Calcul de Débit et Vitesse dans un Réseau

Contexte : La conservation de la masse, principe clé de l'hydraulique.

En hydraulique, la gestion des fluides dans les réseaux de conduites est fondamentale. Que ce soit pour l'approvisionnement en eau potable d'une ville, l'irrigation des cultures ou la gestion des cours d'eau, les ingénieurs doivent savoir comment le débit se répartit et comment les vitesses d'écoulement évoluent. Le principe de base qui régit ces phénomènes est l'équation de continuitéCe principe stipule que pour un fluide incompressible, le débit massique est constant. En d'autres termes, la quantité de fluide qui entre dans une section de conduite doit en ressortir. Cela se traduit par la célèbre formule Q = A * V., qui est une expression de la loi de conservation de la masse. Cet exercice vous guidera dans l'application de ce principe à un cas simple mais courant : une division de flux dans un réseau de canalisations.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment un principe physique fondamental (la conservation de la masse) se traduit par des outils de calcul simples et puissants pour l'ingénieur. Nous allons manipuler des débits, des diamètres et des vitesses pour résoudre un problème concret de distribution de fluide, une compétence essentielle en génie des procédés, génie civil et environnemental.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer l'équation de continuité (\(Q = A \cdot V\)) à une conduite simple et à une jonction.
Calculer l'aire de section transversale de conduites circulaires.
Maîtriser les conversions d'unités courantes en hydraulique (L/s en m³/s, cm en m).
Déterminer les vitesses d'écoulement dans différentes branches d'un réseau.
Comprendre comment le débit se répartit dans un réseau en T.

Données de l'étude

Un réseau d'adduction d'eau est constitué d'une conduite principale (tronçon 1) qui se divise en deux conduites secondaires (tronçons 2 et 3) au niveau d'une jonction en T. On suppose que le fluide est de l'eau (incompressible) et que l'écoulement est permanent.

Schéma du Réseau Hydraulique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit en entrée	\(Q_1\)	50	\(\text{L/s}\)
Diamètre du tronçon 1	\(D_1\)	20	\(\text{cm}\)
Diamètre du tronçon 2	\(D_2\)	15	\(\text{cm}\)
Vitesse dans le tronçon 3	\(V_3\)	2.0	\(\text{m/s}\)
Diamètre du tronçon 3	\(D_3\)	10	\(\text{cm}\)

Questions à traiter

Calculer la vitesse d'écoulement \(V_1\) dans la conduite principale (tronçon 1).
Calculer le débit volumique \(Q_3\) dans la conduite secondaire (tronçon 3).
En appliquant la loi de continuité à la jonction, déterminer le débit volumique \(Q_2\) dans la conduite (tronçon 2).
Calculer la vitesse d'écoulement \(V_2\) dans la conduite (tronçon 2).

Les bases de l'Hydraulique en Conduite

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.

1. Le Débit Volumique (Q) :
Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. C'est le produit de l'aire de la section (\(A\)) et de la vitesse moyenne du fluide (\(V\)). \[ Q = A \cdot V \] L'unité SI est le mètre cube par seconde (\(\text{m}^3\text{/s}\)).

2. L'Aire d'une Conduite Circulaire (A) :
La plupart des conduites sont circulaires. L'aire de la section transversale (par où passe le fluide) se calcule à partir du diamètre \(D\) : \[ A = \frac{\pi \cdot D^2}{4} \] Attention à utiliser le diamètre en mètres pour obtenir une aire en mètres carrés (\(\text{m}^2\)).

3. L'Équation de Continuité (Loi des Nœuds) :
Pour un fluide incompressible, la masse se conserve. À une jonction (un "nœud"), la somme des débits entrants est égale à la somme des débits sortants. \[ \sum Q_{\text{entrant}} = \sum Q_{\text{sortant}} \] Dans notre cas, cela se simplifie en : \(Q_1 = Q_2 + Q_3\).

Correction : Calcul de Débit et Vitesse dans un Réseau

Question 1 : Calculer la vitesse V₁ dans le tronçon 1

Principe (le concept physique)

Pour trouver la vitesse dans la conduite principale, nous utilisons la relation fondamentale du débit : \(Q = A \cdot V\). Puisque nous connaissons le débit \(Q_1\) et que nous pouvons calculer l'aire \(A_1\) à partir du diamètre \(D_1\), nous pouvons isoler la vitesse \(V_1\). C'est la première étape pour caractériser l'écoulement dans le réseau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vitesse \(V\) dans la formule \(Q=AV\) est une vitesse moyenne sur la section. En réalité, dans une conduite, le profil de vitesse n'est pas uniforme : la vitesse est nulle à la paroi (à cause des frottements) et maximale au centre. Pour un écoulement laminaire, le profil est parabolique. Pour un écoulement turbulent (le cas le plus courant), il est plus aplati. L'équation de continuité reste cependant valide avec la vitesse moyenne.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première chose à faire dans tout problème d'hydraulique est de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes. Le système international (SI) est votre meilleur ami : débits en \(\text{m}^3\text{/s}\), diamètres en \(\text{m}\), aires en \(\text{m}^2\), et vitesses en \(\text{m/s}\). Prenez l'habitude de tout convertir avant de commencer les calculs pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 ou 1 000 000 !

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de plomberie et de génie civil (comme la norme NF EN 805 pour l'adduction d'eau) imposent des limites sur les vitesses d'écoulement. Une vitesse trop faible (< 0.5 m/s) peut entraîner des dépôts de sédiments, tandis qu'une vitesse trop élevée (> 2-3 m/s) peut causer de l'érosion, du bruit et des pertes de charge excessives.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la formule du débit et on isole la vitesse :

Q_1 = A_1 \cdot V_1 \quad \Rightarrow \quad V_1 = \frac{Q_1}{A_1}

Avec l'aire de la section circulaire :

A_1 = \frac{\pi \cdot D_1^2}{4}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la conduite est pleine, que le fluide est incompressible (masse volumique constante) et que le régime d'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Débit en entrée, \(Q_1 = 50 \, \text{L/s}\)
Diamètre du tronçon 1, \(D_1 = 20 \, \text{cm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Retenez ces conversions par cœur :
• 1 \(\text{m}^3\) = 1000 Litres \(\Rightarrow\) pour passer de \(\text{L/s}\) à \(\text{m}^3\text{/s}\), on divise par 1000.
• 1 \(\text{m}\) = 100 \(\text{cm}\) \(\Rightarrow\) pour passer de \(\text{cm}\) à \(\text{m}\), on divise par 100.

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur le Tronçon 1

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités en SI :

\begin{aligned} Q_1 &= 50 \, \text{L/s} \\ &= \frac{50}{1000} \, \text{m}^3\text{/s} \\ &= 0.05 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned}

\begin{aligned} D_1 &= 20 \, \text{cm} \\ &= \frac{20}{100} \, \text{m} \\ &= 0.20 \, \text{m} \end{aligned}

2. Calcul de l'aire \(A_1\) :

\begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi \cdot (0.20 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.04 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.0314 \, \text{m}^2 \end{aligned}

3. Calcul de la vitesse \(V_1\) :

\begin{aligned} V_1 &= \frac{Q_1}{A_1} \\ &= \frac{0.05 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.0314 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.59 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat pour le Tronçon 1

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 1.59 m/s est une valeur tout à fait typique pour une conduite de distribution principale. Elle est suffisamment élevée pour éviter la sédimentation mais pas excessive au point de causer des problèmes d'érosion ou de bruit. Ce premier résultat valide la cohérence des données d'entrée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le diamètre au carré lors du calcul de l'aire. Une autre erreur classique est de mal gérer la conversion des unités, en particulier pour les aires (1 \(\text{m}^2\) = 10 000 \(\text{cm}^2\), pas 100).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Toujours convertir les unités en un système cohérent (SI) avant de calculer.
La vitesse est inversement proportionnelle à l'aire de la section (\(V=Q/A\)).
L'aire d'un cercle est \(A = \pi D^2 / 4\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effet Venturi est une application directe de l'équation de continuité. En rétrécissant une conduite, on diminue l'aire, ce qui force le fluide à accélérer. Selon le principe de Bernoulli, cette augmentation de vitesse s'accompagne d'une chute de pression. Cet effet est utilisé dans de nombreux appareils, des carburateurs aux débitmètres.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse de l'eau dans la conduite principale (tronçon 1) est d'environ 1.59 m/s.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le débit \(Q_1\) était de 100 L/s, quelle serait la nouvelle vitesse \(V_1\) en m/s ?

Question 2 : Calculer le débit Q₃ dans le tronçon 3

Principe (le concept physique)

Comme pour la question 1, nous utilisons la relation \(Q = A \cdot V\). Cette fois, nous connaissons la vitesse \(V_3\) et le diamètre \(D_3\). Nous pouvons donc calculer l'aire \(A_3\) puis en déduire directement le débit \(Q_3\) qui s'échappe par cette branche.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du débit dans une branche est fondamental pour le dimensionnement des réseaux. Si ce débit alimente un quartier, il est déterminé par la somme des besoins des consommateurs. Si la branche alimente un réservoir, le débit dépendra de la différence de hauteur d'eau et des pertes de charge. Ici, la vitesse est une donnée, ce qui simplifie le problème.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Notez comment la vitesse dans cette branche plus petite (\(V_3 = 2.0 \, \text{m/s}\)) est plus élevée que dans la conduite principale (\(V_1 \approx 1.59 \, \text{m/s}\)). C'est un phénomène courant : pour transporter le fluide, on utilise souvent des vitesses plus élevées dans les conduites de plus petit diamètre. C'est un compromis entre le coût des tuyaux et le coût de pompage (pertes de charge).

Normes (la référence réglementaire)

Pour les branchements individuels (comme l'alimentation d'une maison), les vitesses sont souvent limitées plus strictement pour des raisons de confort acoustique. Un écoulement trop rapide dans une petite tuyauterie peut générer des sifflements et des bruits désagréables.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule est directe :

Q_3 = A_3 \cdot V_3 \quad \text{avec} \quad A_3 = \frac{\pi \cdot D_3^2}{4}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent : conduite pleine, fluide incompressible, régime permanent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vitesse dans le tronçon 3, \(V_3 = 2.0 \, \text{m/s}\)
Diamètre du tronçon 3, \(D_3 = 10 \, \text{cm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Lorsque vous calculez une aire, gardez plusieurs décimales en mémoire dans votre calculatrice pour le calcul suivant. N'arrondissez la valeur finale qu'à la toute fin pour préserver la précision.

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur le Tronçon 3

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion du diamètre \(D_3\) en mètres :

\begin{aligned} D_3 &= 10 \, \text{cm} \\ &= 0.10 \, \text{m} \end{aligned}

2. Calcul de l'aire \(A_3\) :

\begin{aligned} A_3 &= \frac{\pi \cdot (0.10 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.01 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned}

3. Calcul du débit \(Q_3\) :

\begin{aligned} Q_3 &= A_3 \cdot V_3 \\ &= 0.007854 \, \text{m}^2 \cdot 2.0 \, \text{m/s} \\ &\approx 0.0157 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned}

On peut reconvertir en L/s pour une meilleure représentation : \(0.0157 \cdot 1000 = 15.7 \, \text{L/s}\).

Schéma (Après les calculs)

Résultat pour le Tronçon 3

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un débit de 15.7 L/s s'échappe par la branche 3. Sachant que 50 L/s entrent dans le système, nous savons déjà, par simple soustraction, ce qu'il devrait rester pour la branche 2. C'est le cœur de la loi de continuité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de bien utiliser le diamètre \(D_3\) pour calculer l'aire \(A_3\). Il est facile de se tromper et de réutiliser une aire calculée précédemment. Chaque tronçon a sa propre aire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le débit est le produit de l'aire et de la vitesse (\(Q=AV\)).
Connaître le diamètre et la vitesse permet de déterminer le débit.
La conversion \(\text{L/s} \leftrightarrow \text{m}^3\text{/s}\) est une opération de base.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nombre de Reynolds (Re) est un nombre sans dimension qui permet de savoir si un écoulement est laminaire (ordonné, Re < 2000) ou turbulent (chaotique, Re > 4000). Il dépend de la vitesse, du diamètre et de la viscosité du fluide. Presque tous les écoulements en adduction d'eau sont turbulents.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le débit dans le tronçon 3 est d'environ 0.0157 \(\text{m}^3\text{/s}\) (soit 15.7 L/s).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la vitesse \(V_3\) était de 1.5 m/s, quel serait le nouveau débit \(Q_3\) en L/s ?

Question 3 : Déterminer le débit Q₂ dans le tronçon 2

Principe (le concept physique)

C'est ici que nous appliquons directement la loi de conservation de la masse à la jonction. Le débit qui entre (\(Q_1\)) doit être égal à la somme des débits qui sortent (\(Q_2 + Q_3\)). Puisque nous avons calculé \(Q_1\) (donné) et \(Q_3\) (question 2), nous pouvons trouver \(Q_2\) par une simple soustraction.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette loi est l'analogue hydraulique de la première loi de Kirchhoff pour les circuits électriques ("loi des nœuds"), qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant. En mécanique des fluides, le débit joue le rôle du courant électrique. Cette analogie est très utile pour comprendre des réseaux plus complexes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la jonction comme un carrefour. Les voitures qui arrivent par la route principale (débit Q₁) doivent forcément se répartir sur les deux routes secondaires (débits Q₂ et Q₃). Il ne peut y avoir ni création ni disparition de voitures au carrefour. C'est l'idée simple et puissante derrière la loi de continuité.

Normes (la référence réglementaire)

La conception des nœuds et des jonctions dans les réseaux sous pression est également normalisée. Les pièces de raccordement (tés, coudes, réductions) doivent être conçues pour minimiser les pertes de charge singulières et résister aux efforts exercés par le fluide, notamment aux changements de direction.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'équation de continuité au niveau du nœud (la jonction) s'écrit :

Q_1 = Q_2 + Q_3 \quad \Rightarrow \quad Q_2 = Q_1 - Q_3

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose qu'il n'y a pas de fuites au niveau de la jonction. Toute l'eau qui entre est redistribuée dans les branches de sortie.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Débit en entrée, \(Q_1 = 0.05 \, \text{m}^3\text{/s}\) (de Q1)
Débit sortant 3, \(Q_3 \approx 0.0157 \, \text{m}^3\text{/s}\) (de Q2)

Astuces(Pour aller plus vite)

Vous pouvez faire le calcul directement avec les L/s, c'est souvent plus intuitif : \(Q_2 = 50 \, \text{L/s} - 15.7 \, \text{L/s}\). Assurez-vous simplement de reconvertir en \(\text{m}^3\text{/s}\) si vous en avez besoin pour la question suivante.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des Débits à la Jonction

Calcul(s) (l'application numérique)

On effectue la soustraction en utilisant les valeurs en \(\text{m}^3\text{/s}\) pour la cohérence.

\begin{aligned} Q_2 &= Q_1 - Q_3 \\ &= 0.05 \, \text{m}^3\text{/s} - 0.015708 \, \text{m}^3\text{/s} \\ &\approx 0.0343 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned}

En L/s : \(0.0343 \cdot 1000 \approx 34.3 \, \text{L/s}\).

Schéma (Après les calculs)

Bilan des Débits Résolu

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est logique : 50 L/s entrent, 15.7 L/s partent d'un côté, il en reste donc 34.3 L/s pour l'autre. La somme \(15.7 + 34.3 = 50\) confirme que notre bilan est correct. Le débit s'est réparti, avec la plus grande partie passant par le tronçon 2.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au sens des flèches ! Si une des branches était en entrée plutôt qu'en sortie, la formule changerait. La règle est simple : "ce qui entre = ce qui sort". Appliquez-la rigoureusement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La loi des nœuds est la clé pour analyser les jonctions.
\(\sum Q_{\text{entrant}} = \sum Q_{\text{sortant}}\).
C'est une application directe de la conservation de la masse.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour analyser des réseaux maillés complexes avec de multiples boucles (comme un réseau de distribution d'eau dans une ville), les ingénieurs utilisent des algorithmes informatiques, comme la méthode de Hardy Cross, qui résolvent itérativement les lois de conservation de la masse à chaque nœud et les lois de conservation de l'énergie sur chaque boucle.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le débit dans le tronçon 2 est de 0.0343 \(\text{m}^3\text{/s}\) (soit 34.3 L/s).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le débit \(Q_3\) était de 25 L/s, quel serait le débit \(Q_2\) en L/s ?

Question 4 : Calculer la vitesse V₂ dans le tronçon 2

Principe (le concept physique)

Cette dernière question est la réciproque de la première. Maintenant que nous avons le débit \(Q_2\) et le diamètre \(D_2\), nous pouvons utiliser à nouveau la formule \(Q=AV\) pour trouver la dernière inconnue du problème : la vitesse \(V_2\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul des vitesses dans chaque branche est crucial pour l'analyse des pertes de charge. Les pertes par frottement sont approximativement proportionnelles au carré de la vitesse (\(V^2\)). Une petite augmentation de la vitesse peut donc entraîner une augmentation significative des pertes d'énergie, ce qui nécessiterait plus de puissance de pompage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Vous avez maintenant bouclé la boucle. Vous êtes parti d'un débit et d'une vitesse pour trouver toutes les autres grandeurs du système. C'est une démarche très classique en ingénierie : on part des quelques informations connues pour en déduire, étape par étape, un état complet du système en appliquant les lois physiques pertinentes.

Normes (la référence réglementaire)

La vitesse est un critère de conception essentiel. Les codes de conception spécifient des plages de vitesses admissibles pour différents types de fluides et d'applications afin d'assurer un fonctionnement sûr, efficace et durable des installations hydrauliques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise la même formule que pour la question 1 :

V_2 = \frac{Q_2}{A_2} \quad \text{avec} \quad A_2 = \frac{\pi \cdot D_2^2}{4}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les mêmes hypothèses que précédemment s'appliquent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Débit dans le tronçon 2, \(Q_2 \approx 0.0343 \, \text{m}^3\text{/s}\) (de Q3)
Diamètre du tronçon 2, \(D_2 = 15 \, \text{cm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque \(V = Q/A\) et \(A = \pi D^2 / 4\), on a \(V = 4Q / (\pi D^2)\). La vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre. Si vous comparez deux tuyaux, l'un deux fois plus grand que l'autre, la vitesse sera quatre fois plus faible dans le plus grand pour un même débit.

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur le Tronçon 2

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion du diamètre \(D_2\) en mètres :

\begin{aligned} D_2 &= 15 \, \text{cm} \\ &= 0.15 \, \text{m} \end{aligned}

2. Calcul de l'aire \(A_2\) :

\begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi \cdot (0.15 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.0225 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.01767 \, \text{m}^2 \end{aligned}

3. Calcul de la vitesse \(V_2\) :

\begin{aligned} V_2 &= \frac{Q_2}{A_2} \\ &= \frac{0.0343 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.01767 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.94 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat pour le Tronçon 2

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse dans le tronçon 2 (1.94 m/s) est supérieure à celle du tronçon 1 (1.59 m/s) mais très proche de celle du tronçon 3 (2.0 m/s). C'est cohérent : bien que le débit dans le tronçon 2 soit plus grand que dans le 3, son diamètre est également plus grand, ce qui conduit à des vitesses du même ordre de grandeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur serait d'utiliser un mauvais débit (par exemple \(Q_1\) ou \(Q_3\)) pour calculer \(V_2\). Chaque vitesse est spécifiquement liée au débit et à l'aire de son propre tronçon.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La relation \(Q=AV\) est universelle et peut être utilisée pour trouver Q, A ou V si les deux autres sont connus.
L'analyse d'un réseau se fait tronçon par tronçon.
La cohérence des unités est la clé du succès.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans un réseau réel, les débits ne se répartissent pas au hasard. Ils s'équilibrent en fonction des "pertes de charge" (frottements, coudes, vannes) de chaque branche. Le fluide emprunte préférentiellement le chemin le plus "facile", c'est-à-dire celui avec le moins de pertes de charge. Le calcul complet nécessite l'utilisation de l'équation de Bernoulli généralisée.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse de l'eau dans la conduite du tronçon 2 est d'environ 1.94 m/s.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre \(D_2\) était de 20 cm, quelle serait la nouvelle vitesse \(V_2\) en m/s (avec \(Q_2 = 34.3 \, \text{L/s}\)) ?

Outil Interactif : Équilibre des Débits

Modifiez les paramètres du réseau pour observer comment les vitesses et débits s'équilibrent.

Paramètres d'Entrée

Débit Entrant Q₁ (L/s) 50 L/s

Diamètre D₂ (cm) 15 cm

Vitesse V₃ (m/s) 2.0 m/s

Résultats Calculés

Vitesse V₁ (m/s) -

Débit Q₂ (L/s) -

Vitesse V₂ (m/s) -

Le Saviez-Vous ?

Les aqueducs romains sont un chef-d'œuvre d'ingénierie hydraulique. Pour transporter l'eau sur des dizaines de kilomètres, les ingénieurs romains calculaient des pentes très précises, souvent de l'ordre de 0.1% à 0.3% (soit 1 à 3 mètres de dénivelé par kilomètre). Cette pente douce permettait à l'eau de s'écouler par gravité à une vitesse suffisamment lente pour ne pas éroder les canaux, mais assez rapide pour éviter la stagnation.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le fluide est compressible, comme de l'air ?

Si le fluide est compressible, on ne peut plus utiliser le débit volumique (\(Q\)) directement dans l'équation de continuité. On doit utiliser le débit massique (\(\dot{m}\)), qui est le produit du débit volumique et de la masse volumique (\(\rho\)). L'équation devient \(\dot{m}_1 = \dot{m}_2 + \dot{m}_3\), soit \(\rho_1 Q_1 = \rho_2 Q_2 + \rho_3 Q_3\). Comme la masse volumique peut changer avec la pression, les calculs sont plus complexes.

Cet exercice ne prend pas en compte les frottements. Est-ce réaliste ?

Non, c'est une simplification pédagogique. Dans tout écoulement réel, il y a des "pertes de charge" dues aux frottements du fluide contre les parois de la conduite. Ces pertes de charge créent une chute de pression le long de la conduite. Pour les calculer, on utilise des formules plus avancées comme l'équation de Darcy-Weisbach, qui fait intervenir la rugosité de la conduite et le nombre de Reynolds.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une conduite, si on réduit le diamètre de moitié, que devient la vitesse pour un même débit ?

Elle est divisée par 4
Elle est multipliée par 4
Elle est multipliée par 2

2. L'équation de continuité (\(Q_1 = Q_2 + Q_3\)) est une conséquence directe de :

La conservation de l'énergie
La loi de la gravité
La conservation de la masse

Débit Volumique (Q): Volume de fluide traversant une surface par unité de temps. L'unité SI est le \(\text{m}^3\text{/s}\), mais le L/s est aussi très utilisé.
Équation de Continuité: Principe de conservation de la masse appliqué à un fluide en mouvement. Pour un fluide incompressible, il implique que le débit volumique est constant dans une conduite ou se conserve aux jonctions.
Vitesse d'Écoulement (V): Vitesse moyenne des particules de fluide à travers une section de la conduite. Unité SI : m/s.