Analyse d'un écoulement graduellement varié

Contexte : L'Écoulement Graduellement Varié (EGV)Un écoulement permanent où la hauteur d'eau varie lentement le long du canal, permettant de négliger les accélérations verticales..

Nous étudions un long canal rectangulaire qui subit une rupture de pente. Un tronçon amont (Tronçon 1) avec une pente faible est suivi d'un tronçon aval (Tronçon 2) avec une pente forte. Ce changement de pente crée un écoulement graduellement varié (EGV), aussi appelé "courbe de remous", où la hauteur d'eau s'ajuste progressivement. L'objectif est de caractériser cet écoulement et de calculer le profil de la ligne d'eau en amont de la rupture de pente.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à identifier les différents régimes d'écoulement (fluvial, critique, torrentiel) et à appliquer l'équation de l'énergie pour calculer un profil de ligne d'eau par la méthode par étapes (Standard Step Method), une compétence fondamentale en hydraulique à surface libre.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les hauteurs caractéristiques : hauteur critique (\(y_c\)) et hauteur normale (\(y_n\)).
Identifier les régimes d'écoulement et le type de pente (fluviale, critique, forte).
Classifier le profil de la courbe de remous (ex: M1, S2, etc.).
Appliquer la méthode par étapes pour calculer une longueur de profil d'écoulement.

Données de l'étude

On considère un canal rectangulaire transportant un débit constant.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Forme du canal	Rectangulaire
Accélération de la pesanteur (\(g\))	9.81 m/s²
Hypothèse	Écoulement permanent

Schéma du Problème : Rupture de Pente

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Débit total	\(Q\)	20	m³/s
Largeur du canal	\(b\)	5	m
Coeff. de Manning	\(n\)	0.014	s/m¹/³
Pente Amont (Tronçon 1)	\(S_{0,1}\)	0.001	m/m
Pente Aval (Tronçon 2)	\(S_{0,2}\)	0.02	m/m

Questions à traiter

Calculer le débit linéique (ou débit par unité de largeur) \(q\).
Calculer la hauteur critique \(y_c\). Est-elle unique pour ce canal ?
Calculer la hauteur normale \(y_{n1}\) pour le tronçon amont (Pente \(S_{0,1}\)).
Comparer \(y_{n1}\) et \(y_c\). Quel est le type de pente du tronçon 1 (fluviale, critique, forte) ? Classifier le profil de la courbe de remous qui s'y développe.
En utilisant la méthode par étapes (Standard Step Method) avec un seul pas \(\Delta x = 50\) m, calculer la hauteur d'eau \(y\) à une distance de 50 m en amont de la rupture de pente.

Les bases sur l'Écoulement Graduellement Varié

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois concepts fondamentaux de l'hydraulique à surface libre.

1. Hauteur Critique (\(y_c\))
La hauteur critique est la profondeur d'écoulement pour laquelle l'énergie spécifique est minimale, pour un débit donné. C'est la transition entre le régime fluvial (subcritique) et le régime torrentiel (supercritique). Le Nombre de Froude \(Fr\) y est égal à 1. Pour un canal rectangulaire : \[ y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3} \quad \text{avec} \quad q = \frac{Q}{b} \]

2. Hauteur Normale (\(y_n\))
La hauteur normale est la profondeur d'écoulement atteinte lorsque l'écoulement est uniforme (hauteur constante). À cet équilibre, la pente de la ligne d'énergie (due aux frottements, \(S_f\)) est égale à la pente du fond du canal (\(S_0\)). On la calcule avec l'équation de Manning : \[ Q = \frac{1}{n} \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \] Où \(A\) est l'aire mouillée, \(R_h\) le rayon hydraulique (\(A/P\)), et \(P\) le périmètre mouillé.

3. Équation de l'Écoulement Graduellement Varié (EGV)
Lorsque \(y \neq y_n\), la hauteur varie. La variation \(dy/dx\) est donnée par : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} \] Pour les calculs manuels, on utilise l'équation de l'énergie entre deux sections \(1\) (amont) et \(2\) (aval) distantes de \(\Delta x\) : \[ y_1 + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = y_2 + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_f \] Avec \(z_1 - z_2 = S_0 \Delta x\) et \(h_f \approx \bar{S_f} \Delta x\), où \(\bar{S_f}\) est la moyenne des pentes de frottement en 1 et 2.

Correction : Analyse d'un Écoulement Graduellement Varié

Question 1 : Calculer le débit linéique \(q\)

Principe

Le débit linéique \(q\) (ou débit par unité de largeur) est une simplification utile pour les canaux rectangulaires. Il permet de ramener le problème à deux dimensions (hauteur et longueur) en considérant le débit qui transite par chaque mètre de largeur du canal.

Mini-Cours

En hydraulique, pour les canaux rectangulaires larges, le comportement de l'écoulement est souvent supposé bidimensionnel. Le débit linéique \(q\) devient la variable clé, car il encapsule à la fois le débit total \(Q\) et la largeur \(b\). Tous les calculs de hauteur critique (\(y_c\)) et d'énergie spécifique (\(E\)) peuvent être exprimés en fonction de \(q\), simplifiant grandement les équations.

Remarque Pédagogique

Pensez à \(q\) comme à une "densité" de débit. En calculant cette valeur en premier, vous n'aurez plus besoin de manipuler \(Q\) et \(b\) séparément dans les questions suivantes, ce qui réduit les sources d'erreur.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme au sens réglementaire, mais d'une convention de calcul universellement adoptée en mécanique des fluides et en hydraulique à surface libre pour l'étude des canaux rectangulaires.

Formule(s)

Débit linéique

q = \frac{Q}{b}

Hypothèses

Les hypothèses sous-jacentes à l'utilisation de \(q\) sont :

Le canal est parfaitement rectangulaire.
La répartition du débit est uniforme sur toute la largeur \(b\).
Le débit \(Q\) est permanent (constant dans le temps).

Donnée(s)

Nous extrayons les données pertinentes de l'énoncé pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	\(Q\)	20	m³/s
Largeur du canal	\(b\)	5	m

Astuces

Vérifiez toujours la cohérence de vos données. Si le débit est en m³/s et la largeur en m, le résultat sera en m²/s. Si la largeur était en cm, une conversion serait nécessaire avant le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la section transversale et du débit.

Section Transversale Rectangulaire

Calcul(s)

Application directe de la formule avec les données fournies.

Étape 1 : Calcul de q

\begin{aligned} q &= \frac{20 \text{ m}^3/\text{s}}{5 \text{ m}} \\ q &= 4 \text{ m}^2/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Sans objet. Le résultat est une valeur unique qui caractérise l'ensemble du canal.

Réflexions

Cette valeur \(q = 4 \text{ m}^2/\text{s}\) sera la base de tous les calculs suivants. Elle représente 4 mètres cubes d'eau passant chaque seconde à travers une "tranche" de 1 mètre de largeur du canal.

Points de vigilance

Attention aux unités. Un débit linéique s'exprime en m²/s (mètres cubes par seconde *par mètre* de largeur). Ne pas confondre avec le débit total \(Q\) (m³/s) ou une vitesse (m/s).

Points à retenir

Le débit linéique \(q\) est un concept clé pour les canaux rectangaires.
Il simplifie les calculs en réduisant le nombre de variables.

Le saviez-vous ?

L'hypothèse d'un écoulement bidimensionnel (simplifié par \(q\)) est à la base des travaux de Boussinesq et de Saint-Venant, qui ont fondé l'hydraulique à surface libre moderne au 19ème siècle.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le débit linéique est \(q = 4 \text{ m}^2/\text{s}\).

A vous de jouer

Si le débit total \(Q\) était de 30 m³/s et la largeur \(b\) de 6 m, quel serait le débit linéique \(q\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Débit linéique.
Formule Essentielle : \(q = Q/b\).
Résultat : \(q = 4 \text{ m}^2/\text{s}\).

Question 2 : Calculer la hauteur critique \(y_c\)

Principe

La hauteur critique \(y_c\) est une propriété fondamentale de l'écoulement. Elle ne dépend que du débit (\(q\)) et de la gravité (\(g\)). C'est la hauteur pour laquelle l'énergie spécifique est minimale et le nombre de Froude \(Fr = 1\). Elle sert de référence pour classifier les écoulements.

Mini-Cours

L'énergie spécifique \(E = y + V^2/2g = y + q^2/(2gy^2)\) représente l'énergie par unité de poids par rapport au fond du canal. Pour un \(q\) donné, il existe une hauteur \(y_c\) qui minimise cette énergie. C'est un état de transition : en régime fluvial (\(y > y_c\)), l'énergie est dominée par la hauteur (potentiel) ; en régime torrentiel (\(y < y_c\)), elle est dominée par la vitesse (cinétique).

Remarque Pédagogique

Pensez à la hauteur critique comme à un "verrou" hydraulique. L'écoulement ne peut pas passer de fluvial à torrentiel sans passer par \(y_c\). C'est pourquoi elle apparaît aux points de contrôle, comme les seuils ou les ruptures de pente forte (comme dans cet exercice).

Normes

La définition de la hauteur critique est une loi physique fondamentale (principe de minimisation de l'énergie), et non une norme réglementaire. La formule est universelle.

Formule(s)

Hauteur Critique (Canal Rectangulaire)

y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3}

Hypothèses

Ce calcul suppose que :

Le canal est rectangulaire (la formule change pour les autres formes).
Le coefficient de Coriolis (distribution de vitesse) est \(\alpha \approx 1\).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et la constante de gravité.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit linéique	\(q\)	4	m²/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Pour un canal rectangulaire, l'énergie spécifique minimale (associée à \(y_c\)) a une relation simple : \(E_{min} = 1.5 \cdot y_c\). C'est un bon moyen de vérifier vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)

La hauteur critique correspond au minimum de la courbe d'énergie spécifique \(E(y)\).

Courbe d'Énergie Spécifique E(y)

Calcul(s)

Application de la formule de la hauteur critique.

Étape 1 : Calcul de \(y_c\)

\begin{aligned} y_c &= \left( \frac{(4 \text{ m}^2/\text{s})^2}{9.81 \text{ m/s}^2} \right)^{1/3} \\ y_c &= \left( \frac{16}{9.81} \right)^{1/3} \\ y_c &= (1.631)^{1/3} \\ y_c &\approx 1.177 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Sans objet. Le résultat est une valeur unique.

Réflexions

La hauteur critique \(y_c\) ne dépend que du débit linéique \(q\). Puisque \(q\) est constant tout le long du canal (car \(Q\) et \(b\) sont constants), la hauteur critique \(y_c\) est unique et constante sur les deux tronçons. C'est notre référence principale.

Points de vigilance

Ne confondez pas la hauteur critique \(y_c\) (qui dépend de \(q\)) avec la hauteur normale \(y_n\) (qui dépend de \(q\), \(S_0\) et \(n\)). Un écoulement peut être fluvial (\(y > y_c\)) ou torrentiel (\(y < y_c\)) indépendamment de la pente.

Points à retenir

La hauteur critique \(y_c\) est une propriété de l'écoulement (liée à \(q\)), pas du canal (liée à \(S_0\) ou \(n\)).
Elle est constante tant que \(q\) est constant.

Le saviez-vous ?

Le Nombre de FroudeUn nombre sans dimension comparant les forces d'inertie aux forces de gravité. \(Fr = V / \sqrt{gD_h}\)., \(Fr = V / \sqrt{gy}\) pour un canal rectangulaire, vaut exactement 1 lorsque \(y = y_c\). C'est l'équivalent hydraulique du Nombre de Mach en aérodynamique.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

La hauteur critique est \(y_c \approx 1.177 \text{ m}\). Elle est constante sur tout le canal.

A vous de jouer

Si le débit linéique \(q\) était de 5 m²/s, quelle serait la nouvelle hauteur critique \(y_c\) ? (Utilisez g=9.81)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Hauteur Critique (Fr=1).
Formule Essentielle : \(y_c = (q^2/g)^{1/3}\).
Résultat : \(y_c \approx 1.177 \text{ m}\).

Question 3 : Calculer la hauteur normale \(y_{n1}\) (Tronçon 1)

Principe

La hauteur normale \(y_n\) est la hauteur d'équilibre pour une pente et un débit donnés. Elle est atteinte lorsque la force motrice (gravité, liée à \(S_0\)) est parfaitement équilibrée par les forces de résistance (frottement, liées à \(S_f\)). On la trouve en résolvant l'équation de Manning pour \(y\), ce qui nécessite souvent une méthode itérative.

Mini-Cours

L'équation de Manning, \(Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2}\), est empirique. Elle relie le débit aux propriétés géométriques (\(A, R_h\)), à la pente (\(S_0\)) et à la rugosité (\(n\)). Pour trouver \(y_n\), on fixe \(Q, n, S_0\) et on cherche le \(y\) qui satisfait l'équation. Comme \(A\) et \(R_h\) dépendent de \(y\) de manière complexe, une solution analytique directe est rarement possible.

Remarque Pédagogique

La méthode par "essais-erreurs" est très efficace ici. On choisit une valeur de \(y\), on calcule le \(Q\) correspondant. Si \(Q_{calculé} < Q_{cible}\), on essaie un \(y\) plus grand. Si \(Q_{calculé} > Q_{cible}\), on essaie un \(y\) plus petit. On affine jusqu'à être assez proche.

Normes

La formule de Manning (ou Manning-Strickler en Europe) est la norme de facto dans l'ingénierie pour le calcul des écoulements à surface libre en régime uniforme. Le coefficient \(n\) (ou son inverse \(K_s\)) est tabulé pour différents matériaux.

Formule(s)

Équation de Manning

Q = \frac{1}{n} \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_{0,1}^{1/2}

Propriétés Géométriques (Rectangulaire)

A = b \cdot y = 5y

\[ P = b + 2y = 5 + 2y \]

R_h = \frac{A}{P} = \frac{5y}{5+2y}

Hypothèses

Ce calcul suppose que :

L'écoulement est uniforme (hauteur et vitesse constantes), donc \(S_f = S_0\).
Le coefficient de Manning \(n\) est constant sur tout le périmètre mouillé.
La pente est faible (on approxime la profondeur d'eau verticale \(y\) avec la profondeur perpendiculaire au fond).

Donnée(s)

Données pour le Tronçon 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	\(Q\)	20	m³/s
Largeur	\(b\)	5	m
Manning	\(n\)	0.014	s/m¹/³
Pente Tronçon 1	\(S_{0,1}\)	0.001	m/m

Astuces

Pour démarrer l'itération, on peut utiliser l'approximation d'un canal large : \(R_h \approx y\). L'équation devient \(Q \approx \frac{1}{n} (by) y^{2/3} S_0^{1/2}\), ce qui donne \(y \approx \left( \frac{Qn}{b S_0^{1/2}} \right)^{3/5} = \left( \frac{20 \cdot 0.014}{5 \cdot \sqrt{0.001}} \right)^{3/5} \approx (1.77)^{0.6} \approx 1.4\). C'est un bon point de départ, mais notre premier essai (1.5 m) était aussi très bon.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des paramètres géométriques de la section mouillée.

Paramètres Géométriques (Section Rectangulaire)

Calcul(s)

Nous devons résoudre l'équation de Manning pour \(y = y_{n1}\). Réorganisons l'équation :

Q \cdot n \cdot S_{0,1}^{-1/2} = A \cdot R_h^{2/3} \] \[ 20 \cdot 0.014 \cdot (0.001)^{-1/2} = (5y_{n1}) \cdot \left( \frac{5y_{n1}}{5+2y_{n1}} \right)^{2/3} \] \[ 20 \cdot 0.014 \cdot 31.623 = (5y_{n1}) \cdot \left( \frac{5y_{n1}}{5+2y_{n1}} \right)^{2/3} \] \[ 8.854 = \frac{(5y_{n1})^{5/3}}{(5+2y_{n1})^{2/3}}

C'est une équation non linéaire. Nous la résolvons par essais-erreurs (itération).

Étape 1 : Essai avec \(y = 1.5\) m

A = 5 \cdot 1.5 = 7.5 \] \[ P = 5 + 2 \cdot 1.5 = 8.0 \] \[ R_h = 7.5/8.0 = 0.9375

Q = \frac{1}{0.014} \cdot 7.5 \cdot (0.9375)^{2/3} \cdot (0.001)^{1/2} \] \[ Q = 71.43 \cdot 7.5 \cdot 0.957 \cdot 0.0316 \] \[ Q = 16.2 \text{ m}^3/\text{s}

Étape 2 : Essai avec \(y = 1.7\) m

A = 5 \cdot 1.7 = 8.5 \] \[ P = 5 + 2 \cdot 1.7 = 8.4 \] \[ R_h = 8.5/8.4 = 1.012

Q = \frac{1}{0.014} \cdot 8.5 \cdot (1.012)^{2/3} \cdot 0.0316 \] \[ Q = 71.43 \cdot 8.5 \cdot 1.008 \cdot 0.0316 \] \[ Q = 19.35 \text{ m}^3/\text{s}

Étape 3 : Essai avec \(y = 1.75\) m

A = 5 \cdot 1.75 = 8.75 \] \[ P = 5 + 2 \cdot 1.75 = 8.5 \] \[ R_h = 8.75/8.5 = 1.029

Q = \frac{1}{0.014} \cdot 8.75 \cdot (1.029)^{2/3} \cdot 0.0316 \] \[ Q = 71.43 \cdot 8.75 \cdot 1.019 \cdot 0.0316 \] \[ Q = 20.14 \text{ m}^3/\text{s}

Ce résultat (20.14 m³/s) est suffisamment proche de 20 m³/s pour notre exercice.

Schéma (Après les calculs)

Sans objet. Le résultat est une valeur unique.

Réflexions

La hauteur normale \(y_{n1} \approx 1.75 \text{ m}\) est la hauteur que l'eau *tenterait* d'atteindre si le canal était infiniment long avec cette pente. Le calcul itératif est standard pour cette équation. Le fait que \(Q_{calculé}\) soit légèrement *supérieur* à 20 m³/s signifie que la vraie hauteur normale est légèrement *inférieure* à 1.75 m.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est le calcul du rayon hydraulique. C'est \(R_h = A/P\), et non l'inverse. Pour un canal rectangulaire, \(R_h = by / (b + 2y)\). Ne pas simplifier en \(R_h \approx y\) sauf si le canal est très large (ex: \(b > 20y\)).

Points à retenir

La hauteur normale \(y_n\) dépend de 5 facteurs : \(Q, b, y\) (via \(A\) et \(R_h\)), \(n\), et \(S_0\).
Elle est la hauteur d'équilibre du régime uniforme.

Le saviez-vous ?

L'équation a été développée par l'ingénieur irlandais Robert Manning en 1890. En Europe francophone, on utilise souvent l'équation de Manning-Strickler, qui est identique mais utilise le coefficient de Strickler \(K_s = 1/n\). Pour ce canal, \(K_s = 1 / 0.014 \approx 71.4\).

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

La hauteur normale pour le tronçon 1 est \(y_{n1} \approx 1.75 \text{ m}\).

A vous de jouer

En utilisant le calcul de l'Étape 3 (\(y=1.75 \text{ m} \rightarrow Q=20.14\)), si le débit cible est \(Q=20\), la vraie hauteur normale est-elle légèrement supérieure ou inférieure à 1.75 m ? (Entrez 1 pour supérieure, 2 pour inférieure)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Hauteur Normale (Équilibre \(S_f = S_0\)).
Formule Essentielle : Équation de Manning.
Méthode : Itération (essais-erreurs).
Résultat : \(y_{n1} \approx 1.75 \text{ m}\).

Question 4 : Classifier le régime et le profil de remous

Principe

La classification d'une pente et d'un profil de remous se fait en comparant la hauteur d'eau actuelle (\(y\)), la hauteur normale (\(y_n\)), et la hauteur critique (\(y_c\)). La pente est classifiée en comparant \(y_n\) et \(y_c\). Le profil est classifié en comparant \(y\) aux deux autres.

Mini-Cours

Classification des Pentes :

Pente Fluviale (Mild, M): \(y_n > y_c\). L'écoulement normal est fluvial (subcritique). C'est le cas le plus courant pour les rivières.
Pente Critique (Critical, C): \(y_n = y_c\). Cas théorique rare.
Pente Forte (Steep, S): \(y_n < y_c\). L'écoulement normal est torrentiel (supercritique). Cas des torrents, rapides, déversoirs.

Classification des Profils (Courbes de remous) :

Zone 1: \(y > y_n\) et \(y > y_c\) (ex: M1, S1). L'eau est au-dessus des deux lignes : remous (ex: amont d'un barrage).
Zone 2: \(y_n > y > y_c\) (fluvial) ou \(y_c > y > y_n\) (torrentiel). L'eau est entre les deux lignes (ex: M2, S2).
Zone 3: \(y_c > y_n > y\) (fluvial) ou \(y_n > y_c > y\) (torrentiel). L'eau est en dessous des deux lignes (ex: M3, S3).

Remarque Pédagogique

La classification est l'étape la plus importante. Elle permet de *prédire* la forme de la ligne d'eau avant tout calcul. Si le calcul ne correspond pas à la forme prédite (ex: vous calculez une hauteur qui augmente alors que vous avez prédit un profil M2 d'abaissement), vous avez fait une erreur.

Normes

La nomenclature (M1, M2, M3, S1, S2, S3, etc.) est une convention internationale standardisée en hydraulique à surface libre, introduite initialement par Bakhmeteff.

Formule(s)

Il s'agit de comparaisons logiques basées sur les valeurs calculées précédemment.

Hypothèses

On suppose que le canal est suffisamment long pour que le régime uniforme (et donc \(y_n\)) ait le "temps" de s'établir, même si dans ce cas il est interrompu par la rupture de pente.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur Normale (Tronçon 1)	\(y_{n1}\)	1.75	m
Hauteur Critique	\(y_c\)	1.177	m

Astuces

La rupture de pente d'une pente fluviale vers une pente forte (où \(y_{n2} < y_c\)) *force* l'écoulement à passer par la hauteur critique \(y_c\) au niveau de la rupture. C'est un "point de contrôle" aval qui dicte le profil de remous en amont.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma de classification des pentes et des zones de remous.

Classification des Pentes et Profils

Calcul(s)

Étape 1 : Classification de la Pente Amont (Tronçon 1)

Nous comparons \(y_{n1}\) et \(y_c\).

y_{n1} (1.75 \text{ m}) > y_c (1.177 \text{ m})

Puisque la hauteur normale est supérieure à la hauteur critique, la pente est de type Fluviale (Mild). On la note M.

Étape 2 : Classification du Profil de Remous

L'écoulement s'effectue sur le Tronçon 1 (Pente M). Il est contrôlé en aval par la rupture de pente. À la rupture, l'écoulement passe obligatoirement par la hauteur critique pour passer d'un régime fluvial à torrentiel (car \(S_{0,2}\) est une pente forte, on peut vérifier que \(y_{n2} < y_c\)).
Le point de contrôle aval impose donc \(y = y_c = 1.177 \text{ m}\) à \(x=0\).
Loin en amont (\(x \to -\infty\)), l'eau tend vers la hauteur normale \(y_{n1} = 1.75 \text{ m}\).
Le profil de remous est donc la courbe qui relie \(y_{n1}\) (à l'amont) à \(y_c\) (à l'aval).
Sur toute cette courbe, la hauteur d'eau \(y\) vérifie :

y_{n1} (1.75 \text{ m}) > y > y_c (1.177 \text{ m})

Un profil sur une pente M où l'eau est dans la zone 2 (entre \(y_n\) et \(y_c\)) est un profil de type M2.

Schéma (Après les calculs)

Profil de la ligne d'eau de type M2 (courbe d'abaissement) spécifique à notre problème.

Profil de Remous M2

Réflexions

Nous avons un profil M2. C'est une courbe d'abaissement ("drawdown curve"). L'eau, qui "voudrait" s'écouler à 1.75 m, est "aspirée" vers la hauteur critique de 1.177 m par la pente forte en aval. Le calcul de la longueur de ce profil est l'objet de la question 5.

Points de vigilance

Ne pas confondre la classification de la pente (M, S, C) qui est une caractéristique *théorique* du canal (\(y_n\) vs \(y_c\)), et la classification du profil (M2, S1, ...) qui décrit la forme *réelle* de la ligne d'eau (\(y\) vs \(y_n\) et \(y_c\)).

Points à retenir

La classification des pentes (\(y_n\) vs \(y_c\)) est la première étape de toute analyse EGV.
Les profils M2 sont des courbes d'abaissement (drawdown) qui se forment en amont d'un contrôle aval (comme une chute ou une rupture de pente vers une pente forte).

Le saviez-vous ?

Le profil M1 (remous en amont d'un barrage sur une pente fluviale) est le plus étudié en ingénierie civile, car il permet de déterminer jusqu'où s'étend la retenue d'eau d'un barrage et de prévoir les zones inondables.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

Le tronçon 1 a une pente Fluviale (M). Le profil de remous est de type M2.

A vous de jouer

Si une pente est Forte (S) et que la hauteur d'eau est \(y = 1.0 \text{ m}\), sachant que \(y_n = 0.8 \text{ m}\) et \(y_c = 1.2 \text{ m}\), quel est le type de profil ? (S1, S2, ou S3). Entrez 1, 2 ou 3.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Comparaison : \(y_{n1} (1.75\text{m}) > y_c (1.177\text{m}) \rightarrow\) Pente Fluviale (M).
Profil : L'eau s'abaisse de \(y_{n1}\) vers \(y_c\).
Classification : \(y_{n1} > y > y_c \rightarrow\) Zone 2.
Résultat : Profil M2.

Question 5 : Calcul par étapes (Standard Step Method)

Principe

Nous appliquons l'équation de l'énergie entre deux sections : la section \(i+1\) (aval, connue, à \(x=0\)) et la section \(i\) (amont, inconnue, à \(x = -50 \text{ m}\)). Nous cherchons \(y_i\). L'équation à résoudre est : \[ E_i = E_{i+1} + (\bar{S_f} - S_0) \Delta x \] Où \(E = y + V^2/2g\) et \(\bar{S_f} = (S_{f,i} + S_{f,i+1})/2\). C'est un calcul itératif : on suppose \(y_i\), on calcule les deux côtés de l'équation, et on ajuste \(y_i\) jusqu'à ce qu'ils soient égaux.

Mini-Cours

L'équation de l'EGV \(dy/dx = (S_0 - S_f) / (1 - Fr^2)\) peut être réécrite sous forme d'énergie : \(\Delta x = \Delta E / (S_0 - \bar{S_f})\). Pour la "Standard Step Method", on fixe \(\Delta x\) (plus facile pour un calcul manuel à distance) et on cherche le \(\Delta y\) (ou le nouveau \(y_i\)) correspondant. Cela mène à l'équation \(E_i - E_{i+1} = (\bar{S_f} - S_0) \Delta x\), qui est non-linéaire en \(y_i\) et doit être résolue par itération.

Remarque Pédagogique

Puisque le régime est fluvial (\(Fr < 1\)), l'information remonte vers l'amont. Le "contrôle" est à l'aval (à \(y_c\)). Nous devons donc commencer notre calcul depuis ce point de contrôle connu et "remonter" le courant, pas à pas, contre le sens de l'écoulement (de \(x=0\) à \(x=-50\)).

Normes

La "Standard Step Method" (méthode par étapes standard) est la méthode de calcul numérique la plus fondamentale et la plus utilisée pour résoudre l'équation de l'EGV. C'est la base de tous les logiciels de modélisation 1D (comme HEC-RAS).

Formule(s)

Bilan d'Énergie (Forme à résoudre)

\underbrace{y_i + \frac{Q^2}{2g A_i^2}}_{\text{Côté Gauche (f(y_i))}} = \underbrace{\left( y_{i+1} + \frac{Q^2}{2g A_{i+1}^2} \right) + \left( \frac{S_{f,i} + S_{f,i+1}}{2} - S_{0,1} \right) \Delta x}_{\text{Côté Droit (f(y_i))}}

Pente de Frottement (Manning)

S_f = \frac{n^2 Q^2}{A^2 R_h^{4/3}}

Hypothèses

Pour ce calcul numérique, nous supposons :

Que la pente de frottement \(\bar{S_f}\) sur le tronçon \(\Delta x\) peut être approximée par la moyenne des pentes aux deux extrémités.
Que le pas de calcul \(\Delta x = 50 \text{ m}\) est suffisamment petit pour que cette moyenne soit précise (en réalité, c'est un pas assez grand !).

Donnée(s) - Section Connue (i+1, à x=0)

Cette section est le point de contrôle, où la hauteur est critique. Nous avons besoin de toutes ses propriétés.

Paramètre	Symbole	Calcul	Valeur
Hauteur	\(y_{i+1}\)	\(y_c\)	1.177 m
Aire	\(A_{i+1}\)	\(5 \times 1.177\)	5.885 m²
Périmètre	\(P_{i+1}\)	\(5 + 2 \times 1.177\)	7.354 m
Rayon Hydr.	\(R_{h,i+1}\)	\(A/P\)	0.800 m
Charge Vitesse	\(V_{i+1}^2/2g\)	\(Q^2 / (2g A^2)\)	0.589 m
Énergie	\(E_{i+1}\)	\(y + V^2/2g\)	1.766 m
Pente Frottement	\(S_{f,i+1}\)	\(n^2 Q^2 / (A^2 R_h^{4/3})\)	0.00305

Données du Pas de Calcul

\(\Delta x = 50 \text{ m}\) (distance de remontée)
\(S_{0,1} = 0.001\) (pente du fond)

Astuces

Pour choisir le \(y_i\) initial de l'itération : on sait que \(y_i\) doit être entre \(y_{i+1}=1.177\) m et \(y_n=1.75\) m. Choisir une valeur à mi-chemin, ou légèrement au-dessus de \(y_{i+1}\) (ex: 1.3 m ou 1.4 m) est un bon point de départ. Nous avons choisi 1.45 m.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du pas de calcul, en remontant le courant.

Pas de Calcul (Standard Step Method)

Calcul(s)

Nous cherchons \(y_i\) (à \(x=-50\text{ m}\)) tel que \(E_i (\text{gauche}) = E_i (\text{droit})\).
Rappel : \(E_{i+1} = 1.766 \text{ m}\), \(S_{f,i+1} = 0.00305\), \(\Delta x = 50 \text{ m}\), \(S_0 = 0.001\).
L'équation est :

E_i = 1.766 + (\frac{S_{f,i} + 0.00305}{2} - 0.001) \times 50

.
On sait que \(y_i > y_{i+1}\) (profil M2). Essayons \(y_i = 1.45 \text{ m}\) (interpolation entre \(y_c=1.177\) et \(y_n=1.75\)).

Étape 1 : Supposer \(y_i = 1.45 \text{ m}\) et calculer \(E_i\) (côté gauche)

A_i = 5 \times 1.45 = 7.25 \text{ m}^2

V_i = 20 / 7.25 = 2.759 \text{ m/s} \quad \rightarrow \quad \frac{V_i^2}{2g} = \frac{2.759^2}{19.62} = 0.388 \text{ m}

\textbf{E}_{\textbf{i, gauche}} = y_i + \frac{V_i^2}{2g} = 1.45 + 0.388 = \textbf{1.838 m}

Étape 2 : Calculer \(S_{f,i}\) pour \(y_i = 1.45 \text{ m}\)

P_i = 5 + 2 \times 1.45 = 7.9 \text{ m}

R_{h,i} = 7.25 / 7.9 = 0.918 \text{ m}

S_{f,i} = \frac{n^2 Q^2}{A_i^2 R_{h,i}^{4/3}} \] \[ S_{f,i} = \frac{0.014^2 \times 20^2}{7.25^2 \times 0.918^{4/3}} \] \[ S_{f,i} = \frac{0.0784}{52.56 \times 0.894} \] \[ S_{f,i} = 0.00167

Étape 3 : Calculer \(E_i\) (côté droit) avec \(\bar{S_f}\)

\bar{S_f} = \frac{S_{f,i} + S_{f,i+1}}{2} \] \[ \bar{S_f} = \frac{0.00167 + 0.00305}{2} = 0.00236

\textbf{E}_{\textbf{i, droit}} = E_{i+1} + (\bar{S_f} - S_0) \Delta x \] \[ \textbf{E}_{\textbf{i, droit}} = 1.766 + (0.00236 - 0.001) \times 50 \] \[ \textbf{E}_{\textbf{i, droit}} = 1.766 + (0.00136 \times 50) \] \[ \textbf{E}_{\textbf{i, droit}} = 1.766 + 0.068 \] \[ \textbf{E}_{\textbf{i, droit}} = \textbf{1.834 m}

Schéma (Après les calculs)

Positionnement du point calculé sur la courbe de remous M2.

Résultat du Pas de Calcul

Réflexions

\(E_{i, gauche} (1.838 \text{ m}) \approx E_{i, droit} (1.834 \text{ m})\).
L'erreur est très faible (environ 0.2%). Notre supposition \(y_i = 1.45 \text{ m}\) est excellente. La hauteur d'eau 50m en amont est donc d'environ 1.45 m. On voit bien que l'on "remonte" le long du profil M2, en partant de \(y_c=1.177\) m et en se rapprochant de \(y_n=1.75\) m.

Points de vigilance

La méthode par étapes est sensible aux erreurs d'arrondi. Il est crucial de bien gérer les unités (tout en N, m, s) et d'être méticuleux dans le calcul de \(S_f\), qui dépend de \(A^2\) et \(R_h^{4/3}\). Une petite erreur sur \(y\) peut entraîner une grande erreur sur \(S_f\).

Points à retenir

Le calcul d'un profil fluvial (subcritique) se fait en remontant le courant, à partir d'un contrôle aval.
La méthode consiste à équilibrer l'énergie entre deux sections, en incluant les pertes de charge (frottement) et le gain/perte d'altitude (pente).

Le saviez-vous ?

Des logiciels comme HEC-RAS (développé par l'US Army Corps of Engineers) utilisent cette méthode pour calculer des profils de ligne d'eau sur des centaines de sections, en gérant automatiquement les ponts, les changements de section, les confluences, etc.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

La hauteur d'eau à 50 m en amont de la rupture de pente est \(y \approx 1.45 \text{ m}\).

A vous de jouer

À l'étape 3, nous avons trouvé \((\bar{S_f} - S_0) \Delta x = 0.068 \text{ m}\). Ceci représente les pertes de charge (\(h_f\)) moins le gain d'altitude (\(S_0 \Delta x\)). Que vaut la perte de charge \(h_f = \bar{S_f} \Delta x\) seule (en m) ? (Rappel : \(\bar{S_f} = 0.00236\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Bilan d'énergie (Standard Step Method).
Formule Essentielle : \(E_i = E_{i+1} + (\bar{S_f} - S_0) \Delta x\).
Méthode : Itération sur \(y_i\) pour équilibrer le bilan d'énergie.
Résultat : \(y(x=-50\text{m}) \approx 1.45 \text{ m}\).

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie Spécifique

Cet outil calcule les hauteurs caractéristiques (\(y_c\), \(E_{min}\)) et trace la courbe d'énergie spécifique \(E(y)\) pour un canal rectangulaire, en fonction du débit \(Q\) et de la largeur \(b\).

Paramètres d'Entrée

Débit Total \(Q\) (m³/s) 20 m³/s

Largeur \(b\) (m) 5 m

Résultats Clés

Débit linéique \(q\) (m²/s) 4.00

Hauteur Critique \(y_c\) (m) -

Énergie Spécifique Min. \(E_{min}\) (m) -

Glossaire

Courbe de remous: Nom donné au profil de la surface libre (la ligne d'eau) dans un écoulement graduellement varié (EGV).
Énergie Spécifique (\(E\)): L'énergie par unité de poids de l'eau, mesurée par rapport au fond du canal. \(E = y + V^2/2g\).
Hauteur Critique (\(y_c\)): Profondeur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné. \(Fr=1\).
Hauteur Normale (\(y_n\)): Profondeur d'eau constante lorsque l'écoulement est uniforme (frottements = gravité). \(S_f = S_0\).
Régime Fluvial (Subcritique): Écoulement lent et profond, où \(y > y_c\) et le nombre de Froude \(Fr < 1\). Les ondes peuvent remonter le courant.
Régime Torrentiel (Supercritique): Écoulement rapide et peu profond, où \(y < y_c\) et le nombre de Froude \(Fr > 1\). Les ondes sont entraînées vers l'aval.

Analyse d’un écoulement graduellement varié

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma du Problème : Rupture de Pente

Questions à traiter

Les bases sur l'Écoulement Graduellement Varié

Correction : Analyse d'un Écoulement Graduellement Varié

Question 1 : Calculer le débit linéique \(q\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Section Transversale Rectangulaire

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la hauteur critique \(y_c\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Courbe d'Énergie Spécifique E(y)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la hauteur normale \(y_{n1}\) (Tronçon 1)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres Géométriques (Section Rectangulaire)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Classifier le régime et le profil de remous

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces