Analyse d'un Viscomètre à Chute de Bille
Contexte : Mesurer la "Résistance à l'Écoulement"
La viscositéPropriété d'un fluide qui mesure sa résistance à l'écoulement. Un fluide très visqueux (miel) s'écoule difficilement, un fluide peu visqueux (eau) s'écoule facilement. est une propriété fondamentale des fluides. Un viscomètre à chute de bille est un instrument simple et élégant pour la mesurer. Le principe consiste à laisser tomber une bille de densité et de taille connues dans un tube rempli du fluide à tester, et à mesurer son temps de chute entre deux repères. Lorsque la bille atteint sa vitesse terminaleVitesse constante atteinte par un objet en chute dans un fluide, lorsque la somme des forces de frottement (traînée) et de flottabilité (poussée d'Archimède) compense exactement le poids., les forces de gravité, de flottabilité et de traînée s'équilibrent. Comme la force de traînée dépend directement de la viscosité, la mesure de la vitesse terminale permet de remonter à cette propriété inconnue.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de l'équilibre des forces sur un corps immergé. Il illustre comment une mesure cinématique (une vitesse) peut être utilisée pour déterminer une propriété intrinsèque d'un fluide (sa viscosité). C'est un exemple parfait de la manière dont les principes fondamentaux de la mécanique sont appliqués dans des instruments de mesure concrets.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le bilan des forces (poids, poussée d'Archimède, traînée) sur un corps en mouvement à vitesse constante.
- Utiliser la loi de Stokes pour modéliser la force de traînée en régime laminaire.
- Isoler une propriété inconnue du fluide (viscosité) à partir de l'équation d'équilibre.
- Valider la cohérence du modèle en calculant le nombre de Reynolds a posteriori.
- Comprendre le fonctionnement et les limites d'un viscomètre à chute de bille.
Données de l'étude
Schéma du Viscomètre à Chute de Bille
| Grandeur | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse volumique de l'acier | \(\rho_s\) | \(7850 \, \text{kg/m}^3\) |
| Masse volumique de l'huile | \(\rho_f\) | \(910 \, \text{kg/m}^3\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | \(9.81 \, \text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Calculer la vitesse terminale \(V_t\) de la bille.
- Établir l'équation d'équilibre des forces sur la bille et en déduire une expression littérale de la force de traînée \(F_D\).
- En supposant que le régime d'écoulement est laminaire (régime de Stokes), déduire une expression littérale de la viscosité \(\mu_f\), puis calculer sa valeur. Vérifier a posteriori la validité de l'hypothèse de Stokes.
Correction : Analyse d'un Viscomètre à Chute de Bille
Question 1 : Calcul de la Vitesse Terminale
Principe :
La vitesse terminale est une vitesse constante. Elle se calcule donc simplement en divisant la distance parcourue \(h\) par le temps de parcours mesuré \(t\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : L'énoncé précise bien que la mesure est faite "une fois sa vitesse terminale atteinte". C'est une condition expérimentale cruciale. Si on commençait à chronométrer dès le lâcher de la bille, on mesurerait une vitesse moyenne inférieure à la vitesse terminale, car elle inclurait la phase d'accélération initiale.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Distance de chute : \(h = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}\)
- Temps de parcours : \(t = 12.5 \, \text{s}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Conversion d'unités : La distance est donnée en centimètres et doit impérativement être convertie en mètres pour obtenir une vitesse en m/s, l'unité standard du Système International.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Équilibre des Forces et Expression de la Traînée
Principe :
À la vitesse terminale, l'accélération est nulle. Le principe fondamental de la dynamique (\(\sum \vec{F} = 0\)) indique que la somme des forces agissant sur la bille est nulle. Les forces sont le poids \(P\) (vers le bas), la poussée d'Archimède \(F_A\) (vers le haut) et la force de traînée \(F_D\) (vers le haut, car elle s'oppose au mouvement de chute). L'équilibre des forces permet d'isoler la force de traînée.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Attention au sens de la force de traînée ! Contrairement à une bulle qui monte, la bille tombe. La traînée s'oppose toujours au mouvement relatif. Le mouvement étant vers le bas, la traînée est dirigée vers le haut, aux côtés de la poussée d'Archimède.
Formule(s) utilisée(s) :
En projection sur un axe vertical \(z\) orienté vers le haut :
Donnée(s) :
On utilise les expressions littérales du Poids et de la Poussée d'Archimède.
Calcul(s) :
Points de vigilance :
La différence de densité : L'expression finale montre que la force de traînée (et donc la vitesse de chute) dépend directement de la différence de masse volumique entre le solide et le fluide. C'est cette différence qui constitue la "force motrice nette" de la chute.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Calcul de la Viscosité et Validation
Principe :
En supposant que l'écoulement est laminaire (régime de Stokes), on peut utiliser la loi de Stokes \(F_D = 3\pi\mu_f d V_t\) pour la force de traînée. En égalant cette expression à celle trouvée à la question 2, on obtient une équation où la seule inconnue est la viscosité \(\mu_f\). Une fois \(\mu_f\) calculée, on doit impérativement calculer le nombre de Reynolds pour vérifier que l'hypothèse \(\text{Re} < 1\) était valide.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La validité de la loi de Stokes est la plus grande source d'incertitude dans ce type de viscomètre. Si le Reynolds est trop élevé, la formule de Stokes sous-estime la traînée réelle, ce qui conduit à une surestimation de la viscosité calculée. C'est pourquoi cet instrument est plus adapté aux fluides très visqueux (huiles, glycérine) où la vitesse de chute est faible.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(d = 2 \times 10^{-3} \, \text{m}\), \(V_t = 0.016 \, \text{m/s}\)
- \(\rho_s = 7850 \, \text{kg/m}^3\), \(\rho_f = 910 \, \text{kg/m}^3\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
1. Calcul de la viscosité :
2. Vérification du nombre de Reynolds :
Points de vigilance :
Ne pas oublier la validation : Le calcul de la viscosité n'est que la moitié du travail. La conclusion la plus importante est la validation (ou l'invalidation) de l'hypothèse de départ. Ici, Re \(\approx\) 0.03, ce qui est bien inférieur à 1. L'hypothèse du régime de Stokes est donc parfaitement justifiée, et la valeur de viscosité calculée est fiable.
Le saviez-vous ?
Simulation du Viscomètre
Explorez comment la viscosité du fluide et les propriétés de la bille influencent le temps de chute et le régime d'écoulement.
Paramètres de l'Expérience
Validation du Régime de Stokes
Le Saviez-Vous ?
Le "pitch drop experiment" (expérience de la goutte de poix) à l'Université du Queensland, en Australie, est l'une des expériences de laboratoire les plus longues du monde. Elle a commencé en 1927 pour démontrer que la poix, qui semble solide à température ambiante, est en fait un fluide extrêmement visqueux. Une goutte tombe environ une fois par décennie !
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si le régime n'est pas celui de Stokes ?
Si le nombre de Reynolds est supérieur à 1, la loi de Stokes n'est plus valide. Il faut utiliser une relation plus complexe entre le coefficient de traînée \(C_D\) et le nombre de Reynolds. L'équation \(F_D = P - F_A\) est toujours vraie, mais exprimer \(F_D\) en fonction de \(\mu_f\) devient beaucoup plus difficile, nécessitant des méthodes de résolution numérique ou graphique.
Peut-on utiliser une bille en plastique ?
Oui, mais il faut que la bille soit plus dense que le fluide pour qu'elle tombe (\(\rho_s > \rho_f\)). Si on utilisait une bille en plastique moins dense que l'huile, elle flotterait et la méthode ne fonctionnerait pas. Le choix du matériau de la bille permet d'ajuster la vitesse de chute pour rester dans le régime de Stokes.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. On utilise une bille de même taille mais deux fois plus dense. Dans le régime de Stokes, la vitesse terminale sera :
2. Pour mesurer la viscosité d'un fluide très peu visqueux comme l'eau avec cette méthode, il faudrait idéalement :
Glossaire
- Viscosité (\(\mu\))
- Propriété d'un fluide mesurant sa résistance interne à l'écoulement. Elle est souvent décrite comme "l'épaisseur" du fluide.
- Viscomètre
- Instrument de laboratoire utilisé pour mesurer la viscosité d'un fluide.
- Vitesse Terminale
- Vitesse constante atteinte par un objet se déplaçant dans un fluide lorsque la force de traînée équilibre la force motrice nette (poids - poussée d'Archimède).
- Régime de Stokes
- Régime d'écoulement à très faible nombre de Reynolds (Re < 1), où les forces de viscosité sont largement dominantes par rapport aux forces d'inertie. La traînée est proportionnelle à la vitesse.
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