ÉTUDE HYDRAULIQUE

Détermination du Point de Contrôle Hydraulique

Hydraulique : Détermination du Point de Contrôle Hydraulique

Détermination du point de contrôle hydraulique dans un canal à pente variable

Contexte : Le Passage par la Hauteur Critique

En hydraulique, un point de contrôleSection d'un écoulement où une relation univoque existe entre la hauteur d'eau et le débit, indépendamment des conditions aval ou amont. Souvent, la hauteur y est égale à la hauteur critique. est une section où l'écoulement est "forcé" de passer par une hauteur d'eau spécifique, généralement la hauteur critique. Ce phénomène se produit à des endroits stratégiques comme un déversoir, une vanne, ou, comme dans cet exercice, un changement de pente d'une pente faible (fluviale) vers une pente forte (torrentielle). En ce point, l'écoulement accélère et passe de subcritique à supercritique. La détermination de ce point est fondamentale car il gouverne le profil de la ligne d'eau en amont.

Remarque Pédagogique : Contrairement au ressaut qui est une transition brutale de torrentiel à fluvial avec perte d'énergie, le passage par la critique d'une pente faible à forte est une transition douce, où l'énergie est conservée. Comprendre cette dualité est essentiel pour analyser les écoulements variés.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la hauteur critique (\(h_c\)) et la pente critique (\(I_c\)).
  • Identifier si une pente est faible ou forte par rapport à la pente critique.
  • Comprendre pourquoi un changement de pente faible à forte crée un point de contrôle.
  • Appliquer le principe de conservation de l'énergie pour analyser la ligne d'eau.
  • Déterminer la hauteur d'eau à un point précis en amont du point de contrôle.

Données de l'étude

Un canal rectangulaire de grande longueur, de largeur \(b = 4 \, \text{m}\) et de coefficient de Strickler \(K_s = 50 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\), présente un changement de pente. Le tronçon amont a une pente faible \(I_1 = 0.0004\) et le tronçon aval a une pente forte \(I_2 = 0.02\). Le débit transporté est de \(Q = 10 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Schéma du Canal à Pente Variable
Pente faible I1 Pente forte I2 Profil M2 (fluvial) Profil S2 (torrentiel) Point de Contrôle (h=hc) hn1 hn2

Donnée(s) :

  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur critique \(h_c\) et la pente critique \(I_c\).
  2. Comparer les pentes \(I_1\) et \(I_2\) à \(I_c\) pour confirmer la nature (faible ou forte) de chaque tronçon.
  3. Expliquer pourquoi la hauteur au point de changement de pente est égale à la hauteur critique.
  4. Calculer la hauteur normale \(h_{n1}\) sur le tronçon amont.
  5. En supposant que le profil de la ligne d'eau en amont est une droite, estimer la distance en amont du changement de pente où la hauteur d'eau est de 1.20 m.

Correction : Détermination du Point de Contrôle Hydraulique

Question 1 : Hauteur Critique (\(h_c\)) et Pente Critique (\(I_c\))

Principe :
h Es Es = h Es,min hc

La hauteur critique (\(h_c\)) est la hauteur qui minimise l'énergie spécifique. La pente critique (\(I_c\)) est la pente pour laquelle la hauteur normale est exactement égale à la hauteur critique. C'est la pente qui délimite les régimes de pente faible et forte.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La hauteur critique ne dépend que du débit et de la géométrie, tandis que la pente critique dépend aussi de la rugosité du canal. Deux canaux avec le même débit et la même forme mais des rugosités différentes auront la même hauteur critique, mais des pentes critiques différentes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} \quad \text{et} \quad I_c = \frac{g \cdot n^2}{R_{h,c}^{4/3}} = \frac{g}{K_s^2 \cdot R_{h,c}^{4/3}} \]

Où \(R_{h,c}\) est le rayon hydraulique calculé pour la hauteur critique \(h_c\).

Donnée(s) :
  • Débit \(Q = 10 \, \text{m}^3/\text{s}\), Largeur \(b = 4 \, \text{m}\)
  • Strickler \(K_s = 50 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\), Pesanteur \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
\[ q = \frac{10 \, \text{m}^3/\text{s}}{4 \, \text{m}} = 2.5 \, \text{m}^2/\text{s} \]
\[ \begin{aligned} h_c &= \sqrt[3]{\frac{(2.5 \, \text{m}^2/\text{s})^2}{9.81 \, \text{m/s}^2}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{6.25}{9.81}} \, \text{m} \\ &\approx \sqrt[3]{0.637} \, \text{m} \\ &\approx 0.86 \, \text{m} \end{aligned} \]

Maintenant, calculons les propriétés géométriques à la hauteur critique :

\[ \begin{aligned} S_c &= b \cdot h_c = 4 \times 0.86 = 3.44 \, \text{m}^2 \\ P_c &= b + 2h_c = 4 + 2 \times 0.86 = 5.72 \, \text{m} \\ R_{h,c} &= \frac{S_c}{P_c} = \frac{3.44}{5.72} \approx 0.601 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_c &= \frac{g}{K_s^2 \cdot R_{h,c}^{4/3}} \\ &= \frac{9.81}{50^2 \times (0.601)^{4/3}} \\ &\approx \frac{9.81}{2500 \times 0.518} \\ &\approx 0.0076 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul de \(I_c\) : L'erreur la plus commune est d'oublier que le rayon hydraulique \(R_{h,c}\) utilisé pour calculer la pente critique doit être celui correspondant à la hauteur critique \(h_c\), et non une autre hauteur.

Le saviez-vous ?

La pente critique représente un équilibre énergétique. Si la pente du canal est plus forte que \(I_c\), la gravité fournit plus d'énergie que ce que les frottements peuvent dissiper en régime critique, forçant l'écoulement à accélérer et à devenir torrentiel (hauteur plus faible). L'inverse se produit pour une pente plus faible que \(I_c\).

FAQ en rapport avec la question :
La pente critique dépend-elle du débit ?

Oui, indirectement. Changer le débit modifie la hauteur critique \(h_c\), ce qui change le rayon hydraulique critique \(R_{h,c}\) et donc, par la formule, la pente critique \(I_c\). Un débit plus élevé résulte généralement en une pente critique plus faible.

Résultat : La hauteur critique est \(h_c \approx 0.86 \, \text{m}\) et la pente critique est \(I_c \approx 0.0076\).

Question 2 : Comparaison des Pentes

Principe :
Pente (I) I1=0.0004 Ic=0.0076 I2=0.02 Pente Faible (hn > hc) Pente Forte (hn < hc)

La nature d'une pente (faible, critique ou forte) est déterminée en la comparant à la pente critique \(I_c\) calculée pour le débit et la géométrie donnés.

  • Si \(I < I_c\), la pente est dite faible (ou subcritique).
  • Si \(I > I_c\), la pente est dite forte (ou supercritique).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette comparaison est la méthode la plus rigoureuse pour classifier une pente. Elle est équivalente à comparer la hauteur normale \(h_n\) à la hauteur critique \(h_c\), mais ne nécessite pas le calcul itératif de \(h_n\), ce qui peut être un raccourci utile.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Comparaison de } I_1 \text{ et } I_2 \text{ avec } I_c \]
Donnée(s) :
  • Pente amont \(I_1 = 0.0004\)
  • Pente aval \(I_2 = 0.02\)
  • Pente critique \(I_c \approx 0.0076\)
Calcul(s) :
\[ I_1 = 0.0004 < I_c \approx 0.0076 \Rightarrow \text{Le tronçon amont a une pente FAIBLE.} \]
\[ I_2 = 0.02 > I_c \approx 0.0076 \Rightarrow \text{Le tronçon aval a une pente FORTE.} \]
Points de vigilance :

Attention aux zéros : Une erreur d'inattention avec les décimales (par exemple, confondre 0.004 et 0.0004) peut mener à une classification incorrecte et fausser toute l'analyse qui suit.

Le saviez-vous ?

Dans la nature, la plupart des rivières et fleuves ont des pentes faibles. Les pentes fortes sont généralement trouvées dans les torrents de montagne, les rapides, ou dans des canaux artificiels à forte inclinaison comme les déversoirs de barrage ou les canaux de fuite.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si une pente est exactement critique ?

Un écoulement en pente critique est instable. La moindre perturbation (comme un caillou ou une ondulation) peut le faire basculer en régime fluvial ou torrentiel. En pratique, les ingénieurs évitent de concevoir des canaux avec une pente exactement critique à cause de cette instabilité.

Résultat : Le tronçon amont est à pente faible et le tronçon aval est à pente forte.

Question 3 : Hauteur au Point de Contrôle

Principe :
hn1 (fluvial) hn2 (torrentiel) h = hc

L'écoulement amont est fluvial (subcritique), il est donc contrôlé par l'aval. L'écoulement aval est torrentiel (supercritique), il est donc contrôlé par l'amont. Le point de changement de pente est le seul endroit où ces deux logiques de contrôle se rejoignent. C'est une singularité où l'écoulement doit nécessairement passer par la hauteur critique (\(h_c\)) pour assurer une transition continue de l'énergie.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le point de contrôle est un "verrou" hydraulique. La hauteur en ce point (\(h_c\)) est fixe pour un débit donné. Elle "dicte" la hauteur de l'eau en amont (profil de remous M2) et sert de condition initiale pour le calcul de la ligne d'eau en aval (profil de déversement S2).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_{\text{au changement de pente}} = h_c \]
Donnée(s) :
  • Hauteur critique calculée \(h_c \approx 0.86 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

Aucun calcul n'est nécessaire, il s'agit d'une application directe du principe du contrôle hydraulique.

Points de vigilance :

Cas inverse : Ce principe n'est valable que pour une transition de pente faible vers une pente forte. Dans le cas inverse (forte vers faible), le point de contrôle n'existe pas et la transition se fait par un ressaut hydraulique, comme vu dans l'exercice précédent.

Le saviez-vous ?

Les débitmètres à seuil, comme le canal Venturi, fonctionnent sur ce principe. En créant un rétrécissement ou une surélévation, on force l'écoulement à passer par la hauteur critique. En mesurant cette seule hauteur, on peut en déduire le débit avec une grande précision.

FAQ en rapport avec la question :
La transition est-elle vraiment ponctuelle ?

En théorie, oui. En réalité, la courbure des lignes de courant au voisinage du changement de pente fait que la pression n'est pas parfaitement hydrostatique. La section où la hauteur est exactement critique peut être légèrement décalée par rapport au point de rupture de pente, mais pour les calculs d'ingénierie, on la considère comme étant à la rupture de pente.

Résultat : La hauteur au point de changement de pente est \(h = h_c \approx 0.86 \, \text{m}\).

Question 4 : Hauteur Normale Amont (\(h_{n1}\))

Principe :

La hauteur normale sur le tronçon amont (\(h_{n1}\)) est la hauteur que l'eau aurait si ce tronçon était infiniment long, sans l'influence du point de contrôle en aval. C'est la hauteur d'équilibre pour la pente \(I_1\). On la calcule, comme à la question 2, par itérations sur la formule de Manning-Strickler.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Dans ce cas de figure, la hauteur normale amont \(h_{n1}\) n'est jamais réellement atteinte près du point de contrôle. L'eau "sait" qu'elle doit s'abaisser pour passer à la hauteur critique. La hauteur normale \(h_{n1}\) représente donc la hauteur asymptotique de la ligne d'eau très loin en amont.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = K_s \cdot S \cdot R_h^{2/3} \cdot \sqrt{I_1} \]
Donnée(s) :
  • Débit \(Q = 10 \, \text{m}^3/\text{s}\), Largeur \(b = 4 \, \text{m}\)
  • Pente \(I_1 = 0.0004\)
  • Strickler \(K_s = 50 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
Calcul(s) :

On cherche \(h_{n1}\) par itérations pour que \(Q_{\text{calculé}} = 10 \, \text{m}^3/\text{s}\) avec \(I_1 = 0.0004\).

Itération 1 : Essai avec h = 2.0 m

\[ \begin{aligned} S &= 4 \times 2.0 = 8.0 \, \text{m}^2 \\ P &= 4 + 2 \times 2.0 = 8.0 \, \text{m} \\ R_h &= 8.0 / 8.0 = 1.0 \, \text{m} \\ Q_{\text{calculé}} &= 50 \times 8.0 \times (1.0)^{2/3} \times \sqrt{0.0004} \\ &= 8.0 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

8.0 m³/s < 10 m³/s. Le débit est trop faible, la hauteur doit être plus grande.

Itération 2 : Essai avec h = 2.5 m

\[ \begin{aligned} S &= 4 \times 2.5 = 10.0 \, \text{m}^2 \\ P &= 4 + 2 \times 2.5 = 9.0 \, \text{m} \\ R_h &= 10.0 / 9.0 = 1.111 \, \text{m} \\ Q_{\text{calculé}} &= 50 \times 10.0 \times (1.111)^{2/3} \times \sqrt{0.0004} \\ &\approx 10.73 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

10.73 m³/s > 10 m³/s. Trop haut. La solution est entre 2.0 m et 2.5 m.

Itération 3 : Essai avec h = 2.37 m

\[ \begin{aligned} S &= 4 \times 2.37 = 9.48 \, \text{m}^2 \\ P &= 4 + 2 \times 2.37 = 8.74 \, \text{m} \\ R_h &= 9.48 / 8.74 = 1.085 \, \text{m} \\ Q_{\text{calculé}} &= 50 \times 9.48 \times (1.085)^{2/3} \times \sqrt{0.0004} \\ &\approx 10.00 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le débit calculé est égal au débit cible. Nous avons trouvé la solution.

\[ h_{n1} \approx 2.37 \, \text{m} \]

Comme attendu pour une pente faible (\(I_1 < I_c\)), on trouve bien que \(h_{n1} \approx 2.37 \, \text{m} > h_c \approx 0.86 \, \text{m}\).

Points de vigilance :

Ne pas confondre les hauteurs : Il est crucial de ne pas mélanger \(h_c\), \(h_{n1}\), et la hauteur réelle de l'eau. Au point de contrôle, la hauteur est \(h_c\). Très loin en amont, la hauteur tend vers \(h_{n1}\). Entre les deux, la hauteur varie le long d'une courbe de remous.

Le saviez-vous ?

La courbe de la ligne d'eau qui raccorde la hauteur normale \(h_{n1}\) à la hauteur critique \(h_c\) est appelée une "courbe de remous". Dans ce cas précis (pente faible, écoulement qui s'abaisse), il s'agit d'un profil de type M2.

FAQ en rapport avec la question :
Sur quelle distance s'étend la courbe de remous ?

La courbe de remous est asymptotique à la hauteur normale. En théorie, elle s'étend à l'infini vers l'amont. En pratique, on considère que la hauteur normale est atteinte (à 99% par exemple) après une distance qui peut être calculée par des méthodes d'intégration numérique (comme la méthode du pas à pas) et qui peut s'étendre sur des centaines de mètres, voire des kilomètres pour de grands fleuves.

Résultat : La hauteur normale sur le tronçon amont est \(h_{n1} \approx 2.37 \, \text{m}\).

Question 5 : Distance en amont du point de contrôle

Principe :

Pour estimer la longueur du profil de la ligne d'eau entre deux sections, on utilise l'équation de l'énergie sous forme discrète (méthode du pas à pas). L'hypothèse que le profil est une "droite" justifie l'utilisation d'un seul grand pas de calcul entre le point de contrôle et le point amont. L'énergie totale en un point amont (A) est égale à l'énergie au point aval (C) plus les pertes de charge par frottement entre les deux.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette méthode relie la géométrie (hauteurs), l'énergie (charge spécifique) et les pertes (pente de frottement). Elle est au cœur de la modélisation des lignes d'eau. La formule \(L = \frac{E_{s,A} - E_{s,C}}{\bar{J} - I_1}\) montre que la longueur du remous dépend de la différence d'énergie à dissiper et de l'écart entre la pente de frottement et la pente du fond.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L = \frac{E_{s,A} - E_{s,C}}{\bar{J} - I_1} \]

Avec \(E_s = h + \frac{V^2}{2g}\) l'énergie spécifique, et \(\bar{J}\) la pente de frottement moyenne entre les points A et C.

Donnée(s) :
  • Point C (aval) : \(h_C = h_c = 0.86 \, \text{m}\)
  • Point A (amont) : \(h_A = 1.20 \, \text{m}\)
  • Pente du fond \(I_1 = 0.0004\)
Calcul(s) :

1. Calcul des propriétés au point C (h=0.86 m) :

\[ V_C = \frac{Q}{b \cdot h_C} = \frac{10}{4 \times 0.86} \approx 2.91 \, \text{m/s} \]
\[ \begin{aligned} E_{s,C} &= h_C + \frac{V_C^2}{2g} \\ &= 0.86 + \frac{2.91^2}{2 \times 9.81} \\ &\approx 1.291 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ J_C = I_c \approx 0.0076 \]

2. Calcul des propriétés au point A (h=1.20 m) :

\[ V_A = \frac{Q}{b \cdot h_A} = \frac{10}{4 \times 1.20} \approx 2.08 \, \text{m/s} \]
\[ \begin{aligned} E_{s,A} &= h_A + \frac{V_A^2}{2g} \\ &= 1.20 + \frac{2.08^2}{2 \times 9.81} \\ &\approx 1.421 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ R_{h,A} = \frac{4 \times 1.20}{4 + 2 \times 1.20} = 0.75 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} J_A &= \frac{g \cdot V_A^2}{K_s^2 \cdot R_{h,A}^{4/3}} \\ &= \frac{9.81 \times 2.08^2}{50^2 \times 0.75^{4/3}} \\ &\approx 0.0025 \end{aligned} \]

3. Calcul de la distance L :

\[ \bar{J} = \frac{J_A + J_C}{2} = \frac{0.0025 + 0.0076}{2} = 0.00505 \]
\[ \begin{aligned} L &= \frac{E_{s,A} - E_{s,C}}{\bar{J} - I_1} \\ &= \frac{1.421 - 1.291}{0.00505 - 0.0004} \\ &= \frac{0.13}{0.00465} \\ &\approx 27.96 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Direction du calcul : L'énergie totale (\(z+E_s\)) diminue toujours dans le sens de l'écoulement. Ici, on remonte le courant (de C vers A), donc l'énergie doit augmenter. La formule \(L = (E_{s,A} - E_{s,C}) / (\bar{J} - I_1)\) est correcte car \(E_{s,A} > E_{s,C}\) et \(\bar{J} > I_1\), donnant une longueur positive.

Le saviez-vous ?

Les logiciels de modélisation hydraulique comme HEC-RAS utilisent cette même équation de l'énergie. Cependant, au lieu de faire un seul grand pas, ils divisent le canal en des centaines ou des milliers de petites sections et appliquent la formule sur chaque petit pas pour tracer la ligne d'eau avec une très grande précision.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne peut-on pas simplement utiliser la pente du fond \(I_1\) ?

La pente du fond (\(I_1\)) représente l'énergie potentielle que le canal fournit à l'eau. La pente de frottement (\(J\)) représente l'énergie que l'eau perd à cause de la friction. Dans un écoulement varié (non uniforme), ces deux pentes ne sont pas égales. La différence entre les deux (\(I_1 - J\)) est ce qui est disponible pour changer l'énergie cinétique et potentielle de l'eau (c'est-à-dire pour changer la hauteur et la vitesse).

Résultat : La distance en amont du changement de pente où la hauteur est de 1.20 m est d'environ 28.0 m.

Simulation Interactive de la Transition

Faites varier le débit ou les pentes pour voir comment les hauteurs d'eau et la nature du ressaut changent.

Paramètres de l'Écoulement
Hauteur Critique (h_c)
Hauteur Normale Amont (h_n1)
Hauteur Normale Aval (h_n2)
Hauteur Conjuguée (h_2*)
Conclusion
Visualisation des Hauteurs

Le Saviez-Vous ?

Les surfeurs peuvent utiliser un phénomène de ressaut hydraulique stationnaire pour surfer indéfiniment sur une vague. C'est le cas de la vague du mascaret sur certaines rivières ou des vagues artificielles créées dans des parcs aquatiques. Le surfeur se positionne juste à l'amont du ressaut, où l'écoulement est torrentiel, et sa planche est portée par la transition vers le régime fluvial.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la pente aval est aussi une pente forte ?

Si la pente aval est forte (mais moins forte que la pente amont), la hauteur normale aval \(h_{n2}\) sera également inférieure à la hauteur critique \(h_c\). Dans ce cas, il n'y a pas de ressaut. L'écoulement reste torrentiel et passe de la hauteur \(h_{n1}\) à la hauteur \(h_{n2}\) via une courbe de remous continue, sans transition brusque.

L'équation de Bélanger est-elle toujours valable ?

L'équation de Bélanger est une excellente approximation pour les canaux rectangulaires à pente faible. Pour des canaux de forme non rectangulaire (trapézoïdale, par exemple) ou sur des pentes fortes, des formulations plus complexes basées sur la conservation de la quantité de mouvement sont nécessaires pour calculer précisément les hauteurs conjuguées.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un écoulement est dit "torrentiel" lorsque :

2. Si un ressaut est "dégagé" (il se produit sur la pente faible), cela signifie que :

Glossaire

Hauteur Critique (h_c)
Hauteur d'eau correspondant au minimum d'énergie spécifique. Elle sépare les régimes fluvial et torrentiel. \(Fr = 1\).
Hauteur Normale (h_n)
Hauteur d'eau constante dans un canal lorsque l'écoulement est uniforme (frottements = gravité).
Régime Fluvial (Subcritique)
Écoulement lent et profond, où \(h > h_c\) et \(Fr < 1\). Les perturbations peuvent remonter vers l'amont.
Régime Torrentiel (Supercritique)
Écoulement rapide et peu profond, où \(h < h_c\) et \(Fr > 1\). Les perturbations ne peuvent pas remonter le courant.
Ressaut Hydraulique
Transition brusque et dissipative d'un régime torrentiel à un régime fluvial.
Hauteurs Conjuguées
Les deux hauteurs (l'une torrentielle, l'autre fluviale) de part et d'autre d'un ressaut qui ont la même fonction de force.
Détermination du point de contrôle hydraulique dans un canal à pente variable

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