ÉTUDE HYDRAULIQUE

Étude de la Courbe Caractéristique d’une Pompe

Étude de la Courbe Caractéristique d'une Pompe à Vitesse Variable

Étude de la Courbe Caractéristique d'une Pompe à Vitesse Variable

Contexte : L'adaptation des pompes par variation de vitesse

Traditionnellement, les pompes centrifuges fonctionnent à une vitesse de rotation constante, déterminée par le moteur électrique qui les entraîne. Pour moduler le débit, on utilisait des vannes de réglage, ce qui dissipait une grande quantité d'énergie. L'avènement des variateurs de fréquence électronique (VFD ou VSD) a révolutionné l'hydraulique en permettant de modifier la vitesse de rotation de la pompe. Cette flexibilité permet d'ajuster précisément le point de fonctionnement aux besoins réels du réseau, offrant des gains énergétiques considérables et une meilleure régulation des process. L'étude de l'impact de la vitesse sur les performances d'une pompe s'appuie sur les lois de similitude, ou lois de Rateau.

Remarque Pédagogique : La maîtrise des lois de similitude est cruciale pour les ingénieurs concevant des systèmes modernes. Elle permet non seulement de prédire le comportement d'une pompe à différentes vitesses mais aussi de sélectionner une pompe sur la base d'un modèle réduit ou d'extrapoler ses performances. C'est un outil essentiel pour l'optimisation énergétique et la conception de systèmes de pompage intelligents et adaptatifs.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer les lois de similitude de RateauEnsemble de trois lois qui décrivent comment le débit (Q), la hauteur (H) et la puissance (P) d'une pompe varient en fonction de sa vitesse de rotation (N)..
  • Déterminer la nouvelle courbe caractéristique d'une pompe suite à un changement de vitesse.
  • Calculer le nouveau point de fonctionnement d'un système pompe-réseau après variation de vitesse.
  • Évaluer la puissance absorbée à différentes vitesses et quantifier le gain énergétique.

Données de l'étude

Une pompe centrifuge est utilisée pour transférer de l'eau dans un réseau. Elle est équipée d'un variateur de vitesse. On cherche à analyser son comportement et la consommation d'énergie lorsqu'on réduit sa vitesse de fonctionnement.

Schéma du Système avec Variateur de Vitesse
Pompe VSD Réseau H(Q)

Données disponibles :

  • Courbe caractéristique du réseau : \( H_{réseau} = 20 + 25000 \cdot Q^2 \)
  • Vitesse de rotation nominale : \( N_1 = 2900 \, \text{tr/min} \)
  • Courbe caractéristique de la pompe à la vitesse \(N_1\) : \( H_{P1} = 55 - 40000 \cdot Q^2 \)
  • Nouvelle vitesse de rotation : \( N_2 = 2500 \, \text{tr/min} \)
  • Rendement de la pompe (supposé constant dans la plage d'étude) : \(\eta = 0.80\)

Dans ces équations, le débit Q est en m³/s et la hauteur H est en mètres (m).

Questions à traiter

  1. Calculer le point de fonctionnement initial (débit \(Q_1\) et hauteur \(H_1\)) à la vitesse nominale \(N_1\).
  2. En utilisant les lois de Rateau, déterminer l'équation de la nouvelle courbe caractéristique de la pompe, \(H_{P2}\), à la vitesse \(N_2\).
  3. Calculer le nouveau point de fonctionnement (débit \(Q_2\) et hauteur \(H_2\)) à la vitesse réduite \(N_2\).
  4. Calculer les puissances absorbées \(P_{abs1}\) et \(P_{abs2}\) pour les deux régimes et en déduire l'économie d'énergie en pourcentage.

Correction : Étude de la Courbe Caractéristique d'une Pompe à Vitesse Variable

Question 1 : Point de Fonctionnement Initial

Normes et Principes

Le point de fonctionnement initial est trouvé à l'intersection de la courbe du réseau et de la courbe de la pompe fonctionnant à sa vitesse nominale \(N_1\). Cela se traduit par l'égalité mathématique \(H_{P1}(Q) = H_{réseau}(Q)\).

Remarque Pédagogique

Point Clé : C'est le point de départ, la référence. Ce calcul nous montre comment le système se comporte "normalement", à pleine vitesse. Toutes les optimisations futures seront évaluées par rapport à ce point de fonctionnement nominal.

Visualisation du Principe
H_réseau H_P1 (N1) Point Initial Q1 H1
Calcul(s)

On pose l'égalité des deux équations :

\[ 55 - 40000 \cdot Q_1^2 = 20 + 25000 \cdot Q_1^2 \]

On résout pour \(Q_1\):

\[ \begin{aligned} 55 - 20 &= 40000 \cdot Q_1^2 + 25000 \cdot Q_1^2 \\ 35 &= 65000 \cdot Q_1^2 \\ Q_1^2 &= \frac{35}{65000} \approx 0.0005385 \\ Q_1 &= \sqrt{0.0005385} \approx 0.0232 \, \text{m³/s} \end{aligned} \]

On calcule la hauteur \(H_1\) correspondante :

\[ \begin{aligned} H_1 &= 20 + 25000 \cdot (0.0232)^2 \\ &= 20 + 25000 \cdot 0.0005385 \\ &= 20 + 13.46 = 33.46 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Erreur d'algèbre : La réorganisation de l'équation pour isoler le terme Q² est une source d'erreur fréquente. Il faut s'assurer de correctement additionner les coefficients de Q² (40000 + 25000) et non de les soustraire.

Résultat Question 1 : Le point de fonctionnement initial est à un débit de \(Q_1 \approx 23.2\) L/s et une hauteur de \(H_1 \approx 33.46\) m.

Question 2 : Nouvelle Courbe de Pompe à la Vitesse N2

Normes et Principes

Les lois de Rateau décrivent comment les caractéristiques d'une pompe évoluent avec la vitesse de rotation N. Pour passer d'un point (\(Q_1, H_1\)) sur la courbe à la vitesse \(N_1\) à son point "homologue" (\(Q_2, H_2\)) sur la courbe à la vitesse \(N_2\), on utilise les relations : \(Q_2/Q_1 = N_2/N_1\) et \(H_2/H_1 = (N_2/N_1)^2\). On peut appliquer ces lois à l'équation de la courbe pour la transformer.

Remarque Pédagogique

Point Clé : La transformation de la courbe n'est pas une simple translation. La courbe s'affaisse de manière quadratique. Comprendre cette transformation est essentiel pour visualiser l'impact d'un changement de vitesse.

Visualisation du Principe
H_p1(Q) à N1 H_p2(Q) à N2 H ∝ N² Q ∝ N
Formule(s) utilisée(s)
\[ \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{N_2}{N_1} \quad ; \quad \frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 \]
Calcul(s)

Soit un point (\(Q, H\)) sur la nouvelle courbe à la vitesse \(N_2\). Son point homologue (\(Q_1, H_1\)) sur la courbe initiale est tel que :
\(Q_1 = Q \cdot (N_1/N_2)\) et \(H_1 = H \cdot (N_1/N_2)^2\).
On remplace \(Q_1\) et \(H_1\) dans l'équation de la pompe initiale \(H_1 = 55 - 40000 \cdot Q_1^2\).

\[ H \cdot \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 = 55 - 40000 \cdot \left(Q \cdot \frac{N_1}{N_2}\right)^2 \]

On isole H (qui est \(H_{P2}\)) en multipliant par \((N_2/N_1)^2\) :

\[ \begin{aligned} H_{P2} &= 55 \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 - 40000 \cdot Q^2 \cdot \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 \cdot \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 \\ &= 55 \left(\frac{2500}{2900}\right)^2 - 40000 \cdot Q^2 \\ &= 55 \cdot (0.862)^2 - 40000 \cdot Q^2 \\ &= 40.86 - 40000 \cdot Q^2 \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Application des lois : Attention à bien appliquer les puissances. Le débit est proportionnel à la vitesse (puissance 1), mais la hauteur est proportionnelle au carré de la vitesse (puissance 2). Une erreur sur l'exposant est fatale pour le calcul de la nouvelle courbe.

Résultat Question 2 : La nouvelle courbe caractéristique à 2500 tr/min est \(H_{P2}(Q) = 40.86 - 40000 \cdot Q^2\).

Question 3 : Nouveau Point de Fonctionnement

Normes et Principes

De la même manière que pour le point initial, le nouveau point de fonctionnement se trouve à l'intersection de la NOUVELLE courbe de pompe (\(H_{P2}\)) et de la courbe du réseau, qui, elle, n'a pas changé.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Le réseau est le même, ses "exigences" ne changent pas. C'est la pompe qui s'adapte en fournissant une nouvelle "offre" de performance. Le nouveau point d'équilibre sera donc forcément sur la même courbe de réseau.

Visualisation du Principe
H_réseau H_P2 (N2) Nouveau Point Q2 H2
Calcul(s)
\[ H_{P2}(Q_2) = H_{réseau}(Q_2) \] \[ 40.86 - 40000 \cdot Q_2^2 = 20 + 25000 \cdot Q_2^2 \]
\[ \begin{aligned} 40.86 - 20 &= 40000 \cdot Q_2^2 + 25000 \cdot Q_2^2 \\ 20.86 &= 65000 \cdot Q_2^2 \\ Q_2^2 &= \frac{20.86}{65000} \approx 0.0003209 \\ Q_2 &= \sqrt{0.0003209} \approx 0.0179 \, \text{m³/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} H_2 &= 20 + 25000 \cdot (0.0179)^2 \\ &= 20 + 25000 \cdot 0.0003209 \\ &= 20 + 8.02 = 28.02 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Utiliser la bonne courbe : Une erreur courante serait de réutiliser la courbe de la pompe à la vitesse N1 (\(H_{P1}\)) pour ce calcul. Il est impératif d'utiliser la nouvelle courbe (\(H_{P2}\)) qui a été déterminée à l'étape précédente.

Résultat Question 3 : Le nouveau point de fonctionnement est à \(Q_2 \approx 17.9\) L/s et \(H_2 \approx 28.02\) m.

Question 4 : Économie d'Énergie

Normes et Principes

L'économie d'énergie se calcule en comparant la puissance absorbée par le moteur dans les deux configurations. La puissance absorbée est directement liée à la puissance hydraulique (\(P_h = \rho g Q H\)) et au rendement. La loi de Rateau pour la puissance est \(P_2/P_1 = (N_2/N_1)^3\), ce qui montre que la puissance chute très rapidement avec la vitesse.

Remarque Pédagogique

Point Clé : C'est ici qu'apparaît toute la magie de la variation de vitesse. Une réduction de vitesse de seulement 14% (de 2900 à 2500 tr/min) entraîne une économie d'énergie de plus de 35% ! Ceci est dû à la relation cubique entre la vitesse et la puissance.

Visualisation du Principe
P_abs1 (N1) P_abs2 (N2) Économie
Calcul(s)

Puissance absorbée à la vitesse N1 :

\[ \begin{aligned} P_{abs1} &= \frac{\rho g Q_1 H_1}{\eta} \\ &= \frac{1000 \cdot 9.81 \cdot 0.0232 \cdot 33.46}{0.80} \\ &= \frac{7612}{0.80} \approx 9515 \, \text{W} = 9.52 \, \text{kW} \end{aligned} \]

Puissance absorbée à la vitesse N2 :

\[ \begin{aligned} P_{abs2} &= \frac{\rho g Q_2 H_2}{\eta} \\ &= \frac{1000 \cdot 9.81 \cdot 0.0179 \cdot 28.02}{0.80} \\ &= \frac{4919}{0.80} \approx 6149 \, \text{W} = 6.15 \, \text{kW} \end{aligned} \]

Économie d'énergie en pourcentage :

\[ \begin{aligned} \text{Économie} (\%) &= \frac{P_{abs1} - P_{abs2}}{P_{abs1}} \times 100 \\ &= \frac{9.52 - 6.15}{9.52} \times 100 \\ &= \frac{3.37}{9.52} \times 100 \approx 35.4 \% \end{aligned} \]

Rendement variable : Dans la réalité, le rendement de la pompe (\(\eta\)) n'est pas constant mais varie avec le débit. Pour un calcul très précis, il faudrait utiliser la courbe de rendement pour trouver la valeur exacte de \(\eta\) à chaque point de fonctionnement, ce qui peut légèrement modifier le résultat.

Résultat Question 4 : La puissance absorbée passe de 9.52 kW à 6.15 kW, réalisant une économie d'énergie d'environ 35.4%.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Vitesse N1 (2900 tr/min) Vitesse N2 (2500 tr/min)
Débit de fonctionnement (L/s) Cliquez Cliquez
HMT de fonctionnement (m) Cliquez Cliquez
Puissance Absorbée (kW) Cliquez Cliquez

Visualisation Graphique Interactive des Courbes

Le graphique ci-dessous montre la courbe du réseau (fixe) et la courbe de la pompe qui change avec la vitesse de rotation. Utilisez le curseur pour faire varier la vitesse et observer le déplacement du point de fonctionnement.

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Le réseau se colmate avec le temps, ce qui augmente les pertes de charge. Sa nouvelle courbe est \(H_{réseau} = 20 + 30000 Q^2\). Pour maintenir le débit initial de 23.2 L/s, faudra-t-il augmenter ou diminuer la vitesse de la pompe ?

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la vitesse de rotation d'une pompe est divisée par 2, sa hauteur manométrique à débit nul est...

2. Pour un réseau constitué uniquement de pertes de charge (pas de hauteur géométrique), si on veut un débit deux fois plus faible, il faut...

Glossaire

Lois de similitude (Rateau)
Relations mathématiques qui prédisent le changement des performances d'une pompe (débit, hauteur, puissance) lorsqu'on modifie sa vitesse de rotation (N) ou le diamètre de sa roue (D). Pour la vitesse : Q ∝ N, H ∝ N², P ∝ N³.
Variateur de Vitesse (VSD/VFD)
Dispositif électronique qui contrôle la vitesse de rotation d'un moteur électrique en faisant varier la fréquence et la tension de son alimentation électrique. Il permet une régulation précise et économe en énergie des pompes.
Point d'iso-rendement
Ensemble des points de fonctionnement (Q, H) qui ont le même rendement hydraulique. Sur un graphique de pompe à vitesse variable, ces points forment des courbes ressemblant à des ellipses.
Hydraulique en Charge : Circuits & Réseaux - Exercice d'Application

D’autres exercices d’hydraulique en charge:

Calcul du NPSH Disponible
Calcul du NPSH Disponible

Exercice : Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Contexte : L'importance du NPSHAcronyme de "Net Positive Suction Head", il représente la marge de pression à l'aspiration d'une pompe au-dessus de la pression de vaporisation du liquide...

Calcul du NPSH Disponible
Calcul du NPSH Disponible

Exercice : Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Contexte : L'importance du NPSHAcronyme de "Net Positive Suction Head", il représente la marge de pression à l'aspiration d'une pompe au-dessus de la pression de vaporisation du liquide...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *