ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Temps de Réponse d’un Système Asservi

Oléohydraulique : Calcul du temps de réponse d'un système asservi en position avec une servovalve

Calcul du Temps de Réponse d'un Système Asservi en Position

Contexte : La Vitesse et la Précision des Systèmes Asservis

Les systèmes hydrauliques asservis en position sont au cœur de nombreuses applications de haute technologie, des simulateurs de vol aux machines-outils de précision. Leur but est de positionner une charge avec une grande exactitude et une grande rapidité. La performance d'un tel système est souvent caractérisée par sa dynamique : à quelle vitesse peut-il atteindre sa consigne ? Cette dynamique est définie par la pulsation naturelleFréquence à laquelle un système oscille naturellement s'il est perturbé. Une pulsation naturelle élevée signifie un système potentiellement rapide mais aussi plus sujet aux vibrations. du système, qui se comporte comme un système masse-ressort. La "masse" est la charge à déplacer, et le "ressort" est créé par la compressibilité de l'huile enfermée dans le vérin. Une servovalveValve électro-hydraulique de très haute performance capable de moduler très finement et très rapidement le débit d'huile vers un actionneur, en réponse à un signal électrique de commande., par son temps de réponse très court, permet d'atteindre des performances dynamiques élevées.

Remarque Pédagogique : Cet exercice fait le lien entre la mécanique des fluides (compressibilité de l'huile), la mécanique du solide (système masse-ressort) et la théorie des systèmes asservis. Comprendre comment les paramètres hydrauliques (volume d'huile, section du vérin) et mécaniques (masse) influencent la pulsation naturelle est la première étape pour concevoir un système de positionnement rapide et stable.

Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser un système hydraulique de positionnement comme un système masse-ressort.
  • Calculer la raideur hydraulique d'un vérin.
  • Déterminer la pulsation naturelle et la fréquence propre d'un système asservi.
  • Calculer la vitesse maximale et le temps de réponse minimal du système.
  • Analyser l'influence des paramètres de conception sur la performance dynamique.

Données de l'étude

On étudie un système de positionnement horizontal composé d'un vérin double effet symétrique commandé par une servovalve. Le vérin doit déplacer une masse \(M = 500 \, \text{kg}\) sur une course totale de \(C = 200 \, \text{mm}\).

Schéma du Système de Positionnement
M Servo valve

Données et hypothèses :

  • Diamètre du piston du vérin : \(D_p = 50 \, \text{mm}\)
  • Diamètre de la tige du vérin : \(D_t = 28 \, \text{mm}\)
  • Le vérin est positionné à mi-course pour le calcul de la raideur.
  • Module de compressibilité de l'huile : \(\beta = 14000 \, \text{bar}\)
  • Débit nominal de la servovalve (pour \(\Delta P = 70 \, \text{bar}\)) : \(Q_n = 40 \, \text{L/min}\)
  • Pression d'alimentation du système : \(P_s = 210 \, \text{bar}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la raideur hydraulique \(K_h\) du système à mi-course.
  2. Déterminer la pulsation naturelle \(\omega_n\) et la fréquence propre \(f_n\) du système.
  3. Calculer la vitesse maximale du vérin \(v_{\text{max}}\) et estimer le temps minimal \(t_{\text{min}}\) pour parcourir la pleine course.

Correction : Calcul du Temps de Réponse d'un Système Asservi

Question 1 : Raideur Hydraulique du Système

Principe :
M L'huile dans chaque chambre agit comme un ressort.

L'huile, bien que peu compressible, n'est pas parfaitement rigide. Le volume d'huile de chaque côté du piston agit comme un ressort. La raideur de ce "ressort hydraulique" dépend du module de compressibilité de l'huile \(\beta\), de la surface du piston \(A\) et du volume d'huile sous pression \(V\). Pour un vérin double effet à mi-course, les deux volumes d'huile contribuent à la raideur totale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La raideur n'est pas constante. Elle est maximale à mi-course (volumes d'huile égaux) et diminue lorsque le piston s'approche des extrémités. C'est pourquoi on calcule souvent la pulsation naturelle à mi-course, car c'est là que le système est le plus "nerveux" et le plus performant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_p = \frac{\pi D_p^2}{4} \quad (\text{Surface piston}) \]
\[ A_a = \frac{\pi (D_p^2 - D_t^2)}{4} \quad (\text{Surface annulaire}) \]
\[ K_h = \beta \left( \frac{A_p^2}{V_1} + \frac{A_a^2}{V_2} \right) \]
Donnée(s) :
  • \(D_p = 50 \, \text{mm} = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(D_t = 28 \, \text{mm} = 0.028 \, \text{m}\)
  • Course \(C = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m}\)
  • \(\beta = 14000 \, \text{bar} = 1.4 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
Calcul(s) :

1. Calculer les surfaces (en m²) :

\[ \begin{aligned} A_p &= \frac{\pi \times (0.05)^2}{4} \\ &\approx 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_a &= \frac{\pi \times (0.05^2 - 0.028^2)}{4} \\ &\approx 1.348 \times 10^{-3} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calculer les volumes à mi-course (position = C/2 = 0.1 m) :

\[ \begin{aligned} V_1 &= A_p \times \frac{C}{2} = (1.963 \times 10^{-3}) \times 0.1 \\ &= 1.963 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_2 &= A_a \times \frac{C}{2} = (1.348 \times 10^{-3}) \times 0.1 \\ &= 1.348 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

3. Calculer la raideur hydraulique totale :

\[ \begin{aligned} K_h &= 1.4 \times 10^9 \times \left( \frac{(1.963 \times 10^{-3})^2}{1.963 \times 10^{-4}} + \frac{(1.348 \times 10^{-3})^2}{1.348 \times 10^{-4}} \right) \\ &= 1.4 \times 10^9 \times (1.963 \times 10^{-2} + 1.348 \times 10^{-2}) \\ &= 1.4 \times 10^9 \times (3.311 \times 10^{-2}) \\ &\approx 4.635 \times 10^7 \, \text{N/m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités Cohérentes : Ce calcul est très sensible aux unités. Il est impératif de tout convertir en unités SI de base (mètres, Pascals) avant de commencer. Une erreur courante est de mélanger des mm² avec des m³.

Le saviez-vous ?

Une raideur de \(4.6 \times 10^7\) N/m signifie qu'il faudrait appliquer une force de 4.6 tonnes pour compresser le "ressort" d'huile de seulement 1 millimètre ! Cela illustre la très grande rigidité des systèmes hydrauliques.

FAQ en rapport avec la question :
Le module \(\beta\) est-il vraiment constant ?

Non, le module de compressibilité de l'huile varie avec la pression, la température et la quantité d'air dissous. La valeur de 14000 bar est une bonne approximation pour une huile minérale standard à pression modérée. Pour des calculs de haute précision, on utilise des modèles plus complexes.

Résultat : La raideur hydraulique du système est \(K_h \approx 4.64 \times 10^7 \, \text{N/m}\).

Question 2 : Pulsation Naturelle et Fréquence Propre

Principe :

Le système masse-ressort hydraulique a une pulsation naturelle \(\omega_n\) qui dépend de la raideur \(K_h\) et de la masse totale en mouvement \(M\). Cette pulsation, exprimée en radians par seconde, définit la rapidité intrinsèque du système. On en déduit la fréquence propre \(f_n\) en Hertz (cycles par seconde), qui est une mesure plus intuitive de la vitesse d'oscillation.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La fréquence propre est le paramètre le plus important pour la dynamique du système. Un système avec une fréquence propre élevée est dit "rapide" ou "à large bande passante". Cependant, si cette fréquence est excitée par des vibrations externes ou par la commande elle-même, le système peut entrer en résonance et devenir instable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \omega_n = \sqrt{\frac{K_h}{M}} \]
\[ f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} \]
Donnée(s) :
  • \(K_h = 4.635 \times 10^7 \, \text{N/m}\)
  • \(M = 500 \, \text{kg}\)
Calcul(s) :

1. Calculer la pulsation naturelle :

\[ \begin{aligned} \omega_n &= \sqrt{\frac{4.635 \times 10^7}{500}} \\ &= \sqrt{92700} \\ &\approx 304.5 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

2. Calculer la fréquence propre :

\[ \begin{aligned} f_n &= \frac{304.5}{2\pi} \\ &\approx 48.5 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat : La pulsation naturelle est \(\omega_n \approx 305 \, \text{rad/s}\) et la fréquence propre est \(f_n \approx 48.5 \, \text{Hz}\).

Question 3 : Vitesse Maximale et Temps de Réponse

Principe :

La vitesse maximale du vérin est limitée par le débit maximal que peut fournir la servovalve. Ce débit dépend de la pression d'alimentation et de la perte de charge dans la valve. Le temps de réponse minimal pour effectuer un mouvement est ensuite simplement la course divisée par cette vitesse maximale. C'est une estimation "en boucle ouverte" qui ne tient pas compte du temps de décélération.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le débit d'une servovalve est donné pour une perte de charge de référence (souvent 70 bar au total, soit 35 bar par "land"). Pour calculer le débit sous une autre pression d'alimentation, on utilise la loi de racine carrée, car le débit à travers un orifice est proportionnel à la racine carrée de la perte de charge.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{\text{max}} = Q_n \sqrt{\frac{P_s - P_L}{\Delta P_n}} \]
\[ v_{\text{max}} = \frac{Q_{\text{max}}}{A_p} \]
\[ t_{\text{min}} = \frac{C}{v_{\text{max}}} \]
Donnée(s) :
  • \(Q_n = 40 \, \text{L/min}\) pour \(\Delta P_n = 70 \, \text{bar}\)
  • \(P_s = 210 \, \text{bar}\)
  • \(A_p = 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\)
  • Course \(C = 0.2 \, \text{m}\)
  • On suppose \(P_L \approx 0\) pour le calcul de la vitesse max (pas de charge externe).
Calcul(s) :

1. Calculer le débit maximal disponible avec la pression d'alimentation du système :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{max}} &= 40 \, \text{L/min} \times \sqrt{\frac{210 - 0}{70}} \\ &= 40 \times \sqrt{3} \\ &\approx 69.28 \, \text{L/min} \end{aligned} \]

2. Convertir le débit en unités SI et calculer la vitesse maximale :

\[ Q_{\text{max}} = \frac{69.28}{60000} \approx 1.155 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s} \]
\[ \begin{aligned} v_{\text{max}} &= \frac{1.155 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}}{1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2} \\ &\approx 0.588 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

3. Estimer le temps de parcours minimal :

\[ \begin{aligned} t_{\text{min}} &= \frac{0.2 \, \text{m}}{0.588 \, \text{m/s}} \\ &\approx 0.34 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat : La vitesse maximale est \(v_{\text{max}} \approx 0.59 \, \text{m/s}\) et le temps de parcours minimal est \(t_{\text{min}} \approx 0.34 \, \text{s}\).

Simulation de la Dynamique du Système

Faites varier la masse à déplacer et le débit de la servovalve pour observer l'impact sur la fréquence propre et le temps de réponse.

Paramètres du Système
Fréquence Propre
Temps de Réponse Estimé
Réponse Dynamique du Système

Pour Aller Plus Loin : Amortissement et Stabilité

Éviter les oscillations : Notre calcul de temps de réponse est une simplification. En réalité, un système masse-ressort a tendance à osciller autour de sa position finale. Pour éviter cela, on introduit de l'amortissement. En hydraulique, cet amortissement provient des fuites internes, des pertes de charge et surtout de la boucle de rétroaction du contrôleur (gains proportionnel, intégral, dérivé - PID). Un système bien réglé est "critiquement amorti" : il atteint sa consigne le plus rapidement possible sans dépassement ni oscillation.

Le Saviez-Vous ?

Les servovalves les plus performantes, utilisées dans l'aérospatiale ou les bancs d'essai de F1, peuvent avoir des fréquences de réponse de plusieurs centaines de Hertz. Elles peuvent s'ouvrir et se fermer complètement plus de 300 fois par seconde, permettant un contrôle d'une précision et d'une réactivité extrêmes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la position à mi-course est-elle importante ?

La raideur hydraulique dépend du volume d'huile de chaque côté du piston. À mi-course, le produit des volumes \(V_1 \times V_2\) est maximal, ce qui rend la raideur minimale (pour un vérin symétrique) ou proche de son minimum. C'est souvent le cas le plus défavorable en termes de fréquence propre, donc un bon point de départ pour le dimensionnement.

Comment peut-on augmenter la fréquence propre d'un système ?

Pour augmenter \(f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{K_h/M}\), on peut soit diminuer la masse \(M\), soit augmenter la raideur \(K_h\). Pour augmenter \(K_h\), on peut : utiliser un vérin de plus gros diamètre (augmente \(A^2\)), raccourcir la course (diminue \(V\)), ou utiliser des tuyaux plus courts et rigides pour minimiser le volume total d'huile sous pression.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la masse à déplacer, la fréquence propre du système va :

2. Pour augmenter la vitesse maximale du vérin, la solution la plus directe est de :

Glossaire

Servovalve
Valve électro-hydraulique de haute performance capable de moduler très finement et très rapidement le débit d'huile vers un actionneur, en réponse à un signal électrique de commande.
Pulsation Naturelle (\(\omega_n\))
Fréquence angulaire (en rad/s) à laquelle un système oscille naturellement. Elle est déterminée par la raideur et la masse du système.
Fréquence Propre (\(f_n\))
Fréquence (en Hz) à laquelle un système oscille naturellement. \(f_n = \omega_n / 2\pi\). Une fréquence propre élevée indique un système potentiellement rapide.
Module de Compressibilité (\(\beta\))
Mesure de la résistance d'un fluide à la compression. Un module élevé signifie que le fluide est peu compressible et donc plus "rigide".
Oléohydraulique : Calcul du Temps de Réponse d'un Système Asservi en Position

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