ÉTUDE HYDRAULIQUE

Influence du vieillissement sur une conduite

Influence du vieillissement sur une conduite

Influence du vieillissement sur une conduite

Contexte : L'impact du temps sur les réseaux d'eau.

Les conduites d'eau, même si elles sont enterrées et invisibles, sont des ouvrages qui vieillissent. Avec le temps, des dépôts (calcaire, sédiments) et de la corrosion peuvent se former sur la paroi interne, un phénomène appelé incrustationFormation de dépôts solides sur la paroi interne d'une conduite, augmentant sa rugosité et réduisant potentiellement son diamètre.. Cette augmentation de la rugositéCaractéristique de l'état de surface d'une paroi. Une rugosité élevée augmente les frottements et donc les pertes d'énergie (pertes de charge). n'est pas sans conséquence : elle freine l'écoulement de l'eau, ce qui cause une augmentation des pertes de chargePerte d'énergie (et donc de pression) d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois de la conduite. et une diminution du débit transporté. Cet exercice a pour but de quantifier cet impact sur un cas simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est au cœur de la gestion patrimoniale des réseaux d'eau potable. Comprendre et quantifier la perte de performance permet aux ingénieurs et techniciens de planifier les opérations de maintenance (nettoyage, réhabilitation) et de justifier les investissements nécessaires pour garantir un service de qualité aux usagers.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre l'influence de la rugosité sur un écoulement en charge.
  • Appliquer la formule de Colebrook-White (via une approximation explicite) pour calculer un débit.
  • Calculer le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement (laminaire ou turbulent). Il dépend de la vitesse, du diamètre et de la viscosité du fluide. pour déterminer le régime d'écoulement.
  • Quantifier la perte de performance (en débit) d'une conduite due à son vieillissement.
  • Utiliser un simulateur pour analyser la sensibilité du système à divers paramètres.

Données de l'étude

On étudie une conduite en fonte reliant un réservoir (point A) à un point de distribution (point B). L'écoulement se fait par gravité. On souhaite comparer le débit de la conduite à l'état neuf, puis après 20 ans de service, période après laquelle une incrustation significative s'est formée.

Schéma du système hydraulique
Réservoir A Z_A = 100 m L = 1200 m, D = 200 mm Point B Z_B = 85 m ΔH = 15 m
Visualisation 3D de l'incrustation dans la conduite
Paramètre Description Valeur Unité
\(L\) Longueur de la conduite 1200 \(\text{m}\)
\(D\) Diamètre intérieur 200 \(\text{mm}\)
\(\Delta H\) Dénivelé (perte de charge totale) 15 \(\text{m}\)
\(k_{\text{neuf}}\) Rugosité de la conduite neuve (fonte) 0.1 \(\text{mm}\)
\(k_{\text{vieux}}\) Rugosité de la conduite après 20 ans 2.0 \(\text{mm}\)
\(\nu\) Viscosité cinématique de l'eau \(1.0 \times 10^{-6}\) \(\text{m}^2/\text{s}\)
\(g\) Accélération de la pesanteur 9.81 \(\text{m}/\text{s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer le débit \(Q_{\text{neuf}}\) pour la conduite neuve.
  2. Calculer le débit \(Q_{\text{vieux}}\) pour la conduite après 20 ans.
  3. En déduire la perte de performance en pourcentage du débit.
  4. Si on voulait maintenir le débit initial (\(Q_{\text{neuf}}\)) dans la conduite vieillie, quelle serait la nouvelle perte de charge \(\Delta H_{\text{req}}\) nécessaire ? Conclure.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser les équations fondamentales qui décrivent l'écoulement de l'eau dans les conduites.

1. L'équation de Darcy-Weisbach
C'est l'équation centrale pour calculer les pertes de charge dues aux frottements dans une conduite. Elle relie la perte d'énergie \(\Delta H\) à la vitesse du fluide \(V\). \[ \Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Où \(\lambda\) (lambda) est le coefficient de perte de charge, un nombre sans dimension qui dépend de la rugosité de la conduite et du régime d'écoulement.

2. Le Nombre de Reynolds et la Rugosité
Pour trouver \(\lambda\), il faut connaître deux choses :

  • Le Nombre de Reynolds (\(Re\)), qui indique si l'écoulement est calme (laminaire) ou agité (turbulent) : \(Re = \frac{VD}{\nu}\).
  • La rugosité relative (\(k/D\)), qui compare la taille des aspérités de la paroi au diamètre de la conduite.
Ces deux valeurs permettent de trouver \(\lambda\) sur le diagramme de MoodyAbaque utilisé en hydraulique pour déterminer le coefficient de perte de charge λ en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative..

3. L'équation de Colebrook-White
Le diagramme de Moody est peu pratique. L'équation de Colebrook-White, plus précise, relie \(\lambda\), \(Re\) et \(k/D\). Comme elle est implicite (on ne peut pas isoler \(\lambda\)), on la résout par itération ou on utilise des approximations explicites. \[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k}{3.7 D} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}}\right) \] Pour calculer directement le débit, on peut utiliser des formules approchées comme celle de Swamee-Jain.

Correction : Influence du vieillissement sur une conduite

Question 1 : Calculer le débit \(Q_{\text{neuf}}\) pour la conduite neuve

Principe (le concept physique)

L'énergie disponible (le dénivelé \(\Delta H\)) est entièrement consommée par les frottements sur la longueur de la conduite. En utilisant l'équation de Darcy-Weisbach et celle de Colebrook-White, on peut trouver la vitesse d'écoulement, et donc le débit, qui équilibre exactement cette perte d'énergie pour une conduite neuve (faible rugosité).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du débit dans une conduite où \(\Delta H\) est connu est un problème classique de "Type 2" en hydraulique. Comme le coefficient de frottement \(\lambda\) dépend de la vitesse (via le nombre de Reynolds), et que la vitesse dépend de \(\lambda\), le système est implicite. La méthode de résolution standard est itérative : on suppose une valeur de \(\lambda\), on calcule V et Re, on recalcule \(\lambda\) avec Colebrook, et on recommence jusqu'à ce que la valeur de \(\lambda\) se stabilise.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La plus grande source d'erreur dans ce type de calcul est la gestion des unités. Les formules d'hydraulique sont homogènes, ce qui signifie qu'elles ne fonctionnent que si toutes les entrées sont en unités du Système International (mètres, secondes, m²/s). Pensez à convertir immédiatement toutes les données avant de commencer les calculs.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs de rugosité (\(k\)) pour les matériaux ne sont pas des normes strictes mais des valeurs de référence issues de la littérature technique (par ex. le "Idel'cik - Memento des pertes de charge"). Elles peuvent varier selon le fabricant et la qualité de la pose.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Darcy-Weisbach (pour trouver V) et 2. Colebrook-White (pour trouver \(\lambda\))

\[ V = \sqrt{\frac{2 g D \Delta H}{\lambda L}} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k}{3.7 D} + \frac{2.51 \nu}{D V \sqrt{2 g D \Delta H / L}}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un écoulement permanent et établi (les conditions ne changent pas dans le temps). On néglige les pertes de charge singulières (entrée et sortie du réservoir) car la conduite est très longue.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Conversion des unités en SI :

  • \(D = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m}\)
  • \(k_{\text{neuf}} = 0.1 \, \text{mm} = 0.0001 \, \text{m}\)
  • Les autres données (\(L, \Delta H, \nu, g\)) sont déjà en SI.
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour la première itération, une bonne estimation de départ pour \(\lambda\) en régime turbulent est 0.02. Le calcul convergera généralement en 2 ou 3 itérations.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre Énergie / Frottements
Énergie motrice (Gravité)=Énergie perdue (Frottements)
Calcul(s) (l'application numérique)

On procède par itérations pour trouver \(\lambda\) et \(V\).

\[ \begin{aligned} & \text{1. On suppose } \lambda_0 = 0.02 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_1 &= \sqrt{\frac{2 \cdot 9.81 \cdot 0.2 \cdot 15}{0.02 \cdot 1200}} \\ &= 1.566 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Re_1 &= \frac{1.566 \cdot 0.2}{10^{-6}} \\ &= 313200 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.0001}{3.7 \cdot 0.2} + \frac{2.51}{313200 \sqrt{0.02}}\right) \\ &= 7.43 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= 0.0181 \end{aligned} \]

2. On réitère avec \(\lambda_1 = 0.0181\)

\[ \begin{aligned} V_2 &= \sqrt{\frac{2 \cdot 9.81 \cdot 0.2 \cdot 15}{0.0181 \cdot 1200}} \\ &= 1.648 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Re_2 &= \frac{1.648 \cdot 0.2}{10^{-6}} \\ &= 329600 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.0001}{3.7 \cdot 0.2} + \frac{2.51}{329600 \sqrt{0.0181}}\right) \\ &\Rightarrow \lambda_2 = 0.0181 \quad (\text{Convergence}) \end{aligned} \]

Le débit final est :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{neuf}} &= V \times A \\ &= 1.648 \times \frac{\pi \cdot (0.2)^2}{4} \\ &= 0.0518 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour la conduite neuve
Q_neuf = 51.8 L/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un débit de près de 52 L/s est conséquent pour une conduite de 200 mm sous 15 m de charge. C'est la performance maximale que l'on peut attendre de cet ouvrage à sa mise en service.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre la viscosité dynamique (\(\mu\), en Pa.s) et la viscosité cinématique (\(\nu\), en m²/s). Le nombre de Reynolds utilise la viscosité cinématique. L'une est égale à l'autre divisée par la masse volumique de l'eau.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul du débit pour une perte de charge donnée est un problème implicite.
  • La méthode itérative (supposer \(\lambda\), calculer V, recalculer \(\lambda\)) est la méthode de référence pour résoudre le système Darcy-Colebrook.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme de Moody, qui représente graphiquement l'équation de Colebrook, a été développé en 1944 par Lewis Ferry Moody. Il a révolutionné l'hydraulique appliquée en permettant aux ingénieurs de résoudre graphiquement des problèmes complexes sans calculs itératifs fastidieux.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser directement une formule explicite comme Swamee-Jain ?

Les formules explicites sont d'excellentes approximations, très utiles pour des calculs rapides ou l'automatisation. Cependant, la méthode itérative est la résolution "exacte" de l'équation de Colebrook, considérée comme la plus précise. Comprendre la méthode itérative est fondamental pour bien saisir la physique du problème.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le débit dans la conduite neuve est de \(Q_{\text{neuf}} \approx 0.0518 \, \text{m}^3/\text{s}\), soit 51.8 litres par seconde.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre était de 250 mm (0.25 m), quel serait le nouveau débit en m³/s ?

Question 2 : Calculer le débit \(Q_{\text{vieux}}\) pour la conduite après 20 ans

Principe (le concept physique)

La démarche est rigoureusement identique à la question précédente. L'énergie motrice (\(\Delta H\)) n'a pas changé, mais la résistance due aux frottements a augmenté à cause de la rugosité plus élevée. On refait donc le même calcul itératif, mais avec la nouvelle valeur de \(k\), pour trouver le nouveau point d'équilibre, qui correspondra à un débit plus faible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Lorsque la rugosité relative \(k/D\) devient très grande et que le nombre de Reynolds est élevé, on entre dans le "régime turbulent rugueux". Dans ce régime, la sous-couche laminaire (une fine pellicule de fluide quasi-immobile à la paroi) devient plus mince que les aspérités de la paroi. Les frottements ne dépendent alors quasiment plus du nombre de Reynolds (de la viscosité) mais seulement de la rugosité relative. Le coefficient \(\lambda\) devient constant.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une excellente occasion de voir l'impact d'un seul paramètre. En ne changeant que \(k\), vous isolez l'effet du vieillissement. Comparez le \(\lambda\) final de cette question avec celui de la question 1. Vous verrez qu'il a considérablement augmenté.

Normes (la référence réglementaire)

La modélisation du vieillissement des conduites est un domaine de recherche actif. Des lois empiriques, souvent basées sur des mesures de terrain, sont utilisées par les services d'eau pour estimer l'évolution de la rugosité en fonction de l'âge de la conduite et de la qualité de l'eau.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules de Darcy-Weisbach et Colebrook-White sont les mêmes que pour la question 1.

\[ V = \sqrt{\frac{2 g D \Delta H}{\lambda L}} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k}{3.7 D} + \frac{2.51 \nu}{D V \sqrt{2 g D \Delta H / L}}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que seul le coefficient de rugosité \(k\) a changé. En réalité, une forte incrustation pourrait aussi réduire légèrement le diamètre intérieur \(D\), ce que nous négligeons ici pour simplifier.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Conversion des unités en SI :

  • \(D = 0.2 \, \text{m}\)
  • \(k_{\text{vieux}} = 2.0 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Comme la rugosité est beaucoup plus grande, le terme \(k/3.7D\) dans l'équation de Colebrook va devenir dominant. Le \(\lambda\) final sera donc plus élevé. Vous pouvez commencer votre itération avec une supposition plus haute, par exemple \(\lambda_0 = 0.035\).

Schéma (Avant les calculs)
Impact de la rugosité
Paroi lisseParoi rugueuseFrottements ↑
Calcul(s) (l'application numérique)

On réitère avec \(k_{\text{vieux}} = 0.002 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} & \text{1. On suppose } \lambda_0 = 0.038 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_1 &= \sqrt{\frac{2 \cdot 9.81 \cdot 0.2 \cdot 15}{0.038 \cdot 1200}} \\ &= 1.136 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Re_1 &= \frac{1.136 \cdot 0.2}{10^{-6}} \\ &= 227200 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.002}{3.7 \cdot 0.2} + \frac{2.51}{227200 \sqrt{0.038}}\right) \\ &= 5.12 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= 0.038 \quad (\text{Convergence}) \end{aligned} \]

Le débit final est :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{vieux}} &= V \times A \\ &= 1.136 \times \frac{\pi \cdot (0.2)^2}{4} \\ &= 0.0357 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour la conduite vieillie
Q_vieux = 35.7 L/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme prévu, le débit a chuté significativement. Le simple fait d'augmenter la rugosité de la paroi, sans changer ni le diamètre, ni la pente, ni la longueur, a un impact direct et important sur la capacité de transport de la conduite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne vous arrêtez pas à la première itération. Même si la valeur semble proche, effectuez toujours une deuxième passe pour confirmer que la valeur de \(\lambda\) a bien convergé. Une convergence rapide est souvent le signe que le régime est "pleinement turbulent rugueux".

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Une augmentation de la rugosité augmente le coefficient de perte de charge \(\lambda\).
  • Pour une même énergie motrice (\(\Delta H\)), une augmentation de \(\lambda\) entraîne une diminution de la vitesse et donc du débit.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour lutter contre l'incrustation, les services d'eau peuvent utiliser des "racleurs", des sortes de pistons munis de brosses métalliques qui sont propulsés à travers la conduite par la pression de l'eau pour nettoyer les parois et restaurer la capacité hydraulique.

FAQ (pour lever les doutes)
La température de l'eau a-t-elle une influence ?

Oui, absolument. La température de l'eau affecte sa viscosité cinématique (\(\nu\)). Une eau plus chaude est moins visqueuse, ce qui augmente le nombre de Reynolds et peut légèrement réduire les pertes de charge. Cependant, cet effet est souvent secondaire par rapport à l'impact de la rugosité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le débit dans la conduite vieillie est de \(Q_{\text{vieux}} \approx 0.0357 \, \text{m}^3/\text{s}\), soit 35.7 litres par seconde.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la rugosité de la conduite vieillie était de 3.0 mm (0.003 m), quel serait le nouveau débit en m³/s ?

Question 3 : En déduire la perte de performance en pourcentage du débit

Principe (le concept physique)

La perte de performance est la différence entre la situation idéale (neuf) et la situation réelle (vieillie), exprimée en pourcentage de la performance initiale. C'est un indicateur simple et parlant qui permet de quantifier l'état de dégradation fonctionnelle du réseau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cet indicateur est crucial en gestion d'actifs ("Asset Management"). Les gestionnaires de réseaux suivent l'évolution de la performance de leurs ouvrages pour décider du moment optimal pour une intervention : faut-il nettoyer, réhabiliter, ou remplacer complètement la conduite ? C'est un arbitrage technico-économique basé sur ce type de calcul.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Attention à bien utiliser la valeur de référence (le débit de la conduite neuve) comme dénominateur dans votre calcul de pourcentage. Une erreur fréquente est de diviser par la mauvaise valeur.

Normes (la référence réglementaire)

Les agences de l'eau et les régulateurs peuvent fixer des objectifs de performance pour les réseaux (par exemple, un rendement de réseau minimal). La perte de capacité hydraulique est un des facteurs qui peut impacter l'atteinte de ces objectifs réglementaires.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Calcul de la perte en pourcentage :

\[ \text{Perte} (\%) = \frac{Q_{\text{neuf}} - Q_{\text{vieux}}}{Q_{\text{neuf}}} \times 100 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul est direct et ne nécessite pas d'hypothèse supplémentaire. Il se base sur les résultats des deux questions précédentes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(Q_{\text{neuf}} = 0.0518 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(Q_{\text{vieux}} = 0.0357 \, \text{m}^3/\text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vous pouvez aussi calculer le ratio \(Q_{\text{vieux}} / Q_{\text{neuf}}\) qui représente la performance restante (ici, environ 0.69). La perte est alors simplement \( (1 - 0.69) \times 100 \).

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la différence relative
Q_neufQ_vieux-Q_neuf
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \text{Perte} (\%) &= \frac{0.0518 - 0.0357}{0.0518} \times 100 \\ &= \frac{0.0161}{0.0518} \times 100 \\ &\approx 31.1 \, \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des débits
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une perte de plus de 30% du débit est considérable. Pour un réseau d'eau potable, cela peut signifier une pression plus faible chez les usagers en bout de réseau, ou l'incapacité à fournir le débit nécessaire en cas de forte demande (période estivale, lutte contre un incendie).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas de multiplier par 100 pour obtenir un pourcentage. Assurez-vous également que votre conclusion est cohérente : une perte de 30% est significative et doit être interprétée comme un problème potentiel pour l'exploitant du réseau.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La perte de performance se calcule par rapport à l'état de référence (ici, l'état neuf).
  • C'est un indicateur clé pour la maintenance et la planification des investissements sur les réseaux.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La ville de Londres possède l'un des plus vieux réseaux d'eau au monde, avec certaines conduites en fonte datant de plus de 150 ans et toujours en service ! La gestion de leur vieillissement est un défi d'ingénierie majeur.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette perte est-elle linéaire dans le temps ?

Non, généralement pas. Le processus d'incrustation est souvent lent au début, puis peut s'accélérer. La courbe de perte de performance en fonction du temps n'est donc pas une droite, mais plutôt une courbe qui s'infléchit vers le bas avec le temps.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de performance due au vieillissement de la conduite est de 31.1%.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le débit de la conduite vieillie n'était que de 25 L/s (0.025 m³/s), quelle serait la perte de performance en % ?

Question 4 : Si on voulait maintenir le débit initial (\(Q_{\text{neuf}}\)) dans la conduite vieillie, quelle serait la nouvelle perte de charge \(\Delta H_{\text{req}}\) nécessaire ?

Principe (le concept physique)

Cette question inverse le problème. Le débit est maintenant une donnée d'entrée, et la perte de charge devient l'inconnue. Pour forcer un débit plus élevé dans une conduite qui frotte plus, il faut fournir plus d'énergie. On utilise l'équation de Darcy-Weisbach pour trouver le \(\Delta H\) requis pour vaincre ces frottements accrus à la vitesse désirée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

C'est un problème de "Type 3" en hydraulique : on connaît le débit et les caractéristiques de la conduite, et on cherche la perte de charge. C'est le calcul le plus direct, car il n'y a pas d'itération. On calcule V à partir de Q, puis Re, puis \(\lambda\) avec Colebrook (qui devient explicite car V est connu), et enfin \(\Delta H\) avec Darcy-Weisbach. L'énergie supplémentaire nécessaire (\(\Delta H_{\text{req}} - \Delta H_{\text{disponible}}\)) correspond à la hauteur manométrique que devrait fournir une pompe.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ce calcul est fondamental pour le dimensionnement des pompes. Si un réseau existant ne peut plus fournir le débit requis par gravité, l'ingénieur doit calculer l'énergie manquante pour sélectionner une pompe capable de compenser ce déficit de pression.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes sur la sécurité incendie (par exemple) imposent des débits et des pressions minimaux aux poteaux d'incendie. Si le vieillissement d'un réseau l'empêche d'atteindre ces valeurs, l'exploitant est dans l'obligation de réaliser des travaux (pompage, renforcement) pour se remettre en conformité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vitesse, Reynolds, Colebrook et Darcy-Weisbach :

\[ V = \frac{4Q}{\pi D^2} \Rightarrow Re = \frac{VD}{\nu} \Rightarrow \lambda \text{ (Colebrook)} \Rightarrow \Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On cherche à faire passer le débit \(Q_{\text{neuf}}\) dans la conduite avec la rugosité \(k_{\text{vieux}}\). Toutes les autres caractéristiques restent inchangées.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(Q = Q_{\text{neuf}} = 0.0518 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(k = k_{\text{vieux}} = 0.002 \, \text{m}\)
  • \(D = 0.2 \, \text{m}\), \(L = 1200 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La séquence de calcul est linéaire : V, puis Re, puis \(\lambda\), puis \(\Delta H\). Il n'y a pas de piège ni d'itération, il suffit de suivre les étapes dans l'ordre.

Schéma (Avant les calculs)
Compenser les frottements
Énergie dispo (15m)<Énergie requise (?)Ajout d'une pompe ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Vitesse pour \(Q_{\text{neuf}}\) :

\[ \begin{aligned} V_{\text{neuf}} &= \frac{4 \times 0.0518}{\pi \times (0.2)^2} \\ &\approx 1.648 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

2. Nombre de Reynolds :

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.648 \times 0.2}{1.0 \times 10^{-6}} \\ &\approx 329600 \end{aligned} \]

3. Calcul de \(\lambda_{\text{vieux}}\) avec \(Re=329600\) et \(k/D = 0.002/0.2 = 0.01\) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.01}{3.7} + \frac{2.51}{329600 \sqrt{\lambda}}\right) \\ &\Rightarrow \lambda_{\text{vieux}} \approx 0.0382 \end{aligned} \]

4. Calcul de \(\Delta H_{\text{req}}\) :

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{req}} &= 0.0382 \times \frac{1200}{0.2} \times \frac{(1.648)^2}{2 \times 9.81} \\ &\approx 31.6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan énergétique
ΔH requis = 31.6 mΔH dispo = 15 mDéficit = 16.6 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Pour faire passer le même débit qu'à l'état neuf dans la conduite vieillie, il faudrait un dénivelé de 31.6 mètres. Comme nous ne disposons que de 15 m, c'est physiquement impossible sans ajouter une pompe pour fournir l'énergie manquante (31.6 - 15 = 16.6 m de Colonne d'Eau).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas conclure que c'est "impossible". En ingénierie, la bonne conclusion est : "impossible par simple gravité". Cela ouvre la porte à d'autres solutions techniques comme le pompage, le nettoyage de la conduite pour réduire \(k\), ou son remplacement par une conduite plus grande pour réduire les frottements.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour un débit donné, une conduite plus rugueuse engendre des pertes de charge plus importantes.
  • Le calcul de la perte de charge pour un débit connu est un calcul direct (non-itératif).
  • Ce calcul permet de dimensionner les systèmes de pompage nécessaires pour compenser les frottements.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le "coup de bélier" est un phénomène de surpression destructeur qui se produit lors de la fermeture rapide d'une vanne dans une conduite. L'énergie cinétique de l'eau en mouvement est brutalement transformée en une onde de pression qui peut faire exploser les tuyaux. Le calcul des pertes de charge est essentiel pour dimensionner les dispositifs anti-bélier.

FAQ (pour lever les doutes)
La pompe doit-elle fournir 31.6 m ?

Non, la pompe doit fournir uniquement le déficit d'énergie. La gravité fournit déjà 15 m. La pompe doit donc avoir une Hauteur Manométrique Totale (HMT) d'au moins 16.6 m pour compenser et atteindre le débit souhaité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Il faudrait une perte de charge totale (un dénivelé équivalent) de 31.6 m pour maintenir le débit initial, ce qui est impossible sans un pompage d'au moins 16.6 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la perte de charge \(\Delta H\) requise pour faire passer 40 L/s (0.04 m³/s) dans la conduite vieillie ?

Outil Interactif : Simulateur de Performance

Modifiez les paramètres de la conduite pour voir leur influence sur le débit.

Paramètres d'Entrée
200 mm
2.0 mm
15 m
Résultats Clés
Débit (Q) (L/s) -
Vitesse (V) (m/s) -
Régime (Re) -

Le Saviez-Vous ?

Les aqueducs romains, comme le Pont du Gard, fonctionnaient sur le même principe de l'écoulement gravitaire. Les ingénieurs romains devaient calculer une pente très précise et constante, de l'ordre de quelques centimètres par kilomètre, pour que l'eau s'écoule à une vitesse idéale : ni trop lente pour stagner, ni trop rapide pour éroder l'ouvrage. Ils maîtrisaient déjà intuitivement la relation entre la pente (énergie) et le débit.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que le diamètre de la conduite diminue vraiment ?

Oui, dans les cas d'incrustation sévère, l'épaisseur des dépôts peut réduire significativement le diamètre utile de la conduite. Dans notre exercice, nous avons simplifié en ne considérant que l'augmentation de la rugosité, mais un calcul plus précis prendrait aussi en compte la réduction de la section d'écoulement, ce qui diminuerait encore plus le débit.

Qu'est-ce qu'une "perte de charge singulière" ?

Nous avons calculé les pertes de charge "linéiques", dues au frottement sur la longueur de la conduite. Une perte de charge "singulière" est une perte d'énergie localisée, causée par un obstacle : un coude, une vanne, un rétrécissement... Dans un calcul de réseau complet, on additionne les pertes de charge linéiques et toutes les pertes de charge singulières.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le diamètre d'une conduite (tous les autres paramètres étant égaux), le débit sera...

2. Dans un écoulement turbulent et un régime "rugueux", de quoi dépend principalement le coefficient de perte de charge \(\lambda\) ?

Perte de Charge
Perte d'énergie (équivalente à une perte de pression) que subit un fluide en s'écoulant dans une conduite, principalement à cause des frottements sur les parois.
Rugosité (k)
Hauteur moyenne des aspérités de la surface interne d'une conduite. Elle est exprimée en millimètres ou en mètres.
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement. Si Re < 2000, l'écoulement est laminaire. Si Re > 4000, il est turbulent.
Diagramme de Moody
Un graphique qui représente le coefficient de perte de charge \(\lambda\) en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative. C'est la représentation graphique de l'équation de Colebrook-White.
Calcul de Performance d'une Conduite Hydraulique

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