Analyse de la Stabilité d'un Gabion

Contexte : Le Mur-GabionStructure de soutènement drainante, constituée de 'cages' en treillis métallique remplies de pierres..

Les murs-gabions sont des structures poids couramment utilisées en génie civil et en aménagement hydraulique pour protéger les berges ou retenir des terres. Leur stabilité dépend de leur capacité à résister, par leur propre poids, aux forces qui s'exercent sur eux. Dans cet exercice, nous allons analyser la stabilité d'un gabion trapézoïdal soumis à la pression de l'eau dans un canal à surface libre. Nous évaluerons sa sécurité vis-à-vis du renversement et du glissement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser les forces hydrostatiques (poussée, sous-pression) et à appliquer les principes fondamentaux de la statique pour vérifier la stabilité d'un ouvrage de soutènement (mur-poids).

Objectifs Pédagogiques

Modéliser les forces agissant sur le gabion (poids, poussée de l'eau, sous-pression).
Déterminer les bras de levier de chaque force par rapport au point de pivot.
Calculer les moments stabilisants et les moments renversants.
Vérifier la stabilité au renversement et au glissement en calculant les coefficients de sécurité.

Données de l'étude

On étudie un mur-gabion de section trapézoïdale (avec un parement amont vertical), servant à protéger une berge. Il est soumis à un écoulement d'eau à surface libre. On considère 1 mètre linéaire de mur pour tous les calculs.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de structure	Mur-poids en gabions
Forme	Trapézoïdale (parement amont vertical)
Fluide	Eau douce

Schéma de principe du mur-gabion et des forces

Nom du Paramètre	Description	Valeur	Unité
Hauteur d'eau (H)	Hauteur de l'eau en amont	3.0	m
Largeur base (B)	Largeur de la semelle du gabion	2.5	m
Largeur sommet (b)	Largeur en crête du gabion	1.0	m
Hauteur gabion (Hg)	Hauteur totale du mur	3.5	m
Masse vol. gabion (ρ_g)	Masse volumique (pierres + vides)	1900	kg/m³
Masse vol. eau (ρ_e)	Masse volumique de l'eau	1000	kg/m³
Coeff. frottement (f)	Frottement gabion-sol	0.5	(sans)
Accélération (g)	Gravité	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer le poids (W) du mur-gabion par mètre linéaire.
Calculer la force de poussée hydrostatique (Fh) sur le parement amont.
Calculer la force de sous-pression (U) agissant à la base (hypothèse de distribution linéaire de H à 0).
Vérifier la stabilité au renversement (calculer les moments stabilisants Ms et renversants Mr par rapport au point O). On demande \(C_r = Ms/Mr \ge 1.5\).
Vérifier la stabilité au glissement (calculer la force stabilisante Fs et la force motrice Fm). On demande \(C_g = Fs/Fm \ge 1.3\).

Les bases sur la Stabilité des Murs-Poids

Un mur-poids, comme un gabion, résiste aux forces (poussée de l'eau, des terres) principalement grâce à sa propre masse. Pour assurer sa sécurité, on doit vérifier qu'il ne cède pas selon deux modes de défaillance principaux : le renversement (basculement) et le glissement (translation horizontale).

1. Stabilité au Renversement
On vérifie que le mur ne bascule pas autour de son point de pivot (le coin aval, point O). On compare le moment stabilisantMoment des forces (comme le poids) qui empêchent le basculement. (Ms), qui ancre le mur, au moment renversantMoment des forces (comme la poussée) qui tendent à faire basculer le mur. (Mr), qui tend à le faire basculer. \[ C_r = \frac{\sum M_{\text{stabilisants}}}{\sum M_{\text{renversants}}} \ge C_{\text{requis}} \text{ (souvent 1.5)} \]

2. Stabilité au Glissement
On vérifie que le mur ne glisse pas horizontalement sur sa base. On compare la force stabilisante (Fs), due au frottement à la base, à la force motrice (Fm), qui pousse le mur horizontalement. La force de frottement dépend de la force verticale nette \(N = \text{Poids} - \text{Sous-pression}\). \[ C_g = \frac{\sum F_{\text{stabilisantes}}}{\sum F_{\text{motrices}}} = \frac{f \cdot N}{F_h} \ge C_{\text{requis}} \text{ (souvent 1.3)} \]

Correction : Analyse de la Stabilité d’un Gabion

Question 1 : Calculer le poids (W) du mur-gabion par mètre linéaire.

Principe

Le poids est la force de gravité agissant sur la masse du gabion. Pour un mur linéaire, on calcule le poids par mètre de longueur. Le poids (W) est la masse volumique (ρ_g) multipliée par le volume (V) et par l'accélération de la gravité (g). Pour 1 mètre linéaire, le volume est égal à l'aire de la section (un trapèze).

Mini-Cours

La masse volumique d'un gabion (ρ_g ≈ 1900 kg/m³) est inférieure à celle de la pierre massive (≈ 2600 kg/m³) car elle tient compte des vides entre les pierres. C'est cette masse volumique moyenne qu'il faut utiliser pour le calcul du poids total.

Remarque Pédagogique

C'est cette force (le poids) qui constitue le principal atout stabilisateur du mur-poids. Plus le mur est lourd, plus il est stable. C'est la première force à calculer et elle servira pour les vérifications au renversement et au glissement.

Normes

Les calculs de poids propre sont des applications directes des principes de la physique (Poids = masse × g). Les normes n'interviennent pas, si ce n'est pour spécifier les masses volumiques à utiliser si elles ne sont pas données.

Formule(s)

Aire du trapèze

A = \frac{(\text{Grande Base } B + \text{Petite Base } b)}{2} \times \text{Hauteur } H_g

Poids (W) par mètre linéaire

W = (A \times 1 \text{ m}) \times \rho_g \times g

Hypothèses

On suppose que la masse volumique du gabion (pierres + vides) est homogène sur toute la section.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur base	B	2.5	m
Largeur sommet	b	1.0	m
Hauteur gabion	Hg	3.5	m
Masse vol. gabion	ρ_g	1900	kg/m³
Gravité	g	9.81	m/s²

Astuces

Pour les questions de stabilité, il est souvent plus simple de calculer le poids volumique \(\gamma_g = \rho_g \times g\) en premier. \(\gamma_g = 1900 \times 9.81 = 18639 \text{ N/m}^3 \approx 18.64 \text{ kN/m}^3\). Ensuite, \(W = A \times \gamma_g\).

Schéma (Avant les calculs)

On isole le trapèze représentant la section du mur pour calculer son aire.

Section du Gabion (Trapèze)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'aire

\begin{aligned} A &= \frac{(2.5 + 1.0)}{2} \times 3.5 \\ &= \frac{3.5}{2} \times 3.5 = 1.75 \times 3.5 \\ &= 6.125 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du poids

\begin{aligned} W &= (6.125 \text{ m}^2 \times 1 \text{ m}) \times 1900 \text{ kg/m}^3 \times 9.81 \text{ m/s}^2 \\ &= 6.125 \times 18639 \\ &= 114 361.875 \text{ N/ml} \\ &\approx 114.4 \text{ kN/ml} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul simple.

Réflexions

Ce poids de 114.4 kN (environ 11.6 tonnes par mètre) est la principale force qui va s'opposer au glissement et au renversement.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la hauteur du gabion (Hg = 3.5 m) et la hauteur d'eau (H = 3.0 m). Le poids dépend de la géométrie totale du mur.

Points à retenir

Le poids d'un mur-poids est sa première ligne de défense.
\(W = \text{Aire} \times \rho_g \times g\).

Le saviez-vous ?

Les gabions sont appréciés car ils sont perméables (l'eau peut passer au travers), ce qui empêche l'accumulation de pression hydrostatique *derrière* le mur s'il retient de la terre. Ici, nous étudions la pression *devant* le mur.

FAQ

...

Résultat Final

Le poids du gabion est W ≈ 114.4 kN par mètre linéaire.

A vous de jouer

Que se passerait-il si la masse volumique des pierres était plus faible (ρ_g = 1700 kg/m³)?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : Poids = (Aire Trapèze) × ρ_g × g.

Question 2 : Calculer la force de poussée hydrostatique (Fh).

Principe

La pression hydrostatique (pression exercée par un fluide au repos) augmente linéairement avec la profondeur. Elle est nulle à la surface et maximale à la base. La distribution de cette pression sur une paroi verticale forme un triangle. La force de poussée (Fh) est la force résultante de cette pression, équivalente à l'aire de ce triangle de pression.

Mini-Cours

La pression hydrostatique à une profondeur \(h\) est donnée par la loi fondamentale : \(p = \rho \times g \times h\). \(\rho\) est la masse volumique du fluide et \(g\) la gravité. Cette pression s'exerce perpendiculairement à toute surface.

Remarque Pédagogique

Cette force (Fh) est la principale action "motrice" ou "renversante". C'est elle que le mur doit contenir. Notez qu'elle dépend du *carré* de la hauteur d'eau (\(H^2\)) : une petite augmentation du niveau d'eau a un impact important sur la poussée.

Normes

C'est un principe de base de la statique des fluides (Principe de Pascal, Loi fondamentale de l'hydrostatique), universellement appliqué en ingénierie.

Formule(s)

Pression à la base (profondeur H)

p_{\text{base}} = \rho_e \times g \times H

Force de Poussée (Fh) (Aire du triangle)

Fh = \frac{1}{2} \times p_{\text{base}} \times H \times (1 \text{ m}) = \frac{1}{2} \rho_e g H^2

Hypothèses

On suppose que le fluide (eau) est au repos (statique), incompressible, et que le parement amont du gabion est vertical.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau	H	3.0	m
Masse vol. eau	ρ_e	1000	kg/m³
Gravité	g	9.81	m/s²

Astuces

Cette force s'applique au centre de gravité du triangle de pression, c'est-à-dire à une hauteur de \(H/3\) en partant de la base. Pour notre cas, c'est à 3.0 / 3 = 1.0 m au-dessus de la base. Ce sera crucial pour le calcul du moment de renversement (Q4).

Schéma (Avant les calculs)

On représente la distribution triangulaire des pressions sur le parement amont vertical.

Triangle de Pression Hydrostatique

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la pression à la base

\begin{aligned} p_{\text{base}} &= 1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.81 \text{ m/s}^2 \times 3.0 \text{ m} \\ &= 29 430 \text{ N/m}^2 \text{ (Pa)} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la force de poussée

\begin{aligned} Fh &= \frac{1}{2} \times 29 430 \text{ N/m}^2 \times 3.0 \text{ m} \times (1 \text{ m}) \\ &= 44 145 \text{ N/ml} \\ &\approx 44.1 \text{ kN/ml} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma avant calcul montre déjà le résultat (la force Fh).

Réflexions

Une force de 44.1 kN (environ 4.5 tonnes-force) pousse horizontalement sur le mur à chaque mètre. C'est cette force qui menace de faire glisser ou basculer le mur.

Points de vigilance

Ne pas confondre la hauteur totale du gabion (Hg = 3.5 m) avec la hauteur d'eau (H = 3.0 m). La poussée s'arrête à la surface de l'eau.

Points à retenir

La poussée hydrostatique sur paroi verticale est \(Fh = \frac{1}{2} \rho g H^2\).
Elle s'applique à \(H/3\) depuis la base.

Le saviez-vous ?

C'est le "paradoxe hydrostatique" : la force de poussée Fh sur le mur ne dépend que de la hauteur d'eau (H), pas de la largeur du canal ou de la quantité totale d'eau en amont.

FAQ

...

Résultat Final

La force de poussée hydrostatique est Fh ≈ 44.1 kN par mètre linéaire.

A vous de jouer

Quelle serait la poussée Fh si la hauteur d'eau (H) montait à 3.5 m (niveau du sommet) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : Poussée Fh = ½ × ρ_e × g × H².

Question 3 : Calculer la force de sous-pression (U).

Principe

L'eau s'infiltre sous la base de l'ouvrage et exerce une poussée verticale dirigée vers le haut (la "sous-pression"). Cette force soulève le mur, réduisant son poids effectif et donc sa stabilité (au glissement et au renversement). On fait une hypothèse sur la distribution de cette pression sous la base.

Mini-Cours

La sous-pression résulte de la porosité du sol de fondation. L'eau sous pression cherche à s'échapper vers la zone de basse pression (l'aval). Cette pression se répartit sous la base. L'hypothèse la plus simple (et souvent conservatrice) est une distribution linéaire (triangulaire ou trapézoïdale).

Remarque Pédagogique

Dans cet exercice, on suppose une distribution linéaire de la pleine pression amont (\(p_{base}\)) à une pression nulle à l'aval (côté sec). La distribution est donc un triangle, tout comme la poussée horizontale.

Normes

Les normes de conception (comme l'Eurocode 7 pour la géotechnique) obligent à prendre en compte les pressions interstitielles et les sous-pressions, car elles ont un effet très défavorable sur la stabilité.

Formule(s)

Force de Sous-pression (U) (Aire du triangle de pression)

U = \frac{1}{2} \times p_{\text{base}} \times B \times (1 \text{ m})

Hypothèses

On suppose une distribution de pression linéaire (triangulaire) sous la base, de \(p_{base} = \rho g H\) à l'amont, jusqu'à 0 à l'aval. On suppose que le sol est perméable.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression base (de Q2)	p_base	29 430	Pa
Largeur base	B	2.5	m

Astuces

Cette force s'applique au centre de gravité du triangle de pression, soit à \(B/3\) en partant de l'amont (le côté large du triangle). Par rapport au point de pivot O (à l'aval), le bras de levier est donc \(B - B/3 = 2B/3\).

Schéma (Avant les calculs)

On représente la distribution triangulaire des sous-pressions sous la semelle.

Triangle de Sous-Pression (U)

Calcul(s)

\begin{aligned} U &= \frac{1}{2} \times 29 430 \text{ N/m}^2 \times 2.5 \text{ m} \times (1 \text{ m}) \\ &= 36 787.5 \text{ N/ml} \\ &\approx 36.8 \text{ kN/ml} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma avant calcul montre déjà le résultat (la force U).

Réflexions

Cette force de 36.8 kN (environ 3.7 tonnes-force) "allège" le mur. Le poids effectif du mur sur le sol n'est plus 114.4 kN, mais \(W - U\), ce qui est beaucoup moins.

Points de vigilance

C'est une hypothèse simplificatrice. En réalité, la distribution dépend de la perméabilité du sol, de la présence de drains, etc. Cette force s'applique au centre de gravité du triangle de pression, soit à B/3 = 2.5/3 ≈ 0.833 m du parement amont (ou 2B/3 du point O).

Points à retenir

La sous-pression (U) est une force verticale ascendante qui réduit la stabilité.
Elle dépend de la pression à l'amont (H) et de la largeur de la base (B).

Le saviez-vous ?

Sur les grands barrages, on installe des "drains" ou des "puits de décharge" sous la fondation pour intercepter ces infiltrations et réduire activement la sous-pression, garantissant ainsi la stabilité.

FAQ

...

Résultat Final

La force de sous-pression (hypothèse linéaire) est U ≈ 36.8 kN par mètre linéaire.

A vous de jouer

Si le sol était très drainant (pression nulle à l'aval) mais que la base B faisait 3.0 m, que vaudrait U ? (p_base reste 29430 Pa)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : Sous-pression (triangulaire) U = ½ × p_base × B.

Question 4 : Vérifier la stabilité au renversement (Point O).

Principe

On vérifie l'équilibre en rotation du mur. On choisit un point de pivot, logiquement le coin aval (point O), autour duquel le mur basculerait. On calcule la somme des moments qui stabilisent le mur (le poids, Ms) et on la compare à la somme des moments qui le renversent (poussée Fh, sous-pression U, Mr). On calcule le coefficient de sécurité Cr = Ms / Mr.

Mini-Cours

Le moment d'une force est sa capacité à faire tourner un objet. Il est calculé par : \(M = \text{Force} \times \text{Bras de levier}\). Le bras de levier est la distance *perpendiculaire* entre la ligne d'action de la force et le point de pivot (O). Pour trouver le bras de levier du poids d'une forme complexe (trapèze), on la décompose en formes simples (ici, un rectangle et un triangle) dont on connaît la position du centre de gravité.

Remarque Pédagogique

La décomposition du trapèze en un rectangle (largeur b=1.0m) et un triangle (base B-b=1.5m) est la clé. Le centre de gravité du rectangle est à b/2 de son bord, et celui du triangle est à (B-b)/3 de son bord (le côté vertical).

Normes

Les normes (ex: Eurocodes) fixent les coefficients de sécurité minimaux requis. Pour la stabilité au renversement (OTR), un coefficient de 1.5 est une valeur typique en situation durable, pour couvrir les incertitudes.

Formule(s)

Moment Stabilisant (Ms)

M_s = M_W = W_{\text{rect}} \times x_{\text{rect}} + W_{\text{tri}} \times x_{\text{tri}}

Moment Renversant (Mr)

M_r = M_{Fh} + M_U = (Fh \times y_{Fh}) + (U \times x_U)

Coefficient de Sécurité (Cr)

C_r = \frac{M_s}{M_r}

Hypothèses

Le point de pivot est le coin aval (point O). Le mur est un solide indéformable. Les forces sont appliquées au centre de gravité de leur distribution.

Donnée(s)

On reprend les forces calculées (W, Fh, U) et on calcule leurs bras de levier par rapport à O (voir schéma).

Astuces

Faites toujours un tableau pour lister les forces (kN), leurs bras de levier (m) par rapport au point O, et les moments (kNm) qui en résultent, en séparant bien "Stabilisant (+)" et "Renversant (-)". C'est la meilleure façon d'éviter les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition du poids et position des bras de levier par rapport à O.

Bras de Levier (par rapport à O)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des forces et bras de levier (par rapport à O)

Force	Calcul (N/ml)	Valeur (kN/ml)	Bras de Levier (m)
W_rect (Rectangle)	(1.0m × 3.5m) × 1900 × 9.81	65.2	2.5m - 1.0m/2 = 2.0 m
W_tri (Triangle)	0.5 × (2.5-1.0)m × 3.5m × 1900 × 9.81	49.2	(2.5-1.0)m × (1/3) = 0.5 m
Fh (Poussée)	(de Q2)	44.1	H/3 = 3.0/3 = 1.0 m
U (Sous-pression)	(de Q3)	36.8	2B/3 = 2×2.5/3 = 1.67 m

Étape 2 : Calcul des moments (en kNm/ml)

\begin{aligned} M_s (\text{Stabilisant}) &= M_{W,\text{rect}} + M_{W,\text{tri}} \\ &= (65.2 \text{ kN} \times 2.0 \text{ m}) + (49.2 \text{ kN} \times 1.0 \text{ m}) \\ &= 130.4 + 49.2 = 179.6 \text{ kNm/ml} \end{aligned}

\begin{aligned} M_r (\text{Renversant}) &= M_{Fh} + M_{U} \\ &= (44.1 \text{ kN} \times 1.0 \text{ m}) + (36.8 \text{ kN} \times 1.67 \text{ m}) \\ &= 44.1 + 61.46 = 105.56 \text{ kNm/ml} \end{aligned}

Étape 3 : Coefficient de sécurité (Cr)

C_r = \frac{M_s}{M_r} = \frac{155.0}{105.56} = 1.468

Schéma (Après les calculs)

Non applicable, les résultats sont des nombres (Ms, Mr, Cr).

Réflexions

Le coefficient \(C_r = 1.47\) est inférieur au critère requis de 1.5. L'ouvrage n'est pas stable au renversement selon les normes de cet exercice. Il y a un risque de basculement. L'ouvrage est mal dimensionné.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est le calcul des bras de levier. Le bras de levier du poids du triangle (W_tri) est \( (B-b)/3 \). Le bras de levier du poids du rectangle (W_rect) est \( (B-b) + b/2 \). Ces distances sont mesurées depuis O.

Points à retenir

Le moment stabilisant provient du poids : \(M_s = \sum(W_i \times x_i)\).
Le moment renversant provient des forces externes : \(M_r = \sum(F_{\text{ext}} \times y_{\text{ext}})\).
La sous-pression (U) crée un moment renversant.

Le saviez-vous ?

Si le coefficient de sécurité Cr est inférieur à 1, le mur bascule. La marge de sécurité (de 1.0 à 1.5) sert à couvrir les incertitudes sur les valeurs réelles (densité des pierres, niveau d'eau exact, etc.).

FAQ

...

Résultat Final

Le coefficient de sécurité au renversement est Cr ≈ 1.47 ( < 1.5 ). La stabilité n'est pas vérifiée.

A vous de jouer

Si on ignore la sous-pression (U=0), quel serait le nouveau Cr ? (Ms reste 155.0, Mr = M_Fh = 44.1)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : Cr = (Moments Stabilisants) / (Moments Renversants).

Question 5 : Vérifier la stabilité au glissement.

Principe

On vérifie l'équilibre en translation horizontale. On compare la force qui retient le mur (la force de frottement Fs à la base) à la force qui pousse le mur horizontalement (la poussée hydrostatique Fm = Fh). La force de frottement est proportionnelle à la force verticale nette (N), qui appuie le mur sur le sol.

Mini-Cours

La force de frottement (statique) maximale est régie par la loi de Coulomb : \(F_s = f \times N\). \(f\) est le coefficient de frottement entre les deux surfaces (ici, gabion et sol). \(N\) est la force normale, c'est-à-dire la force *perpendiculaire* à la surface de glissement. Ici, N n'est pas égale au poids W, car la sous-pression U soulève le mur : \(N = W - U\).

Remarque Pédagogique

La sous-pression (U) est très pénalisante pour le glissement. Elle ne pousse pas le mur horizontalement (Fm reste Fh), mais elle réduit la force normale N, et donc réduit directement la force résistante Fs. C'est un double-effet négatif.

Normes

Les normes (ex: Eurocode 7) fixent le coefficient de sécurité requis pour le glissement (SLI). Une valeur de 1.3 est typique, plus faible que pour le renversement car le mode de rupture est considéré comme moins "fragile" (le mur glisse avant de basculer).

Formule(s)

Force Verticale Nette (N)

\[ N = W - U \]

Force Stabilisante (Fs)

Fs = f \times N

Force Motrice (Fm)

\[ Fm = Fh \]

Coefficient de Sécurité (Cg)

C_g = \frac{Fs}{Fm}

Hypothèses

Le glissement se produit à l'interface sol-gabion. Le coefficient de frottement \(f=0.5\) est constant. Il n'y a pas de "butée" de sol à l'aval qui aiderait à retenir le mur.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur (kN/ml)
Poids (W)	W	114.4 (de Q1)
Sous-pression (U)	U	36.8 (de Q3)
Poussée (Fh)	Fh	44.1 (de Q2)
Coeff. Frottement	f	0.5 (sans unité)

Astuces

L'analyse est simple : on compare toutes les forces horizontales qui "retiennent" (ici, Fs uniquement) à toutes celles qui "poussent" (ici, Fh uniquement).

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de corps libre du mur avec les forces verticales (W, U, N) et horizontales (Fh, Fs).

Diagramme de Corps Libre (Glissement)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la force verticale nette (N)

\begin{aligned} N &= W - U = 114.4 \text{ kN} - 36.8 \text{ kN} \\ &= 77.6 \text{ kN/ml} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la force stabilisante (Fs)

\begin{aligned} Fs &= f \times N = 0.5 \times 77.6 \text{ kN} \\ &= 38.8 \text{ kN/ml} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du coefficient de sécurité (Cg)

C_g = \frac{Fs}{Fm} = \frac{38.8 \text{ kN}}{44.1 \text{ kN}} = 0.8798

Schéma (Après les calculs)

Non applicable, les résultats sont des nombres (N, Fs, Cg).

Réflexions

Le coefficient \(C_g = 0.88\) est très inférieur au critère requis de 1.3. Il est même inférieur à 1.0 ! Cela signifie que la force motrice (44.1 kN) est supérieure à la force résistante (38.8 kN). L'ouvrage va glisser. Il est en danger imminent d'effondrement.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique est d'oublier la sous-pression (U) dans le calcul de la force normale (N). Si on avait pris \(N = W\), on aurait trouvé \(Fs = 0.5 \times 114.4 = 57.2 \text{ kN}\) et \(Cg = 57.2 / 44.1 = 1.3\). On aurait conclu à tort que le mur était juste stable !

Points à retenir

La stabilité au glissement compare les forces horizontales : \(Cg = Fs / Fm\).
La force résistante est le frottement : \(Fs = f \times N\).
La force normale N doit tenir compte de la sous-pression : \(N = W - U\).

Le saviez-vous ?

Pour augmenter la stabilité au glissement sans changer la géométrie, on peut placer une "bêche" (une clé en béton) sous la fondation. Celle-ci s'ancre dans le sol et mobilise la "butée" du sol (une force de résistance passive du sol) en plus du simple frottement.

FAQ

...

Résultat Final

Le coefficient de sécurité au glissement est Cg ≈ 0.88 ( < 1.3 ). La stabilité n'est pas vérifiée.

A vous de jouer

Pour quel coefficient de frottement (f) minimal le mur serait-il juste stable (Cg = 1.3) ? (Indice: \(f = (1.3 \times F_m) / N\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 : Cg = (Frottement) / (Poussée) = [f × (W - U)] / Fh.

Outil Interactif : Stabilité du Gabion

Explorez comment la hauteur de l'eau (H) et la largeur de la base (B) influencent les coefficients de sécurité. (On garde Hg=3.5m, b=1.0m, f=0.5, ρ_g=1900).

Paramètres d'Entrée

Hauteur d'eau (H) (m) 3.0 m

Largeur de la base (B) (m) 2.5 m

Résultats Clés

Coeff. Renversement (Cr) -

Coeff. Glissement (Cg) -

Glossaire

Gabion (Mur-Gabion): Structure de soutènement drainante, constituée de 'cages' en treillis métallique remplies de pierres. Fonctionne comme un mur-poids.
Hydraulique à Surface Libre: Désigne l'écoulement d'un liquide (généralement l'eau) où la surface supérieure est en contact avec l'atmosphère (ex: rivières, canaux).
Poussée Hydrostatique (Fh): Force exercée par un fluide au repos sur une paroi. Elle est due à la pression du fluide, qui augmente avec la profondeur.
Sous-pression (U): Pression de l'eau s'infiltrant sous la base d'un ouvrage, exerçant une force verticale dirigée vers le haut qui tend à soulever la structure.
Moment Stabilisant (Ms): Moment d'une force (ex: poids) qui empêche l'ouvrage de basculer autour d'un point de pivot.
Moment Renversant (Mr): Moment d'une force (ex: poussée) qui tend à faire basculer l'ouvrage autour d'un point de pivot.
Coefficient de Sécurité (Cr, Cg): Ratio entre les forces ou moments résistants (stabilisants) et les forces ou moments moteurs (renversants). Il doit être supérieur à une valeur minimale (ex: 1.3 ou 1.5) pour garantir la sécurité.