ÉTUDE HYDRAULIQUE

Répartition de la Vitesse dans une Section de Rivière

Calcul de la Répartition de la Vitesse dans une Section de Rivière

Répartition de la Vitesse dans une Section de Rivière

Comprendre la Répartition des Vitesses

Dans un écoulement à surface libre comme une rivière, la vitesse de l'eau n'est jamais uniforme sur une section transversale. En raison des frottements, la vitesse est nulle sur le fond et les berges. Elle augmente ensuite avec la distance à ces parois pour atteindre un maximum légèrement en dessous de la surface libre (à cause des frottements avec l'air). Cette distribution verticale de la vitesse est souvent modélisée par une loi logarithmique, particulièrement dans les écoulements turbulents. Comprendre ce profil de vitesse est essentiel pour calculer le débit, analyser le transport de sédiments et comprendre la dynamique fluviale. L'élément clé qui gouverne ce profil est la vitesse de frottement (\(u_*\)), qui représente l'intensité de la contrainte exercée par le fond sur l'écoulement.

Données de l'étude

On étudie un tronçon de rivière large et rectiligne, que l'on peut assimiler à un canal rectangulaire de très grande largeur pour simplifier les calculs (le rayon hydraulique peut être approximé par la hauteur d'eau).

Caractéristiques de l'écoulement :

  • Hauteur d'eau (écoulement uniforme, \(h\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
  • Pente du fond de la rivière (\(S_0\)) : \(0.0004\)
  • Rugosité équivalente du lit (\(k_s\)) : \(0.03 \, \text{m}\) (graviers)
  • Constante de von Kármán (\(\kappa\)) : \(0.41\) (sans dimension)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma du Profil de Vitesse Logarithmique
Lit de la rivière Surface libre h = 2.5 m

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte de cisaillement au fond (\(\tau_0\)).
  2. Calculer la vitesse de frottement (\(u_*\)).
  3. Déterminer la hauteur de rugosité hydraulique (\(y_0\)).
  4. Calculer la vitesse de l'écoulement \(v(y)\) à trois profondeurs : \(y=0.25\,\text{m}\), \(y=1.25\,\text{m}\) et \(y=2.25\,\text{m}\).
  5. Calculer la vitesse moyenne sur la verticale (\(v_{\text{moy}}\)).

Correction : Calcul de la Répartition des Vitesses

Question 1 : Contrainte de Cisaillement au Fond (\(\tau_0\))

Principe :

Pour un écoulement uniforme, la composante du poids de l'eau dans la direction de l'écoulement est équilibrée par la force de frottement exercée par le lit. Cette force, rapportée à la surface du lit, est la contrainte de cisaillement. Pour un canal large, le rayon hydraulique \(R_h\) peut être assimilé à la hauteur d'eau \(h\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_0 = \rho g R_h S_0 \quad \text{avec} \quad R_h \approx h \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_0 &= 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 2.5 \, \text{m} \times 0.0004 \\ &= 9.81 \, \text{N/m}^2 \text{ (ou Pa)} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La contrainte de cisaillement au fond est \(\tau_0 \approx 9.81 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Vitesse de Frottement (\(u_*\))

Principe :

La vitesse de frottement, notée \(u_*\), n'est pas une vitesse réelle de l'écoulement, mais un paramètre ayant la dimension d'une vitesse qui représente l'échelle des fluctuations turbulentes près du fond. Elle est directement liée à la contrainte de cisaillement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_* = \sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} u_* &= \sqrt{\frac{9.81 \, \text{N/m}^2}{1000 \, \text{kg/m}^3}} \\ &= \sqrt{0.00981} \, \text{m/s} \\ &\approx 0.099 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse de frottement est \(u_* \approx 0.099 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Hauteur de Rugosité Hydraulique (\(y_0\))

Principe :

La hauteur de rugosité hydraulique (\(y_0\)) est une longueur caractéristique liée à la rugosité physique du lit (\(k_s\)). Elle représente la hauteur théorique au-dessus du fond où la vitesse deviendrait nulle selon le profil logarithmique. Pour un lit hydrauliquement rugueux, elle est généralement estimée comme une fraction de \(k_s\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_0 = \frac{k_s}{30} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_0 &= \frac{0.03 \, \text{m}}{30} \\ &= 0.001 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La hauteur de rugosité est \(y_0 = 0.001 \, \text{m}\).

Question 4 : Vitesse à Différentes Profondeurs

Principe :

La loi de Prandtl-von Kármán (ou loi logarithmique de la vitesse) décrit la distribution de la vitesse sur une verticale dans un écoulement turbulent. Elle exprime que la vitesse \(v(y)\) à une hauteur \(y\) du fond est une fonction logarithmique de cette hauteur, gouvernée par la vitesse de frottement \(u_*\) et la rugosité \(y_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v(y) = \frac{u_*}{\kappa} \ln\left(\frac{y}{y_0}\right) \]
Calcul :

Pour \(y = 0.25 \, \text{m}\) (10% de la profondeur) :

\[ v(0.25) = \frac{0.099}{0.41} \ln\left(\frac{0.25}{0.001}\right) \approx 0.241 \times \ln(250) \approx 1.33 \, \text{m/s} \]

Pour \(y = 1.25 \, \text{m}\) (50% de la profondeur) :

\[ v(1.25) = \frac{0.099}{0.41} \ln\left(\frac{1.25}{0.001}\right) \approx 0.241 \times \ln(1250) \approx 1.72 \, \text{m/s} \]

Pour \(y = 2.25 \, \text{m}\) (90% de la profondeur) :

\[ v(2.25) = \frac{0.099}{0.41} \ln\left(\frac{2.25}{0.001}\right) \approx 0.241 \times \ln(2250) \approx 1.86 \, \text{m/s} \]
Résultat Question 4 : Les vitesses sont \(v(0.25\text{m}) \approx 1.33 \, \text{m/s}\), \(v(1.25\text{m}) \approx 1.72 \, \text{m/s}\), et \(v(2.25\text{m}) \approx 1.86 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Vitesse Moyenne (\(v_{\text{moy}}\))

Principe :

La vitesse moyenne sur la verticale est obtenue en intégrant le profil de vitesse logarithmique sur toute la hauteur d'eau, puis en divisant par cette hauteur. Il existe une formule issue de cette intégration qui simplifie le calcul.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{\text{moy}} = \frac{1}{h} \int_{y_0}^{h} v(y) \, dy = \frac{u_*}{\kappa} \left( \ln\left(\frac{h}{y_0}\right) - 1 \right) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{\text{moy}} &= \frac{0.099}{0.41} \left( \ln\left(\frac{2.5}{0.001}\right) - 1 \right) \\ &= 0.241 \times (\ln(2500) - 1) \\ &= 0.241 \times (7.824 - 1) \\ &\approx 1.64 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat : La vitesse moyenne sur la verticale est \(v_{\text{moy}} \approx 1.64 \, \text{m/s}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Dans un profil de vitesse logarithmique, où la vitesse est-elle la plus faible ?

2. Une augmentation de la rugosité du lit (\(k_s\)) aura pour effet de :

3. La vitesse de frottement (\(u_*\)) est une mesure directe :

Glossaire

Contrainte de Cisaillement au Fond (\(\tau_0\))
Force de frottement exercée par le lit de la rivière sur l'écoulement, par unité de surface. Elle est à l'origine de la perte d'énergie et de la forme du profil de vitesse.
Vitesse de Frottement (\(u_*\))
Paramètre fondamental en turbulence, ayant la dimension d'une vitesse, qui caractérise l'échelle des forces de frottement près d'une paroi. Il est directement lié à la contrainte de cisaillement.
Profil de Vitesse Logarithmique
Loi décrivant la variation de la vitesse d'un écoulement turbulent en fonction de la distance à une paroi solide. La vitesse augmente de manière logarithmique en s'éloignant de la paroi.
Rugosité Hydraulique (\(k_s\))
Paramètre qui quantifie la rugosité "effective" du lit d'une rivière, en prenant en compte la taille et la forme des sédiments ou des obstacles.
Répartition de la Vitesse en Rivière - Exercice d'Application

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