ÉTUDE HYDRAULIQUE

Écoulement Critique à une Rupture de Pente

Analyse d'un Écoulement Critique à une Rupture de Pente

Écoulement Critique à une Rupture de Pente

Comprendre l'Écoulement Critique

En hydraulique à surface libre, un écoulement est caractérisé par son nombre de Froude (\(Fr\)), qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Lorsque \(Fr < 1\), l'écoulement est dit fluvial ou subcritique : il est lent et profond, et les ondes peuvent se propager vers l'amont. Lorsque \(Fr > 1\), l'écoulement est torrentiel ou supercritique : il est rapide et peu profond, et les ondes ne peuvent remonter le courant. Le cas limite où \(Fr = 1\) correspond à l'écoulement critique. Ce régime est instable mais constitue un point de contrôle hydraulique majeur. Un tel contrôle se produit naturellement lorsqu'un canal passe d'une pente faible (fluviale) à une pente forte (torrentielle). À la rupture de pente, l'écoulement est forcé de passer par la hauteur critique (\(y_c\)), qui devient une information clé pour analyser le profil de la ligne d'eau.

Données de l'étude

Un canal rectangulaire en béton de grande longueur subit une rupture de pente. On cherche à analyser le comportement de l'écoulement à travers cette transition.

Caractéristiques du canal et de l'écoulement :

  • Largeur du canal (\(b\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Débit (\(Q\)) : \(20 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Coefficient de Manning (\(n\)) : \(0.014\)
  • Pente du tronçon amont (\(S_{0,1}\)) : \(0.001\) (1‰)
  • Pente du tronçon aval (\(S_{0,2}\)) : \(0.01\) (10‰)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma de la Rupture de Pente
Pente faible (S_01) Pente forte (S_02) Surface libre y_c y_n1 y_n2

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur critique (\(y_c\)) pour ce débit.
  2. Calculer la vitesse critique (\(v_c\)) et l'énergie spécifique minimale (\(E_{\text{min}}\)).
  3. Déterminer la pente critique (\(S_c\)) du canal.
  4. Comparer les pentes du canal (\(S_{0,1}\) et \(S_{0,2}\)) à la pente critique (\(S_c\)) pour caractériser les régimes d'écoulement amont et aval.
  5. Calculer la hauteur normale (\(y_{n1}\)) et le nombre de Froude (\(Fr_1\)) sur le tronçon amont.
  6. Calculer la hauteur normale (\(y_{n2}\)) et le nombre de Froude (\(Fr_2\)) sur le tronçon aval.
  7. Conclure sur le profil de la ligne d'eau et la hauteur de l'écoulement au point de rupture de pente.

Correction : Analyse de l'Écoulement à la Rupture de Pente

Question 1 : Hauteur Critique (\(y_c\))

Principe :

La hauteur critique est la profondeur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné. C'est l'état de transition entre l'écoulement fluvial et torrentiel. Pour un canal rectangulaire, elle ne dépend que du débit et de la largeur du canal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_c = \left( \frac{Q^2}{g b^2} \right)^{1/3} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_c &= \left( \frac{(20 \, \text{m}^3/\text{s})^2}{9.81 \, \text{m/s}^2 \times (5.0 \, \text{m})^2} \right)^{1/3} \\ &= \left( \frac{400}{9.81 \times 25} \right)^{1/3} \\ &= (1.631)^{1/3} \\ &\approx 1.177 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La hauteur critique est \(y_c \approx 1.18 \, \text{m}\).

Question 2 : Vitesse Critique (\(v_c\)) et Énergie Spécifique Minimale (\(E_{\text{min}}\))

Principe :

La vitesse critique est la vitesse moyenne de l'écoulement lorsque la profondeur est égale à la hauteur critique. L'énergie spécifique minimale est l'énergie correspondante, une valeur fondamentale pour l'analyse des profils d'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_c = \frac{Q}{A_c} = \frac{Q}{b y_c} \quad ; \quad E_{\text{min}} = y_c + \frac{v_c^2}{2g} = \frac{3}{2} y_c \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_c &= \frac{20 \, \text{m}^3/\text{s}}{5.0 \, \text{m} \times 1.177 \, \text{m}} \approx 3.40 \, \text{m/s} \\ E_{\text{min}} &= \frac{3}{2} \times 1.177 \, \text{m} \approx 1.766 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse critique est \(v_c \approx 3.40 \, \text{m/s}\) et l'énergie spécifique minimale est \(E_{\text{min}} \approx 1.77 \, \text{m}\).

Question 3 : Pente Critique (\(S_c\))

Principe :

La pente critique est la pente du fond du canal pour laquelle la hauteur normale est égale à la hauteur critique (\(y_n = y_c\)). Elle est calculée avec la formule de Manning, en utilisant les caractéristiques de l'écoulement critique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_c = \frac{n^2 v_c^2}{R_{hc}^{4/3}} \]

Avec pour un canal rectangulaire : \(P_c = b + 2y_c\) et \(R_{hc} = A_c / P_c\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} A_c &= 5.0 \, \text{m} \times 1.177 \, \text{m} = 5.885 \, \text{m}^2 \\ P_c &= 5.0 \, \text{m} + 2 \times 1.177 \, \text{m} = 7.354 \, \text{m} \\ R_{hc} &= \frac{5.885}{7.354} \approx 0.800 \, \text{m} \\ S_c &= \frac{(0.014)^2 \times (3.40 \, \text{m/s})^2}{(0.800 \, \text{m})^{4/3}} \\ &= \frac{0.000196 \times 11.56}{0.742} \\ &\approx 0.00305 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pente critique est \(S_c \approx 0.00305\) (ou 3.05‰).

Question 4 : Caractérisation des Pentes

Principe :

En comparant les pentes réelles du canal à la pente critique, on peut définir le régime d'écoulement normal sur chaque tronçon. Si \(S_0 < S_c\), la pente est faible (mild) et le régime est fluvial. Si \(S_0 > S_c\), la pente est forte (steep) et le régime est torrentiel.

Comparaison :
  • Tronçon amont : \(S_{0,1} = 0.001\). Comme \(0.001 < 0.00305\), \(S_{0,1} < S_c\). La pente est faible.
  • Tronçon aval : \(S_{0,2} = 0.01\). Comme \(0.01 > 0.00305\), \(S_{0,2} > S_c\). La pente est forte.

Question 5 : Hauteur Normale Amont (\(y_{n1}\)) et Froude (\(Fr_1\))

Principe :

On calcule la hauteur normale sur la pente faible en résolvant l'équation de Manning. On s'attend à trouver une hauteur normale supérieure à la hauteur critique (\(y_{n1} > y_c\)).

Calcul :

On cherche \(y\) qui satisfait : \(20 = \frac{1}{0.014} (5y) (\frac{5y}{5+2y})^{2/3} \sqrt{0.001}\). La résolution se fait par tâtonnements successifs.

Hypothèse 1 : \(y = 2.0 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} A &= 10 \, \text{m}^2, P = 9 \, \text{m}, R_h = 1.111 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014}(10)(1.111)^{2/3}\sqrt{0.001} \approx 24.2 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le résultat (\(24.2\)) est supérieur au débit cible (\(20\)). La hauteur d'eau est donc trop grande. Essayons une valeur plus faible.

Hypothèse 2 : \(y = 1.8 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} A &= 9 \, \text{m}^2, P = 8.6 \, \text{m}, R_h = 1.047 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014}(9)(1.047)^{2/3}\sqrt{0.001} \approx 20.7 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le résultat (\(20.7\)) est encore un peu élevé. Affinons l'hypothèse.

Hypothèse 3 : \(y = 1.76 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} A &= 8.8 \, \text{m}^2, P = 8.52 \, \text{m}, R_h = 1.033 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014}(8.8)(1.033)^{2/3}\sqrt{0.001} \approx 20.04 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Ce résultat est suffisamment proche. On adopte \(y_{n1} = 1.76 \, \text{m}\).
Vérification : \(y_{n1} \approx 1.76 \, \text{m} > y_c \approx 1.18 \, \text{m}\), ce qui est cohérent.

\[ \begin{aligned} A_1 &= 5 \times 1.76 = 8.8 \, \text{m}^2 \\ v_1 &= \frac{20}{8.8} \approx 2.27 \, \text{m/s} \\ Fr_1 &= \frac{v_1}{\sqrt{gy_1}} = \frac{2.27}{\sqrt{9.81 \times 1.76}} \approx 0.55 \end{aligned} \]
Résultat : \(y_{n1} \approx 1.76 \, \text{m}\) et \(Fr_1 \approx 0.55 < 1\) (régime fluvial).

Question 6 : Hauteur Normale Aval (\(y_{n2}\)) et Froude (\(Fr_2\))

Principe :

On calcule la hauteur normale sur la pente forte. On s'attend à trouver une hauteur normale inférieure à la hauteur critique (\(y_{n2} < y_c\)).

Calcul :

On cherche \(y\) qui satisfait : \(20 = \frac{1}{0.014} (5y) (\frac{5y}{5+2y})^{2/3} \sqrt{0.01}\).

Hypothèse 1 : \(y = 0.8 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} A &= 4 \, \text{m}^2, P = 6.6 \, \text{m}, R_h = 0.606 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014}(4)(0.606)^{2/3}\sqrt{0.01} \approx 20.5 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le résultat (\(20.5\)) est un peu élevé.

Hypothèse 2 : \(y = 0.79 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} A &= 3.95 \, \text{m}^2, P = 6.58 \, \text{m}, R_h = 0.600 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014}(3.95)(0.600)^{2/3}\sqrt{0.01} \approx 20.1 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Ce résultat est très proche du débit cible. On adopte \(y_{n2} = 0.79 \, \text{m}\).
Vérification : \(y_{n2} \approx 0.79 \, \text{m} < y_c \approx 1.18 \, \text{m}\), ce qui est cohérent.

\[ \begin{aligned} A_2 &= 5 \times 0.79 = 3.95 \, \text{m}^2 \\ v_2 &= \frac{20}{3.95} \approx 5.06 \, \text{m/s} \\ Fr_2 &= \frac{v_2}{\sqrt{gy_2}} = \frac{5.06}{\sqrt{9.81 \times 0.79}} \approx 1.82 \end{aligned} \]
Résultat : \(y_{n2} \approx 0.79 \, \text{m}\) et \(Fr_2 \approx 1.82 > 1\) (régime torrentiel).

Question 7 : Conclusion

Principe :

L'écoulement passe d'un régime fluvial (lent et profond) à un régime torrentiel (rapide et peu profond). Une telle transition est contrôlée par l'amont et doit nécessairement passer par la hauteur critique. Le point de rupture de pente agit comme une section de contrôle.

Conclusion :

Puisque l'écoulement passe d'une pente faible à une pente forte, le passage par le régime critique est inévitable. La profondeur de l'eau au point exact de la rupture de pente sera donc égale à la hauteur critique.

Au point de rupture de pente, la hauteur d'eau est \(y = y_c \approx 1.18 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Un écoulement est dit "critique" lorsque :

2. Une pente est qualifiée de "forte" (steep) si :

3. Au passage d'une pente faible à une pente forte, la profondeur de l'eau à la rupture de pente est :

Glossaire

Écoulement Critique
Régime d'écoulement pour lequel le nombre de Froude est égal à 1. C'est un état de transition où l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné.
Hauteur Critique (\(y_c\))
Profondeur de l'eau correspondant à l'écoulement critique. Elle constitue un point de contrôle hydraulique.
Pente Critique (\(S_c\))
Pente du fond du canal pour laquelle la hauteur normale de l'écoulement est exactement égale à la hauteur critique.
Pente Faible (Mild Slope)
Pente de canal inférieure à la pente critique (\(S_0 < S_c\)). L'écoulement uniforme y est fluvial (subcritique).
Pente Forte (Steep Slope)
Pente de canal supérieure à la pente critique (\(S_0 > S_c\)). L'écoulement uniforme y est torrentiel (supercritique).
Écoulement Critique - Exercice d'Application

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