ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Puissance d’une Station de Pompage

Exercice : Puissance d'une Station de Pompage

Calcul de la Puissance d’une Station de Pompage

Contexte : L'hydraulique en charge et les réseaux d'adduction d'eau.

Les stations de pompage sont le cœur des réseaux de distribution d'eau potable ou d'irrigation. Elles permettent de vaincre les différences d'altitude et les frottements pour acheminer l'eau d'un point A à un point B. Le dimensionnement correct d'une pompe est crucial : une pompe sous-dimensionnée n'atteindra pas le débit requis, tandis qu'une pompe surdimensionnée entraînera un gaspillage énergétique considérable. Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés du calcul de la puissance nécessaire pour une installation de pompage typique, en tenant compte de tous les phénomènes de pertes de chargePerte d'énergie d'un fluide en mouvement, due aux frottements contre les parois (pertes linéaires) ou aux accidents de parcours comme les coudes et vannes (pertes singulières)..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer l'équation de Bernoulli généralisée pour un cas concret, à calculer les pertes de charge linéaires et singulières, et à déterminer la puissance hydraulique et électrique d'une pompe.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les pertes de charge linéaires via la formule de Darcy-Weisbach.
  • Calculer les pertes de charge singulières dues aux différents accessoires.
  • Déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) requise pour le système.
  • Calculer les puissances hydraulique et électrique de la pompe.

Données de l'étude

On souhaite transférer de l'eau d'un réservoir A vers un réservoir B situé en hauteur à l'aide d'une station de pompage. Les caractéristiques de l'installation sont les suivantes :

Schéma de l'installation de pompage
Z 0 m Réservoir A Z_A = 10 m Réservoir B Z_B = 50 m P Q Longueur, L = 1500 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique\(Q\)150\(\text{m}^3/\text{h}\)
Altitude du plan d'eau A\(Z_A\)10\(\text{m}\)
Altitude du plan d'eau B\(Z_B\)50\(\text{m}\)
Longueur de la conduite\(L\)1500\(\text{m}\)
Diamètre intérieur de la conduite\(D\)200\(\text{mm}\)
Rugosité de la conduite (PVC)\(\epsilon\)0.0015\(\text{mm}\)
Coefficient de perte de charge singulière total\(\sum K\)3.5-
Rendement de la pompe\(\eta_{\text{pompe}}\)75%
Rendement du moteur électrique\(\eta_{\text{moteur}}\)90%
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000\(\text{kg}/\text{m}^3\)
Viscosité cinématique de l'eau\(\nu\)\(1 \times 10^{-6}\)\(\text{m}^2/\text{s}\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m}/\text{s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse d'écoulement de l'eau \(V\) dans la conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds \(Re\) et déterminer la nature du régime d'écoulement.
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) (on utilisera la formule de Colebrook-White).
  4. Calculer les pertes de charge linéaires \(J_{\text{linéaires}}\).
  5. Calculer les pertes de charge singulières \(J_{\text{singulières}}\).
  6. En déduire la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir.
  7. Calculer la puissance hydraulique \(P_{\text{hydraulique}}\) de la pompe.
  8. Calculer la puissance électrique \(P_{\text{électrique}}\) absorbée par le moteur de la pompe.

Les bases de l'hydraulique en charge

1. Équation de Bernoulli généralisée
Pour un fluide réel en mouvement entre deux points A et B, l'équation de Bernoulli s'écrit en termes de "charge" (énergie par unité de poids, en mètres). Elle inclut l'énergie ajoutée par une pompe (\(H_p\)) et les pertes d'énergie (\(\sum J\)). \[ \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + Z_A + H_p = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + Z_B + \sum J_{A \to B} \] Dans notre cas, A et B sont les surfaces libres des réservoirs, où la pression est atmosphérique (\(P_A=P_B\)) et les vitesses sont négligeables (\(V_A \approx V_B \approx 0\)). L'équation se simplifie pour donner la Hauteur Manométrique Totale (HMT) de la pompe : \(H_p = \text{HMT} = (Z_B - Z_A) + \sum J\).

2. Pertes de charge
Les pertes de charge totales (\(\sum J\)) sont la somme des pertes linéaires et singulières.
- Linéaires (Darcy-Weisbach) : \(J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\)
- Singulières : \(J_{\text{sing}} = \left( \sum K \right) \frac{V^2}{2g}\)
Le coefficient \(\lambda\) dépend du régime d'écoulement (via le nombre de Reynolds \(Re = \frac{VD}{\nu}\)) et de la rugosité relative de la conduite (\(\epsilon/D\)). Pour les régimes turbulents, on utilise l'équation de Colebrook-White : \[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]

3. Puissance de la pompe
- La puissance hydraulique (ou utile) est la puissance réellement transmise au fluide : \(P_{\text{hyd}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \text{HMT}\). - La puissance électrique (ou absorbée) est celle consommée par le moteur, en tenant compte des rendements : \(P_{\text{élec}} = \frac{P_{\text{hyd}}}{\eta_{\text{total}}} = \frac{P_{\text{hyd}}}{\eta_{\text{pompe}} \cdot \eta_{\text{moteur}}}\).

Correction : Calcul de la Puissance d’une Station de Pompage

Question 1 : Calculer la vitesse d'écoulement \(V\)

Principe

La vitesse d'écoulement est la première caractéristique dynamique de l'écoulement. Elle découle du principe de conservation de la masse : pour un fluide incompressible, le débit volumique (volume qui traverse une section par unité de temps) est constant. Ce débit est égal au produit de la vitesse moyenne par l'aire de la section.

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que \(Q = V \cdot A = \text{constante}\). \(Q\) est le débit volumique (\(\text{m}^3/\text{s}\)), \(V\) est la vitesse moyenne du fluide (\(\text{m/s}\)) et \(A\) est l'aire de la section transversale de l'écoulement (\(\text{m}^2\)). Pour une conduite circulaire de diamètre \(D\), l'aire est \(A = \pi D^2 / 4\).

Remarque Pédagogique

Il est fondamental de toujours commencer par convertir toutes les unités dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes...) avant d'entamer le moindre calcul. C'est la source d'erreur la plus fréquente.

Normes

L'utilisation du Système International (SI) est une convention universelle en sciences et en ingénierie pour garantir la cohérence et la comparabilité des résultats.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi D^2 / 4} = \frac{4Q}{\pi D^2} \]
Hypothèses
  • Le fluide (eau) est considéré comme incompressible.
  • L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
  • La conduite est pleine et l'écoulement se fait sur toute la section.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)150\(\text{m}^3/\text{h}\)
Diamètre intérieur\(D\)200\(\text{mm}\)
Astuces

Pour convertir rapidement un débit de \(\text{m}^3/\text{h}\) en \(\text{m}^3/\text{s}\), il suffit de diviser par 3600 (car 1 heure = 3600 secondes).

Schéma (Avant les calculs)
Q →V = ?Aire A
Calcul(s)

Conversion du débit volumique

\[ \begin{aligned} Q &= 150 \frac{\text{m}^3}{\text{h}} \times \frac{1 \text{h}}{3600 \text{s}} \\ &= 0.04167 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre

\[ \begin{aligned} D &= 200 \text{ mm} \times \frac{1 \text{m}}{1000 \text{mm}} \\ &= 0.2 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'aire de la section

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (0.2 \text{ m})^2}{4} \\ &\approx 0.031416 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse

\[ \begin{aligned} V &= \frac{0.04167 \text{ m}^3/\text{s}}{0.031416 \text{ m}^2} \\ &\approx 1.328 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
150 m³/h →1.33 m/s
Réflexions

Une vitesse de \(1.33 \text{ m/s}\) est une valeur tout à fait classique pour les réseaux d'adduction d'eau. Des vitesses trop faibles (< \(0.5 \text{ m/s}\)) peuvent favoriser les dépôts, tandis que des vitesses trop élevées (> \(2-3 \text{ m/s}\)) augmentent drastiquement les pertes de charge et les risques de coups de bélier.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier la conversion du débit. Utiliser \(150 \text{ m}^3/\text{h}\) directement dans la formule est une erreur fréquente qui fausse tous les calculs suivants.

Points à retenir

La vitesse est la première grandeur à calculer dans un problème d'hydraulique en charge. Elle est le lien direct entre le débit (donnée du problème) et la section de la conduite (caractéristique géométrique).

Le saviez-vous ?

L'équation de continuité est une des plus anciennes de la physique des fluides. Elle fut implicitement utilisée par les ingénieurs romains pour la conception de leurs aqueducs, en ajustant la pente et la section pour maîtriser la vitesse de l'eau.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on la vitesse moyenne ?

Dans une conduite, la vitesse du fluide n'est pas uniforme : elle est nulle sur les parois et maximale au centre. La vitesse \(V\) que nous calculons est une vitesse moyenne sur toute la section, qui est une simplification très efficace pour les calculs d'ingénierie.

Résultat Final
La vitesse d'écoulement dans la conduite est d'environ \(1.33 \text{ m/s}\).
A vous de jouer

Quel serait le débit en \(\text{m}^3/\text{h}\) si, pour une conduite de même diamètre (\(200 \text{ mm}\)), on visait une vitesse de \(2 \text{ m/s}\) ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds \(Re\)

Principe

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et le chaos) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir le mouvement et à le maintenir ordonné). C'est le critère universel pour déterminer le régime d'un écoulement.

Mini-Cours

Le nombre de Reynolds se calcule comme \(Re = \frac{VD}{\nu}\). \(V\) est la vitesse, \(D\) est une longueur caractéristique (le diamètre pour une conduite), et \(\nu\) est la viscosité cinématique du fluide. Les seuils standards pour une conduite sont : \(Re < 2000\) (régime laminaire), \(2000 < Re < 4000\) (régime transitoire), et \(Re > 4000\) (régime turbulent).

Remarque Pédagogique

Identifier le régime d'écoulement est une étape non négociable. La méthode de calcul des pertes de charge (la question suivante) dépend entièrement de ce résultat. Ne sautez jamais cette étape !

Normes

Les seuils définissant les régimes d'écoulement (2000 et 4000) sont des valeurs conventionnelles issues de l'expérience et reconnues dans tous les manuels de mécanique des fluides.

Formule(s)

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses
  • Le fluide est Newtonien (la viscosité ne dépend pas des contraintes). C'est le cas de l'eau.
  • La longueur caractéristique pertinente pour l'écoulement en conduite est le diamètre intérieur.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse\(V\)1.328\(\text{m/s}\)
Diamètre\(D\)0.2\(\text{m}\)
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1 \times 10^{-6}\)\(\text{m}^2/\text{s}\)
Astuces

Avant le calcul, vérifiez que les unités vont bien s'annuler : \((\text{m/s}) \cdot \text{m} / (\text{m}^2/\text{s}) = \text{m}^2/\text{s} / \text{m}^2/\text{s}\). Si ce n'est pas le cas, vous avez une erreur d'unité dans vos données d'entrée.

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'écoulement
Régime LaminaireRégime TurbulentRe < 2000Re > 4000
Calcul(s)

Calcul du nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.328 \text{ m/s} \cdot 0.2 \text{ m}}{1 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \\ &= 265600 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur l'axe de Reynolds
Re2000Laminaire4000TransitoireTurbulentRe = 265600
Réflexions

Une valeur de 265 600 est très largement supérieure au seuil de 4000. L'écoulement est donc fortement turbulent. Cela signifie que les forces d'inertie dominent complètement les forces visqueuses, et que les pertes de charge seront significatives.

Points de vigilance

Ne pas confondre la viscosité cinématique \(\nu\) (en \(\text{m}^2/\text{s}\)) avec la viscosité dynamique \(\mu\) (en \(\text{Pa.s}\)). Les deux sont liées par \(\mu = \rho \cdot \nu\). La formule du Reynolds utilise la viscosité cinématique.

Points à retenir

La quasi-totalité des applications en adduction d'eau ou en génie civil correspondent à des régimes turbulents. Le régime laminaire est très rare et ne se rencontre que pour des fluides très visqueux (huiles) ou des vitesses très faibles.

Le saviez-vous ?

Osborne Reynolds, l'ingénieur qui a donné son nom à ce nombre, a mené en 1883 une expérience célèbre où il injectait un filet de colorant dans un écoulement d'eau dans un tube de verre. Il a ainsi pu visualiser directement le passage du régime laminaire (filet droit) au régime turbulent (le colorant se mélange brusquement à tout le fluide).

FAQ
Le nombre de Reynolds a-t-il une unité ?

Non, c'est un nombre adimensionnel. Si vous faites l'analyse dimensionnelle de la formule \(VD/\nu\), vous verrez que toutes les unités (m, s) s'annulent, ce qui confirme que vos unités de départ sont cohérentes.

Résultat Final
Le nombre de Reynolds est de 265 600, ce qui indique un régime d'écoulement turbulent.
A vous de jouer

Recalculez le nombre de Reynolds si l'on pompait une huile (\(\nu = 80 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}\)) à la même vitesse (\(1.33 \text{ m/s}\)).

Question 3 : Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\)

Principe

Le coefficient \(\lambda\) (lambda), aussi appelé facteur de friction de Darcy, est un nombre sans dimension qui représente l'intensité du frottement entre le fluide et la paroi de la conduite. En régime turbulent, ce frottement dépend de la turbulence de l'écoulement (liée à \(Re\)) et de l'état de surface de la conduite (sa rugosité \(\epsilon\)).

Mini-Cours

Pour le régime turbulent, il n'existe pas de formule simple pour \(\lambda\). L'équation de Colebrook-White est la plus précise et sert de référence. C'est une équation implicite car \(\lambda\) apparaît des deux côtés. On la résout par des méthodes numériques ou des approximations successives (itération).

Remarque Pédagogique

C'est souvent l'étape la plus complexe du calcul. L'important est de comprendre le processus itératif : on part d'une supposition, on affine le résultat, et on répète jusqu'à ce que la valeur se stabilise. C'est un principe de base en calcul numérique.

Normes

L'équation de Colebrook-White est la base de la plupart des normes internationales et des codes de calcul en hydraulique en charge pour la détermination du facteur de friction en régime turbulent.

Formule(s)

Équation de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses
  • On se place en régime turbulent hydrauliquement rugueux, où la formule de Colebrook-White s'applique.
  • La rugosité \(\epsilon\) est considérée uniforme sur toute la longueur de la conduite.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Nombre de Reynolds\(Re\)265 600-
Rugosité\(\epsilon\)0.0015\(\text{mm}\)
Diamètre\(D\)200\(\text{mm}\)
Astuces

Pour la première itération, une estimation initiale de \(\lambda_0 = 0.02\) est une bonne pratique courante pour la plupart des conduites en régime turbulent.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Moody (principe)
Reλε/D265600λ ?
Calcul(s)

Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.0015 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} \\ &= 0.0000075 \end{aligned} \]

Itération 1 : On suppose \(\lambda_0 = 0.02\)

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3.7} + \frac{2.51}{265600 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} (2.027 \times 10^{-6} + 6.682 \times 10^{-5}) \\ &= 8.324 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= \left(\frac{1}{8.324}\right)^2 \approx 0.0144 \end{aligned} \]

Itération 2 : On injecte \(\lambda_1 = 0.0144\)

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3.7} + \frac{2.51}{265600 \sqrt{0.0144}} \right) \\ &= -2 \log_{10} (2.027 \times 10^{-6} + 7.875 \times 10^{-5}) \\ &= 8.185 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \left(\frac{1}{8.185}\right)^2 \approx 0.0149 \end{aligned} \]

Itération 3 : On injecte \(\lambda_2 = 0.0149\)

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3.7} + \frac{2.51}{265600 \sqrt{0.0149}} \right) \\ &= -2 \log_{10} (2.027 \times 10^{-6} + 7.747 \times 10^{-5}) \\ &= 8.200 \\ \Rightarrow \lambda_3 &= \left(\frac{1}{8.200}\right)^2 \approx 0.01487 \end{aligned} \]

La valeur converge rapidement. On retient \(\lambda \approx 0.0148\).

Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Moody (résultat)
Reλε/D=7.5e-62656000.0148
Réflexions

Une valeur de 0.0148 est faible, ce qui est cohérent avec une conduite en PVC neuve qui est très lisse (\(\epsilon\) très petit). Pour une conduite en acier rouillé, \(\lambda\) pourrait être deux à trois fois plus élevé dans les mêmes conditions.

Points de vigilance

Assurez-vous que la rugosité \(\epsilon\) et le diamètre \(D\) sont exprimés dans la même unité avant de calculer leur ratio. C'est une erreur classique de diviser des millimètres par des mètres.

Points à retenir

Le coefficient de frottement \(\lambda\) est la clé qui relie les caractéristiques de l'écoulement (via \(Re\)) et de la conduite (via \(\epsilon/D\)) à l'énergie qui sera perdue par frottement.

Le saviez-vous ?

Avant l'avènement des calculatrices et ordinateurs, la résolution de l'équation de Colebrook était si fastidieuse que les ingénieurs utilisaient quasi-exclusivement le diagramme de Moody (1944), qui reste aujourd'hui un outil pédagogique de premier plan pour visualiser l'influence de \(Re\) et \(\epsilon/D\) sur les pertes de charge.

FAQ
Existe-t-il des formules plus simples ?

Oui, plusieurs formules explicites (non-itératives) existent pour approximer Colebrook, comme celle de Haaland ou de Swamee-Jain. Elles donnent des résultats très proches (moins de 1-2% d'erreur) et sont souvent utilisées dans les logiciels pour accélérer les calculs.

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge linéaire est \(\lambda \approx 0.0148\).
A vous de jouer

En utilisant un calculateur en ligne pour l'équation de Colebrook, quelle serait la valeur de \(\lambda\) pour une vieille conduite en fonte (\(\epsilon = 0.25 \text{ mm}\)) avec les mêmes conditions d'écoulement ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge linéaires \(J_{\text{linéaires}}\)

Principe

C'est la concrétisation du calcul de frottement. Les pertes de charge linéaires représentent la "hauteur" de fluide (donc l'énergie par unité de poids) qui est perdue uniquement à cause du frottement sur toute la longueur de la conduite. C'est souvent le poste de perte d'énergie le plus important dans les grands réseaux.

Mini-Cours

La formule de Darcy-Weisbach est l'outil central. Elle montre que les pertes de charge sont proportionnelles au facteur de friction \(\lambda\), au ratio longueur/diamètre \(L/D\) (plus la conduite est longue et fine, plus les pertes sont grandes), et à l'énergie cinétique du fluide \(V^2/2g\) (plus l'eau va vite, plus elle frotte et perd d'énergie).

Remarque Pédagogique

Visualisez cette perte comme une "taxe" énergétique que le fluide doit payer pour chaque mètre parcouru. Pour les longues distances, cette taxe finit par représenter une part très importante du budget énergétique total (la HMT).

Normes

La formule de Darcy-Weisbach est la méthode standard et universellement reconnue pour le calcul des pertes de charge dans les conduites en charge.

Formule(s)

Formule de Darcy-Weisbach

\[ J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses
  • Le coefficient \(\lambda\) et le diamètre \(D\) sont considérés constants sur toute la longueur \(L\) de la conduite.
  • L'écoulement est établi et ne varie pas le long de la conduite.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de frottement\(\lambda\)0.0148-
Longueur\(L\)1500\(\text{m}\)
Diamètre\(D\)0.2\(\text{m}\)
Vitesse\(V\)1.328\(\text{m/s}\)
Gravité\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Astuces

Le terme \(V^2/2g\) est appelé "hauteur dynamique". Calculez-le une bonne fois pour toutes, car il sera aussi utilisé pour les pertes de charge singulières. Cela évite de refaire le même calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la perte de charge linéaire
Conduite de longueur LE₁E₂J_lin
Calcul(s)

Calcul de la hauteur dynamique

\[ \begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{(1.328 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &\approx 0.0898 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge linéaires

\[ \begin{aligned} J_{\text{lin}} &= 0.0148 \cdot \frac{1500 \text{ m}}{0.2 \text{ m}} \cdot 0.0898 \text{ m} \\ &\approx 9.97 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de charge et ligne piézométrique
Ligne de chargeLigne piézométriqueV²/2gJ_lin = 9.97m
Réflexions

Perdre \(9.97 \text{ m}\) de charge signifie que sur les 1500m de conduite, le frottement a consommé une énergie équivalente à celle qu'il faudrait pour soulever l'eau de presque 10 mètres à la verticale. Cette énergie devra être fournie par la pompe.

Points de vigilance

Assurez-vous que L et D sont dans la même unité (mètres). Une erreur fréquente est de laisser le diamètre en millimètres. Le terme \(L/D\) est un ratio, il doit donc être sans dimension.

Points à retenir

Les pertes de charge linéaires sont directement proportionnelles à la longueur de la conduite et au carré de la vitesse. Doubler la vitesse quadruple ces pertes ! C'est pourquoi on évite les vitesses excessives dans les grands réseaux.

Le saviez-vous ?

Henry Darcy était un ingénieur français du 19ème siècle qui a mené des expériences pionnières sur l'écoulement de l'eau à travers des lits de sable pour le système de fontaines de la ville de Dijon. Ses travaux ont jeté les bases de l'hydrogéologie et de l'hydraulique moderne.

FAQ
Pourquoi est-ce proportionnel à \(V^2\) ?

En régime turbulent, l'énergie est dissipée par les tourbillons et les interactions chaotiques entre les particules de fluide. L'intensité de ces phénomènes est liée à l'énergie cinétique du fluide, qui est elle-même proportionnelle à \(V^2\).

Résultat Final
Les pertes de charge linéaires s'élèvent à \(9.97 \text{ m}\).
A vous de jouer

Si la conduite faisait 3 km au lieu de 1.5 km, quelles seraient les pertes de charge linéaires (tous les autres paramètres restant identiques) ?

Question 5 : Calculer les pertes de charge singulières \(J_{\text{singulières}}\)

Principe

Les pertes de charge singulières sont les pertes d'énergie localisées, causées par les "accidents" sur la conduite : coudes, vannes, élargissements, entrées et sorties de réservoir. Chaque accident perturbe l'écoulement, crée des tourbillons et dissipe de l'énergie en un point précis.

Mini-Cours

On modélise ces pertes à l'aide de la méthode des coefficients K. Chaque type d'accessoire (coude à 90°, vanne papillon, etc.) est caractérisé par un coefficient de perte de charge \(K\), qui est un nombre sans dimension. La perte de charge totale singulière est la somme des pertes de chaque accessoire, calculée en multipliant la somme des coefficients K par la hauteur dynamique \(V^2/2g\).

Remarque Pédagogique

Dans les énoncés d'exercice, on donne souvent la somme \(\sum K\) pour simplifier. Dans un cas réel, l'ingénieur doit lister tous les accessoires du réseau (1 entrée, 4 coudes, 2 vannes, 1 sortie...) et additionner leurs coefficients K respectifs, qu'il trouve dans des abaques ou des catalogues de fabricant.

Normes

Les valeurs des coefficients K sont tabulées dans des manuels de référence en ingénierie, comme le "Crane Technical Paper No. 410" ou des normes ISO, qui sont basées sur des décennies de mesures expérimentales.

Formule(s)

Formule des pertes de charge singulières

\[ J_{\text{sing}} = \left( \sum K \right) \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses
  • La valeur de \(\sum K = 3.5\) fournie dans l'énoncé représente correctement la somme de toutes les pertes de charge singulières du circuit.
  • L'effet d'interaction entre deux singularités proches est négligé.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Somme des coefficients\(\sum K\)3.5-
Hauteur dynamique\(V^2/2g\)0.0898\(\text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Exemples de singularités
Coude 90°Vanne à clapet
Calcul(s)

Calcul des pertes de charge singulières

\[ \begin{aligned} J_{\text{sing}} &= 3.5 \cdot 0.0898 \text{ m} \\ &\approx 0.31 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des pertes de charge
Linéaires9.97 mSingulières0.31 m012 m
Réflexions

On remarque que pour une conduite très longue comme celle-ci (1500 m), les pertes de charge linéaires (\(9.97 \text{ m}\)) sont beaucoup plus importantes que les pertes singulières (\(0.31 \text{ m}\)). C'est un cas de figure très fréquent. Les singularités ne représentent ici qu'environ 3% des pertes totales.

Points de vigilance

Ne pas oublier d'inclure les pertes à l'entrée et à la sortie du circuit dans la somme des K. Une entrée de réservoir a typiquement un K=0.5, et une sortie dans un réservoir a toujours un K=1.0.

Points à retenir

Les pertes singulières, comme les pertes linéaires, sont proportionnelles au carré de la vitesse. Si le débit augmente, toutes les pertes augmentent de façon quadratique.

Le saviez-vous ?

Une vanne papillon, même complètement ouverte, peut avoir un coefficient K de 0.3, alors qu'une vanne à passage direct (vanne à opercule) bien conçue peut avoir un K inférieur à 0.1. Le choix des accessoires a donc un impact direct sur la consommation d'énergie du système.

FAQ
D'où vient la valeur \(\sum K = 3.5\) ?

C'est une valeur illustrative. Elle pourrait correspondre par exemple à : une entrée de réservoir (K=0.5), quatre coudes à 45° (4x0.3=1.2), une vanne à clapet (K=1.5), et une sortie de réservoir (K=1.0), pour un total de 4.2. La valeur de 3.5 est donc un ordre de grandeur réaliste pour un circuit simple.

Résultat Final
Les pertes de charge singulières s'élèvent à \(0.31 \text{ m}\).
A vous de jouer

Quelle serait la perte de charge singulière si le circuit était plus complexe, avec un \(\sum K\) de 12 ?

Question 6 : Déduire la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe

La HMT est la "tâche" totale de la pompe. Elle représente l'énergie par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide pour le faire passer du point de départ au point d'arrivée. Elle doit vaincre la différence d'altitude (la force de gravité) ET compenser toute l'énergie perdue en route à cause des frottements (pertes de charge totales).

Mini-Cours

La HMT est la somme de deux composantes :
1. La Hauteur Géométrique (\(H_{\text{géo}}\)): C'est la différence d'altitude statique entre le niveau d'eau à l'arrivée et au départ (\(Z_B - Z_A\)). C'est l'énergie minimale à fournir, même si le fluide était parfait.
2. Les Pertes de Charge Totales (\(\sum J\)): C'est la somme des pertes linéaires et singulières, représentant l'énergie supplémentaire à fournir pour vaincre les frottements.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous devez monter un meuble au 4ème étage. La "hauteur géométrique", c'est la hauteur des 4 étages. Les "pertes de charge", c'est l'effort supplémentaire que vous devez fournir parce que vous frottez contre les murs dans l'escalier étroit. La HMT, c'est votre effort total.

Normes

Le calcul de la HMT selon cette méthode (Bernoulli généralisée) est la procédure standard dans toutes les normes de dimensionnement de pompage (ex: normes ISO 9906 pour les tests de pompes).

Formule(s)

Formule de la Hauteur Manométrique Totale

\[ \text{HMT} = H_{\text{géo}} + \sum J = (Z_B - Z_A) + J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} \]
Hypothèses
  • Les niveaux d'eau dans les réservoirs A et B sont constants.
  • La pression à la surface des deux réservoirs est la pression atmosphérique (ils sont ouverts à l'air libre).
  • La vitesse de l'eau à la surface des réservoirs est négligeable.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude Réservoir A\(Z_A\)10\(\text{m}\)
Altitude Réservoir B\(Z_B\)50\(\text{m}\)
Pertes de charge linéaires\(J_{\text{lin}}\)9.97\(\text{m}\)
Pertes de charge singulières\(J_{\text{sing}}\)0.31\(\text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la HMT
Z_AZ_BH_géoPompePertes de charge ΣJ
Calcul(s)

Calcul de la hauteur géométrique

\[ \begin{aligned} H_{\text{géo}} &= Z_B - Z_A \\ &= 50 \text{ m} - 10 \text{ m} \\ &= 40 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge totales

\[ \begin{aligned} \sum J &= J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} \\ &= 9.97 \text{ m} + 0.31 \text{ m} \\ &= 10.28 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la HMT

\[ \begin{aligned} \text{HMT} &= 40 \text{ m} + 10.28 \text{ m} \\ &= 50.28 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Décomposition de la HMT
H_géo = 40 mΣJ = 10.28 mHMT = 50.28 m
Réflexions

La pompe doit donc fournir une pression équivalente à une colonne d'eau de \(50.28 \text{ m}\). Environ 80% de ce travail sert à vaincre la gravité (\(40\text{m} / 50.28\text{m}\)) et 20% sert à compenser les pertes de charge.

Points de vigilance

Ne pas confondre la hauteur géométrique (\(Z_B - Z_A\)) avec la HMT. La HMT est TOUJOURS supérieure à la hauteur géométrique pour un circuit de refoulement.

Points à retenir

La HMT est le paramètre fondamental qui définit le "point de fonctionnement" du réseau pour un débit donné. C'est cette valeur (couple Q, HMT) que l'on va utiliser pour choisir la bonne pompe dans un catalogue de fabricant.

Le saviez-vous ?

Dans les fiches techniques des pompes, les performances sont données sous forme de "courbe HMT-Débit". Cette courbe montre que la HMT qu'une pompe peut fournir diminue lorsque le débit augmente. Le choix d'une pompe consiste à trouver celle dont la courbe passe par le "point de fonctionnement" (Q, HMT) de notre réseau.

FAQ
Et si le réservoir A était plus haut que le B ?

Dans ce cas, la hauteur géométrique serait négative, ce qui signifie que la gravité aide l'écoulement. On n'aurait pas besoin de pompe, sauf si les pertes de charge étaient supérieures à cette aide gravitationnelle. Si on installe une pompe, la HMT requise serait plus faible.

Résultat Final
La pompe doit fournir une HMT de \(50.28 \text{ m}\).
A vous de jouer

Calculez la HMT si le réservoir d'arrivée B était à une altitude de \(70 \text{ m}\) au lieu de \(50 \text{ m}\).

Question 7 : Calculer la puissance hydraulique \(P_{\text{hydraulique}}\)

Principe

La puissance hydraulique (ou puissance utile) est la puissance réellement communiquée au fluide. C'est le produit du débit massique (\(\rho Q\)) par l'énergie massique (\(g \cdot \text{HMT}\)). Elle représente le travail utile effectué par la pompe chaque seconde.

Mini-Cours

La puissance, en physique, est une énergie par unité de temps (Joules/seconde, soit des Watts). La HMT est une énergie par unité de poids (J/N). Le terme \(\rho g Q\) est le débit poids (N/s). En multipliant les deux, on obtient bien une énergie par unité de temps : \( (\text{J/N}) \times (\text{N/s}) = \text{J/s} = \text{W}\).

Remarque Pédagogique

C'est la puissance qui compte pour le fluide. C'est elle qui détermine si le débit et la pression souhaités sont atteints. La puissance électrique, que nous calculerons ensuite, est celle qui compte pour le portefeuille (la facture d'électricité).

Formule(s)

Formule de la puissance hydraulique

\[ P_{\text{hyd}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \text{HMT} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique\(\rho\)1000\(\text{kg/m}^3\)
Gravité\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Débit\(Q\)0.04167\(\text{m}^3/\text{s}\)
HMT\(\text{HMT}\)50.28\(\text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
PQQ + HMTP_hyd = ?
Calcul(s)

Calcul de la puissance hydraulique

Il est crucial d'utiliser les unités du Système International : \(\rho\) en \(\text{kg/m}^3\), \(g\) en \(\text{m/s}^2\), \(Q\) en \(\text{m}^3/\text{s}\), et HMT en \(\text{m}\). Le résultat sera alors en Watts (W).

\[ \begin{aligned} P_{\text{hyd}} &= 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.04167 \cdot 50.28 \\ &\approx 20560 \text{ W} \\ &\Rightarrow P_{\text{hyd}} \approx 20.56 \text{ kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
20.56kWPuissance Hydraulique
Réflexions

\(20.56 \text{ kW}\) est la puissance qui "arrive" réellement dans l'eau. C'est l'équivalent de la puissance de plus de 20 radiateurs électriques, entièrement convertie en énergie mécanique pour déplacer le fluide.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est d'oublier de convertir le débit \(Q\) en \(\text{m}^3/\text{s}\). Si vous utilisez des \(\text{m}^3/\text{h}\), votre résultat sera 3600 fois trop grand.

Points à retenir

La puissance hydraulique est directement proportionnelle au débit et à la HMT. Si l'un de ces deux paramètres double, la puissance requise double également.

Le saviez-vous ?

Une ancienne unité de puissance encore parfois utilisée est le cheval-vapeur (ch ou hp). Un cheval-vapeur vaut environ 735.5 Watts. Notre pompe de \(20.56 \text{ kW}\) fournirait donc une puissance d'environ 28 chevaux !

FAQ
Cette puissance dépend-elle du type de pompe ?

Non. La puissance hydraulique est une caractéristique du réseau et du débit souhaité. Elle représente le besoin. N'importe quelle technologie de pompe (centrifuge, à piston...) qui parviendrait à fournir ce débit et cette HMT fournirait cette même puissance hydraulique au fluide.

Résultat Final
La puissance hydraulique requise est de \(20.56 \text{ kW}\).
A vous de jouer

Quelle serait la puissance hydraulique (en \(\text{kW}\)) si le débit était de \(200 \text{ m}^3/\text{h}\) et la HMT de \(60 \text{ m}\) ?

Question 8 : Calculer la puissance électrique \(P_{\text{électrique}}\)

Principe

C'est la puissance consommée "à la prise", celle qui est facturée par le fournisseur d'électricité. La pompe et le moteur électrique ne sont pas parfaits : ils ont des pertes internes (frottements mécaniques, échauffement électrique...). La puissance électrique consommée est donc supérieure à la puissance hydraulique utile. Le rendement global mesure cette efficacité de conversion d'énergie électrique en énergie hydraulique.

Mini-Cours

Le rendement (\(\eta\)) est défini comme le rapport de la puissance de sortie (utile) sur la puissance d'entrée (absorbée) : \(\eta = P_{\text{sortie}} / P_{\text{entrée}}\). Pour trouver la puissance d'entrée, on inverse la formule : \(P_{\text{entrée}} = P_{\text{sortie}} / \eta\). Pour un système en série comme un groupe motopompe, le rendement global est le produit des rendements de chaque composant : \(\eta_{\text{global}} = \eta_{\text{pompe}} \cdot \eta_{\text{moteur}}\).

Remarque Pédagogique

Comprendre la notion de rendement est crucial pour tout ingénieur. C'est la mesure de l'efficacité énergétique d'un système. Un bon rendement signifie moins d'énergie gaspillée (et donc une facture plus faible et un impact environnemental moindre).

Formule(s)

Formule de la puissance électrique

\[ P_{\text{élec}} = \frac{P_{\text{hyd}}}{\eta_{\text{global}}} = \frac{P_{\text{hyd}}}{\eta_{\text{pompe}} \cdot \eta_{\text{moteur}}} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance hydraulique\(P_{\text{hyd}}\)20560\(\text{W}\)
Rendement pompe\(\eta_{\text{pompe}}\)75%
Rendement moteur\(\eta_{\text{moteur}}\)90%
Schéma (Avant les calculs)
Chaîne de puissance et rendements
Moteur (η_m)Pompe (η_p)P_élecP_mécaP_hyd
Calcul(s)

Les rendements doivent être utilisés sous leur forme décimale (ex: 75% = 0.75).

Calcul du rendement global

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{global}} &= 0.75 \times 0.90 \\ &= 0.675 \end{aligned} \]

Calcul de la puissance électrique

\[ \begin{aligned} P_{\text{élec}} &= \frac{20560 \text{ W}}{0.675} \\ &\approx 30459 \text{ W} \\ &\Rightarrow P_{\text{élec}} \approx 30.46 \text{ kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des puissances
P_élec30.46 kWP_hyd20.56 kWPertes (9.9 kW)
Réflexions

Pour fournir \(20.56 \text{ kW}\) d'énergie à l'eau, le système doit en consommer \(30.46 \text{ kW}\) au compteur. La différence, soit près de \(10 \text{ kW}\) (\(30.46 - 20.56\)), est entièrement perdue sous forme de chaleur dans la pompe et le moteur. Optimiser le rendement des pompes est un enjeu majeur d'économie d'énergie.

Points de vigilance

Une erreur courante est de mal interpréter le rendement. Un rendement est toujours inférieur à 1 (ou 100%). On divise la puissance utile par le rendement pour trouver la puissance absorbée (qui est forcément plus grande). Ne jamais multiplier !

Points à retenir

La puissance électrique est la puissance de dimensionnement du moteur et de l'alimentation électrique. C'est sur cette base que l'on choisira la puissance nominale du moteur (en prenant une marge de sécurité) et que l'on calculera le coût d'exploitation de l'installation.

Le saviez-vous ?

Le pompage représente près de 20% de la consommation électrique industrielle mondiale. Le choix d'une pompe bien dimensionnée et à haut rendement, ainsi que l'utilisation de variateurs de vitesse pour adapter le débit au besoin réel, peuvent permettre des économies d'énergie de 30 à 50%.

FAQ
Qu'est-ce qui influe sur le rendement d'une pompe ?

Le rendement d'une pompe n'est pas constant. Il dépend du débit : il est maximal pour un certain débit (le "point de meilleur rendement" ou BEP - Best Efficiency Point) et chute si l'on s'en écarte. C'est pourquoi il est crucial de faire fonctionner la pompe le plus près possible de son BEP.

Résultat Final
La puissance électrique absorbée par le moteur sera d'environ \(30.46 \text{ kW}\).
A vous de jouer

Quelle serait la puissance électrique (en \(\text{kW}\)) si le rendement de la pompe n'était que de 65% au lieu de 75% ?

Outil Interactif : Simulateur d'Installation

Utilisez les curseurs pour voir comment le débit et la longueur de la conduite influencent les pertes de charge totales et la puissance électrique nécessaire. Les autres paramètres de l'exercice restent fixes.

Paramètres d'Entrée
150 m³/h
1500 m
Résultats Clés
Pertes de charge totales (\(\text{m}\)) -
Puissance Électrique (\(\text{kW}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente principalement la Hauteur Manométrique Totale (HMT) ?

2. Si l'on double la vitesse de l'eau dans la conduite, comment les pertes de charge linéaires évoluent-elles approximativement ?

3. Un nombre de Reynolds élevé (ex: > 100 000) est caractéristique d'un régime...

4. À quoi sert le rendement dans le calcul de la puissance électrique ?

5. Les pertes de charge singulières sont causées par...

Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale que la pompe doit fournir à chaque unité de poids de fluide pour le transporter d'un point A à un point B. Elle s'exprime en mètres (m).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Il permet de déterminer le régime d'écoulement (laminaire, turbulent).
Perte de Charge
Perte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide) subie par un fluide en mouvement, due aux frottements (linéaires) et aux obstacles (singulières).
Puissance Hydraulique
Puissance mécanique réellement transmise par la pompe au fluide. C'est la puissance "utile". Elle s'exprime en Watts (W).
Exercice d'Hydraulique en Charge

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