ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse de l’Effet de la Température

Exercice : Impact de la Température sur la Perte de Charge

Analyse de l’Effet de la Température en Hydraulique

Contexte : L'impact des variations thermiques sur les systèmes hydrauliques.

Dans de nombreuses applications industrielles, de la pétrochimie au génie climatique, les fluides sont transportés à des températures très variables. Or, la température a un effet direct et significatif sur les propriétés physiques d'un fluide, notamment sa viscositéLa viscosité mesure la résistance d'un fluide à l'écoulement. Un fluide très visqueux (comme le miel) s'écoule difficilement, tandis qu'un fluide peu visqueux (comme l'eau) s'écoule facilement. et sa masse volumique. Ces changements peuvent altérer considérablement les performances d'un réseau, notamment en modifiant les pertes de charge et la puissance de pompage requise.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier l'impact d'un changement de température sur les pertes de charge linéaires dans une conduite, une compétence essentielle pour le dimensionnement et l'optimisation des réseaux hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre l'influence de la température sur la viscosité et la masse volumique de l'eau.
  • Calculer le nombre de Reynolds et déterminer le régime d'écoulement à différentes températures.
  • Appliquer la méthode itérative de Colebrook-White pour déterminer précisément le coefficient de perte de charge.
  • Quantifier la variation de la perte de charge linéaire due à une augmentation de la température.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement d'eau dans une conduite en fonte sur une grande longueur. Le système doit pouvoir fonctionner en hiver comme en été, avec des variations de température notables du fluide.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Matériau de la conduite Fonte
Rugosité absolue (\(\epsilon\)) 0.045 mm
Fluide transporté Eau
Propriétés Physiques de l'Eau
Propriété Valeur à 5°C Valeur à 35°C
Masse volumique (\(\rho\)) 1000 kg/m³ 994 kg/m³
Viscosité dynamique (\(\mu\)) \(1.519 \times 10^{-3}\) Pa.s \(0.723 \times 10^{-3}\) Pa.s
Schéma du Tronçon de Conduite
Écoulement → L = 500 m D = 150 mm
Paramètre de fonctionnement Symbole Valeur Unité
Diamètre intérieur \(D\) 150 mm
Longueur de la conduite \(L\) 500 m
Débit volumique \(Q\) 100 m³/h

Questions à traiter

  1. Cas Hiver : Calculer la perte de charge linéaire (en mètres de colonne d'eau) pour de l'eau à une température de 5°C.
  2. Cas Été : Calculer la perte de charge linéaire (en mètres de colonne d'eau) pour de l'eau à une température de 35°C.
  3. Comparer les deux résultats et conclure sur l'effet de la température sur l'énergie requise pour le pompage.

Les bases sur la mécanique des fluides

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts de perte de charge, qui représentent l'énergie "perdue" par un fluide en mouvement à cause des frottements contre les parois de la conduite.

1. Propriétés du fluide et Température
Pour un liquide comme l'eau, une augmentation de la température entraîne une diminution de sa masse volumique (\(\rho\)) et surtout une forte diminution de sa viscosité dynamique (\(\mu\)). C'est ce dernier point qui a le plus d'influence sur les frottements.

2. Perte de Charge Linéaire (Darcy-Weisbach)
La perte d'énergie due aux frottements sur la longueur d'une conduite est calculée avec l'équation de Darcy-Weisbach : \[ \Delta h = \lambda \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{v^2}{2g} \] Où \(\Delta h\) est la perte de charge (en m), \(\lambda\) est le coefficient de perte de charge (sans dimension), \(L\) la longueur, \(D\) le diamètre, \(v\) la vitesse et \(g\) l'accélération de la pesanteur.

3. Coefficient de Perte de Charge (Équation de Colebrook-White)
La valeur de \(\lambda\) dépend du régime d'écoulement (caractérisé par le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Un Re faible indique un écoulement laminaire, un Re élevé un écoulement turbulent., \(Re\)) et de la rugosité relative de la conduite (\(\epsilon/D\)). Pour les écoulements turbulents (\(Re > 4000\)), la référence est l'équation implicite de Colebrook-White, qui nécessite une résolution itérative : \[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]

Correction : Analyse de l’Effet de la Température en Hydraulique

Question 1 : Calcul de la perte de charge à 5°C

Principe

Le concept physique est que l'énergie d'un fluide qui s'écoule se dissipe sous forme de chaleur à cause des frottements avec la paroi de la conduite. Cette perte d'énergie, appelée perte de charge, dépend de la vitesse du fluide, des dimensions de la conduite, et des propriétés du fluide (viscosité, masse volumique) qui sont elles-mêmes influencées par la température.

Mini-Cours

La perte de charge linéaire est la conséquence directe de la contrainte de cisaillement exercée par le fluide sur la paroi. En régime turbulent, cet échange est dominé par les tourbillons et l'agitation chaotique du fluide. La viscosité joue un rôle clé en amortissant ces tourbillons près de la paroi, dans ce qu'on appelle la sous-couche visqueuse.

Remarque Pédagogique

La clé est de suivre une démarche logique : caractéristiques géométriques → propriétés du fluide pour la T° donnée → vitesse → Reynolds → coefficient de frottement \(\lambda\) → perte de charge. Chaque étape découle de la précédente. Ne vous lancez pas dans le calcul final sans avoir validé chaque étape intermédiaire.

Normes

Cet exercice utilise des formules académiques reconnues. Dans un contexte professionnel, les ingénieurs peuvent utiliser des logiciels de simulation (comme AFT Fathom ou Pipe-Flo) qui intègrent ces calculs et des bases de données de fluides conformes aux normes (ex: ASME, API).

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2} \]

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{\rho v D}{\mu} \]

Formule de Colebrook-White (implicite)

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]

Formule de Darcy-Weisbach

\[ \Delta h = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes :

  • L'écoulement est permanent (débit constant).
  • Le fluide est incompressible (masse volumique constante le long de la conduite).
  • La conduite est pleine et le profil de vitesse est pleinement développé.
  • La température est uniforme dans tout le fluide et constante sur la longueur étudiée.
Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et les propriétés physiques de l'eau à 5°C.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique (5°C)\(\rho\)1000kg/m³
Viscosité dynamique (5°C)\(\mu\)\(1.519 \times 10^{-3}\)Pa.s
DiamètreD0.15m
LongueurL500m
DébitQ0.0278m³/s
Rugosité\(\epsilon\)\(4.5 \times 10^{-5}\)m
Astuces

Pour démarrer le calcul itératif de Colebrook-White, il faut une première estimation de \(\lambda\). On peut utiliser une formule explicite comme celle de Haaland pour obtenir une valeur de départ très proche de la solution finale, ce qui accélère la convergence.

Schéma (Avant les calculs)
Modélisation de la Conduite
Écoulement →L = 500 mD = 150 mm
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des paramètres de base

Calcul de l'aire de la section

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot (0.15\,\text{m})^2}{4} \\ &\Rightarrow A \approx 0.0177\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse

\[ \begin{aligned} v &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{0.0278\,\text{m}^3/\text{s}}{0.0177\,\text{m}^2} \\ &\Rightarrow v \approx 1.57\,\text{m/s} \end{aligned} \]

Calcul du nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\mu} \\ &= \frac{1000 \cdot 1.57 \cdot 0.15}{1.519 \times 10^{-3}} \\ &\Rightarrow Re \approx 155036 \end{aligned} \]

Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{4.5 \times 10^{-5}\,\text{m}}{0.15\,\text{m}} \\ &\Rightarrow \frac{\epsilon}{D} = 0.0003 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul itératif du coefficient de perte de charge (\(\lambda\))

On utilise une première estimation (par ex. avec la formule de Haaland) : \(\lambda_0 \approx 0.0166\).

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0003}{3.7} + \frac{2.51}{155036 \sqrt{0.0166}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8.108 \times 10^{-5} + 1.256 \times 10^{-4} \right) \\ &\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \approx 7.369 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \left( \frac{1}{7.369} \right)^2 \\ &\Rightarrow \lambda_1 \approx 0.0184 \end{aligned} \]

Itération 2

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0003}{3.7} + \frac{2.51}{155036 \sqrt{0.0184}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8.108 \times 10^{-5} + 1.194 \times 10^{-4} \right) \\ &\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} \approx 7.396 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_2 &= \left( \frac{1}{7.396} \right)^2 \\ &\Rightarrow \lambda_2 \approx 0.0183 \end{aligned} \]

Itération 3

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0003}{3.7} + \frac{2.51}{155036 \sqrt{0.0183}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8.108 \times 10^{-5} + 1.197 \times 10^{-4} \right) \\ &\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} \approx 7.394 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_3 &= \left( \frac{1}{7.394} \right)^2 \\ &\Rightarrow \lambda_3 \approx 0.0183 \end{aligned} \]

La valeur a convergé. On retient \(\lambda \approx 0.0183\).

Étape 3 : Calcul final de la perte de charge (\(\Delta h\))

\[ \begin{aligned} \Delta h_{5^\circ\text{C}} &= \lambda \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{v^2}{2g} \\ &= 0.0183 \cdot \frac{500\,\text{m}}{0.15\,\text{m}} \cdot \frac{(1.57\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9.81\,\text{m/s}^2} \\ &\Rightarrow \Delta h_{5^\circ\text{C}} \approx 7.66\,\text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Perte de Charge
Axe de la conduite (L=500m)Ligne de chargeΔh ≈ 7.66 m
Réflexions

Un résultat de 7.66 m signifie que sur 500 m, le fluide a perdu une énergie équivalente à celle qu'il aurait s'il tombait d'une hauteur de 7.66 mètres. Cette énergie, transformée en chaleur, doit être fournie par une pompe en amont pour maintenir l'écoulement.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'oubli de conversion des unités : le diamètre en mètres, le débit en m³/s, la rugosité en mètres. Une double vérification est impérative avant tout calcul. Attention aussi à bien utiliser le logarithme décimal (\(\log_{10}\)) dans la formule de Colebrook.

Points à retenir

Pour une conduite et un débit donnés, le calcul de la perte de charge linéaire se ramène à la détermination correcte du coefficient \(\lambda\), qui est une fonction directe des propriétés du fluide (via \(Re\)) et de l'état de surface de la conduite (via \(\epsilon/D\)).

Le saviez-vous ?

L'abaque de Moody, qui est une représentation graphique de l'équation de Colebrook-White, a été publié en 1944 par Lewis Ferry Moody et reste une référence incontournable pour les ingénieurs hydraulicien-ne-s du monde entier.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi le calcul est-il itératif ?

Car dans l'équation de Colebrook-White, l'inconnue \(\lambda\) apparaît des deux côtés de l'équation (une fois à gauche, et une fois sous une racine carrée à droite). Il n'existe pas de solution algébrique directe, on doit donc procéder par approximations successives jusqu'à trouver une valeur qui satisfait l'égalité.

Résultat Final
À 5°C, la perte de charge linéaire est d'environ 7.66 mètres de colonne d'eau.
A vous de jouer

Si le débit était réduit à 75 m³/h en hiver (5°C), quelle serait la nouvelle perte de charge en mètres ?

Question 2 : Calcul de la perte de charge à 35°C

Principe

Le principe physique reste le même que pour la question 1. Cependant, nous allons voir comment un changement de température, en modifiant les propriétés du fluide (surtout sa viscosité), va impacter la turbulence de l'écoulement (via le nombre de Reynolds) et, par conséquent, les frottements et la perte d'énergie finale.

Mini-Cours

L'agitation thermique des molécules d'un liquide diminue les forces de cohésion intermoléculaires. C'est pourquoi, lorsqu'on chauffe un liquide comme l'eau, sa viscosité diminue : les molécules "glissent" plus facilement les unes sur les autres. Moins de viscosité signifie moins de dissipation d'énergie par frottement interne, ce qui se répercute sur l'écoulement global.

Remarque Pédagogique

Ici, la seule chose qui change par rapport à la question 1, ce sont les propriétés du fluide. C'est un excellent exercice pour isoler l'impact d'un seul paramètre. Soyez méticuleux : ne réutilisez pas le Reynolds ou le \(\lambda\) de la question précédente ! Chaque cas doit être recalculé.

Normes

Les données sur les propriétés de l'eau en fonction de la température proviennent de tables standardisées, comme celles de l'IAPWS (International Association for the Properties of Water and Steam), qui sont des références mondiales pour les ingénieurs.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2} \]

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{\rho v D}{\mu} \]

Formule de Colebrook-White (implicite)

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]

Formule de Darcy-Weisbach

\[ \Delta h = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont identiques à celles de la première question (écoulement permanent, fluide incompressible, conduite pleine, etc.).

Donnée(s)

Nous utilisons les données géométriques et de débit de l'énoncé, ainsi que les propriétés de l'eau à 35°C.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique (35°C)\(\rho\)994kg/m³
Viscosité dynamique (35°C)\(\mu\)\(0.723 \times 10^{-3}\)Pa.s
DiamètreD0.15m
LongueurL500m
DébitQ0.0278m³/s
Rugosité\(\epsilon\)\(4.5 \times 10^{-5}\)m
Astuces

Comme la viscosité diminue fortement, attendez-vous à un nombre de Reynolds significativement plus grand. Cela va rapprocher l'écoulement du régime "turbulent rugueux", où \(\lambda\) devient moins sensible aux variations de Reynolds. Le résultat final pour \(\lambda\) devrait donc être légèrement inférieur à celui de la Q1, mais pas radicalement différent.

Schéma (Avant les calculs)
Modélisation de la Conduite
Écoulement →L = 500 mD = 150 mm
Calcul(s)

La vitesse (\(v \approx 1.57\,\text{m/s}\)) et la rugosité relative (\(\epsilon/D = 0.0003\)) ne changent pas. Nous recalculons les paramètres dépendants de la température.

Étape 1 : Calcul du nombre de Reynolds (Re)

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\mu} \\ &= \frac{994 \cdot 1.57 \cdot 0.15}{0.723 \times 10^{-3}} \\ &\Rightarrow Re \approx 323685 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul itératif du coefficient de perte de charge (\(\lambda\))

On démarre avec une estimation (ex: Haaland) : \(\lambda_0 \approx 0.0146\).

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0003}{3.7} + \frac{2.51}{323685 \sqrt{0.0146}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8.108 \times 10^{-5} + 6.418 \times 10^{-5} \right) \\ &\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \approx 7.676 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \left( \frac{1}{7.676} \right)^2 \\ &\Rightarrow \lambda_1 \approx 0.0170 \end{aligned} \]

Itération 2

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0003}{3.7} + \frac{2.51}{323685 \sqrt{0.0170}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8.108 \times 10^{-5} + 5.940 \times 10^{-5} \right) \\ &\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} \approx 7.704 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_2 &= \left( \frac{1}{7.704} \right)^2 \\ &\Rightarrow \lambda_2 \approx 0.0168 \end{aligned} \]

Itération 3

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0003}{3.7} + \frac{2.51}{323685 \sqrt{0.0168}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8.108 \times 10^{-5} + 5.980 \times 10^{-5} \right) \\ &\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} \approx 7.702 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_3 &= \left( \frac{1}{7.702} \right)^2 \\ &\Rightarrow \lambda_3 \approx 0.0169 \end{aligned} \]

La valeur a convergé. On retient \(\lambda \approx 0.0169\).

Étape 3 : Calcul final de la perte de charge (\(\Delta h\))

\[ \begin{aligned} \Delta h_{35^\circ\text{C}} &= \lambda \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{v^2}{2g} \\ &= 0.0169 \cdot \frac{500\,\text{m}}{0.15\,\text{m}} \cdot \frac{(1.57\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9.81\,\text{m/s}^2} \\ &\Rightarrow \Delta h_{35^\circ\text{C}} \approx 7.07\,\text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Perte de Charge (35°C)
Axe de la conduite (L=500m)Ligne de chargeΔh ≈ 7.07 m
Réflexions

L'augmentation du nombre de Reynolds de 155,036 à 323,685 est spectaculaire. Elle montre à quel point l'écoulement devient plus turbulent (les forces d'inertie deviennent encore plus prépondérantes). Cela "aplatit" le profil de vitesse et réduit l'épaisseur de la sous-couche visqueuse, diminuant légèrement l'influence relative des frottements, d'où la baisse de \(\lambda\).

Points de vigilance

Ne concluez pas hâtivement qu'une forte augmentation de Reynolds entraînera une forte baisse de \(\lambda\). Dans la zone de turbulence rugueuse de l'abaque de Moody, la courbe de \(\lambda\) devient presque horizontale : le coefficient de frottement ne dépend alors quasiment plus que de la rugosité relative.

Points à retenir

Une température plus élevée rend l'eau plus "fluide" (moins visqueuse). Pour un même débit, cela se traduit par un écoulement plus turbulent (Re plus élevé) et des pertes par frottement légèrement plus faibles.

Le saviez-vous ?

Dans les systèmes de refroidissement des réacteurs nucléaires, la maîtrise précise des propriétés de l'eau à haute température et haute pression est absolument critique. Des modèles thermodynamiques extrêmement complexes sont utilisés pour prédire son comportement et garantir la sécurité.

FAQ

La masse volumique a baissé. Cela n'influence-t-il pas le calcul ?

Si, elle intervient dans le calcul du Reynolds. Cependant, sa variation (1000 à 994 kg/m³, soit -0.6%) est très faible comparée à celle de la viscosité (1.519 à 0.723 mPa.s, soit -52%). C'est donc bien la viscosité qui est le facteur dominant ici.

Résultat Final
À 35°C, la perte de charge linéaire est d'environ 7.07 mètres de colonne d'eau.
A vous de jouer

Quelle serait la perte de charge à 35°C si la conduite était en PVC lisse (\(\epsilon \approx 0.0015\,\text{mm}\)) ?

Question 3 : Comparaison et Conclusion

Principe

Le but est de synthétiser les résultats précédents pour en tirer une conclusion d'ingénierie pratique. Il ne s'agit plus seulement de calculer, mais d'analyser une tendance et de quantifier son importance pour évaluer si l'effet de la température est un facteur négligeable ou un paramètre à prendre en compte dans la conception et l'exploitation du système.

Mini-Cours

L'analyse de sensibilité est une démarche fondamentale en ingénierie. Elle consiste à étudier comment la variation d'un paramètre d'entrée (ici, la température) influe sur un résultat en sortie (la perte de charge). Cela permet d'identifier les paramètres les plus influents et d'optimiser le dimensionnement d'un système.

Remarque Pédagogique

Une bonne conclusion n'est pas juste "c'est plus petit" ou "c'est plus grand". Elle doit être chiffrée. Calculez toujours la variation en valeur absolue et en pourcentage. Cela donne un ordre de grandeur bien plus parlant pour un ingénieur ou un décideur.

Normes

Dans les bilans énergétiques ou les audits d'installations (norme ISO 50001 sur le management de l'énergie), de telles analyses sont primordiales pour identifier les gisements d'économies d'énergie. L'impact de la température sur le pompage serait un point d'étude typique.

Formule(s)

Formule de la variation relative

\[ \text{Variation (\%)} = \frac{\text{Valeur}_{\text{finale}} - \text{Valeur}_{\text{initiale}}}{\text{Valeur}_{\text{initiale}}} \times 100 \]
Hypothèses

Nous supposons que la pompe et son moteur ont un rendement constant, bien qu'en réalité, le point de fonctionnement de la pompe sur sa courbe caractéristique pourrait légèrement changer avec la variation de la perte de charge du réseau.

Donnée(s)

Nous reprenons les résultats finaux des deux questions précédentes.

ConditionSymboleValeurUnité
Perte de charge (Hiver, 5°C)\(\Delta h_{5^\circ\text{C}}\)7.66m
Perte de charge (Été, 35°C)\(\Delta h_{35^\circ\text{C}}\)7.07m
Astuces

Pas d'astuce de calcul ici, l'analyse prime.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Pertes de Charge
Hiver (5°C)7.66 mÉté (35°C)7.07 mm
Calcul(s)

Calcul de la variation absolue

\[ \begin{aligned} \text{Variation absolue} &= \Delta h_{5^\circ\text{C}} - \Delta h_{35^\circ\text{C}} \\ &= 7.66\,\text{m} - 7.07\,\text{m} \\ &\Rightarrow \text{Variation absolue} = 0.59\,\text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la variation relative

\[ \begin{aligned} \text{Variation relative} &= \frac{7.07\,\text{m} - 7.66\,\text{m}}{7.66\,\text{m}} \times 100 \\ &\Rightarrow \text{Variation relative} \approx -7.7\% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Pertes de Charge
Hiver (5°C)7.66 mÉté (35°C)7.07 mm
Réflexions

Une réduction de 7.7% de la perte de charge signifie que la pompe doit fournir 7.7% d'énergie en moins pour vaincre les frottements. La puissance hydraulique étant proportionnelle à la perte de charge (\(P_{\text{hyd}} = Q \cdot \rho \cdot g \cdot \Delta h\)), la consommation électrique de la pompe diminuera dans des proportions similaires (selon le rendement). Sur un an, pour une pompe de plusieurs kilowatts fonctionnant en continu, l'économie peut se chiffrer en centaines, voire milliers d'euros.

Points de vigilance

Ne généralisez pas ce résultat à tous les fluides ! Pour les gaz, une augmentation de température augmente la viscosité, ce qui aurait l'effet inverse : les pertes de charge augmenteraient ! Cette analyse n'est valable que pour les liquides.

Points à retenir

Conclusion clé : Pour un débit constant dans un réseau donné, une augmentation de la température de l'eau (ou de la plupart des liquides) entraîne une diminution de sa viscosité. Cela augmente le nombre de Reynolds et diminue le coefficient de frottement \(\lambda\), ce qui résulte en une réduction des pertes de charge et donc une moindre consommation d'énergie pour la pompe.

Le saviez-vous ?

Ce phénomène est crucial dans les oléoducs transportant du pétrole brut. Le pétrole peut être très visqueux à basse température. On le chauffe donc pour réduire sa viscosité et faciliter son transport sur des milliers de kilomètres, réduisant ainsi drastiquement les coûts de pompage.

FAQ

Est-ce que cet effet est toujours significatif ?

L'effet est plus marqué pour les fluides très visqueux et dans les régimes d'écoulement de transition. En régime pleinement turbulent rugueux (très hautes vitesses ou conduites très abîmées), le coefficient \(\lambda\) dépend de moins en moins du nombre de Reynolds (et donc de la température), et l'effet s'atténue.

Résultat Final
Le passage de 5°C à 35°C réduit la perte de charge de 0.59 m, soit une diminution de 7.7%.
A vous de jouer

Pas d'exercice interactif pour cette question de synthèse.

Outil Interactif : Simulateur d'Impact Thermique

Utilisez les curseurs pour faire varier la température de l'eau et le débit dans la conduite de l'exercice. Observez en temps réel l'impact sur le nombre de Reynolds, le coefficient de frottement et la perte de charge totale.

Paramètres d'Entrée
20 °C
100 m³/h
Résultats Clés
Nombre de Reynolds -
Coefficient \(\lambda\) -
Perte de Charge (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que se passe-t-il généralement avec la viscosité dynamique de l'eau lorsque sa température augmente ?

2. Un nombre de Reynolds plus élevé indique un écoulement...

3. Dans la formule de Darcy-Weisbach, le coefficient \(\lambda\) dépend principalement de :

4. Si la température de l'eau dans une conduite augmente tout en maintenant le débit constant, la perte de charge linéaire va :

5. Quelle propriété du fluide est la cause principale de cette variation de perte de charge avec la température ?

Perte de Charge
Énergie dissipée par un fluide en mouvement, généralement due aux frottements sur les parois (perte linéaire) ou au passage d'obstacles comme des vannes ou des coudes (perte singulière). Elle se mesure en Pascals (pression) ou en mètres de colonne de fluide (hauteur).
Viscosité Dynamique (\(\mu\))
Propriété d'un fluide qui mesure sa résistance interne à l'écoulement. Elle est souvent exprimée en Pascal-seconde (Pa.s). Plus la viscosité est élevée, plus le fluide est "épais" et résiste au mouvement.
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. \(Re < 2000\) indique un écoulement laminaire (ordonné), tandis que \(Re > 4000\) indique un écoulement turbulent (chaotique).
Rugosité (\(\epsilon\))
Mesure de la texture de la surface intérieure d'une conduite. Une rugosité élevée augmente les frottements et donc les pertes de charge.
Exercice - Fondamentaux de l'hydraulique

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