toujours supérieure à la "pression minimale de bon fonctionnement" exigée par la pompe (le NPSHᵣ). La confrontation de ces deux valeurs, en y ajoutant une marge de sécurité, permet de valider la conception.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le NPSH requis (NPSHᵣ) est une caractéristique intrinsèque de la pompe, déterminée expérimentalement par le fabricant. Il représente la chute de pression interne entre la bride d'aspiration et le point le plus bas de pression à l'entrée des aubes de la roue. C'est l'énergie minimale qu'il faut fournir à la pompe pour qu'elle ne cavite pas. Il dépend de la vitesse de rotation et du débit.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne vous contentez jamais de vérifier que NPSHₐ > NPSHᵣ. En ingénierie, on prend toujours une marge de sécurité pour tenir compte des incertitudes (calculs, variation des conditions de fonctionnement, usure du matériel). Une marge de 30% ou de 0.5m à 1m est une pratique courante.

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes de test pour déterminer le NPSHᵣ d'une pompe sont standardisées (par exemple par la norme ISO 9906). Des normes industrielles, comme l'API 610 pour l'industrie pétrolière, imposent des marges de sécurité strictes entre le NPSH disponible et le NPSH requis.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Critère de non-cavitation avec marge de sécurité

\[ \text{NPSH}_{\text{a}} \ge 1.3 \times \text{NPSH}_{\text{r}} \]

Calcul de la marge en pourcentage

\[ \text{Marge} (\%) = \left( \frac{\text{NPSH}_{\text{a}}}{\text{NPSH}_{\text{r}}} - 1 \right) \times 100 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que la valeur de NPSHᵣ fournie par le constructeur est fiable et correspond bien à notre débit de fonctionnement de 80 m³/h.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
NPSH disponible\(\text{NPSH}_{\text{a}}\)\(7.24\)\(\text{m}\)
NPSH requis\(\text{NPSH}_{\text{r}}\)\(4.5\)\(\text{m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Calculez rapidement le ratio NPSHₐ / NPSHᵣ. S'il est supérieur à 1.3, la conception est généralement considérée comme sûre. S'il est inférieur à 1.1, il y a un danger quasi certain.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison NPSH disponible vs. requis
Bilan NPSHNPSH disponible7.24 mNPSH requis4.5 m
Calcul(s) (l'application numérique)

Comparaison directe

\[ 7.24 \, \text{m} > 4.5 \, \text{m} \Rightarrow \text{Condition Validée} \]

Vérification de la marge de sécurité

\[ \begin{aligned} 1.3 \times \text{NPSH}_{\text{r}} &= 1.3 \times 4.5 \\ &= 5.85 \, \text{m} \end{aligned} \]

Comparaison avec marge

\[ 7.24 \, \text{m} > 5.85 \, \text{m} \Rightarrow \text{Condition avec marge validée} \]

Calcul de la marge en pourcentage

\[ \begin{aligned} \text{Marge} &= \left( \frac{7.24}{4.5} - 1 \right) \times 100 \\ &= (1.61 - 1) \times 100 \\ &= 61\% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Analyse de la Marge de Sécurité
Bilan de Sécurité NPSHNPSHa (7.24m)NPSHr (4.5m)Marge 30%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le NPSH disponible (7.24 m) est largement supérieur au NPSH requis (4.5 m). La marge de sécurité de 61% est bien au-delà des 30% généralement recommandés. Le risque de cavitation est donc très faible dans les conditions de fonctionnement nominales. L'installation est bien dimensionnée de ce point de vue.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus grave serait d'ignorer la marge de sécurité. Une conception où \(\text{NPSH}_\text{a}\) est juste légèrement supérieur à \(\text{NPSH}_\text{r}\) est une conception dangereuse, qui ne fonctionnera pas correctement si les conditions réelles sont un peu plus défavorables que prévu (température plus élevée, niveau du bassin plus bas...).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La condition fondamentale de fonctionnement d'une pompe est : NPSH disponible > NPSH requis.
  • En pratique, on applique toujours une marge de sécurité : \(\text{NPSH}_\text{a} \ge 1.3 \times \text{NPSH}_\text{r}\).
  • Si la condition n'est pas remplie, il faut modifier le circuit ou la pompe.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'implosion des bulles de cavitation génère des micro-jets de liquide à très haute vitesse (plusieurs centaines de m/s) et des ondes de choc. La pression locale peut atteindre plusieurs centaines de bars. C'est cette énergie qui arrache littéralement des particules de métal de la roue de la pompe, créant des dommages caractéristiques en "nid d'abeille".

FAQ (pour lever les doutes)

Quels sont les signes de la cavitation ?

Les principaux signes sont un bruit intense de "gravier" ou de "craquement" provenant de la pompe, des vibrations anormales, une chute du débit et de la pression de refoulement, et à long terme, une usure prématurée et une destruction des composants internes de la pompe.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La condition de non-cavitation est respectée avec une marge de sécurité de 61%. L'installation est validée.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un autre fournisseur propose une pompe moins chère mais avec un NPSH requis de 6.0 m. Cette pompe serait-elle acceptable pour cette installation ?

Outil Interactif : Simulateur de NPSH

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'aspiration de la pompe et la température de l'eau. Observez en temps réel l'impact sur le NPSH disponible et le risque de cavitation.

Paramètres d'Entrée
2.5 m
25 °C
Résultats Clés
NPSH Disponible - m
Statut Cavitation -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que se passe-t-il si le NPSH disponible devient inférieur au NPSH requis ?

2. Si on augmente la température de l'eau pompée, le NPSH disponible...

3. Pour diminuer les pertes de charge dans la conduite d'aspiration, on peut :

4. Le NPSH requis (NPSHᵣ) est une caractéristique...

5. Une installation de pompage en haute altitude (ex: à 2000 m) aura un NPSH disponible...

Cavitation
Phénomène d'ébullition locale d'un liquide lorsque sa pression chute en dessous de sa pression de vapeur saturante. Les bulles de vapeur ainsi formées implosent violemment dans les zones de plus haute pression (comme la roue de la pompe), causant des dommages matériels et une chute de performance.
NPSH (Net Positive Suction Head)
Terme anglais signifiant "Hauteur Nette Positive à l'Aspiration". C'est une mesure de la pression à l'entrée d'une pompe pour évaluer le risque de cavitation. Il s'exprime en mètres de colonne de liquide (mCL).
Perte de Charge
Perte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide) subie par un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles (pertes singulières).
Théorème de Bernoulli
Principe fondamental de la dynamique des fluides qui établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en mouvement.
Exercice : Analyse de l’Amorçage d’une Pompe Centrifuge

D’autres exercices d’hydraulique en charge:

Calcul du NPSH Disponible
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Exercice : Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Contexte : L'importance du NPSHAcronyme de "Net Positive Suction Head", il représente la marge de pression à l'aspiration d'une pompe au-dessus de la pression de vaporisation du liquide...

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