ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Puissance d’une Station de Pompage

Calcul de la Puissance d'une Station de Pompage

Calcul de la Puissance d'une Station de Pompage

Comprendre le Calcul de la Puissance d'une Pompe

Le calcul de la puissance électrique consommée par une station de pompage est une étape essentielle dans la conception des réseaux hydrauliques. Il s'agit de déterminer l'énergie nécessaire pour transporter un certain débit de fluide d'un point à un autre, en vainquant les forces de gravité (différence de hauteur) et les frottements (pertes de charge). Ce calcul se décompose en plusieurs étapes : on détermine d'abord l'énergie à fournir au fluide (puissance hydraulique), puis on prend en compte les pertes d'énergie au sein même de la pompe (rendement de la pompe) pour trouver la puissance mécanique à fournir à son arbre. Enfin, on intègre les pertes dans le moteur électrique (rendement du moteur) pour obtenir la puissance électrique réellement consommée sur le réseau.

Données de l'étude

Une station de pompage doit transférer de l'eau entre un réservoir inférieur (bâche d'aspiration) et un réservoir supérieur (château d'eau). Les deux réservoirs sont à la pression atmosphérique.

Caractéristiques du système et du fluide (eau à 20°C) :

  • Différence de hauteur géométrique entre les surfaces libres (\(H_g\)) : \(40 \, \text{m}\)
  • Débit requis (\(Q\)) : \(150 \, \text{m}^3/\text{h}\)
  • Longueur totale de la conduite (\(L\)) : \(800 \, \text{m}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(250 \, \text{mm} = 0.25 \, \text{m}\)
  • Rugosité de la conduite en acier (\(\epsilon\)) : \(0.15 \, \text{mm} = 1.5 \times 10^{-4} \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique de l'eau (\(\nu\)) : \(1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Somme des coefficients de pertes de charge singulières (\(\sum K\)) : \(6.5\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(998.2 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Rendements :

  • Rendement de la pompe (\(\eta_p\)) : \(75 \% = 0.75\)
  • Rendement du moteur électrique (\(\eta_m\)) : \(90 \% = 0.90\)
Schéma de la Station de Pompage
z_1 z_2 P H_g = 40m

Questions à traiter

  1. Calculer le débit en \(m^3/s\) et la vitesse de l'écoulement \(v\) dans la conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds \(Re\).
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) (utiliser l'équation de Haaland ou Colebrook-White).
  4. Calculer les pertes de charge totales (linéaires + singulières) \(H_L\).
  5. Calculer la hauteur manométrique totale (HMT) que la pompe doit fournir.
  6. Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) fournie à l'eau par la pompe.
  7. Calculer la puissance mécanique (\(P_m\)) absorbée par la pompe sur son arbre.
  8. Calculer la puissance électrique (\(P_e\)) consommée par le moteur.

Correction : Calcul de la Puissance de la Pompe

Question 1 : Débit et Vitesse (\(v\))

Principe :

La première étape consiste à convertir le débit dans les unités du Système International (m³/s) pour la cohérence des calculs. Ensuite, on calcule la vitesse moyenne de l'eau dans la conduite en divisant ce débit par l'aire de la section transversale de la conduite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \quad , \quad v = \frac{Q}{A} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 150 \, \frac{\text{m}^3}{\text{h}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} \approx 0.0417 \, \text{m}^3/\text{s} \\ A &= \frac{\pi \times (0.25 \, \text{m})^2}{4} \approx 0.0491 \, \text{m}^2 \\ v &= \frac{0.0417 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.0491 \, \text{m}^2} \approx 0.85 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le débit est \(Q \approx 0.0417 \, \text{m}^3/\text{s}\) et la vitesse \(v \approx 0.85 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement. Il est calculé à partir de la vitesse, du diamètre de la conduite et de la viscosité cinématique du fluide. Sa valeur nous indique si l'écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Re = \frac{v \cdot D}{\nu} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{0.85 \, \text{m/s} \times 0.25 \, \text{m}}{1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &\approx 211653 \end{aligned} \]

Puisque \(Re > 4000\), l'écoulement est en régime turbulent.

Résultat : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 2.12 \times 10^5\).

Question 3 : Coefficient de Perte de Charge (\(\lambda\))

Principe :

Pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse, le coefficient de perte de charge linéaire (\(\lambda\)) dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite (\(\epsilon/D\)). On utilise une formule empirique comme celle de Haaland (explicite) ou de Colebrook-White (implicite) pour le déterminer.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{\epsilon/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re}\right] \]
Calcul :

Rugosité relative : \(\frac{\epsilon}{D} = \frac{0.00015}{0.25} = 0.0006\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.0006}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{211653}\right] \\ &= -1.8 \log_{10}[5.69 \times 10^{-5} + 3.26 \times 10^{-5}] \\ &\approx 6.4 \\ \lambda &\approx (1/6.4)^2 \approx 0.0244 \end{aligned} \]
Résultat : Le coefficient de perte de charge linéaire est \(\lambda \approx 0.0244\).

Question 4 : Pertes de Charge Totales (\(H_L\))

Principe :

Les pertes de charge totales (\(H_L\)) sont la somme des pertes de charge linéaires (dues aux frottements sur la longueur de la conduite) et des pertes de charge singulières (dues aux accidents de parcours comme les coudes, vannes, etc.).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_L = \left(\lambda \frac{L}{D} + \sum K \right) \frac{v^2}{2g} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} H_L &= \left(0.0244 \times \frac{800}{0.25} + 6.5 \right) \frac{(0.85)^2}{2 \times 9.81} \\ &= (78.08 + 6.5) \times \frac{0.7225}{19.62} \\ &= 84.58 \times 0.0368 \\ &\approx 3.11 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les pertes de charge totales sont \(H_L \approx 3.11 \, \text{m}\).

Question 5 : Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe :

La HMT est l'énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide. Elle est calculée en additionnant la hauteur géométrique statique (\(H_g\)) et les pertes de charge totales du réseau (\(H_L\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{HMT} = H_g + H_L \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{HMT} &= 40 \, \text{m} + 3.11 \, \text{m} \\ &= 43.11 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La HMT requise est de \(43.11 \, \text{m}\).

Question 6 : Puissance Hydraulique (\(P_h\))

Principe :

La puissance hydraulique (ou puissance utile) est la puissance réellement transférée au fluide. Elle est fonction de la masse volumique du fluide, de la pesanteur, du débit et de la HMT.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \text{HMT} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 998.2 \times 9.81 \times 0.0417 \times 43.11 \\ &\approx 17605 \, \text{W} \\ &\approx 17.6 \, \text{kW} \end{aligned} \]
Résultat : La puissance hydraulique est \(P_h \approx 17.6\,\text{kW}\).

Question 7 : Puissance Mécanique (\(P_m\))

Principe :

La puissance mécanique (ou puissance à l'arbre) est la puissance que le moteur doit fournir à l'arbre de la pompe. Elle est supérieure à la puissance hydraulique car elle doit compenser les pertes internes de la pompe (frottements, etc.), qui sont quantifiées par le rendement de la pompe (\(\eta_p\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_m = \frac{P_h}{\eta_p} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_m &= \frac{17605 \, \text{W}}{0.75} \\ &\approx 23473 \, \text{W} \\ &\approx 23.5 \, \text{kW} \end{aligned} \]
Résultat : La puissance mécanique est \(P_m \approx 23.5\,\text{kW}\).

Question 8 : Puissance Électrique (\(P_e\))

Principe :

La puissance électrique est la puissance que le moteur consomme sur le réseau électrique. Elle est supérieure à la puissance mécanique car elle doit compenser les pertes internes du moteur (pertes Joule, magnétiques, etc.), qui sont quantifiées par le rendement du moteur (\(\eta_m\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_e = \frac{P_m}{\eta_m} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_e &= \frac{23473 \, \text{W}}{0.90} \\ &\approx 26081 \, \text{W} \\ &\approx 26.1 \, \text{kW} \end{aligned} \]
Résultat : La puissance électrique consommée est \(P_e \approx 26.1\,\text{kW}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La Hauteur Manométrique Totale (HMT) d'une pompe représente :

2. La puissance hydraulique (\(P_h\)) est :

3. Si le rendement de la pompe (\(\eta_p\)) diminue, la puissance électrique consommée (\(P_e\)) pour le même service :

Glossaire

Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre la dénivelée et les pertes de charge. C'est la différence d'énergie totale entre la sortie et l'entrée de la pompe.
Puissance Hydraulique (\(P_h\))
Puissance réellement transmise au fluide par la pompe. C'est la puissance utile. \(P_h = \rho g Q \cdot \text{HMT}\).
Puissance Mécanique (\(P_m\))
Puissance fournie à l'arbre de la pompe par le moteur. Elle est supérieure à la puissance hydraulique à cause des pertes internes de la pompe (frottements, turbulence). Aussi appelée puissance à l'arbre.
Puissance Électrique (\(P_e\))
Puissance consommée par le moteur électrique sur le réseau. Elle est supérieure à la puissance mécanique à cause des pertes dans le moteur (effet Joule, pertes magnétiques).
Rendement (\(\eta\))
Rapport de la puissance de sortie (utile) sur la puissance d'entrée (absorbée). C'est un nombre sans dimension inférieur à 1, qui quantifie l'efficacité d'une conversion d'énergie.
Calcul de la Puissance d'une Pompe - Exercice d'Application

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