Calcul de la force exercée sur un batardeau

Contexte : L'Hydraulique à Surface Libre et les Ouvrages de Retenue.

En génie civil, il est courant de devoir réaliser des travaux à sec dans des zones normalement immergées (lits de rivières, fonds marins). Pour cela, on utilise des batardeauxUn batardeau est un ouvrage provisoire, généralement étanche, permettant de retenir l'eau pour travailler à sec en dessous du niveau de l'eau (par exemple, pour construire les fondations d'un pont).. Ces structures temporaires doivent être conçues pour résister à une force considérable : la poussée hydrostatiqueLa force totale exercée par un fluide (comme l'eau) au repos sur une surface (comme la paroi d'un barrage ou d'un batardeau).. Cet exercice vous guidera à travers le calcul fondamental de cette force et de son point d'application, une étape cruciale pour garantir la stabilité de l'ouvrage.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les principes de base de l'hydrostatique pour dimensionner un ouvrage de génie civil simple. Nous décomposerons le problème en étapes logiques : calcul de la pression, détermination de la force résultante, et localisation du centre de poussée.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et calculer la distribution de la pression hydrostatique sur une paroi verticale.
Déterminer la force de poussée résultante (l'intégrale des pressions) sur la structure.
Localiser le point d'application de cette force, appelé le centre de pousséeLe point sur la surface où la force de poussée résultante est appliquée. Il correspond au centre de gravité du diagramme de pression..
Calculer le moment de renversementLe moment, calculé par rapport à la base de l'ouvrage, qui tend à le faire basculer sous l'effet de la poussée..

Données de l'étude

On étudie un batardeau vertical à paroi plane, utilisé pour retenir une hauteur d'eau \(h\) dans un canal. On souhaite calculer les efforts exercés par l'eau sur ce batardeau pour vérifier sa stabilité.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type d'ouvrage	Batardeau vertical à paroi plane
Fluide	Eau (supposée au repos)
Paroi amont	Verticale

Modélisation du Problème

Nom du Paramètre	Description	Valeur	Unité
Hauteur d'eau	\(h\)	4,0	m
Largeur du batardeau	\(L\)	10,0	m
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	kg/m³
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9,81	m/s²

Questions à traiter

Calculer la pression hydrostatique maximale (\(P_{\text{max}}\)) s'exerçant à la base du batardeau.
Dessiner l'allure du diagramme de distribution des pressions hydrostatiques sur la paroi du batardeau.
Calculer la force de poussée hydrostatique totale (Résultante \(F\)) sur l'ensemble du batardeau.
Déterminer la position du centre de poussée (\(y_p\)) par rapport au fond.
Calculer le moment de renversement (\(M_{\text{renv}}\)) induit par cette force à la base du batardeau.

Les bases sur l'Hydrostatique

L'hydrostatique est la branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos. La force qu'exerce un fluide sur une paroi provient de la pression, qui augmente avec la profondeur.

1. Pression Hydrostatique (Loi de Pascal)
La pression \(P\) à une profondeur \(z\) (mesurée depuis la surface libre) dans un fluide de masse volumique \(\rho\) est donnée par la relation fondamentale de l'hydrostatique : \[ P(z) = \rho \cdot g \cdot z \] La pression à la surface (\(z=0\)) est nulle (on néglige la pression atmosphérique, car elle s'applique des deux côtés du batardeau). La pression augmente donc linéairement avec la profondeur.

2. Force de Poussée (Résultante)
La force de poussée totale \(F\) est l'intégrale de la pression sur toute la surface mouillée \(A\). Pour une paroi rectangulaire de largeur \(L\), cela revient à calculer l'aire du diagramme de pression, puis à multiplier par la largeur \(L\). \[ F = \iint_A P(z) \,dA \] Pour une paroi rectangulaire verticale, l'aire du diagramme de pression (un triangle) est \(\frac{1}{2} \cdot P_{\text{max}} \cdot h\). La force est donc : \[ F = \left( \frac{1}{2} \cdot P_{\text{max}} \cdot h \right) \times L \]

Correction : Calcul de la force exercée sur un batardeau

Question 1 : Calculer la pression hydrostatique maximale (\(P_{\text{max}}\))

Principe

La pression hydrostatique est nulle à la surface libre et augmente linéairement avec la profondeur. La pression maximale est donc atteinte au point le plus bas, c'est-à-dire à la base du batardeau, à une profondeur \(z = h\).

Mini-Cours

Nous utilisons la loi fondamentale de l'hydrostatique : \(P(z) = \rho \cdot g \cdot z\). Pour trouver la pression maximale, nous prenons la profondeur maximale, \(z_{\text{max}} = h\).

Remarque Pédagogique

Cette pression est une contrainte (une force par unité de surface) exprimée en Pascals (Pa), où \(1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2\). C'est le point de départ de tous les autres calculs.

Normes

Ce calcul découle directement des principes fondamentaux de la mécanique des fluides (Principe de Pascal). Les normes de type Eurocodes s'appuient sur ces principes pour définir les charges dues à l'eau.

Formule(s)

La formule à appliquer est celle de la pression hydrostatique à la profondeur \(h\).

P_{\text{max}} = \rho \cdot g \cdot h

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

L'eau est un fluide incompressible.
L'eau est au repos (statique).
La masse volumique \(\rho\) est constante.
La pression atmosphérique est négligée (elle s'applique des deux côtés).

Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique	\(\rho\)	1000	kg/m³
Pesanteur	\(g\)	9,81	m/s²
Hauteur d'eau	\(h\)	4,0	m

Astuces

Pour une estimation rapide, on prend souvent \(g \approx 10 \text{ m/s}^2\). La pression en Pa est alors \(\approx 10000 \times h\). Pour \(h=4\) m, on s'attend à environ 40 000 Pa. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur de notre calcul précis.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul se concentre sur le point le plus bas de la paroi (le "pied" du batardeau), où la profondeur \(z\) est égale à \(h\).

Point de Calcul de \(P_{\text{max}}\)

Calcul(s)

Nous appliquons la formule avec les valeurs numériques fournies.

Étape 1 : Application numérique

\begin{aligned} P_{\text{max}} &= 1000 \text{ (kg/m³)} \times 9,81 \text{ (m/s²)} \times 4,0 \text{ (m)} \\ P_{\text{max}} &= 39240 \text{ (kg} \cdot \text{m} / \text{s}² \cdot 1/\text{m}²) \\ P_{\text{max}} &= 39240 \text{ N/m}² \end{aligned}

Étape 2 : Conversion en Pascals (Pa)

\begin{aligned} 1 \text{ N/m}² &= 1 \text{ Pa} \\ \Rightarrow P_{\text{max}} &= 39240 \text{ Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur de pression ponctuelle à la base de la paroi.

Réflexions

La pression à la base est de 39 240 Pa, soit 39,24 kPa (kiloPascals). Cela équivaut approximativement à la pression exercée par une masse de 4 tonnes posée sur une surface de 1 mètre carré (\(F = P \times A = 39240 \times 1 \approx 39240\) N, et \(P = m \cdot g \Rightarrow m \approx 39240 / 9.81 \approx 4000\) kg).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier \(g\) (confondre masse et poids) ou d'utiliser de mauvaises unités. Assurez-vous d'être en unités du Système International (mètres, kilogrammes, secondes) pour obtenir des Pascals (N/m²).

Points à retenir

La pression hydrostatique dépend uniquement de trois facteurs :

La masse volumique du fluide (\(\rho\)).
L'accélération de la pesanteur (\(g\)).
La profondeur (\(z\)).

Elle ne dépend ni de la forme du réservoir, ni du volume total d'eau.

Le saviez-vous ?

Le Pascal (Pa)L'unité de pression du Système International (SI), nommée d'après Blaise Pascal. \(1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2\). est une très petite unité. La pression atmosphérique moyenne est d'environ 101 325 Pa. Une pression de 39,24 kPa représente environ 39% de la pression atmosphérique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pression hydrostatique maximale à la base du batardeau est \(P_{\text{max}} = 39 240 \text{ Pa}\) (ou 39,24 kPa).

A vous de jouer

Si le batardeau était utilisé en bord de mer avec de l'eau salée (\(\rho = 1025 \text{ kg/m}³\)), quelle serait la pression maximale pour la même hauteur de 4 m ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Pression hydrostatique.
Formule Essentielle : \(P_{\text{max}} = \rho \cdot g \cdot h\).
Résultat (4m) : 39 240 Pa.

Question 2 : Dessiner l'allure du diagramme de distribution des pressions

Principe

Le diagramme de pression est une représentation graphique de la valeur de la pression \(P(z)\) en chaque point de la paroi. Puisque \(P(z) = \rho \cdot g \cdot z\), la pression est une fonction linéaire de la profondeur \(z\).

Mini-Cours

Nous avons deux points de référence :
1. À la surface (\(z=0\)) : \(P(0) = \rho \cdot g \cdot 0 = 0 \text{ Pa}\).
2. Au fond (\(z=h\)) : \(P(h) = P_{\text{max}} = 39 240 \text{ Pa}\).
En reliant ces two points par une droite, on obtient la distribution des pressions.

Remarque Pédagogique

La forme de ce diagramme est fondamentale. Sa forme géométrique (ici, un triangle) nous dit tout sur la façon dont la force est répartie sur la structure. C'est la clé pour les calculs suivants.

Normes

La représentation par diagramme de pression est une convention universelle en ingénierie pour visualiser les charges réparties.

Formule(s)

La fonction décrivant le diagramme est :

P(z) = (\rho \cdot g) \cdot z = (9810) \cdot z

(Où \(z\) varie de 0 à 4 m)

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la Question 1. La linéarité du diagramme dépend directement de \(\rho\) et \(g\) étant constants.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données de la Q1.

Point	Profondeur \(z\)	Pression \(P(z)\)
Surface	0 m	0 Pa
Base	4 m	39 240 Pa

Astuces

Pensez toujours au diagramme de pression comme une "charge" qui pousse sur la structure. Ici, la charge est nulle en haut et maximale en bas, comme si on avait empilé des livres avec de plus en plus de livres vers le bas.

Schéma (Avant les calculs)

Il n'y a pas de calcul à proprement parler, mais plutôt une construction graphique basées sur les valeurs de P(0) et P(h).

Calcul(s)

Construction du diagramme

1. Tracer un axe vertical représentant la paroi du batardeau (de \(z=0\) à \(z=4\)).
2. Tracer un axe horizontal représentant la pression \(P\).
3. Placer le point A à (\(P=0, z=0\)).
4. Placer le point B à (\(P=P_{\text{max}}, z=h\)).
5. Relier A et B par une droite.
Le diagramme est le triangle rectangle formé par les points (0,0), (39240, 4) et (0, 4) dans un repère (P, z).

Schéma (Après les calculs)

Voici le diagramme de pression résultant, tracé perpendiculairement à la paroi.

Diagramme Triangulaire des Pressions

Réflexions

La forme triangulaire est la caractéristique la plus importante de la poussée hydrostatique sur une paroi verticale. Elle signifie que la majorité de l'effort est concentrée vers le bas de la structure.

Points de vigilance

Ne jamais dessiner un diagramme rectangulaire. Un diagramme rectangulaire signifierait que la pression est constante quelle que soit la profondeur, ce qui est physiquement incorrect (cela s'appliquerait à une charge de vent, mais pas à un fluide).

Points à retenir

Pression nulle à la surface.
Pression maximale au fond.
Distribution linéaire (droite) entre les deux.
Forme résultante : un triangle.

Le saviez-vous ?

Si la paroi était inclinée, la pression à une profondeur \(z\) serait toujours \(P = \rho \cdot g \cdot z\), mais la force résultante et son point d'application seraient plus complexes à calculer car la surface mouillée \(A\) serait plus grande.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le diagramme de pression est une distribution linéaire, formant un triangle rectangle avec une valeur nulle à la surface (\(z=0\)) et une valeur maximale \(P_{\text{max}}\) à la base (\(z=h\)).

A vous de jouer

Si la pression au fond était de 50 kPa et la hauteur de 5m, quelle serait la pression à mi-hauteur (2,5 m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Distribution de pression.
Forme : Triangle.
Valeurs : 0 (surface) à \(P_{\text{max}}\) (fond).

Question 3 : Calculer la force de poussée hydrostatique totale (Résultante \(F\))

Principe

La force totale \(F\) est la résultante de toutes les petites forces de pression s'appliquant sur la paroi. Elle est égale au "volume" du diagramme de pression (qui est un prisme à base triangulaire).

Mini-Cours

Le volume d'un prisme est l'aire de sa base multipliée par sa profondeur (ici, la largeur \(L\) du batardeau).
L'aire de la base est l'aire de notre diagramme triangulaire.
Aire Triangle = \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\) = \(\frac{1}{2} \cdot P_{\text{max}} \cdot h\).
Donc, la force \(F\) est : \(F = \text{Aire} \times L\).

Remarque Pédagogique

On peut aussi voir la force \(F\) comme la pression moyenne multipliée par la surface totale. La pression moyenne \(\bar{P}\) d'un triangle est la pression au centre de gravité, soit \(\rho \cdot g \cdot (h/2)\). La surface est \(A = h \cdot L\).
\(F = \bar{P} \times A = (\rho \cdot g \cdot \frac{h}{2}) \times (h \cdot L) = \frac{1}{2} \rho g h^2 L\). Les deux méthodes donnent le même résultat.

Normes

C'est l'application directe du calcul intégral pour trouver la résultante d'une charge répartie.

Formule(s)

Nous utiliserons la formule la plus directe basée sur \(P_{\text{max}}\) de la Q1.

F = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{max}} \cdot h \cdot L

Ou la formule équivalente (recommandée pour éviter les erreurs en chaîne) :

F = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot g \cdot h^2 \cdot L

Hypothèses

Mêmes hypothèses que Q1. On suppose aussi que la largeur \(L\) est constante sur toute la hauteur.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression max (Q1)	\(P_{\text{max}}\)	39 240	Pa (ou N/m²)
Hauteur d'eau	\(h\)	4,0	m
Largeur batardeau	\(L\)	10,0	m

Astuces

Remarquez que la force est proportionnelle au carréSi la hauteur double (x2), la pression max double (x2) ET la surface d'application double (x2), donc la force quadruple (x2 * x2 = x4). de la hauteur (\(h^2\)). Si vous doublez la hauteur d'eau, vous quadruplez la force de poussée ! C'est un point de vigilance majeur en conception.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche à calculer le volume du prisme de pression.

Prisme de Pression

Calcul(s)

Méthode 1 : Avec \(P_{\text{max}}\).

\begin{aligned} F &= \frac{1}{2} \cdot (39240 \text{ N/m}²) \cdot (4,0 \text{ m}) \cdot (10,0 \text{ m}) \\ F &= 78480 \text{ (N/m)} \times (10,0 \text{ m}) \\ F &= 784800 \text{ N} \end{aligned}

Méthode 2 : Formule directe (vérification).

\begin{aligned} F &= \frac{1}{2} \cdot (1000) \cdot (9,81) \cdot (4,0)^2 \cdot (10,0) \\ F &= 0,5 \cdot 9810 \cdot 16 \cdot 10 \\ F &= 784800 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une force unique \(F\) qui représente l'effet global de la pression.

Réflexions

La force totale est de 784 800 N, soit 784,8 kN. C'est une force considérable. Pour visualiser, c'est l'équivalent du poids d'une masse d'environ 80 tonnes (784800 / 9.81 \(\approx\) 80 000 kg). Le batardeau doit être solidement ancré pour résister à cette poussée.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes (mètres, N/m², etc.). L'erreur la plus fréquente ici est d'oublier le \(\frac{1}{2}\) de l'aire du triangle. Une force deux fois trop grande mène à un surdimensionnement coûteux, une force deux fois trop faible mène à la rupture.

Points à retenir

La force de poussée est l'aire du diagramme de pression multipliée par la largeur.
Formule clé : \(F = \frac{1}{2} \rho g h^2 L\).
La force est proportionnelle à \(h^2\).

Le saviez-vous ?

Le barrage Hoover aux États-Unis retient une hauteur d'eau de plus de 180 mètres. La pression à sa base est énorme (\(\approx 1,77 \text{ MPa}\)), et la force de poussée totale se chiffre en millions de tonnes-force. C'est pour cela qu'il a une forme "voûte" et une base extrêmement épaisse.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La force de poussée hydrostatique totale sur le batardeau est \(F = 784 800 \text{ N}\) (ou 784,8 kN).

A vous de jouer

Avec les mêmes données (\(h=4\)m, \(\rho=1000\), \(g=9,81\)), si la largeur \(L\) était de 12 mètres, quelle serait la force \(F\) en kN ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Résultante de poussée (Force).
Formule : \(F = \text{Aire}_{\text{diag}} \times L = \frac{1}{2} P_{\text{max}} h L\).
Résultat : 784,8 kN.

Question 4 : Déterminer la position du centre de poussée (\(y_p\))

Principe

La force \(F\) que nous venons de calculer n'est pas appliquée au milieu de la hauteur. Puisque la pression est plus forte en bas, le point d'application de la force résultante (le centre de poussée) sera décalé vers le bas. Il correspond au centre de gravité du diagramme de pression.

Mini-Cours

Le centre de gravité (centroïde) d'un triangle rectangle se situe à \(\frac{1}{3}\) de sa base et \(\frac{1}{3}\) de sa hauteur, mesurés depuis l'angle droit.
Dans notre cas, le diagramme est un triangle dont l'angle droit est au fond. La "base" du triangle est \(P_{\text{max}}\) et la "hauteur" est \(h\). Le centre de gravité vertical (\(y_p\)) se situe donc à \(\frac{1}{3}\) de la hauteur \(h\), mesuré depuis le fond (la base du triangle).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de toujours préciser par rapport à quoi on mesure \(y_p\). Par convention, on le mesure souvent depuis le fond (\(y_p = h/3\)) pour les calculs de renversement, ou depuis la surface (\(z_p = 2h/3\)) pour d'autres calculs.

Normes

Ce calcul provient de la géométrie et du calcul du centroïde d'une figure plane. \[ y_p = \frac{\iint_A z \cdot P(z) \,dA}{\iint_A P(z) \,dA} = \frac{\int_0^h z \cdot (\rho g z L) \,dz}{F} = \frac{\frac{1}{3}\rho g h^3 L}{\frac{1}{2}\rho g h^2 L} = \frac{2}{3}h \]
(Le calcul intégral donne \(z_p = 2h/3\) depuis la surface, ce qui confirme \(y_p = h - 2h/3 = h/3\) depuis le fond).

Formule(s)

Pour un diagramme triangulaire sur une paroi verticale, mesuré depuis le fond :

y_p = \frac{h}{3}

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes (fluide unique, paroi verticale), car elles garantissent que le diagramme de pression est bien triangulaire.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est la hauteur totale d'eau.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau	\(h\)	4,0	m

Astuces

Ne confondez pas le centre de poussée (\(h/3\) du fond) avec le centre de gravité de la paroi elle-même (\(h/2\)). C'est une erreur classique. La force n'est PAS appliquée au milieu.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche le centroïde \(C_p\) du triangle de pression.

Centre de Poussée (\(C_p\))

Calcul(s)

Application de la formule du centroïde

\begin{aligned} y_p &= \frac{h}{3} \\ y_p &= \frac{4,0 \text{ m}}{3} \\ y_p &\approx 1,333 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant représenter la force totale \(F\) comme une seule flèche appliquée au point \(C_p\), à la hauteur \(y_p\) du fond.

Application de la Force Résultante \(F\)

Réflexions

La force totale de 784,8 kN n'est pas appliquée à 2m (la mi-hauteur), mais bien plus bas, à 1,33 m du fond. Cela a une importance capitale pour le calcul de la stabilité : la force pousse "bas" sur la structure.

Points de vigilance

Toujours vérifier le point de référence ! \(h/3\) depuis le fond est égal à \(2h/3\) depuis la surface. Une inversion conduit à une erreur majeure dans le calcul du moment de renversement.

Points à retenir

Le centre de poussée est le centre de gravité du diagramme de pression.
Pour un triangle (paroi verticale), \(y_p = h/3\) en partant du fond (la base du triangle).

Le saviez-vous ?

Pour un diagramme de pression trapézoïdal (par exemple, si l'eau ne va pas jusqu'en haut, ou s'il y a de l'eau des deux côtés), le calcul du centre de poussée est plus complexe. Il faut décomposer le trapèze en un rectangle et un triangle et utiliser le barycentre des forces.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le centre de poussée \(y_p\) est situé à \(h/3\), soit 1,333 m au-dessus de la base du batardeau.

A vous de jouer

Si la hauteur d'eau était de 6 mètres, à quelle hauteur \(y_p\) (depuis le fond) la force serait-elle appliquée ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Centre de Poussée (\(y_p\)).
Formule : \(y_p = h/3\) (depuis le fond).
Résultat : 1,333 m.

Question 5 : Calculer le moment de renversement (\(M_{\text{renv}}\))

Principe

Le moment de renversement est la tendance de la force de poussée \(F\) à faire "basculer" ou "pivoter" le batardeau autour de sa base (son "talon"). Il se calcule en multipliant la force par son bras de levier.

Mini-Cours

En mécanique, un moment \(M\) créé par une force \(F\) par rapport à un pivot est \(M = F \times d\), où \(d\) est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le pivot.
Ici, le pivot est la base du batardeau. La force est \(F\). Le bras de levier est la hauteur d'application de la force, soit \(y_p\).

Remarque Pédagogique

Ce moment de renversement \(M_{\text{renv}}\) doit être contré par un "moment stabilisateur" \(M_{\text{stab}}\) (généralement créé par le poids propre du batardeau ou par ses ancrages). La sécurité est assurée si \(M_{\text{stab}} > M_{\text{renv}}\).

Normes

C'est un calcul de base de la statique du solide. Les normes de sécurité (comme l'Eurocode 7 pour la géotechnique) imposent un coefficient de sécurité, par exemple \(M_{\text{stab}} \ge 1.5 \times M_{\text{renv}}\).

Formule(s)

Le moment est calculé au point de pivot (la base, \(z=h\)).

M_{\text{renv}} = F \times y_p

Hypothèses

On suppose que le batardeau est une structure rigide qui pivote autour de sa base.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions 3 et 4.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Force de Poussée (Q3)	\(F\)	784 800	N
Centre de Poussée (Q4)	\(y_p\)	1,333... (ou 4/3)	m

Astuces

Pour éviter les erreurs d'arrondi, il est préférable d'utiliser la forme fractionnaire pour \(y_p\), soit \(h/3\).
\(M_{\text{renv}} = F \times (h/3)\).
En remplaçant F : \(M_{\text{renv}} = (\frac{1}{2} \rho g h^2 L) \times (\frac{h}{3}) = \frac{1}{6} \rho g h^3 L\).
Le moment est proportionnel au cubeSi la hauteur double (x2), la force quadruple (x4) ET le bras de levier double (x2), donc le moment est multiplié par huit (x4 * x2 = x8). de la hauteur (\(h^3\)) !

Schéma (Avant les calculs)

On schématise la force \(F\) et son bras de levier \(y_p\) par rapport au pivot.

Calcul du Moment de Renversement

Calcul(s)

Nous utilisons les valeurs exactes de F et \(y_p\).

Méthode 1 : Avec les résultats précédents

\begin{aligned} M_{\text{renv}} &= F \times y_p \\ &= (784800 \text{ N}) \times (\frac{4}{3} \text{ m}) \\ &= 1046400 \text{ N} \cdot \text{m} \end{aligned}

Méthode 2 : Formule directe (vérification)

\begin{aligned} M_{\text{renv}} &= \frac{1}{6} \cdot \rho \cdot g \cdot h^3 \cdot L \\ &= \frac{1}{6} \cdot (1000) \cdot (9,81) \cdot (4,0)^3 \cdot (10,0) \\ &= \frac{1}{6} \cdot 9810 \cdot 64 \cdot 10 \\ &= 1046400 \text{ N} \cdot \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma "Avant les calculs" illustre déjà parfaitement le résultat : une tendance à la rotation de 1046,4 kN.m.

Réflexions

Ce moment de 1046,4 kN.m est la valeur que la structure doit être capable de contrer pour rester stable. Le dimensionnement du batardeau (son poids, la largeur de sa base, ou ses ancrages) sera directement basé sur cette valeur, à laquelle on applique un coefficient de sécurité.

Points de vigilance

Utiliser des valeurs arrondies des étapes précédentes (comme \(y_p \approx 1,33\)) peut introduire des erreurs. \(784800 \times 1,33 = 1043784\) N.m, ce qui est proche, mais pas exact. Privilégiez les formes fractionnaires (\(4/3\)) ou la formule directe (\(\frac{1}{6} \rho g h^3 L\)) pour le calcul final.

Points à retenir

Le moment de renversement est la force multipliée par le bras de levier (centre de poussée).
Formule clé : \(M_{\text{renv}} = F \times y_p = \frac{1}{6} \rho g h^3 L\).
Le moment est proportionnel au CUBE de la hauteur (\(h^3\)).

Le saviez-vous ?

L'effet dévastateur de \(h^3\) est bien connu. Une petite augmentation du niveau d'eau lors d'une crue (par exemple +20%) peut augmenter le moment de renversement de 73% (car \(1.2^3 \approx 1.73\)). C'est pourquoi les barrages ont une "marge de sécurité" (revanche) si importante.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le moment de renversement à la base du batardeau est \(M_{\text{renv}} = 1 046 400 \text{ N} \cdot \text{m}\) (ou 1046,4 kN.m).

A vous de jouer

Si la hauteur d'eau \(h\) passe à 5 mètres (en gardant L=10m), quel serait le nouveau moment de renversement en kN.m ? (Indice : \(M \propto h^3\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Moment de Renversement.
Formule : \(M_{\text{renv}} = F \times y_p = \frac{1}{6} \rho g h^3 L\).
Résultat : 1046,4 kN.m.

Outil Interactif : Simulateur de Poussée

Utilisez les curseurs pour voir comment la hauteur d'eau (\(h\)) et la largeur du batardeau (\(L\)) influencent la Force de poussée totale et le Moment de renversement.

Paramètres d'Entrée

Hauteur d'eau (h) 4.0 m

Largeur du batardeau (L) 10 m

Résultats Clés (\(\rho=1000, g=9.81\))

Force de Poussée (F) - kN

Moment de Renversement (M) - kN.m

Glossaire

Batardeau: Ouvrage provisoire, généralement étanche, permettant de retenir l'eau pour travailler à sec en dessous du niveau de l'eau.
Centre de poussée: Le point d'application unique de la force de poussée hydrostatique résultante. Il correspond au centre de gravité du diagramme de pression.
Hydrostatique: Partie de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos (statiques) et les forces qu'ils exercent.
Moment de renversement: Le moment, calculé par rapport à un point de pivot (généralement la base), qui tend à faire basculer ou pivoter la structure. \(M = F \times d\).
Pascal (Pa): Unité de mesure de la pression dans le Système International. \(1 \text{ Pascal} = 1 \text{ Newton par mètre carré (N/m}^2\)).
Poussée hydrostatique (Force): La force résultante totale exercée par un fluide au repos sur une surface. Elle est la somme (intégrale) de toutes les forces de pression.