Poussée d'Archimède sur un Corps Immergé en Accélération
Contexte : Se Sentir Plus Lourd ou Plus Léger
Nous connaissons tous la sensation d'être "écrasé" au fond d'un ascenseur qui démarre vers le haut, ou de se sentir plus léger lorsqu'il freine en montant. Cette sensation est due au principe d'équivalencePrincipe de la relativité générale stipulant qu'il est impossible de distinguer localement entre les effets de la gravité et ceux d'une accélération du référentiel. : une accélération est localement indiscernable d'un champ de gravité. Ce principe s'applique aussi aux fluides. Lorsqu'un fluide est accéléré, la pression en son sein change, ce qui modifie la poussée d'Archimède. Cet exercice vise à quantifier cet effet en calculant la tension nécessaire pour retenir un objet immergé dans un ascenseur en accélération.
Remarque Pédagogique : Ce problème combine le principe fondamental de la dynamique (\(\sum F = ma\)) avec le principe d'Archimède. Il force à réfléchir au référentiel d'étude (celui du laboratoire ou celui, non-inertiel, de l'ascenseur) et à la notion de "gravité apparente". C'est un pas essentiel pour comprendre des situations plus complexes comme le comportement des fluides dans les fusées ou les centrifugeuses.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un corps immergé.
- Calculer le poids et la poussée d'Archimède.
- Comprendre comment l'accélération du référentiel modifie l'équilibre des forces.
- Calculer la tension dans un câble retenant un objet en accélération dans un fluide.
- Analyser l'effet d'une accélération vers le haut et vers le bas sur les forces en jeu.
Données de l'étude
Schéma du Problème
| Grandeur | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse volumique de l'aluminium | \(\rho_s\) | \(2700 \, \text{kg/m}^3\) |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_f\) | \(998 \, \text{kg/m}^3\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | \(9.81 \, \text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Calculer le poids \(P\) de la sphère et la poussée d'Archimède \(F_A\) qu'elle subit.
- Écrire l'équation du principe fondamental de la dynamique pour la sphère dans le référentiel terrestre (inertiel).
- Calculer la tension \(T\) dans le câble.
Correction : Poussée d'Archimède sur un Corps Immergé en Accélération
Question 1 : Calcul du Poids et de la Poussée d'Archimède
Principe :
Le poids est la force de gravité agissant sur la masse de l'objet. Il se calcule avec la masse volumique de l'objet. La poussée d'Archimède est égale au poids du volume de fluide déplacé. Elle se calcule avec la masse volumique du fluide. Les deux forces dépendent du volume de la sphère.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Ces deux forces sont "statiques" dans le sens où elles ne dépendent que des propriétés intrinsèques (masses volumiques, volume) et du champ de gravité local \(g\). Elles existeraient même si l'ascenseur était immobile. L'accélération ne les modifie pas directement, mais elle va s'ajouter à l'équilibre global des forces.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Rayon de la sphère : \(r = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
- \(\rho_s = 2700 \, \text{kg/m}^3\), \(\rho_f = 998 \, \text{kg/m}^3\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
1. Volume de la sphère :
2. Poids de la sphère :
3. Poussée d'Archimède :
Points de vigilance :
Masse volumique correcte : L'erreur la plus courante est de confondre la masse volumique de l'objet (\(\rho_s\)) et celle du fluide (\(\rho_f\)). Le poids dépend de \(\rho_s\), la poussée d'Archimède dépend de \(\rho_f\).
Le saviez-vous ?
Question 2 : Équation du Mouvement
Principe :
Le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) stipule que la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur un objet est égale au produit de sa masse par son accélération (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)). On applique cette loi à la sphère dans le référentiel terrestre, qui est considéré comme inertiel. Les forces extérieures sont la tension du câble (vers le haut), la poussée d'Archimède (vers le haut) et le poids (vers le bas).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Il est crucial de bien définir le système (la sphère), le référentiel (la Terre) et de faire le bilan de TOUTES les forces extérieures. L'accélération \(a\) n'est pas une force, mais la conséquence de la résultante des forces. Le signe de chaque force dans la projection sur un axe vertical est également fondamental.
Formule(s) utilisée(s) :
En projection sur un axe vertical \(z\) orienté vers le haut :
Donnée(s) :
Aucune donnée numérique n'est requise pour cette question de principe.
Calcul(s) :
L'équation est déjà établie sous sa forme littérale finale.
Points de vigilance :
Masse et accélération : La masse à utiliser dans \(m\vec{a}\) est bien la masse de l'objet qui accélère (\(m_s\)), et non la masse du fluide déplacé. C'est l'objet lui-même qui subit l'accélération, pas le "trou" qu'il fait dans le fluide.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Calcul de la Tension dans le Câble
Principe :
Il suffit de réarranger l'équation obtenue à la question précédente pour isoler la tension \(T\). On utilise ensuite les valeurs numériques du poids et de la poussée d'Archimède calculées précédemment, ainsi que la masse de la sphère et l'accélération donnée.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le résultat final peut être interprété comme : la tension doit non seulement supporter le "poids apparent" de l'objet dans le fluide (\(P - F_A\)), mais aussi fournir la force supplémentaire nécessaire pour l'accélérer vers le haut (\(m_s a\)). L'accélération augmente donc la tension.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Poids : \(P \approx 13.86 \, \text{N}\)
- Poussée d'Archimède : \(F_A \approx 5.13 \, \text{N}\)
- Accélération : \(a = 2 \, \text{m/s}^2\)
- Masse de la sphère : \(m_s = P/g \approx 13.86 / 9.81 \approx 1.413 \, \text{kg}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Cohérence des signes : La plus grande source d'erreur est une mauvaise gestion des signes dans l'équation du PFD. Il est toujours plus sûr de poser l'équation vectorielle d'abord, puis de projeter sur un axe clairement défini, en affectant un signe + ou - à chaque force en fonction de sa direction par rapport à l'axe.
Le saviez-vous ?
Simulation de la Tension
Explorez comment la tension dans le câble change en fonction de la densité de la sphère et de l'accélération de l'ascenseur.
Paramètres du Problème
Équilibre des Forces
Le Saviez-Vous ?
Le concept de "gravité artificielle" dans les stations spatiales en rotation est une application directe de ce principe. La rotation crée une accélération centripète constante, que les astronautes ressentent comme une gravité dirigée vers l'extérieur. Cela permet de contrer les effets néfastes de l'impesanteur sur le corps humain.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si l'objet flotte (ex: un bloc de bois) ?
Si l'objet flotte (\(\rho_s < \rho_f\)), il n'y a pas besoin de câble pour le retenir, donc la tension est nulle. L'équation du mouvement devient \(F_A - P = m_s a\). Comme \(F_A > P\), l'objet accélérera vers le haut par rapport à l'eau, avec une accélération relative qui dépend de l'accélération de l'ascenseur.
La forme de l'objet a-t-elle une importance ?
Non, pas pour ce problème. Le poids et la poussée d'Archimède ne dépendent que du volume de l'objet, pas de sa forme. La forme deviendrait cruciale si on étudiait les forces de traînée, qui dépendent fortement de la géométrie de l'objet.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un ascenseur contenant un objet immergé freine en descendant (accélération vers le haut). La tension dans le câble :
2. Si l'ascenseur est en chute libre (\(a = -g\)), la tension dans le câble sera :
Glossaire
- Poussée d'Archimède (FA)
- Force verticale, dirigée vers le haut, subie par un corps plongé dans un fluide. Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé.
- Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
- Aussi connu comme la deuxième loi de Newton. Il stipule que la somme des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de sa masse par son accélération (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)).
- Référentiel Non-Inertiel
- Un référentiel qui est en accélération par rapport à un référentiel inertiel (comme la Terre). Pour y appliquer les lois de Newton, il faut introduire des pseudo-forces, comme la force d'inertie d'entraînement.
- Poids Apparent
- La force qu'un objet exerce sur son support. Dans un fluide, c'est la différence entre son poids réel et la poussée d'Archimède (\(P - F_A\)). Dans un référentiel accéléré, il est aussi modifié par l'accélération.
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