ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Temps de Vidange d’un Réservoir Sphérique

Calcul du Temps de Vidange d'un Réservoir Sphérique

Calcul du Temps de Vidange d'un Réservoir Sphérique

Contexte : Une application classique de l'hydraulique.

Le calcul du temps de vidange d'un réservoir est un problème fondamental en mécanique des fluides, avec des applications allant de la gestion des châteaux d'eau à la vidange de cuves industrielles. Contrairement à un réservoir cylindrique, la section horizontale d'un réservoir sphérique varie avec la hauteur du fluide, ce qui rend le calcul plus complexe. Cet exercice vous guidera à travers la mise en place et la résolution de l'équation différentielleUne équation mathématique qui relie une fonction avec ses dérivées. Dans notre cas, elle lie la variation de la hauteur d'eau (dh) à un intervalle de temps (dt). qui régit ce phénomène.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine la géométrie, l'application de principes physiques comme la loi de TorricelliFormule qui énonce que la vitesse d'écoulement d'un fluide par un orifice est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur du fluide au-dessus de cet orifice. \(v = \sqrt{2gh}\), et des techniques de calcul intégral. C'est un excellent exemple de la manière dont les mathématiques sont utilisées pour modéliser et résoudre des problèmes concrets d'ingénierie.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer la loi de Torricelli dans un contexte de vidange.
  • Établir l'équation différentielle régissant la vidange d'un réservoir à section variable.
  • Exprimer le rayon de la surface libre de l'eau en fonction de la hauteur instantanée \(h\).
  • Résoudre l'équation différentielle par intégration pour obtenir le temps de vidange.
  • Effectuer une application numérique et interpréter le résultat.

Données de l'étude

On considère un réservoir sphérique de rayon \(R = 2 \, \text{m}\), initialement rempli d'eau. Il se vide par un orifice circulaire situé à sa base, de diamètre \(d = 50 \, \text{mm}\). Le coefficient de déchargeCoefficient sans dimension qui tient compte des pertes d'énergie et de la contraction du jet à la sortie de l'orifice. Il est généralement déterminé expérimentalement. de l'orifice est de \(C_d = 0.6\). On prendra l'accélération de la pesanteur \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).

Schéma du réservoir sphérique en cours de vidange
R h r(h) O Orifice (s, C_d)

Questions à traiter

  1. Exprimer l'aire de la surface libre de l'eau, \(A(h)\), en fonction de la hauteur d'eau instantanée \(h\).
  2. Établir l'équation différentielle reliant \(dh\) et \(dt\).
  3. Intégrer l'équation pour obtenir la formule littérale du temps \(T\) nécessaire pour vider complètement le réservoir (de \(h=2R\) à \(h=0\)).
  4. Calculer la valeur numérique de ce temps de vidange \(T\).

Les bases de l'Hydraulique Appliquée

Avant de plonger dans la correction, assurons-nous de bien maîtriser les quelques concepts fondamentaux qui sont les piliers de cet exercice.

1. Conservation de la Masse (ou du Volume) : C'est le principe le plus intuitif. Imaginez une baignoire qui se vide : le volume d'eau qui sort par le siphon est exactement égal au volume d'eau qui a disparu de la baignoire. En termes plus techniques, pour un fluide incompressible comme l'eau : Débit sortant = - Taux de variation du volume stocké. Le signe "moins" est là car le volume stocké diminue.

2. Formule de Torricelli : Pourquoi l'eau sort-elle plus vite quand le réservoir est plein ? À cause de la pression. L'énergie potentielle de l'eau en hauteur (liée à la gravité, \(E_p = mgh\)) se transforme en énergie cinétique (énergie de mouvement, \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)) à la sortie de l'orifice. En égalant ces deux énergies, on trouve que la vitesse d'éjection est \(v = \sqrt{2gh}\). C'est la vitesse qu'aurait une goutte d'eau si elle tombait en chute libre depuis la surface.

3. Débit Volumique (Q) : Le débit est la "quantité" de fluide qui passe à travers une surface par unité de temps. Il se calcule simplement par : Débit = Aire de la section × Vitesse du fluide, soit \(Q = s \cdot v\). Dans notre cas, c'est l'aire de l'orifice (\(s\)) multipliée par la vitesse d'éjection de Torricelli.

4. Le besoin d'une Intégrale : Si le débit de sortie était constant, le calcul serait simple : Temps = Volume / Débit. Mais ici, la hauteur \(h\) diminue, donc la vitesse \(v\) diminue, et donc le débit \(Q\) diminue ! Le débit n'est pas constant. Pour calculer le temps total, il faut additionner les petits temps \(dt\) nécessaires pour vider chaque "tranche" d'eau. Cette somme d'une infinité de petits éléments est exactement ce que fait une intégrale.

Correction : Calcul du Temps de Vidange d'un Réservoir Sphérique

Question 1 : Exprimer l'aire de la surface libre A(h)

Principe (le concept physique)

Imaginez que vous videz une baignoire. Au début, le niveau d'eau baisse lentement car la surface est grande. Vers la fin, il baisse plus vite. C'est parce que la vitesse de descente dépend de la "largeur" de la surface de l'eau. Ici, notre objectif est de trouver une formule mathématique pour cette "largeur" (l'aire de la surface) à n'importe quelle hauteur d'eau \(h\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Géométrie de la sphère : Si vous coupez une orange (une sphère) avec un couteau (un plan), la surface de la coupe est toujours un disque. Le rayon de ce disque est maximal si vous coupez au milieu (l'équateur) et il diminue à mesure que vous vous éloignez du centre. Notre tâche est de trouver le rayon \(r\) de ce disque pour n'importe quelle hauteur d'eau \(h\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le réflexe du schéma : En mécanique ou en hydraulique, un bon schéma vaut mieux qu'un long discours. Prenez le temps de dessiner une coupe de la sphère. Placez le centre, le rayon de la sphère \(R\), la hauteur d'eau \(h\) depuis le bas, et le rayon de la surface \(r(h)\). Ce simple dessin fera apparaître un triangle rectangle, qui est la clé pour résoudre cette question purement géométrique.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Pourquoi commencer par là ? Parce que pour savoir à quelle vitesse le volume change, nous devons savoir comment la variation de hauteur \(dh\) se traduit en variation de volume \(dV\). Cette relation est \(dV = A(h) \cdot dh\). L'aire \(A(h)\) est donc le lien indispensable entre la hauteur et le volume. C'est la première pièce du puzzle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Théorème de Pythagore :

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Aire d'un disque :

\[A = \pi r^2\]
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle clé pour le calcul de r(h)
R r(h) R-h O
Calcul(s) (l'application numérique)

Application du théorème de Pythagore :

\[ R^2 = (r(h))^2 + (R-h)^2 \]

Isolation du rayon au carré de la surface :

\[ \begin{aligned} (r(h))^2 &= R^2 - (R-h)^2 \\ &= R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) \\ &= R^2 - R^2 + 2Rh - h^2 \\ &= 2Rh - h^2 \end{aligned} \]

Calcul de l'aire de la surface :

\[ A(h) = \pi (r(h))^2 = \pi (2Rh - h^2) \]
Schéma (Apres les calculs)

Le "schéma après calcul" n'est pas une nouvelle image, mais la compréhension que la formule \(A(h) = \pi (2Rh - h^2)\) décrit maintenant parfaitement la surface de l'eau pour n'importe quelle hauteur \(h\) dans notre schéma initial.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de mal définir la hauteur du côté vertical du triangle. Souvenez-vous que \(h\) est mesurée depuis le fond de la cuve. La distance au centre est donc \(R-h\). Une autre erreur est d'oublier de distribuer le signe négatif en développant \((R-h)^2\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la surface libre de l'eau à une hauteur \(h\) est donnée par la formule : \( A(h) = \pi (2Rh - h^2) \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Le réservoir est à moitié plein (\(h=R=2\text{m}\)). Quelle est l'aire de la surface de l'eau ?

Indice : \(A(R) = \pi(2R \cdot R - R^2) = \pi R^2\)

Question 2 : Établissement de l'équation différentielle

Principe (le concept physique)

Le cœur de cette question est la conservation de la masse. C'est un principe fondamental qui dit que "rien ne se perd, rien ne se crée". Appliqué à notre réservoir, cela signifie que chaque goutte d'eau qui sort par l'orifice doit provenir d'une baisse du niveau d'eau à l'intérieur. Nous allons mettre ce principe en équation.

Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Fluide incompressible : On suppose que le volume de l'eau ne change pas avec la pression. C'est une excellente approximation pour l'eau dans des conditions normales.
  • Écoulement quasi-stationnaire : On imagine que la vidange se fait "lentement". Tellement lentement qu'à chaque instant, on peut considérer que le fluide est presque à l'équilibre. Cela nous autorise à utiliser des formules simples comme celle de Torricelli.
Formule(s) (l'outil mathématique)

Variation de volume dans le réservoir :

\[dV = -A(h) \cdot dh\]

Débit d'un orifice (Loi de Torricelli corrigée) :

\[Q = C_d \cdot s \cdot \sqrt{2gh}\]

Relation débit-volume :

\[dV = Q \cdot dt\]
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du bilan de volume infinitésimal
Niveau à t Niveau à t+dt dh Volume perdu dV = -A(h)dh Volume sorti dV = Q.dt
Calcul(s) (l'application numérique)

Bilan de volume (volume diminué = volume sorti) :

\[ -A(h) \cdot dh = Q \cdot dt \]

Remplacement du débit Q par la formule de Torricelli :

\[ -A(h) \cdot dh = (C_d \cdot s \cdot \sqrt{2gh}) \cdot dt \]

Expression de la vitesse de descente :

\[ \frac{dh}{dt} = - \frac{C_d \cdot s \cdot \sqrt{2gh}}{A(h)} \]

Expression de dt pour l'intégration future :

\[ dt = - \frac{A(h)}{C_d \cdot s \cdot \sqrt{2gh}} dh \]
Schéma (Apres les calculs)

Le résultat est une équation, pas une image. Le "schéma après calcul" est la compréhension que l'équation différentielle modélise maintenant le lien dynamique entre la géométrie (via A(h)) et la physique de l'écoulement (via Q).

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette "équation différentielle" est le modèle mathématique de notre problème. Elle nous dit exactement comment le temps \(dt\) est lié à la baisse de niveau \(dh\). On voit que si l'aire \(A(h)\) est grande (au milieu du réservoir), il faut beaucoup de temps \(dt\) pour une petite baisse \(dh\). Inversement, si \(h\) est petit (vers la fin), la vitesse de sortie \(\sqrt{h}\) est faible, ce qui augmente aussi le temps nécessaire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation différentielle qui relie le temps et la hauteur est : \( dt = - \frac{\pi (2Rh - h^2)}{C_d \cdot s \cdot \sqrt{2gh}} dh \).

Question 3 : Intégration pour obtenir le temps total T

Principe (le concept physique)

Nous avons une formule qui nous donne un tout petit temps \(dt\) pour une toute petite baisse \(dh\). Pour trouver le temps total \(T\), il suffit d'additionner tous ces petits temps \(dt\) depuis le début (\(h=2R\)) jusqu'à la fin (\(h=0\)). En mathématiques, cette "somme d'une infinité de petits éléments" s'appelle une intégrale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'intégrale définie : L'intégrale \(\int_a^b f(x)dx\) représente l'aire sous la courbe de la fonction \(f(x)\) entre les points \(a\) et \(b\). Dans notre cas, on intègre la fonction qui donne \(dt\) en fonction de \(dh\). L'intégrale \(\int_{H_{final}}^{H_{initial}} f(h)dh\) nous donnera la somme de tous les \(dt\), c'est-à-dire le temps total \(T\).

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du processus d'intégration
∫ h = 2R (début) h = 0 (fin) On somme tous les petits temps 'dt' pour chaque 'dh'
Calcul(s) (l'application numérique)

Mise en place de l'intégrale :

\[ \int_0^T dt = \int_{2R}^{0} - \frac{\pi (2Rh - h^2)}{C_d \cdot s \cdot \sqrt{2gh}} dh \]

Simplification (inversion des bornes et sortie des constantes) :

\[ T = \frac{\pi}{C_d s \sqrt{2g}} \int_{0}^{2R} \frac{2Rh - h^2}{\sqrt{h}} dh \]

Simplification de la fonction à intégrer :

\[ \frac{2Rh - h^2}{h^{1/2}} = 2Rh^{1/2} - h^{3/2} \]

Calcul de la primitive :

\[ \int (2Rh^{1/2} - h^{3/2}) dh = \frac{4R}{3}h^{3/2} - \frac{2}{5}h^{5/2} \]

Évaluation de l'intégrale et simplification finale :

\[ \begin{aligned} T &= \frac{\pi}{C_d s \sqrt{2g}} \left[ \frac{4R}{3}h^{3/2} - \frac{2}{5}h^{5/2} \right]_0^{2R} \\ &= \frac{\pi}{C_d s \sqrt{2g}} \left( \frac{4R}{3}(2R)^{3/2} - \frac{2}{5}(2R)^{5/2} \right) \\ &= \frac{8\pi R^{5/2}}{C_d s \sqrt{g}} \left( \frac{2}{15} \right) \\ &= \frac{16 \pi R^{5/2}}{15 C_d s \sqrt{g}} \end{aligned} \]
Schéma (Apres les calculs)

Le résultat est une formule littérale. Cette formule est la "machine" mathématique qui, à partir des caractéristiques du réservoir (R, d, Cd), nous donnera le temps de vidange.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'intégration est une étape délicate. Les erreurs courantes sont : se tromper dans la primitive de \(h^{n}\), mal gérer les bornes de l'intégrale, ou faire des erreurs de calcul en simplifiant l'expression finale. Il est conseillé de faire le calcul sur papier, étape par étape.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La formule littérale donnant le temps de vidange total est : \( T = \frac{16 \pi R^{5/2}}{15 C_d s \sqrt{g}} \).

Question 4 : Application Numérique

Principe (le concept physique)

C'est le moment de vérité : on passe de la théorie à la pratique. On prend notre belle formule générale et on y injecte les chiffres du problème (le rayon du réservoir, le diamètre du trou, etc.) pour obtenir une réponse concrète à la question : "Combien de temps ça prend ?".

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Un ingénieur doit fournir des résultats chiffrés. Une formule littérale est essentielle pour comprendre la physique, mais le client ou le chef de projet a besoin de savoir si la vidange prendra 10 minutes ou 10 heures. Cette étape transforme notre travail en une information directement exploitable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On rassemble toutes les valeurs de l'énoncé, en s'assurant qu'elles sont dans les bonnes unités (le Système International : mètres, secondes, etc.).

  • Rayon du réservoir, \(R = 2 \, \text{m}\)
  • Diamètre de l'orifice, \(d = 50 \, \text{mm} = 0.05 \, \text{m}\) (Attention à la conversion !)
  • Coefficient de décharge, \(C_d = 0.6\) (sans unité)
  • Accélération de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire de l'orifice \(s\) :

\[ \begin{aligned} s &= \pi \frac{d^2}{4} \\ &= \pi \frac{(0.05 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.0019635 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul du temps de vidange T :

\[ \begin{aligned} T &= \frac{16 \pi R^{5/2}}{15 C_d s \sqrt{g}} \\ &= \frac{16 \times \pi \times (2)^{5/2}}{15 \times 0.6 \times 0.0019635 \times \sqrt{9.81}} \\ &\approx \frac{16 \times 3.14159 \times 5.6568}{9 \times 0.0019635 \times 3.1322} \\ &\approx \frac{284.28}{0.05533} \\ &\approx 5138 \, \text{secondes} \end{aligned} \]
Schéma (Apres les calculs)
Résultat Final Visualisé

Temps de vidange total :

~ 1h 26min

Réflexions (l'interprétation du résultat)

5138 secondes, c'est difficile à imaginer. Convertissons en unités plus parlantes : \(5138 / 60 \approx 85.6\) minutes. Soit environ 1 heure et 26 minutes. Ce résultat est-il logique ? Oui. Le réservoir est grand (4m de diamètre) et le trou de vidange est petit (5cm). Il est normal que cela prenne du temps. Si on avait trouvé 10 secondes, il y aurait eu une erreur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'ennemi public n°1 : les unités ! L'erreur la plus fréquente est d'utiliser le diamètre en millimètres dans un calcul où tout le reste est en mètres. Vérifiez trois fois que toutes vos données sont dans le Système International avant de commencer le calcul.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le temps de vidange total du réservoir est d'environ 5138 secondes, soit 1 heure et 26 minutes.

Outil Interactif : Influence du Diamètre de l'Orifice

Utilisez le curseur pour modifier le diamètre de l'orifice de vidange et observez l'impact direct sur le temps de vidange total.

Paramètres d'Entrée
50 mm
Résultat du Temps de Vidange
Temps de vidange T (heures) -

Le Saviez-Vous ?

Les premières horloges à eau, ou clepsydres, fonctionnaient sur ce principe de vidange. Cependant, pour avoir un débit constant et donc une mesure du temps fiable, les ingénieurs de l'Antiquité ont dû concevoir des récipients de formes complexes (paraboliques) pour que le niveau d'eau baisse à une vitesse constante, contrairement à notre sphère où la vitesse de baisse varie.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le coefficient de décharge \(C_d\) est-il inférieur à 1 ?

Un coefficient de 1 représenterait un écoulement "parfait" sans aucune perte. En réalité, le fluide subit des pertes d'énergie par frottement contre les parois de l'orifice. De plus, le jet de fluide se contracte juste après l'orifice (phénomène de "vena contracta"), réduisant la section efficace de l'écoulement. Le \(C_d\) combine ces deux effets et est presque toujours compris entre 0.6 et 0.98 pour l'eau.

Cette formule est-elle valable pour n'importe quel fluide ?

Cette approche est très précise pour les fluides peu visqueux comme l'eau. Pour des fluides très visqueux (huile, miel), les forces de frottement (viscosité) deviennent prépondérantes par rapport à la gravité, et la loi de Torricelli n'est plus applicable. Il faudrait alors utiliser des équations plus complexes comme celles de Navier-Stokes ou des lois d'écoulement spécifiques (ex: loi de Poiseuille).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le diamètre de l'orifice, le temps de vidange sera approximativement :

2. À quel moment la vitesse de descente du niveau d'eau \(|dh/dt|\) est-elle la plus grande ?

Loi de Torricelli
Principe de la mécanique des fluides affirmant que la vitesse d'écoulement d'un fluide par un orifice sous l'effet de la gravité est égale à la vitesse qu'aurait un corps tombant en chute libre depuis la même hauteur. \(v = \sqrt{2gh}\).
Coefficient de Décharge (Cd)
Nombre sans dimension utilisé pour caractériser les pertes de charge et la contraction d'un écoulement à travers un orifice. C'est le rapport entre le débit réel et le débit théorique.
Équation Différentielle
Relation mathématique entre une fonction et ses dérivées. Elle permet de modéliser l'évolution d'un système dynamique dans le temps.
Calcul du Temps de Vidange d'un Réservoir Sphérique

D’autres exercices de fondamentaux d’hydraulique:

Bilan de Quantité de Mouvement
Bilan de Quantité de Mouvement

Bilan de Quantité de Mouvement sur un Volume de Contrôle Mobile Bilan de Quantité de Mouvement sur un Volume de Contrôle Mobile Contexte : Pourquoi analyser les objets en mouvement ? En mécanique des fluides, de nombreuses applications impliquent l'interaction entre...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *