ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Débit dans un Canal Composite

Hydraulique : Calcul du Débit dans un Canal Composite

Calcul du débit dans un canal composite (lit mineur et majeur)

Contexte : Les Rivières en Crue

Lorsqu'une rivière sort de son lit principal (lit mineurCanal principal d'une rivière, qui contient l'écoulement pour les débits faibles à moyens.) pour inonder sa plaine environnante (lit majeurPlaine d'inondation adjacente au lit mineur, submergée uniquement lors des crues importantes.), la section d'écoulement devient "composite". Le lit mineur est souvent plus profond et a une rugosité différente (galets, sable) de celle du lit majeur, qui peut être couvert d'herbe ou de buissons. Pour calculer le débit total d'une telle section, on ne peut pas appliquer la formule de Manning-Strickler directement à l'ensemble. Il faut diviser la section en sous-sections homogènes, calculer le débit pour chacune, puis les additionner.

Remarque Pédagogique : Cette méthode de division est fondamentale pour la gestion des risques d'inondation. Elle permet aux ingénieurs d'estimer la capacité d'évacuation d'une rivière en crue et de prédire les hauteurs d'eau atteintes, informations cruciales pour la cartographie des zones inondables et le dimensionnement des ouvrages de protection comme les digues.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de canal composite et l'interaction entre le lit mineur et le lit majeur.
  • Appliquer la méthode de division par sections verticales pour analyser l'écoulement.
  • Calculer les propriétés géométriques (aire, périmètre mouillé, rayon hydraulique) pour des sections simples et composites.
  • Utiliser la formule de Manning-Strickler sur des sous-sections homogènes.
  • Calculer le débit total d'un canal composite et la vitesse moyenne de l'écoulement.

Données de l'étude

Une rivière en crue s'écoule avec une pente uniforme \(I = 0.0005\). La section transversale est composite :

  • Le lit mineur est un trapèze de largeur au fond \(b = 10 \, \text{m}\), de fruit de talus \(z = 1\) (1V:1H) et de hauteur \(h_m = 2 \, \text{m}\). Son coefficient de Strickler est \(K_{s1} = 30 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\).
  • Le lit majeur est une plaine d'inondation rectangulaire de largeur totale \(B = 50 \, \text{m}\) (chaque côté du lit mineur a une largeur de 20 m). Son coefficient de Strickler est \(K_{s2} = 20 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\).
La hauteur totale de l'eau dans la section est de \(H = 3 \, \text{m}\).

Schéma de la Section Composite
Surface Libre Lit Majeur (Ks2) Lit Majeur (Ks2) Lit Mineur (Ks1) H=3m hm=2m b=10m

Questions à traiter

  1. Calculer les caractéristiques géométriques (Aire \(S_1\), Périmètre Mouillé \(P_1\), Rayon Hydraulique \(R_{h1}\)) du lit mineur.
  2. Calculer les caractéristiques géométriques (Aire \(S_2\), Périmètre Mouillé \(P_2\), Rayon Hydraulique \(R_{h2}\)) du lit majeur.
  3. Calculer le débit \(Q_1\) s'écoulant dans le lit mineur.
  4. Calculer le débit \(Q_2\) s'écoulant dans le lit majeur.
  5. En déduire le débit total \(Q_{total}\) de la rivière et sa vitesse moyenne \(V_{moy}\).

Correction : Calcul du Débit dans un Canal Composite

Question 1 : Caractéristiques du Lit Mineur

Principe :
b H P₁

On isole le lit mineur et on calcule ses propriétés géométriques. Pour un trapèze, l'aire est la hauteur multipliée par la largeur moyenne. Le périmètre mouillé inclut le fond et les deux talus en contact avec l'eau.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le lit mineur est considéré comme entièrement rempli, car la hauteur totale d'eau (\(H=3\text{m}\)) est supérieure à la hauteur du lit mineur (\(h_m=2\text{m}\)). On utilise donc la hauteur totale \(H\) pour le calcul des propriétés du lit mineur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_1 = (b + zH)H \]
\[ P_1 = b + 2H\sqrt{1+z^2} \]
\[ R_{h1} = \frac{S_1}{P_1} \]
Donnée(s) :
  • Largeur au fond \(b = 10 \, \text{m}\)
  • Hauteur totale d'eau \(H = 3 \, \text{m}\)
  • Fruit de talus \(z = 1\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} S_1 &= (10 + 1 \times 3) \times 3 \\ &= 13 \times 3 \\ &= 39 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_1 &= 10 + 2 \times 3 \sqrt{1+1^2} \\ &= 10 + 6\sqrt{2} \\ &\approx 10 + 8.485 \\ &\approx 18.485 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R_{h1} &= \frac{S_1}{P_1} \\ &= \frac{39}{18.485} \\ &\approx 2.11 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Périmètre mouillé : Attention à ne pas inclure la surface de contact avec le lit majeur dans le périmètre mouillé du lit mineur. La méthode de division par sections verticales suppose que l'on ignore les forces de cisaillement à cette interface.

Le saviez-vous ?

Le "fruit" d'un talus est une notion de génie civil. Un fruit de \(z=1\) signifie que pour chaque mètre de dénivelé vertical, le talus recule d'un mètre horizontalement (pente à 45°).

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser la hauteur totale H et non la hauteur du lit mineur h_m ?

Parce que le lit mineur est plein et que l'eau continue de s'élever jusqu'à la hauteur totale H. La section d'écoulement dans la partie "trapèze" du lit mineur va donc bien jusqu'à la surface libre, à 3m de hauteur.

Résultat : \(S_1 = 39 \, \text{m}^2\), \(P_1 \approx 18.49 \, \text{m}\), \(R_{h1} \approx 2.11 \, \text{m}\).

Question 2 : Caractéristiques du Lit Majeur

Principe :
Largeur h₂ P₂ (par côté)

On considère le lit majeur comme deux rectangles de chaque côté du lit mineur. La hauteur d'eau dans le lit majeur (\(h_2\)) est la différence entre la hauteur totale et la hauteur du lit mineur. Le périmètre mouillé ne comprend que le fond du lit majeur et le contact avec la berge extérieure, pas l'interface avec le lit mineur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'erreur classique est d'inclure la "paroi" fictive entre le lit mineur et le lit majeur dans le calcul du périmètre mouillé. On l'ignore car les vitesses sont différentes et le cisaillement à cette interface est complexe. La division verticale est une simplification qui donne de bons résultats en pratique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_2 = H - h_m \]
\[ S_2 = B_{\text{majeur}} \cdot h_2 \]
\[ P_2 = B_{\text{majeur}} + 2h_2 \]
\[ R_{h2} = \frac{S_2}{P_2} \]
Donnée(s) :
  • Hauteur totale \(H = 3 \, \text{m}\), Hauteur du lit mineur \(h_m = 2 \, \text{m}\)
  • Largeur totale du lit majeur \(B_{\text{majeur}} = 50 - (10 + 2 \times 2) = 36 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ h_2 = 3 \, \text{m} - 2 \, \text{m} = 1 \, \text{m} \]
\[ S_2 = 36 \, \text{m} \times 1 \, \text{m} = 36 \, \text{m}^2 \]
\[ P_2 = 36 \, \text{m} + 2 \times 1 \, \text{m} = 38 \, \text{m} \]
\[ R_{h2} = \frac{36}{38} \approx 0.947 \, \text{m} \]

Note : La largeur au sommet du trapèze du lit mineur est \(10 + 2 \times 1 \times 2 = 14 \, \text{m}\). La largeur totale du lit majeur est donc \(50 - 14 = 36 \, \text{m}\). Le périmètre mouillé du lit majeur inclut la largeur du fond (36m) et les deux hauteurs de contact avec les berges externes (2 x 1m).

Points de vigilance :

Géométrie : La principale source d'erreur est le calcul des aires et périmètres. Il faut bien visualiser quelles surfaces sont en contact avec l'eau pour chaque sous-section et ne pas compter deux fois les interfaces.

Le saviez-vous ?

Dans le lit majeur, la vitesse de l'eau est souvent beaucoup plus faible que dans le lit mineur à cause de la faible profondeur et de la forte rugosité (végétation). Cela signifie que même si le lit majeur a une grande surface, sa contribution au débit total peut être proportionnellement plus faible.

FAQ en rapport avec la question :
Existe-t-il d'autres méthodes de division ?

Oui, il existe d'autres méthodes, comme la division par des lignes diagonales ou la méthode du périmètre mouillé partagé, qui tentent de mieux modéliser l'interaction entre les sections. Cependant, la division par des lignes verticales est la plus simple et la plus couramment utilisée en pratique pour son bon compromis entre simplicité et précision.

Résultat : \(S_2 = 36 \, \text{m}^2\), \(P_2 = 38 \, \text{m}\), \(R_{h2} \approx 0.95 \, \text{m}\).

Question 3 : Débit dans le Lit Mineur (\(Q_1\))

Principe :

On applique la formule de Manning-Strickler à la section du lit mineur en utilisant ses propres caractéristiques géométriques (\(S_1\), \(R_{h1}\)) et son propre coefficient de rugosité (\(K_{s1}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que l'on voit l'intérêt de la division. En traitant le lit mineur séparément, on utilise le coefficient de Strickler qui correspond à sa nature (fond de rivière, probablement plus lisse), ce qui donne une estimation de vitesse et de débit plus réaliste pour cette section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_1 = K_{s1} \cdot S_1 \cdot R_{h1}^{2/3} \cdot \sqrt{I} \]
Donnée(s) :
  • \(S_1 = 39 \, \text{m}^2\), \(R_{h1} \approx 2.11 \, \text{m}\)
  • \(K_{s1} = 30 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Pente \(I = 0.0005\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Q_1 &= 30 \times 39 \times (2.11)^{2/3} \times \sqrt{0.0005} \\ &\approx 30 \times 39 \times 1.64 \times 0.02236 \\ &\approx 42.9 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Bon coefficient : Veillez à bien utiliser le coefficient de Strickler correspondant à la bonne section. Utiliser \(K_{s2}\) pour le lit mineur serait une erreur.

Le saviez-vous ?

La vitesse dans le lit mineur est \(V_1 = Q_1 / S_1 \approx 42.9 / 39 \approx 1.1 \, \text{m/s}\). C'est généralement dans cette zone que se concentre la plus grande partie de l'énergie de l'écoulement.

FAQ en rapport avec la question :
La formule de Manning est-elle toujours applicable en crue ?

Elle reste une très bonne approximation pour les écoulements uniformes. En crue, l'écoulement est souvent non-uniforme (la hauteur varie le long de la rivière), mais la formule de Manning est toujours utilisée pour calculer la pente de la ligne d'énergie (\(J\)), qui est une composante essentielle des modèles plus complexes.

Résultat : Le débit dans le lit mineur est \(Q_1 \approx 42.9 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 4 : Débit dans le Lit Majeur (\(Q_2\))

Principe :

De la même manière, on applique la formule de Manning-Strickler à la section du lit majeur, en utilisant ses propres caractéristiques (\(S_2\), \(R_{h2}\)) et son coefficient de rugosité (\(K_{s2}\)), qui est plus faible (rugosité plus forte) en raison de la végétation.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est en comparant \(Q_1\) et \(Q_2\) que l'on comprend l'importance du lit majeur. Même si sa vitesse est faible, sa grande largeur peut lui permettre de transporter une part significative du débit total, réduisant ainsi la hauteur d'eau et la vitesse dans le lit mineur par rapport à ce qu'elles seraient sans plaine d'inondation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_2 = K_{s2} \cdot S_2 \cdot R_{h2}^{2/3} \cdot \sqrt{I} \]
Donnée(s) :
  • \(S_2 = 36 \, \text{m}^2\), \(R_{h2} \approx 0.947 \, \text{m}\)
  • \(K_{s2} = 20 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Pente \(I = 0.0005\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Q_2 &= 20 \times 36 \times (0.947)^{2/3} \times \sqrt{0.0005} \\ &\approx 20 \times 36 \times 0.964 \times 0.02236 \\ &\approx 15.5 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Hypothèse de pente unique : Cette méthode suppose que la pente de la ligne d'énergie est la même pour le lit mineur et le lit majeur, et qu'elle est égale à la pente du fond du canal. C'est une approximation raisonnable pour un écoulement uniforme établi.

Le saviez-vous ?

La vitesse dans le lit majeur est \(V_2 = Q_2 / S_2 \approx 15.5 / 36 \approx 0.43 \, \text{m/s}\), soit presque trois fois moins que dans le lit mineur. C'est dans ces zones à faible vitesse que les sédiments fins se déposent pendant les crues, enrichissant les plaines alluviales.

FAQ en rapport avec la question :
Et si les deux lits majeurs n'ont pas la même rugosité ?

Si la plaine de gauche (par exemple, un champ) et celle de droite (une forêt) avaient des rugosités différentes, il faudrait les traiter comme deux sous-sections distinctes. On calculerait alors \(S_{2g}, P_{2g}, Q_{2g}\) pour la gauche et \(S_{2d}, P_{2d}, Q_{2d}\) pour la droite, puis on sommerait les trois débits : \(Q_{total} = Q_1 + Q_{2g} + Q_{2d}\).

Résultat : Le débit dans le lit majeur est \(Q_2 \approx 15.5 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 5 : Débit Total et Vitesse Moyenne

Principe :

Le débit total est simplement la somme des débits de chaque sous-section. La vitesse moyenne de l'ensemble de la section est ensuite obtenue en divisant ce débit total par l'aire totale de la section mouillée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La vitesse moyenne globale est une valeur "fictive" qui ne représente pas la vitesse réelle en un point donné. Elle est cependant très utile pour caractériser l'écoulement dans son ensemble et pour des calculs globaux, comme le temps de parcours d'un polluant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{\text{total}} = \sum Q_i \]
\[ V_{\text{moy}} = \frac{Q_{\text{total}}}{S_{\text{total}}} \]
Donnée(s) :
  • Débit du lit mineur \(Q_1 \approx 42.9 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Débit du lit majeur \(Q_2 \approx 15.5 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Aire du lit mineur \(S_1 = 39 \, \text{m}^2\)
  • Aire du lit majeur \(S_2 = 36 \, \text{m}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Q_{\text{total}} &= Q_1 + Q_2 \\ &= 42.9 + 15.5 \\ &= 58.4 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} S_{\text{total}} &= S_1 + S_2 \\ &= 39 + 36 \\ &= 75 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{\text{moy}} &= \frac{Q_{\text{total}}}{S_{\text{total}}} \\ &= \frac{58.4}{75} \\ &\approx 0.78 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas moyenner les vitesses : Il ne faut jamais calculer la vitesse moyenne en faisant la moyenne des vitesses de chaque section (\((V_1+V_2)/2\)). Cela est incorrect car les sections n'ont pas la même aire. La seule méthode correcte est de diviser le débit total par l'aire totale.

Le saviez-vous ?

Dans cet exemple, le lit majeur, qui représente près de la moitié de la section (36 m² sur 75 m²), ne transporte qu'environ 27% du débit total. Cela illustre bien l'inefficacité relative des plaines d'inondation pour convoyer l'eau, leur rôle principal étant le stockage temporaire.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si on applique Manning à toute la section d'un coup ?

Si on calculait un rayon hydraulique et un coefficient de Strickler uniques pour toute la section, on obtiendrait un débit erroné. Cette approche est incorrecte car elle ne tient pas compte des grandes différences de vitesse et de frottement entre le lit profond et la plaine peu profonde, menant généralement à une surestimation du débit total.

Résultat : Le débit total est \(Q_{\text{total}} \approx 58.4 \, \text{m}^3/\text{s}\) et la vitesse moyenne est \(V_{\text{moy}} \approx 0.78 \, \text{m/s}\).

Simulation Interactive

Faites varier la hauteur totale de l'eau pour observer comment la répartition du débit entre le lit mineur et le lit majeur évolue.

Paramètres de l'Écoulement
Débit Lit Mineur (Q₁)
Débit Lit Majeur (Q₂)
Débit Total
Répartition du Débit

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "lit majeur" est directement lié à la notion de "période de retour" d'une crue. Par exemple, le lit majeur peut correspondre à la zone inondée par une crue décennale (qui a une chance sur dix de se produire chaque année), tandis qu'une crue centennale inondera une zone encore plus vaste.

Foire Aux Questions (FAQ)

Cette méthode fonctionne-t-elle si le lit mineur n'est pas plein ?

Non. Si la hauteur totale de l'eau est inférieure à la hauteur du lit mineur (\(H < h_m\)), l'écoulement est entièrement contenu dans le lit mineur. Il ne s'agit plus d'un canal composite, et le débit se calcule simplement en appliquant la formule de Manning-Strickler à la section trapézoïdale du lit mineur avec la hauteur d'eau H.

Comment choisir le coefficient de rugosité ?

Le choix du coefficient de Manning ou de Strickler est une des plus grandes sources d'incertitude en hydraulique. Il est généralement choisi à partir de tables de référence (par exemple, le "Chow's Open-Channel Hydraulics") qui donnent des valeurs typiques pour différents types de matériaux (béton, terre, rochers) et de végétation. L'expérience de l'ingénieur et la calibration sur des mesures de terrain sont essentielles.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un canal composite en crue, où la vitesse de l'eau est-elle généralement la plus élevée ?

2. Pourquoi ignore-t-on l'interface verticale entre le lit mineur et le lit majeur dans le calcul du périmètre mouillé ?

Glossaire

Canal Composite
Une section de canal ou de rivière composée de plusieurs sous-sections aux propriétés géométriques ou de rugosité différentes, comme un lit mineur et un lit majeur.
Lit Mineur
Le canal principal d'une rivière qui contient les écoulements la plupart du temps.
Lit Majeur
La plaine d'inondation adjacente au lit mineur, qui n'est submergée que lors des crues importantes.
Périmètre Mouillé (P)
La longueur de la paroi et du fond de la section du canal qui est en contact avec l'eau.
Rayon Hydraulique (Rₕ)
Le rapport de l'aire de la section mouillée sur le périmètre mouillé (\(R_h = S/P\)). Il représente l'efficacité hydraulique d'une section.
Calcul du débit dans un canal composite (lit mineur et majeur)

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