Comparaison des débits pour un canal

Contexte : L'Hydraulique à Surface LibreL'étude des écoulements de liquides (généralement l'eau) avec une surface en contact avec l'atmosphère..

En ingénierie civile, la conception de canaux (pour l'irrigation, le drainage, etc.) est cruciale. Un paramètre clé est le débit (Q), soit le volume d'eau que le canal peut transporter. Ce débit dépend de la géométrie du canal, de sa pente et de la rugosité de ses parois. Cet exercice vise à comparer l'efficacité de two canaux de formes différentes mais de propriétés similaires.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la formule de Manning-Strickler pour calculer et comparer les débits dans deux configurations de canaux différentes.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le rayon hydraulique et le périmètre mouillé pour un canal rectangulaire.
Appliquer la formule de Manning-Strickler pour déterminer le débit.
Comparer l'efficacité hydraulique de deux canaux de sections différentes.

Données des Canaux

On souhaite comparer le débit de deux canaux rectangulaires (Canal A et Canal B) de même pente et même rugosité, mais de géométries différentes.

Propriétés Communes

Caractéristique	Valeur
Pente du fond (I)	0.001 (ou 0.1 %)
Coefficient de Strickler (K)	40 m¹/³/s
Matériau	Béton ordinaire

Schéma de Principe d'un Canal Rectangulaire

Paramètre	Canal A	Canal B	Unité
Largeur (b)	4.0	2.0	m
Hauteur d'eau (h)	1.0	2.0	m

Questions à traiter

Calculer la surface mouillée (S) pour le Canal A et le Canal B.
Calculer le périmètre mouillé (P) pour le Canal A et le Canal B.
Calculer le rayon hydraulique (Rh) pour le Canal A et le Canal B.
En utilisant la formule de Manning-Strickler, calculer le débit (Q) pour le Canal A et le Canal B.
Comparer les débits. Lequel des deux canaux est le plus efficace hydrauliquement et pourquoi ?

Les bases de l'Hydraulique à Surface Libre

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts de base de l'écoulement uniforme en canal rectangulaire.

1. Propriétés Géométriques
La surface mouillée (S) est la section transversale de l'écoulement. Le périmètre mouillé (P) est la longueur de la paroi du canal en contact avec l'eau (fond + parois latérales). Le rayon hydraulique (Rh) est le rapport de ces deux grandeurs. \[ S = b \times h \] \[ P = b + 2h \] \[ R_h = \frac{S}{P} = \frac{b \times h}{b + 2h} \]

2. Formule de Manning-Strickler
En régime d'écoulement uniforme (la hauteur d'eau est constante), la vitesse (V) et le débit (Q) sont donnés par la formule empirique de Manning-Strickler : \[ V = K \times R_h^{2/3} \times I^{1/2} \] \[ Q = V \times S = S \times K \times R_h^{2/3} \times I^{1/2} \] Où K est le coefficient de Strickler (rugosité) et I est la pente du fond.

Correction : Comparaison des débits pour un canal

Question 1 : Calculer la surface mouillée (S) pour le Canal A et le Canal B.

Principe

La surface mouillée (S), ou section d'écoulement, d'un canal rectangulaire est simplement sa largeur (b) multipliée par la hauteur d'eau (h).

Mini-Cours

La formule de la surface mouillée est une définition géométrique de base pour une section rectangulaire. C'est la surface de la "tranche" d'eau.

Remarque Pédagogique

Notez bien que les deux canaux ont la même surface. C'est un point de départ important pour la comparaison : nous allons évaluer deux formes qui transportent la "même quantité" de section d'eau.

Normes

Pas de norme spécifique applicable ici, il s'agit d'un calcul géométrique pur.

Formule(s)

S = b \times h

Hypothèses

Le canal est parfaitement rectangulaire.

La hauteur d'eau 'h' est constante sur toute la largeur 'b'.

Donnée(s)

Paramètre	Canal A	Canal B	Unité
Largeur (b)	4.0	2.0	m
Hauteur (h)	1.0	2.0	m

Astuces

Pour un rectangle, la surface est simplement la base fois la hauteur. C'est le calcul de surface le plus simple en hydraulique.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé (Section d'un Canal Rectangulaire) est suffisant pour ce calcul. On multiplie la dimension 'b' par la dimension 'h'.

Schéma de Principe (Rappel)

Calcul(s)

Canal A

S_A = b_A \times h_A \] \[ = 4.0 \text{ m} \times 1.0 \text{ m} \] \[ = 4.0 \text{ m}^2

Canal B

S_B = b_B \times h_B \] \[ = 2.0 \text{ m} \times 2.0 \text{ m} \] \[ = 4.0 \text{ m}^2

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat pertinent pour ce calcul de surface simple.

Réflexions

Nous constatons que les deux canaux, bien que de formes très différentes, ont exactement la même surface mouillée (4.0 m²). Cette information est cruciale pour la comparaison : nous allons comparer deux canaux qui ont la même section d'écoulement.

Points de vigilance

Assurez-vous que 'b' et 'h' sont dans la même unité (ici, les mètres) avant de multiplier. Le résultat sera en m².

Points à retenir

Surface rectangulaire : \(S = b \times h\).
Les deux canaux ont la même section d'écoulement (S = 4.0 m²).

Le saviez-vous ?

Dans un canal trapézoïdal, le calcul de la surface est plus complexe : \(S = (b + mh) \times h\), où 'm' est le fruit (pente) de la berge.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

Les deux canaux ont une surface mouillée identique : \(S_A = 4.0 \text{ m}^2\) et \(S_B = 4.0 \text{ m}^2\).

A vous de jouer

Recalculez la surface \(S_A\) si la hauteur d'eau \(h_A\) était de 1.5 m.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Surface Mouillée (S).
Formule : \(S = b \times h\).
Résultat : \(S_A = S_B = 4.0 \text{ m}^2\).

Question 2 : Calculer le périmètre mouillé (P) pour le Canal A et le Canal B.

Principe

Le périmètre mouillé (P) est la longueur totale des parois en contact avec l'eau. Pour un canal rectangulaire, cela inclut le fond (largeur b) et les two parois latérales (hauteur h). Il ne faut pas compter la surface libre (le haut de l'eau).

Mini-Cours

Le périmètre mouillé représente la "longueur de frottement". L'eau frotte sur le fond (longueur 'b') et sur les deux côtés (longueur 'h' chacun), d'où \(P = b + 2h\).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas périmètre mouillé (b+2h) et périmètre total d'un rectangle (2b+2h). La surface libre (le haut) ne compte pas car il n'y a pas de frottement contre une paroi solide, seulement un frottement négligeable avec l'air.

Normes

Pas de norme spécifique, c'est un calcul géométrique.

Formule(s)

\[ P = b + 2h \]

Hypothèses

Canal rectangulaire prismatique (forme constante).

Donnée(s)

Paramètre	Canal A	Canal B	Unité
Largeur (b)	4.0	2.0	m
Hauteur (h)	1.0	2.0	m

Astuces

Visualisez le trajet que ferait une fourmi si elle marchait le long des parois sous l'eau : elle parcourt 'h', puis 'b', puis 'h'. La distance totale est \(h+b+h = b+2h\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien les trois parois (h, b, h) qui constituent le périmètre mouillé (indiquées en rouge).

Schéma de Principe (Rappel)

Calcul(s)

Canal A

P_A = b_A + 2h_A \] \[ = 4.0 \text{ m} + 2 \times 1.0 \text{ m} \] \[ = 6.0 \text{ m}

Canal B

P_B = b_B + 2h_B \] \[ = 2.0 \text{ m} + 2 \times 2.0 \text{ m} \] \[ = 6.0 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat pertinent.

Réflexions

C'est un cas d'école intéressant : les deux canaux ont non seulement la même surface mouillée, mais aussi le même périmètre mouillé. Le frottement de l'eau sur les parois (source de "pertes" d'énergie) sera donc lié à la même longueur de contact.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de compter *deux* parois latérales. On ne fait pas \(b+h\), mais bien \(b+2h\).

Points à retenir

Périmètre mouillé rectangulaire : \(P = b + 2h\).
Les deux canaux ont aussi le même périmètre mouillé (P = 6.0 m).

Le saviez-vous ?

C'est une pure coïncidence que ces deux formes (4x1 et 2x2) aient le même périmètre *et* la même surface. Comme nous le verrons dans la Q5, ce n'est généralement pas le cas. Le canal 2x2 (carré) est normalement plus efficace que le canal 4x1 (large).

FAQ

...

Résultat Final

Les deux canaux ont un périmètre mouillé identique : \(P_A = 6.0 \text{ m}\) et \(P_B = 6.0 \text{ m}\).

A vous de jouer

Recalculez le périmètre \(P_A\) si la hauteur d'eau \(h_A\) était de 1.5 m.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Périmètre Mouillé (P).
Formule : \(P = b + 2h\).
Résultat : \(P_A = P_B = 6.0 \text{ m}\).

Question 3 : Calculer le rayon hydraulique (Rh) pour le Canal A et le Canal B.

Principe

Le rayon hydraulique (Rh) est un paramètre géométrique fondamental qui mesure l'efficacité d'un canal. Il est défini comme le rapport de la surface mouillée (S) sur le périmètre mouillé (P). Plus ce rapport est élevé, plus le canal est "efficace" (moins de frottement pour une surface donnée).

Mini-Cours

Le rayon hydraulique n'est pas un rayon "physique". C'est un rapport abstrait S/P qui quantifie l'efficacité de la forme. Il a la dimension d'une longueur (m²/m = m). Plus il est grand, plus la section est "ouverte" et moins le frottement (P) la ralentit proportionnellement à sa taille (S).

Remarque Pédagogique

Puisque S et P sont identiques pour les deux canaux (d'après Q1 et Q2), le calcul de Rh doit mathématiquement donner le même résultat.

Normes

Pas de norme spécifique, c'est une définition.

Formule(s)

R_h = \frac{S}{P}

Hypothèses

Les valeurs de S et P calculées précédemment sont correctes.

Donnée(s)

Paramètre	Canal A	Canal B	Unité
Surface (S)	4.0	4.0	m²
Périmètre (P)	6.0	6.0	m

Astuces

Pour un tuyau circulaire plein, le rayon hydraulique est \(S/P = (\pi R^2) / (2 \pi R) = R/2\). Pour un canal rectangulaire très large (b >> h), \(R_h = (bh) / (b+2h) \approx (bh) / b = h\). Le Canal A (b=4, h=1) se rapproche de cela (Rh=0.667m, h=1m).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nouveau requis. Le calcul est une simple division des résultats précédents.

Calcul(s)

Canal A

R_{h,A} = \frac{S_A}{P_A} = \frac{4.0 \text{ m}^2}{6.0 \text{ m}} \approx 0.667 \text{ m}

Canal B

R_{h,B} = \frac{S_B}{P_B} = \frac{4.0 \text{ m}^2}{6.0 \text{ m}} \approx 0.667 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat pertinent.

Réflexions

Puisque S et P sont identiques pour les deux canaux, il est parfaitement logique que leur rayon hydraulique (Rh) soit également identique. Cela signifie que, du point de vue de la géométrie hydraulique, ces deux canaux sont équivalents.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser la fraction. C'est S (surface, m²) en haut, et P (périmètre, m) en bas. Le résultat doit être en mètres (m).

Points à retenir

Rayon Hydraulique : \(R_h = S/P\).
Il mesure l'efficacité de la forme.
\(R_{h,A} = R_{h,B} \approx 0.667 \text{ m}\).

Le saviez-vous ?

Le Canal B (2x2) est un carré. Le demi-carré (b=2h, soit 2.83x1.41 pour S=4) est *plus* efficace car il maximise Rh (Rh=0.707m) pour cette surface. Notre Canal B (carré, Rh=0.667m) est donc *moins* efficace que le demi-carré.

FAQ

...

Résultat Final

Les deux canaux ont le même rayon hydraulique : \(R_{h,A} \approx 0.667 \text{ m}\) et \(R_{h,B} \approx 0.667 \text{ m}\).

A vous de jouer

En utilisant vos réponses des "A vous de jouer" précédents (S=6.0, P=7.0), calculez le nouveau \(R_h\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Rayon Hydraulique (Rh).
Formule : \(R_h = S / P\).
Résultat : \(R_{h,A} = R_{h,B} \approx 0.667 \text{ m}\).

Question 4 : Calculer le débit (Q) pour le Canal A et le Canal B.

Principe

Le débit (Q) est calculé avec la formule de Manning-Strickler. Puisque S, K, Rh et I sont identiques pour les deux canaux, leurs débits respectifs doivent être identiques.

Mini-Cours

La formule de Manning-Strickler relie toutes les variables : la géométrie (S, Rh), la rugosité (K) et le moteur (la pente I). Le débit Q est le produit de la surface (S) et de la vitesse moyenne (V). \(V = K \times R_h^{2/3} \times I^{1/2}\).

Remarque Pédagogique

Puisque S, K, Rh et I sont *strictement identiques* pour les deux canaux A et B, le résultat final pour Q doit être le même. Nous n'avons besoin de faire le calcul qu'une seule fois.

Normes

La formule de Manning-Strickler est la norme de facto en Europe continentale (et ailleurs) pour le calcul des écoulements uniformes à surface libre en ingénierie.

Formule(s)

Q = S \times K \times R_h^{2/3} \times I^{1/2}

Hypothèses

L'écoulement est supposé uniforme (la hauteur d'eau ne change pas le long du canal) et permanent (le débit ne change pas dans le temps).

Donnée(s)

\( S = 4.0 \text{ m}^2 \) (pour les deux)
\( R_h = 0.667 \text{ m} \) (pour les deux)
\( K = 40 \text{ m}^{1/3}/\text{s} \)
\( I = 0.001 \)

Astuces

Calculez \(I^{1/2}\) (la racine carrée de la pente) et \(R_h^{2/3}\) séparément avant de tout multiplier. Cela réduit les risques d'erreurs de saisie dans la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nouveau requis. Le calcul combine tous les résultats précédents.

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer les termes de puissance

R_h^{2/3} = (0.667)^{2/3} \approx 0.763

I^{1/2} = (0.001)^{1/2} \approx 0.03162

Étape 2 : Calculer le débit (identique pour A et B)

\begin{aligned} Q_{A,B} &= S \times K \times R_h^{2/3} \times I^{1/2} \\ Q_{A,B} &= 4.0 \times 40 \times 0.763 \times 0.03162 \\ Q_{A,B} &\approx 3.858 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma résume les deux configurations de canal étudiées, qui, malgré leurs formes différentes, ont la même surface, le même périmètre et donc le même débit.

Comparaison des Débits Calculés

Réflexions

Un débit de 3.86 m³/s signifie que près de 4 tonnes d'eau passent chaque seconde dans le canal. C'est un débit considérable, typique d'un canal d'irrigation principal ou d'un petit cours d'eau.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est le calcul de la puissance 2/3. Assurez-vous d'utiliser correctement votre calculatrice (souvent `x^y` ou `^` avec `(2/3)` entre parenthèses).

Points à retenir

Formule de Manning-Strickler : \(Q = S \times K \times R_h^{2/3} \times I^{1/2}\).
Tous les paramètres (S, K, Rh, I) étant identiques, les débits sont identiques.

Le saviez-vous ?

Le coefficient K (Strickler) est l'inverse du coefficient 'n' de Manning (utilisé aux USA). \(K = 1/n\). Un K de 40 (béton) correspond à un n de 0.025.

FAQ

...

Résultat Final

Les deux canaux ont le même débit : \(Q_A \approx 3.86 \text{ m}^3/\text{s}\) et \(Q_B \approx 3.86 \text{ m}^3/\text{s}\).

A vous de jouer

En utilisant vos réponses des "A vous de jouer" (S=6.0, Rh=0.857), calculez le nouveau débit Q (avec K=40, I=0.001).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Débit (Q).
Formule : \(Q = S \times K \times R_h^{2/3} \times I^{1/2}\).
Résultat : \(Q_A = Q_B \approx 3.86 \text{ m}^3/\text{s}\).

Question 5 : Comparer les débits. Lequel est le plus efficace ?

Principe

L'efficacité hydraulique se mesure par la capacité à transporter un débit maximal pour une surface de canal donnée (minimiser les coûts de construction) ou pour un périmètre mouillé donné (minimiser les frottements).

Réflexions

Dans cet exercice, les deux canaux ont la même surface (S=4.0 m²) ET le même périmètre mouillé (P=6.0 m). Par conséquent, ils ont le même rayon hydraulique (Rh=0.667 m) et transportent exactement le même débit (Q=3.86 m³/s).

Conclusion : Dans ce cas très spécifique, les deux canaux sont identiquement efficaces.

Le saviez-vous ?

Pour une surface S donnée, la section rectangulaire hydrauliquement la plus efficace n'est ni le Canal A (très large) ni le Canal B (carré). C'est le demi-carré, où la largeur est le double de la hauteur (\(b = 2h\)). Pour S=4 m², la section optimale serait \(b=2.83 \text{ m}\) et \(h=1.41 \text{ m}\), ce qui donne \(P=5.66 \text{ m}\) (plus petit que 6.0 m !) et \(Rh=0.707 \text{ m}\) (plus grand que 0.667 m !). Cette section optimale aurait un débit supérieur.

Résultat Final

Les deux canaux sont identiquement efficaces. L'exercice démontre que des géométries très différentes (4x1 et 2x2) peuvent, par coïncidence, avoir les mêmes caractéristiques hydrauliques (S, P, et Rh) et donc le même débit.

A vous de jouer

La section optimale (demi-carré, b=2h) est-elle plus efficace qu'un carré (b=h) pour une même surface ? (Répondez 1 pour oui, 0 pour non).

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez cet outil pour voir comment la largeur (b) et la hauteur (h) influencent le débit (Q), en gardant la pente (I=0.001) et la rugosité (K=40) fixes. Le graphique montre l'évolution du débit (Q) en fonction de la hauteur (h) pour la largeur (b) que vous avez choisie.

Paramètres d'Entrée

Largeur (b) (m) 4.0 m

Hauteur (h) (m) 1.0 m

Résultats Clés

Surface (S) (m²) -

Débit (Q) (m³/s) -

Glossaire

Débit (Q): Le volume d'eau qui traverse une section du canal par unité de temps. (Unité: m³/s)
Coefficient de Strickler (K): Un coefficient empirique qui représente la rugosité des parois du canal. Un K élevé signifie une paroi lisse (faible frottement).
Rayon Hydraulique (Rh): Rapport entre la surface mouillée (S) et le périmètre mouillé (P). C'est une mesure de l'efficacité hydraulique de la section.
Pente (I): L'inclinaison du fond du canal (sans unité, en m/m). C'est le "moteur" de l'écoulement par gravité.