Dimensionnement d'un Fossé de Drainage

Contexte : L'hydraulique à surface libreBranche de l'hydraulique qui étudie les écoulements de liquides (généralement de l'eau) avec une surface libre en contact avec l'atmosphère, comme dans les rivières, canaux ou fossés..

Le dimensionnement correct des canaux et fossés de drainage est essentiel pour la gestion des eaux pluviales et la prévention des inondations. Cet exercice consiste à déterminer les dimensions d'un fossé trapézoïdal en terre capable d'évacuer un débit de pointe donné, tout en respectant des contraintes de vitesse pour éviter l'érosion et la sédimentation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la formule de Manning-Strickler, un outil fondamental en hydraulique, pour dimensionner un canal trapézoïdal et à comprendre l'importance des paramètres géométriques (surface, périmètre) et des contraintes de vitesse.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et calculer les paramètres géométriques d'un canal trapézoïdal (Surface mouillée, Périmètre mouillé, Rayon hydraulique).
Appliquer la formule de Manning-Strickler pour un écoulement uniforme.
Effectuer un calcul itératif simple pour trouver une hauteur d'eau inconnue.
Vérifier la vitesse d'écoulement par rapport à des critères de non-érosion et de non-sédimentation.

Données de l'étude de cas

Un fossé de drainage doit être creusé dans un sol limoneux pour évacuer un débit de pointe de \(5 \text{ m}^3/\text{s}\). Le canal a une forme trapézoïdale et les caractéristiques suivantes sont imposées :

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Forme du canal	Trapézoïdale
Pente du fond (\(i\))	0.001 (soit 0.1% ou 1 mm/m)
Coefficient de Strickler (\(K\))	30 m¹/³/s (canal en terre avec légère végétation)
Pente des talus (\(z\))	1.5 (pour 1.5H:1V)

Schéma d'un canal trapézoïdal

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit de pointe	\(Q\)	5	m³/s
Pente du fond	\(i\)	0.001	m/m
Coefficient de Strickler	\(K\)	30	m¹/³/s
Fruit (pente) des talus	\(z\)	1.5	sans unité

Questions à traiter

Établir les expressions littérales de la surface mouillée (\(S\)), du périmètre mouillé (\(P\)) et du rayon hydraulique (\(R_h\)) en fonction de la largeur au fond (\(b\)) et de la hauteur d'eau (\(h\)).
En utilisant la formule de Manning-Strickler \(Q = S \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\), établir l'équation de dimensionnement (l'équation liant \(Q\), \(b\) et \(h\)).
Pour des raisons pratiques, on impose une largeur au fond \(b = 2.0 \text{ m}\). Calculer la hauteur d'eau normale (\(h_n\)) requise pour évacuer le débit. (Un calcul par itérations sera nécessaire).
Calculer la vitesse moyenne d'écoulement (\(V\)) pour les conditions (\(b\) et \(h_n\)) trouvées.
Pour ce type de sol, la vitesse doit être comprise entre \(0.5 \text{ m/s}\) (anti-sédimentation) et \(1.5 \text{ m/s}\) (anti-érosion). Le dimensionnement est-il acceptable ? Conclure.

Les bases sur l'Hydraulique à Surface Libre

L'écoulement à surface libre, typique des rivières et canaux, est gouverné par la gravité et la friction. En régime uniforme (hauteur d'eau constante), les forces de gravité qui entraînent l'eau sont équilibrées par les forces de frottement sur les parois.

1. Géométrie du Canal Trapézoïdal
Pour un canal de largeur au fond \(b\), une hauteur d'eau \(h\) et une pente de talus \(z\) (z horizontal pour 1 vertical) :

Surface Mouillée (\(S\)) : Section de l'eau. \(S = (b + zh) \cdot h\)
Périmètre Mouillé (\(P\)) : Longueur de la paroi en contact avec l'eau. \(P = b + 2h\sqrt{1+z^2}\)
Rayon Hydraulique (\(R_h\)) : "Efficacité" de la section. \(R_h = \frac{S}{P}\)

2. Formule de Manning-Strickler
Elle décrit la relation entre le débit, la géométrie, la pente et la rugosité en régime uniforme :

Vitesse moyenne (\(V\)) : \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\)
Débit (\(Q\)) : \(Q = S \cdot V = S \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\)

Où \(K\) est le coefficient de Strickler (plus \(K\) est élevé, plus la paroi est lisse) et \(i\) est la pente du fond.

Correction : Dimensionnement d’un Fossé de Drainage

Question 1 : Expressions géométriques

Principe

Pour travailler avec le canal, nous devons d'abord décrire sa géométrie à l'aide de formules mathématiques. On décompose la section trapézoïdale en formes simples (un rectangle central et deux triangles identiques sur les côtés) pour trouver sa surface. Le périmètre "mouillé" est la longueur de paroi en contact avec l'eau, c'est-à-dire le fond plat plus les deux talus inclinés (dont la longueur est trouvée par le théorème de Pythagore).

Mini-Cours

Pour un trapèze de petite base \(b\), de grande base \(B\) et de hauteur \(h\), l'aire est \(S = \frac{(b+B)}{2} \cdot h\). Dans notre cas, la grande base (largeur au miroir) est \(B = b + 2 \cdot (zh)\). En substituant, on retrouve \(S = \frac{(b + b + 2zh)}{2} \cdot h = \frac{2(b+zh)}{2} \cdot h = (b+zh)h\). La longueur d'un talus est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(h\) (vertical) et \(zh\) (horizontal), d'où une longueur \(L_{talus} = \sqrt{h^2 + (zh)^2}\).

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme d'ingénierie à ce stade, mais de l'application de principes géométriques et mathématiques de base (géométrie euclidienne, théorème de Pythagore).

Formule(s)

Surface Mouillée (\(S\))

S = \text{Aire Rectangle} + 2 \times \text{Aire Triangle} \] \[ S = (b \cdot h) + 2 \cdot \left( \frac{(zh) \cdot h}{2} \right) \] \[ S = bh + zh^2 \] \[ S = (b + zh)h

Périmètre Mouillé (\(P\))

P = \text{Fond} + 2 \times \text{Longueur Talus} \] \[ P = b + 2 \cdot \sqrt{h^2 + (zh)^2} \] \[ P = b + 2\sqrt{h^2(1+z^2)} \] \[ P = b + 2h\sqrt{1+z^2}

Rayon Hydraulique (\(R_h\))

R_h = \frac{S}{P} = \frac{(b + zh)h}{b + 2h\sqrt{1+z^2}}

Hypothèses

On suppose que le canal est prismatique, c'est-à-dire que sa section transversale (forme et dimensions) est constante tout au long du tronçon étudié.

Donnée(s)

La seule donnée utilisée à ce stade est le fruit des talus \(z=1.5\).

Astuces

Retenez que le terme \(\sqrt{1+z^2}\) est une constante qui ne dépend que de la pente du talus. Il représente la longueur de l'hypoténuse pour un talus de hauteur 1. Le calculer une seule fois fait gagner du temps.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est la référence visuelle pour établir ces formules.

Schéma d'un canal trapézoïdal

Calcul(s)

On calcule le terme constant lié au talus \(z=1.5\) :

Calcul du terme de talus

\sqrt{1+z^2} = \sqrt{1+1.5^2} = \sqrt{1+2.25} = \sqrt{3.25} \approx 1.803

Réflexions

Ces trois formules (\(S\), \(P\), \(R_h\)) sont la fondation de tous les calculs hydrauliques pour un canal trapézoïdal. Elles lient la géométrie (ce que l'on construit, \(b\)) à la hauteur d'eau (ce qui varie, \(h\)). Le rayon hydraulique \(R_h\) est un paramètre clé qui mesure "l'efficacité" de la section à faire passer l'eau : une grande surface \(S\) avec un minimum de frottement \(P\).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de mal définir \(z\). Ici \(z=1.5\) signifie 1.5 unité horizontale pour 1 unité verticale. Assurez-vous aussi de ne pas oublier le facteur "2" dans le périmètre \(P\), car il y a deux talus. Enfin, le périmètre mouillé \(P\) n'inclut PAS la largeur en surface (largeur miroir), car il n'y a pas de frottement avec l'air (ou du moins, il est négligeable).

Points à retenir

Surface : \(S = (b + zh)h\)
Périmètre : \(P = b + 2h\sqrt{1+z^2}\)
Rayon Hydraulique : \(R_h = S / P\)

Le saviez-vous ?

Le trapèze est la forme hydraulique la plus "efficace" après le demi-cercle. Cependant, il est impossible de creuser un canal en demi-cercle stable dans la terre. Le trapèze est donc le meilleur compromis ingénierie-coût-stabilité pour les canaux en terre.

FAQ

Résultat Final

\(S = (b + 1.5h)h\)

\(P = b + 2h\sqrt{3.25} \approx b + 3.606h\)

\(R_h = \frac{(b + 1.5h)h}{b + 3.606h}\)

A vous de jouer

Si \(b = 1 \text{ m}\) et \(h = 1 \text{ m}\) (avec \(z=1.5\)), quelle est la valeur du rayon hydraulique \(R_h\) ?

Mini Fiche Mémo

Géométrie Trapèze (z=1.5) :

\(S = (b + 1.5h)h\)
\(P = b + 3.606h\)
\(R_h = S/P\)

Question 2 : Équation de dimensionnement

Principe

L'équation de dimensionnement est l'outil principal de l'ingénieur. Elle lie la "demande" (le débit \(Q\) à évacuer) à "l'offre" (les caractéristiques du canal : géométrie \(S, P\), pente \(i\), et rugosité \(K\)). On l'obtient en insérant simplement les formules géométriques de la Q1 dans la formule de Manning-Strickler.

Mini-Cours

La formule de Manning-Strickler (ou simplement "Strickler" en Europe francophone) est une formule empirique (basée sur l'expérience) qui donne la vitesse \(V\) d'un écoulement uniforme. La vitesse dépend de la rugosité (\(K\)), de la géométrie (\(R_h\)) et de la pente (\(i\)). Le débit \(Q\) est simplement cette vitesse multipliée par la surface \(S\).

Vitesse : \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\)
Débit : \(Q = S \cdot V = S \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\)

Normes

La formule de Manning-Strickler est la norme de facto dans le monde entier pour le calcul des écoulements uniformes en canal ouvert. Le choix du coefficient \(K\) est lui-même normé (par exemple, des tables de référence donnent \(K=30\) pour de la terre, \(K=70\) pour du béton lisse, etc.).

Formule(s)

Formule de base (Débit)

Q = S \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}

Formule développée (Débit)

Q = S \cdot K \cdot \left( \frac{S}{P} \right)^{2/3} \cdot i^{1/2} = \frac{K \cdot i^{1/2} \cdot S^{5/3}}{P^{2/3}}

Hypothèses

La principale hypothèse pour appliquer cette formule est que l'écoulement est en **régime uniforme** : la hauteur d'eau \(h\) est constante sur la longueur du canal, ce qui implique que la ligne d'eau est parallèle au fond du canal (pente de l'eau = pente du fond \(i\)).

Donnée(s)

On utilise les données fixes de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit requis	Q	5	m³/s
Coefficient de Strickler	K	30	m¹/³/s
Pente du fond	i	0.001	m/m

Astuces

Regroupez toujours les termes constants. Ici, \(K\) et \(i\) sont fixes. Calculez \(K \cdot i^{1/2}\) une bonne fois pour toutes. Cela simplifie grandement l'équation à manipuler.

Calcul(s)

On remplace les valeurs connues (\(Q=5\), \(K=30\), \(i=0.001\)) et les expressions de S et P :

Substitution des valeurs

5 = [(b + 1.5h)h] \cdot 30 \cdot \left( \frac{(b + 1.5h)h}{b + 3.606h} \right)^{2/3} \cdot (0.001)^{1/2}

Simplification du terme constant

(0.001)^{1/2} \approx 0.03162 \] \[ 5 = [(b + 1.5h)h] \cdot (30 \cdot 0.03162) \cdot \left( \frac{(b + 1.5h)h}{b + 3.606h} \right)^{2/3} \] En combinant les termes \(S \cdot S^{2/3} = S^{5/3}\) : \[ 5 \approx 0.9487 \cdot \frac{[(b + 1.5h)h]^{5/3}}{(b + 3.606h)^{2/3}} \] On isole le terme géométrique en divisant par la constante : \[ \frac{5}{0.9487} \approx 5.27

Réflexions

On obtient une équation unique \(f(b, h) = 5.27\). Cette équation lie les deux seules inconnues géométriques : la largeur au fond \(b\) et la hauteur d'eau \(h\). Cela signifie qu'il existe une infinité de couples (\(b\), \(h\)) qui peuvent faire passer le débit (un canal très large et peu profond, ou un canal étroit et très profond). L'ingénieur doit donc fixer un des deux paramètres (ou un autre critère) pour trouver l'autre.

Points de vigilance

Attention aux exposants ! L'erreur la plus commune est d'oublier que \(S\) est à la puissance 1 ET à la puissance 2/3, ce qui donne bien \(S^{5/3}\). Une erreur sur \(P^{2/3}\) est aussi fréquente.

Points à retenir

La formule de Manning-Strickler est \(Q = S \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\).
Elle peut se réécrire \(Q = (K \cdot i^{1/2}) \cdot S^{5/3} / P^{2/3}\).
Le terme \(S^{5/3} / P^{2/3}\) est parfois appelé le "module de débit".

Le saviez-vous ?

La formule de Manning (un ingénieur irlandais, 1891) est plus connue dans le monde anglo-saxon. Elle utilise un coefficient \(n\) (coefficient de Manning) qui est l'inverse de Strickler (\(n \approx 1/K\)). La formule est identique, mais la valeur de \(n\) pour la terre (\(n=0.033\)) est l'inverse de \(K=30\).

FAQ

Résultat Final

L'équation de dimensionnement à résoudre est : \[ 5.27 \approx \frac{[(b + 1.5h)h]^{5/3}}{(b + 3.606h)^{2/3}} \]

A vous de jouer

Si le canal était en béton lisse (\(K=70\)) au lieu de terre (\(K=30\)), quelle serait la nouvelle valeur cible à droite de l'équation (à la place de 5.27) ? (Rappel : \(Q=5\))

Mini Fiche Mémo

Équation de Manning-Strickler :

\(Q = S \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\)
Pour cet exercice : \(Q_{\text{cible}} = 5 \text{ m}^3/\text{s}\)
Terme géométrique : \(\frac{S^{5/3}}{P^{2/3}} \approx 5.27\)

Question 3 : Calcul de la hauteur d'eau (\(h_n\)) pour \(b=2 \text{ m}\)

Principe

Puisqu'il y a une infinité de solutions (\(b, h\)), l'ingénieur doit faire un choix. On fixe la largeur au fond \(b=2 \text{ m}\) (par exemple pour laisser passer un engin de curage). L'équation n'a plus qu'une seule inconnue, \(h\). Comme l'équation est non-linéaire (avec des exposants 5/3 et 2/3), on ne peut pas "isoler h" facilement. On doit donc la résoudre par tâtonnements (itérations).

Mini-Cours

La méthode de résolution par itération consiste à :
1. Choisir une valeur "logique" pour \(h\) (ex: \(h=1\)).
2. Calculer la valeur de la fonction \(f(h) = S^{5/3} / P^{2/3}\) pour ce \(h\).
3. Comparer le résultat à la valeur cible (5.27).
4. Si le résultat est trop petit, cela signifie que la section est trop petite, il faut donc essayer un \(h\) plus grand.
5. Si le résultat est trop grand, il faut essayer un \(h\) plus petit.
6. Répéter jusqu'à ce que le résultat soit "suffisamment proche" de la cible.

Normes

Il n'y a pas de norme, mais la "précision d'ingénieur" est de mise. Trouver la hauteur au millimètre près (\(h=1.401 \text{ m}\)) n'a aucun sens sur un chantier de terrassement. Une précision au centimètre (\(h=1.40 \text{ m}\)) est largement suffisante.

Formule(s)

On cherche \(h\) tel que :

5.27 = \frac{[(2 + 1.5h)h]^{5/3}}{(2 + 3.606h)^{2/3}}

Posons \(f(h) = \frac{[(2 + 1.5h)h]^{5/3}}{(2 + 3.606h)^{2/3}}\). On cherche \(h\) tel que \(f(h) = 5.27\).

Hypothèses

On fixe la largeur au fond : \(b = 2.0 \text{ m}\).

Donnée(s)

On utilise les résultats des questions précédentes.

Astuces

Une hauteur d'eau dans un fossé est souvent de l'ordre de 1m. Commençons par tester \(h=1.0 \text{ m}\) pour voir si le résultat est plus grand ou plus petit que 5.27, ce qui nous guidera. C'est plus rapide que de commencer à 0.1 m.

Schéma (Avant les calculs)

Visualiser la fonction \(f(h)\) (voir le graphique du simulateur) aide à comprendre que plus \(h\) augmente, plus \(f(h)\) augmente. Nous cherchons l'abscisse \(h\) qui correspond à l'ordonnée 5.27.

Calcul(s)

Essai 1 : \(h = 1.0 \text{ m}\)

S = (2 + 1.5 \times 1) \times 1 \] \[ S = 3.5 \text{ m}^2

P = 2 + 3.606 \times 1 \] \[ P = 5.606 \text{ m}

f(1.0) = \frac{(3.5)^{5/3}}{(5.606)^{2/3}} \approx \frac{8.13}{3.16} \approx 2.57

\(f(1.0) = 2.57 < 5.27\). Le débit est trop faible. Il faut une section plus grande, donc une hauteur \(h\) plus grande.

Essai 2 : \(h = 1.5 \text{ m}\)

S = (2 + 1.5 \times 1.5) \times 1.5 \] \[ S = (2 + 2.25) \times 1.5 \] \[ S = 6.375 \text{ m}^2

P = 2 + 3.606 \times 1.5 \] \[ P = 2 + 5.409 \] \[ P = 7.409 \text{ m}

f(1.5) = \frac{(6.375)^{5/3}}{(7.409)^{2/3}} \approx \frac{22.14}{3.80} \approx 5.83

\(f(1.5) = 5.83 > 5.27\). C'est trop grand. La hauteur d'eau est entre 1.0 m et 1.5 m, mais plus proche de 1.5 m.

Essai 3 : \(h = 1.4 \text{ m}\) (par interpolation)

S = (2 + 1.5 \times 1.4) \times 1.4 \] \[ S = (2 + 2.1) \times 1.4 \] \[ S = 5.74 \text{ m}^2

P = 2 + 3.606 \times 1.4 \] \[ P = 2 + 5.048 \] \[ P = 7.048 \text{ m}

f(1.4) = \frac{(5.74)^{5/3}}{(7.048)^{2/3}} \approx \frac{19.34}{3.68} \approx 5.255

Réflexions

\(f(1.4) = 5.255\) est extrêmement proche de la valeur cible de \(5.27\). La différence est inférieure à 0.5%. On peut considérer cette approximation comme suffisante pour un dimensionnement. La hauteur d'eau normale (c'est le terme technique pour la hauteur en régime uniforme) est donc \(h_n \approx 1.40 \text{ m}\).

Points de vigilance

Assurez-vous de recalculer \(S\) et \(P\) à chaque nouvelle valeur de \(h\). Ne réutilisez pas le \(S\) de l'essai 1 avec le \(P\) de l'essai 2 ! L'utilisation d'un tableur (comme Excel) est idéale pour ces calculs afin d'éviter les erreurs de calculatrice.

Points à retenir

Les équations de dimensionnement hydraulique sont souvent non-linéaires.
La méthode par itération (tâtonnement) est une approche standard pour les résoudre.
Fixer un paramètre (ici \(b\)) permet de trouver l'autre (ici \(h\)).

Le saviez-vous ?

Des logiciels spécialisés comme HEC-RAS (gratuit, développé par l'armée américaine) ou des outils plus complexes de modélisation 2D/3D (comme Telemac) utilisent des méthodes numériques bien plus avancées (ex: Newton-Raphson) pour converger vers la solution \(h\) en une fraction de seconde.

FAQ

Résultat Final

La hauteur d'eau normale requise est \(h_n \approx 1.40 \text{ m}\).

A vous de jouer

Vérifiez le résultat pour \(h = 1.41 \text{ m}\). Le résultat \(f(h)\) sera-t-il plus proche ou plus loin de 5.27 ? (Rappel : \(S=(2+1.5h)h\), \(P=2+3.606h\))

Mini Fiche Mémo

Résolution itérative :

On pose \(f(h) = S^{5/3} / P^{2/3}\) et on cible \(f(h)=5.27\).
Essai 1 (\(h=1.0\)) \(\rightarrow\) \(f(h)=2.57\) (trop petit)
Essai 2 (\(h=1.5\)) \(\rightarrow\) \(f(h)=5.83\) (trop grand)
Essai 3 (\(h=1.4\)) \(\rightarrow\) \(f(h)=5.255\) (OK)

Question 4 : Calcul de la vitesse moyenne (\(V\))

Principe

Maintenant que nous avons le débit \(Q\) (qui était une donnée) et la section \(S\) qui correspond à ce débit (calculée à la Q3), nous pouvons trouver la vitesse moyenne très simplement grâce à la formule de continuité (conservation du débit), qui est la définition même du débit.

Mini-Cours

La formule de continuité est la relation la plus fondamentale en hydraulique : \(Q = S \cdot V\).
Le débit (\(Q\), en m³/s) qui traverse une section est égal à l'aire de cette section (\(S\), en m²) multipliée par la vitesse moyenne (\(V\), en m/s) de l'eau qui la traverse.

Normes

C'est une définition physique fondamentale (conservation de la masse pour un fluide incompressible).

Formule(s)

Formule de continuité

Q = S \cdot V

Formule réarrangée pour la Vitesse

V = \frac{Q}{S}

Hypothèses

On suppose que le débit de 5 m³/s passe intégralement par la section S de 5.74 m² que nous avons calculée.

Donnée(s)

Débit \(Q = 5 \text{ m}^3/\text{s}\) (donnée de l'énoncé)
Surface mouillée \(S \approx 5.74 \text{ m}^2\) (calculée à la Q3 pour \(h=1.4 \text{ m}\))

Astuces

On pourrait aussi recalculer la vitesse avec la formule de Manning \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot i^{1/2}\). C'est un excellent moyen de vérifier ses calculs !
\(R_h = S/P = 5.74 / 7.048 \approx 0.8145\).
\(V = 30 \cdot (0.8145)^{2/3} \cdot (0.001)^{1/2} \approx 30 \cdot 0.874 \cdot 0.03162 \approx 0.871 \text{ m/s}\).
Les deux méthodes donnent (heureusement !) le même résultat.

Calcul(s)

V = \frac{5 \text{ m}^3/\text{s}}{5.74 \text{ m}^2} \approx 0.871 \text{ m/s}

Réflexions

Une vitesse de \(0.87 \text{ m/s}\) (environ 3.1 km/h) est une vitesse d'écoulement typique pour un canal de drainage en pente faible. Elle n'est ni stagnante, ni torrentielle. C'est cette valeur que nous allons devoir comparer aux critères de stabilité du sol.

Points de vigilance

Utilisez bien la valeur de \(S\) correspondant à la hauteur d'eau finale (\(h=1.4\)), et non une valeur d'un essai intermédiaire. Assurez-vous que toutes vos unités sont en SI (mètres, secondes) avant de diviser.

Points à retenir

La formule de continuité \(Q=SV\) est le moyen le plus simple et le plus direct de trouver la vitesse une fois le débit et la section connus.

Le saviez-vous ?

La vitesse n'est pas uniforme dans la section. À cause du frottement, elle est nulle sur les parois (\(V=0\)) et maximale près de la surface, au centre du canal. La valeur \(V=0.87 \text{ m/s}\) est la vitesse *moyenne* sur toute la section.

FAQ

Résultat Final

La vitesse moyenne d'écoulement est \(V \approx 0.87 \text{ m/s}\).

A vous de jouer

Si, à cause de l'envasement, la surface \(S\) était réduite à \(4.0 \text{ m}^2\) mais que le même débit de \(5 \text{ m}^3/\text{s}\) devait passer, quelle serait la nouvelle vitesse ?

Mini Fiche Mémo

Calcul de Vitesse :

Formule : \(V = Q / S\)
Calcul : \(V = 5 / 5.74\)
Résultat : \(V \approx 0.87 \text{ m/s}\)

Question 5 : Vérification de la vitesse

Principe

On compare la vitesse calculée (\(0.87 \text{ m/s}\)) aux limites admissibles pour un canal en terre (\(0.5 \text{ m/s}\) à \(1.5 \text{ m/s}\)).

Points de vigilance

Vitesse trop faible (< \(0.5 \text{ m/s}\)) : Risque de sédimentation. Les particules en suspension (sable, limon) se déposent, envasant le fossé et réduisant sa capacité d'évacuation.
Vitesse trop élevée (> \(1.5 \text{ m/s}\)) : Risque d'érosion. Le courant arrache les particules du fond et des talus, dégradant le canal et pouvant causer son effondrement.

Réflexions

On vérifie les deux conditions :

Condition anti-sédimentation : \(V \ge 0.5 \text{ m/s}\) ?
\(0.87 \text{ m/s} \ge 0.5 \text{ m/s}\). C'est vérifié.
Condition anti-érosion : \(V \le 1.5 \text{ m/s}\) ?
\(0.87 \text{ m/s} \le 1.5 \text{ m/s}\). C'est vérifié.

La vitesse est dans la plage acceptable.

Résultat Final

La vitesse calculée (\(V \approx 0.87 \text{ m/s}\)) est bien comprise dans l'intervalle admissible [\ \(0.5 \text{ m/s}\) ; \(1.5 \text{ m/s}\)].
Le dimensionnement (\(b=2 \text{ m}\) et \(h=1.4 \text{ m}\)) est donc techniquement acceptable.

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez les curseurs pour voir comment la hauteur d'eau et la largeur au fond influencent le débit et la vitesse. (Pente \(i=0.001\) et Strickler \(K=30\) fixes).

Paramètres d'Entrée

Hauteur d'eau (\(h\)) (m) 1.4 m

Largeur au fond (\(b\)) (m) 2.0 m

Résultats Clés

Débit (\(Q\)) (m³/s) -

Vitesse (\(V\)) (m/s) -

Glossaire

Coefficient de Strickler (\(K\)): Paramètre qui quantifie la rugosité de la paroi d'un canal. Un \(K\) élevé signifie une paroi lisse (ex: béton, \(K=70\)) et un \(K\) faible signifie une paroi rugueuse (ex: rivière encombrée, \(K=20\)).
Hauteur Normale (\(h_n\)): En régime uniforme, c'est la hauteur d'eau constante et stable que l'écoulement adopte naturellement pour un débit, une pente, une forme et une rugosité de canal donnés.
Périmètre Mouillé (\(P\)): Longueur totale de la paroi du canal qui est en contact direct avec l'eau. C'est la source de la force de frottement.
Rayon Hydraulique (\(R_h\)): Rapport entre la surface mouillée et le périmètre mouillé (\(R_h = S/P\)). Il représente l'"efficacité" de la section : un grand rayon hydraulique signifie moins de frottement par unité de surface, et donc un écoulement plus facile.
Régime Uniforme: Un état d'écoulement où la hauteur d'eau, la vitesse et la section mouillée restent constantes sur une longue distance.
Surface Mouillée (\(S\)): Aire de la section transversale de l'eau dans le canal, perpendiculaire à la direction de l'écoulement.