Problème de la "douce-amère" : rencontre de deux cours d'eau
Contexte : La Lutte Invisible des Densités
Lorsqu'un fleuve d'eau douce rencontre la mer, ou lorsque deux rivières de salinités (et donc de densités) différentes confluent, les fluides ne se mélangent pas immédiatement. L'eau la plus dense (plus salée, plus froide) a tendance à plonger et à s'écouler sous l'eau moins dense. Ce phénomène crée un écoulement stratifiéÉcoulement composé de plusieurs couches de fluides de densités différentes qui ne se mélangent pas ou peu. L'interface entre les couches se comporte presque comme une surface libre.. Dans un estuaire, cela se manifeste par la formation d'un coin saléIntrusion d'eau de mer, plus dense, sous l'eau douce d'un fleuve. La forme de cette intrusion ressemble à un coin ou un biseau. qui remonte le cours du fleuve. La position et la stabilité de cette interface sont gouvernées par un équilibre subtil entre les forces d'inertie de chaque couche et la force de gravité due à la différence de densité. Ce problème, parfois appelé "douce-amère", est crucial pour la navigation, l'écologie des estuaires et la gestion des ressources en eau.
Remarque Pédagogique : Cet exercice introduit la notion de gravité réduite et de nombre de Froude densitométriqueNombre sans dimension qui compare les forces d'inertie d'un écoulement à la force de gravité "réduite" due à la différence de densité entre deux couches. Il régit la stabilité de l'interface., qui sont des extensions du nombre de Froude classique pour les écoulements stratifiés. Il montre que les principes de conservation (ici, la quantité de mouvement) peuvent être appliqués à des systèmes plus complexes qu'un simple écoulement homogène.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le concept d'écoulement stratifié et de coin salé.
- Calculer les vitesses et les débits par unité de largeur.
- Définir et calculer le nombre de Froude densitométrique pour chaque couche.
- Appliquer le bilan de quantité de mouvement à un volume de contrôle à deux couches.
- Déterminer la hauteur de l'interface entre les deux fluides sous certaines hypothèses.
Données de l'étude
Schéma de l'Écoulement Stratifié
- Densité de l'eau douce : \(\rho_1 = 998 \, \text{kg/m}^3\)
- Densité de l'eau salée : \(\rho_2 = 1025 \, \text{kg/m}^3\)
- Largeur du canal : \(b = 20 \, \text{m}\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Questions à traiter
- Calculer les débits par unité de largeur \(q_1\) et \(q_2\).
- On suppose une hauteur de la couche d'eau salée \(h_2 = 1.5 \, \text{m}\). Calculer la hauteur de la couche d'eau douce \(h_1\), puis les vitesses \(v_1\) et \(v_2\).
- Calculer les nombres de Froude densitométriques carrés \(Fr_1^2\) et \(Fr_2^2\).
- Vérifier si la condition de stabilité de l'interface (\(Fr_1^2 + Fr_2^2 < 1\)) est respectée pour la hauteur \(h_2\) supposée. Conclure.
Correction : Problème de la "douce-amère"
Question 1 : Débits par Unité de Largeur
Principe :
Pour les problèmes en canal large, il est souvent plus simple de raisonner en termes de "débit par unité de largeur" (\(q\)). Cela permet de simplifier les équations en se ramenant à un problème à deux dimensions (hauteur et longueur), en supposant que l'écoulement est uniforme sur toute la largeur du canal.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette simplification est très courante en hydraulique à surface libre. Elle revient à "découper" une tranche de 1 mètre de large dans le canal et à étudier ce qui s'y passe. Le débit total est simplement \(Q = q \times b\).
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Débit d'eau douce : \(Q_1 = 10 \, \text{m}^3/\text{s}\)
- Débit d'eau salée : \(Q_2 = 4 \, \text{m}^3/\text{s}\)
- Largeur du canal : \(b = 20 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Unités : Attention, l'unité du débit par unité de largeur est le mètre carré par seconde (\(\text{m}^2/\text{s}\)), et non le \(\text{m}^3/\text{s}\). C'est un débit surfacique.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Hauteurs et Vitesses des Couches
Principe :
En supposant une hauteur pour l'une des couches, l'autre est immédiatement déterminée par la hauteur totale du canal. Connaissant les hauteurs et les débits par unité de largeur, on peut en déduire les vitesses moyennes dans chaque couche, en supposant un profil de vitesse uniforme.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : On fait ici une hypothèse sur la position de l'interface (\(h_2 = 1.5 \, \text{m}\)). Le but de l'exercice est de vérifier si cette hypothèse est physiquement stable. C'est une démarche d'ingénieur : on pose une solution, puis on vérifie sa validité avec les lois de la physique.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Hauteur totale : \(H = 5 \, \text{m}\)
- Hauteur de la couche salée (supposée) : \(h_2 = 1.5 \, \text{m}\)
- Débits par unité de largeur : \(q_1 = 0.5 \, \text{m}^2/\text{s}\), \(q_2 = 0.2 \, \text{m}^2/\text{s}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Cohérence des indices : Il est crucial de ne pas mélanger les indices 1 (couche douce) et 2 (couche salée) dans les calculs. Une simple inversion peut fausser toute l'analyse.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Nombres de Froude Densitométriques
Principe :
Le nombre de Froude densitométrique compare, pour chaque couche, l'énergie cinétique à l'énergie potentielle disponible due à la différence de densité. La "gravité" ressentie par l'interface n'est pas \(g\), mais une "gravité réduite" \(g' = g \frac{\Delta\rho}{\rho}\), qui est beaucoup plus faible. C'est ce qui explique que des vagues internes peuvent se former et se propager sur l'interface.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est le concept central du problème. Alors que le Froude classique compare l'inertie à la gravité pour une surface libre, le Froude densitométrique compare l'inertie à la force de rappel (due à la flottabilité) à l'interface entre deux fluides. Il détermine si l'écoulement est "fluvial" (stable, \(Fr_d < 1\)) ou "torrentiel" (instable, \(Fr_d > 1\)) du point de vue de l'interface.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Densités : \(\rho_1 = 998 \, \text{kg/m}^3\), \(\rho_2 = 1025 \, \text{kg/m}^3\)
- Hauteurs : \(h_1 = 3.5 \, \text{m}\), \(h_2 = 1.5 \, \text{m}\)
- Vitesses : \(v_1 \approx 0.143 \, \text{m/s}\), \(v_2 \approx 0.133 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Utiliser la bonne gravité : L'erreur fondamentale serait d'utiliser \(g\) au lieu de \(g'\) dans le calcul des nombres de Froude. Cela donnerait des valeurs extrêmement faibles et fausserait complètement l'analyse de stabilité.
Le saviez-vous ?
Question 4 : Condition de Stabilité
Principe :
La théorie des écoulements stratifiés montre qu'une interface stable entre deux couches ne peut exister que si la somme des carrés des nombres de Froude densitométriques est inférieure à 1. Cette condition, issue de l'analyse de la stabilité des ondes interfaciales, garantit que les forces de rappel dues à la gravité sont suffisantes pour amortir les perturbations de l'interface et empêcher un mélange turbulent à grande échelle.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est le moment de vérité. On confronte les résultats de nos calculs (basés sur une hauteur \(h_2\) supposée) à un critère physique fondamental. Si la condition est respectée, notre hypothèse était plausible. Si elle ne l'est pas, cela signifie que l'écoulement ne peut pas exister avec cette configuration ; l'interface se situerait à une autre hauteur, ou l'écoulement serait instable et se mélangerait.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(Fr_1^2 \approx 0.023\)
- \(Fr_2^2 \approx 0.046\)
Calcul(s) :
On compare ce résultat à la valeur critique de 1.
Points de vigilance :
Interprétation du résultat : Un résultat inférieur à 1 ne signifie pas que la hauteur \(h_2=1.5\) m est la seule solution, mais qu'elle est une solution stable possible. La hauteur réelle de l'interface dépend des conditions de contrôle en amont ou en aval (par exemple, un seuil, un changement de pente, etc.).
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive de la Stabilité
Faites varier le débit d'eau douce et la hauteur supposée de la couche d'eau salée. Observez à quel moment le critère de stabilité n'est plus respecté.
Paramètres de l'Écoulement
Critère de Stabilité
Pour Aller Plus Loin : Le Contrôle Hydraulique
Qui impose la hauteur ? Nous avons montré qu'une hauteur de 1.5 m est stable, mais qu'est-ce qui fixe cette hauteur dans la réalité ? Tout comme un seuil ou un déversoir peut imposer une hauteur d'eau dans un canal (contrôle aval), les conditions à l'embouchure de l'estuaire (la mer) ou un rétrécissement du canal peuvent agir comme un "contrôle densitométrique". La hauteur de l'interface s'ajuste pour satisfaire à la fois les équations de conservation et ces conditions aux limites. La résolution complète du problème nécessite souvent des calculs itératifs ou des modèles numériques.
Le Saviez-Vous ?
Le détroit de Gibraltar est un exemple spectaculaire d'écoulement stratifié à l'échelle planétaire. L'eau de l'Atlantique, moins salée, s'écoule en surface vers la Méditerranée pour compenser l'évaporation, tandis que l'eau méditerranéenne, plus dense car plus salée, s'écoule en profondeur vers l'Atlantique, créant un gigantesque "coin salé" inversé.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qui cause le mélange entre les couches ?
Même si l'interface est globalement stable, il y a toujours un certain mélange dû à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz, causée par la différence de vitesse entre les deux couches. Ce cisaillement de vitesse crée des tourbillons à l'interface qui "arrachent" du fluide d'une couche pour l'injecter dans l'autre. C'est ce qui crée la "pycnocline", une zone où la densité varie rapidement, plutôt qu'une interface parfaitement nette.
L'effet de la rotation de la Terre (Coriolis) a-t-il un impact ?
Oui, à l'échelle d'un grand estuaire ou d'un détroit, la force de Coriolis devient significative. Elle tend à dévier les écoulements vers leur droite dans l'hémisphère Nord. Ainsi, en regardant vers la mer, la couche d'eau douce de surface aura tendance à s'accumuler sur la rive droite du fleuve, et le coin salé remontera préférentiellement le long de la rive gauche.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la différence de densité entre les deux couches augmente, la gravité réduite \(g'\) :
2. Un nombre de Froude densitométrique \(Fr_d > 1\) pour une couche signifie que :
Glossaire
- Hydraulique à Surface Libre
- Branche de l'hydraulique qui étudie les écoulements dont la surface supérieure est en contact avec l'atmosphère (ex: rivières, canaux).
- Écoulement Stratifié
- Écoulement de deux ou plusieurs fluides de densités différentes, superposés et se mélangeant peu.
- Coin Salé
- Intrusion d'eau salée (plus dense) sous une couche d'eau douce dans un estuaire ou un canal.
- Nombre de Froude Densitométrique
- Rapport entre les forces d'inertie et les forces de gravité "réduite" (due à la différence de densité) à l'interface entre deux couches.
- Ligne d'Énergie
- Ligne représentant la charge totale (\(Z + P/\rho g + v^2/2g\)) le long d'un écoulement. Elle décroît toujours dans le sens de l'écoulement, sauf à la traversée d'une pompe.
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