Influence de la Végétation sur la Hauteur d'Eau

Contexte : L'impact de la rugosité hydrauliqueRésistance à l'écoulement dans un canal, causée par la friction avec le lit, les berges, et ici, la végétation..

En ingénierie hydraulique, la gestion des cours d'eau et des canaux est cruciale pour la prévention des inondations et l'irrigation. La végétation aquatique et riveraine, bien que bénéfique pour l'écosystème, augmente la friction à l'écoulement. Cet exercice explore comment la croissance de la végétation dans un canal trapézoïdal modifie le coefficient de ManningUn coefficient empirique qui quantifie la rugosité ou la friction d'un canal, affectant directement la vitesse de l'eau et la hauteur d'écoulement., et par conséquent, la hauteur d'eau (tirant d'eau) pour un débit constant.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la formule de Manning-Strickler pour un régime fluvial uniforme et à comprendre l'impact direct de la rugosité sur la ligne d'eau.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la hauteur d'eau normale (\(h_n\)) dans un canal trapézoïdal.
Comprendre la relation entre le coefficient de Manning (\(n\)) et la hauteur d'eau.
Quantifier l'augmentation du tirant d'eau due à la croissance de la végétation.
Appliquer une méthode de résolution itérative pour l'équation de Manning.

Données de l'étude

On étudie un canal d'irrigation de section trapézoïdale creusé dans la terre. Le canal doit transporter un débit constant en régime uniforme.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de Canal	Trapézoïdal
Pente du fond (\(S\))	0.001 (0.1%)
Débit (\(Q\))	20 m³/s

Géométrie du Canal Trapézoïdal

Paramètre Géométrique	Description ou Formule	Valeur
Largeur au fond (\(b\))	Largeur du radier du canal	10 m
Fruit des berges (\(m\))	Pente horizontale pour 1 unité verticale (mH/1V)	1.5
Coefficient de Manning (Cas 1)	Canal propre, bien entretenu	\(n_1 = 0.022 \text{ s/m}^{1/3}\)
Coefficient de Manning (Cas 2)	Canal avec végétation dense (roseaux)	\(n_2 = 0.045 \text{ s/m}^{1/3}\)

Questions à traiter

Calculer la hauteur d'eau normale (\(h_1\)) pour le Cas 1 (canal propre, \(n_1 = 0.022\)).
Calculer la hauteur d'eau normale (\(h_2\)) pour le Cas 2 (avec végétation, \(n_2 = 0.045\)).
Déterminer le pourcentage d'augmentation de la hauteur d'eau entre les deux cas.
Calculer la vitesse moyenne d'écoulement (\(V_1\) et \(V_2\)) dans les deux cas.
Si la hauteur totale du canal est de 2.20 m, quelle était la revanche (hauteur de sécurité) dans le Cas 1 ? Que devient-elle dans le Cas 2 ? Conclure sur le risque.

Les bases de l'Hydraulique à Surface Libre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux éléments : la formule de Manning-Strickler qui lie le débit à la géométrie, et les formules géométriques du canal trapézoïdal.

1. Formule de Manning-Strickler
Elle permet de lier le débit \(Q\) aux caractéristiques de l'écoulement en régime uniforme : \[ Q = \frac{1}{n} \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2} \] Où :

\(Q\) : Débit (m³/s)
\(n\) : Coefficient de rugosité de Manning (s/m¹/³)
\(S\) : Pente du fond du canal (adimensionnelle, m/m)
\(A\) : Aire mouillée (m²), la section transversale de l'eau
\(R_h\) : Rayon hydraulique (m), défini par \(R_h = A / P\)
\(P\) : Périmètre mouillé (m), la longueur du contour en contact avec l'eau

2. Géométrie du Canal Trapézoïdal
Pour une hauteur d'eau \(h\), une largeur au fond \(b\) et un fruit \(m\) :

Aire mouillée (\(A\)) : \(A = (b + m \cdot h) \cdot h\)
Périmètre mouillé (\(P\)) : \(P = b + 2 \cdot h \cdot \sqrt{1 + m^2}\)

Correction : Influence de la Végétation sur la Hauteur d’Eau

Question 1 : Calculer la hauteur d'eau normale (\(h_1\)) pour le Cas 1 (canal propre, \(n_1 = 0.022\))

Principe

Cette section a pour but de vous introduire à l'idée fondamentale qui sous-tend la résolution de cette question. Nous allons décomposer le problème en ses éléments les plus simples pour comprendre la 'physique' ou la 'logique' qui s'applique, avant même de penser aux chiffres ou aux formules. C'est le "pourquoi" avant le "comment". Dans ce cas, il s'agit de trouver un équilibre : quelle hauteur d'eau \(h_1\) permet d'évacuer 20 m³/s avec une pente de 0.001 et une rugosité \(n_1=0.022\) ?

Mini-Cours

Ici, nous allons un peu plus loin que le simple principe. Ce mini-cours vous donne les connaissances théoriques spécifiques, les définitions et les relations nécessaires pour traiter la question. C'est la boîte à outils théorique dont vous aurez besoin pour comprendre chaque étape du calcul. L'équation de Manning n'est pas explicite en \(h\). On la réarrange souvent pour isoler les termes connus des termes inconnus (qui dépendent de \(h\)). On pose un "terme cible" constant et un "terme géométrique" qui ne dépend que de \(h\). \[ \frac{Q \cdot n}{S^{1/2}} = A \cdot R_h^{2/3} \] On cherche la valeur de \(h_1\) pour laquelle le terme géométrique \(A \cdot R_h^{2/3}\) est égal au terme cible constant.

Remarque Pédagogique

Pensez à cette section comme un conseil d'un professeur ou d'un tuteur. Je vous donnerai une stratégie ou une manière d'aborder le problème qui a fait ses preuves, pour vous aider à ne pas vous perdre et à aller droit au but. C'est une aide pour structurer votre pensée. La méthode la plus simple est de créer un tableau de calcul. On teste une valeur de \(h\), on calcule \(A\), \(P\), \(R_h\), puis \(A \cdot R_h^{2/3}\). On compare le résultat au "terme cible". Si c'est trop petit, on augmente \(h\). Si c'est trop grand, on diminue \(h\). On affine ainsi la solution.

Normes

Dans le monde de l'ingénierie, on ne calcule pas au hasard. On suit des règles précises, appelées normes ou règlements (comme le code de la route pour les voitures). Ici, nous préciserons quelle(s) règle(s) du jeu nous utilisons (par exemple, l'Eurocode pour les structures en Europe) pour être sûrs que nos calculs sont corrects et reconnus par la profession. Il ne s'agit pas d'une "norme" (comme un Eurocode) mais d'une loi physique fondamentale de l'hydraulique, la loi de Manning-Strickler, universellement utilisée pour le dimensionnement des canaux en régime uniforme.

Formule(s)

Toute résolution scientifique s'appuie sur des outils mathématiques : les formules. Nous les présentons ici de manière claire et isolée, pour que vous puissiez bien les identifier avant de les utiliser.

Terme Cible (Constant)

K_{\text{cible}, 1} = \frac{Q \cdot n_1}{S^{1/2}}

Terme Géométrique (Fonction de h)

K(h) = A(h) \cdot \left( \frac{A(h)}{P(h)} \right)^{2/3} = \frac{[A(h)]^{5/3}}{[P(h)]^{2/3}}

Équation à résoudre

K(h_1) = K_{\text{cible}, 1}

Hypothèses

Avant de calculer, on doit poser un cadre. Les hypothèses sont des simplifications que l'on fait pour que le problème puisse être résolu avec les outils que l'on connaît (par exemple, supposer qu'une poutre est parfaitement droite). C'est essentiel de les connaître car elles définissent les limites de validité de notre résultat.

L'écoulement est permanent (le débit \(Q\) est constant dans le temps).
L'écoulement est uniforme (la hauteur d'eau \(h\) est constante le long du canal, donc la ligne d'eau est parallèle au fond).
La pente du fond (\(S\)) est faible.
Le coefficient \(n_1\) est constant sur tout le périmètre mouillé.

Donnée(s)

Ce sont les chiffres que l'on vous donne au départ dans l'énoncé. Nous les listons ici pour les avoir clairement sous les yeux avant de commencer les calculs. Une bonne organisation est la clé de la réussite !

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	Q	20	m³/s
Pente	S	0.001	m/m
Coeff. Manning (Cas 1)	\(n_1\)	0.022	s/m¹/³
Largeur au fond	b	10	m
Fruit des berges	m	1.5	-
Constante géométrique	\(\sqrt{1+m^2}\)	1.803	-

Astuces

Parfois, il y a des raccourcis ou des petites astuces qui permettent de gagner du temps ou de vérifier si notre résultat a l'air cohérent. C'est le petit 'truc en plus' qui peut faire la différence, notamment pour vérifier rapidement un ordre de grandeur. Pour l'itération, créez un tableau avec les colonnes : \(h\), \(A\), \(P\), \(R_h\), \(R_h^{2/3}\), \(K(h) = A \cdot R_h^{2/3}\). Cela rend le tâtonnement très efficace et visuel. La fonction \(K(h)\) est monotone croissante (plus \(h\) est grand, plus \(K(h)\) est grand), ce qui garantit une solution unique.

Schéma (Avant les calculs)

Un bon schéma vaut mieux qu'un long discours. Cette représentation visuelle nous aide à poser le problème, à identifier les forces, les distances, et à avoir une vision claire de la situation avant de se lancer dans les calculs. Le schéma ci-dessous illustre les paramètres géométriques \(A\) (en bleu) et \(P\) (en rouge) que nous devons calculer en fonction de \(h\).

Paramètres Géométriques Clés

Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée dans un bloc séparé pour que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas.

Étape 1 : Calcul du Terme Cible \(K_{\text{cible}, 1}\)

\begin{aligned} K_{\text{cible}, 1} &= \frac{Q \cdot n_1}{S^{1/2}} \\ &= \frac{20 \text{ m³/s} \cdot 0.022 \text{ s/m}^{1/3}}{\sqrt{0.001}} \\ &= \frac{0.44}{0.03162} \approx 13.915 \text{ m}^{8/3} \end{aligned}

Étape 2 : Itérations pour trouver \(h_1\) (on cherche \(K(h) = 13.915\))

Essai 1 : \(h = 1.0\) m

A = (10 + 1.5 \cdot 1.0) \cdot 1.0 \] \[ A = 11.5 \text{ m²}

P = 10 + 2 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{1 + 1.5^2} \] \[ P = 10 + 2 \cdot 1.803 \] \[ P = 13.606 \text{ m}

K(h) = \frac{A^{5/3}}{P^{2/3}} = \frac{11.5^{5/3}}{13.606^{2/3}} = \frac{48.45}{5.71} \approx 8.49

Résultat : 8.49 < 13.915. La hauteur d'eau doit être plus grande.

Essai 2 : \(h = 1.5\) m

A = (10 + 1.5 \cdot 1.5) \cdot 1.5 \] \[ A = 18.375 \text{ m²}

P = 10 + 2 \cdot 1.5 \cdot \sqrt{1 + 1.5^2} \] \[ P = 10 + 3 \cdot 1.803 \] \[ P = 15.409 \text{ m}

K(h) = \frac{18.375^{5/3}}{15.409^{2/3}} = \frac{107.8}{6.27} \approx 17.20

Résultat : 17.20 > 13.915. La hauteur d'eau est entre 1.0 m et 1.5 m.

Essai 3 : \(h = 1.3\) m (par interpolation)

A = (10 + 1.5 \cdot 1.3) \cdot 1.3 \] \[ A = 15.535 \text{ m²}

P = 10 + 2 \cdot 1.3 \cdot 1.803 \] \[ P = 14.688 \text{ m}

K(h) = \frac{15.535^{5/3}}{14.688^{2/3}} = \frac{80.7}{6.04} \approx 13.37

Résultat : 13.37 < 13.915. Très proche. On affine légèrement à la hausse.

Essai 4 : \(h = 1.33\) m (affinage)

A = (10 + 1.5 \cdot 1.33) \cdot 1.33 \] \[ A = 15.943 \text{ m²}

P = 10 + 2 \cdot 1.33 \cdot 1.803 \] \[ P = 14.796 \text{ m}

K(h) = \frac{15.943^{5/3}}{14.796^{2/3}} = \frac{85.2}{6.08} \approx 14.01

Résultat : 14.01 \(\approx\) 13.915. C'est une approximation suffisante.

Schéma (Après les calculs)

Après le calcul, un schéma des résultats (comme un diagramme des contraintes, des déformations, ou des efforts internes) permet de visualiser la réponse et de mieux comprendre le comportement de la structure. Le calcul nous donne une hauteur d'eau \(h_1\). Nous allons maintenant comparer cette hauteur au cas où le canal est envahi par la végétation (Question 2), ce qui augmentera la hauteur à \(h_2\).

Comparaison des hauteurs d'eau (Cas 1 vs Cas 2)

Réflexions

Un chiffre seul ne veut rien dire. Dans cette section, nous allons analyser le résultat. Qu'est-ce qu'il signifie concrètement ? Est-il grand ? Petit ? Conforme à ce qu'on attendait ? C'est l'étape où le chiffre prend tout son sens. La hauteur normale \(h_1\) est d'environ 1.33 m. Ce calcul itératif est standard en hydraulique car les propriétés géométriques \(A\) et \(P\) dépendent de \(h\) de manière complexe. Une petite variation dans \(h\) a un impact significatif sur le terme \(K(h)\) (à cause des exposants 5/3 et 2/3), ce qui explique la sensibilité du calcul.

Points de vigilance

Ici, on liste les pièges classiques dans lesquels il ne faut pas tomber. Une erreur d'unité, un signe oublié, ou une mauvaise interprétation de l'énoncé... ce sont des détails qui peuvent tout changer. La plus grande erreur est de mal calculer \(A\) et \(P\). Attention au périmètre mouillé (\(P\)) qui n'inclut PAS la largeur en surface, mais seulement le fond et les berges en contact avec l'eau : \(P = b + 2 \times (\text{longueur berge mouillée})\).

Points à retenir

Si vous ne deviez retenir que quelques points clés de cette question, ce seraient ceux-là. C'est un résumé des concepts et des formules les plus importants que vous devez maîtriser à l'issue de cette étape pour pouvoir les réutiliser dans d'autres contextes.

L'équation de Manning se résout par itération pour trouver \(h\).
On utilise la forme \(K(h) = A^{5/3} / P^{2/3}\) pour faciliter les calculs.
La fonction \(K(h)\) est monotone croissante : si \(h\) augmente, \(K(h)\) augmente.

Le saviez-vous ?

Pour élargir vos horizons, voici une anecdote ou un fait historique/technique intéressant en lien avec le sujet. De quoi briller lors de votre prochaine discussion technique ! Le coefficient \(n\) de Manning n'est pas adimensionnel, il a des unités (\(\text{s/m}^{1/3}\)). Son inverse, \(K_s\) (le coefficient de Strickler), est souvent utilisé en Europe (\(K_s = 1/n\)). Pour ce Cas 1, \(K_s = 1 / 0.022 \approx 45.5\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La hauteur d'eau normale pour le Cas 1 (canal propre) est \(h_1 \approx 1.33 \text{ m}\).

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Quelle serait la hauteur d'eau (en m) si le débit \(Q\) était de 15 m³/s (en gardant \(n_1=0.022\)) ? (Indice : le nouveau \(K_{\text{cible}}\) est \(\approx 10.43\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Objectif : Trouver \(h_1\) pour \(n_1=0.022\).
Formule : \(K(h) = A^{5/3} / P^{2/3} = K_{\text{cible}}\).
Calcul : \(K_{\text{cible}, 1} = 13.915\).
Solution : Itération \(\Rightarrow\) \(h_1 \approx 1.33 \text{ m}\).

Question 2 : Calculer la hauteur d'eau normale (\(h_2\)) pour le Cas 2 (avec végétation, \(n_2 = 0.045\))

Principe

Nous appliquons exactement la même méthode que pour la Question 1, mais en utilisant le coefficient de Manning \(n_2\) qui représente un canal avec une forte végétation. L'objectif est de voir comment cette augmentation de rugosité impacte la hauteur d'eau nécessaire pour transporter le même débit.

Mini-Cours

La physique sous-jacente reste la formule de Manning-Strickler. La seule différence est la valeur de \(n\) utilisée. Un \(n\) plus élevé représente une plus grande résistance à l'écoulement. Intuitivement, pour un même débit et une même pente, une plus grande résistance (friction) doit être compensée soit par une plus grande section d'écoulement (\(A\)), soit par un rayon hydraulique (\(R_h\)) plus favorable, ou les deux. Dans un canal, augmenter \(A\) et \(R_h\) se fait principalement en augmentant la hauteur d'eau \(h\).

Remarque Pédagogique

Attendez-vous à trouver une hauteur \(h_2\) significativement plus grande que \(h_1\). Le coefficient de Manning a plus que doublé (\(0.045\) vs \(0.022\)), ce qui représente une augmentation considérable de la friction. L'impact sur la hauteur d'eau ne sera pas nécessairement un doublement, mais il sera important.

Normes

Comme pour la question 1, nous utilisons la loi de Manning-Strickler.

Formule(s)

Terme Cible (Constant)

K_{\text{cible}, 2} = \frac{Q \cdot n_2}{S^{1/2}}

Équation à résoudre

K(h_2) = K_{\text{cible}, 2}

Où \(K(h)\) est la même fonction géométrique que dans la Question 1.

Hypothèses

Les hypothèses (écoulement permanent, uniforme, pente faible) restent les mêmes que pour la Question 1.

Donnée(s)

Nous utilisons les mêmes données géométriques et de débit, mais avec le nouveau coefficient de Manning \(n_2\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	Q	20	m³/s
Pente	S	0.001	m/m
Coeff. Manning (Cas 2)	\(n_2\)	0.045	s/m¹/³
Largeur au fond	b	10	m
Fruit des berges	m	1.5	-

Astuces

Puisque nous savons que \(h_2\) sera plus grand que \(h_1 \approx 1.33\) m, commencez vos itérations à partir d'une valeur supérieure, par exemple \(h=1.5\) m ou \(h=1.6\) m, pour converger plus rapidement vers la solution.

Schéma (Avant les calculs)

La géométrie de base du canal reste la même. Seule la hauteur d'eau \(h_2\) que nous cherchons sera différente. On peut se référer au schéma des Paramètres Géométriques Clés de la Question 1.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du Terme Cible \(K_{\text{cible}, 2}\)

\begin{aligned} K_{\text{cible}, 2} &= \frac{Q \cdot n_2}{S^{1/2}} \\ &= \frac{20 \text{ m³/s} \cdot 0.045 \text{ s/m}^{1/3}}{\sqrt{0.001}} \\ &= \frac{0.90}{0.03162} \approx 28.46 \text{ m}^{8/3} \end{aligned}

Étape 2 : Itérations pour trouver \(h_2\) (on cherche \(K(h) = 28.46\))

Nous savons de la Q1 que pour \(h=1.5\) m, \(K(h) \approx 17.20\). C'est trop petit. Il faut augmenter \(h\).

Essai 1 : \(h = 2.0\) m

A = (10 + 1.5 \cdot 2.0) \cdot 2.0 \] \[ A = 26.0 \text{ m²}

P = 10 + 2 \cdot 2.0 \cdot 1.803 \] \[ P = 17.212 \text{ m}

K(h) = \frac{26.0^{5/3}}{17.212^{2/3}} = \frac{229.0}{6.75} \approx 33.9

Résultat : 33.9 > 28.46. La hauteur est entre 1.5 m et 2.0 m.

Essai 2 : \(h = 1.8\) m

A = (10 + 1.5 \cdot 1.8) \cdot 1.8 \] \[ A = 22.86 \text{ m²}

P = 10 + 2 \cdot 1.8 \cdot 1.803 \] \[ P = 16.491 \text{ m}

K(h) = \frac{22.86^{5/3}}{16.491^{2/3}} = \frac{182.0}{6.54} \approx 27.83

Résultat : 27.83 < 28.46. Très proche, on augmente légèrement.

Essai 3 : \(h = 1.83\) m (affinage)

A = (10 + 1.5 \cdot 1.83) \cdot 1.83 \] \[ A = 23.36 \text{ m²}

P = 10 + 2 \cdot 1.83 \cdot 1.803 \] \[ P = 16.60 \text{ m}

K(h) = \frac{23.36^{5/3}}{16.60^{2/3}} = \frac{188.5}{6.57} \approx 28.69

Résultat : 28.69 \(\approx\) 28.46. C'est une bonne approximation.

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant visualiser la différence de hauteur sur le schéma de comparaison présenté à la Question 1. La hauteur \(h_2\) est nettement supérieure à \(h_1\).

Réflexions

Comme attendu, l'augmentation de la rugosité (de \(n=0.022\) à \(n=0.045\)) freine l'écoulement. Pour faire passer le même débit de 20 m³/s, le niveau de l'eau doit monter pour augmenter la section d'écoulement (\(A\)) et, dans une moindre mesure, le rayon hydraulique (\(R_h\)), afin de compenser la perte de vitesse due à la friction accrue.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser le nouveau coefficient \(n_2\) pour calculer \(K_{\text{cible}, 2}\). Une erreur fréquente est de réutiliser l'ancien terme cible avec les nouvelles itérations géométriques. Vérifiez également que les formules de \(A\) et \(P\) sont toujours correctement appliquées.

Points à retenir

Une augmentation du coefficient de Manning \(n\) conduit à une augmentation de la hauteur d'eau normale \(h_n\) pour un débit et une pente constants.
L'impact peut être significatif, même pour des variations de \(n\) qui peuvent sembler faibles.
La méthode de résolution reste la même, seule la valeur cible change.

Le saviez-vous ?

Le choix du coefficient de Manning est crucial en ingénierie et repose souvent sur l'expérience et des tables de référence. Pour les canaux végétalisés, la valeur de \(n\) peut varier fortement selon la densité, la hauteur et le type de végétation (herbe, roseaux, arbustes), ainsi que la saison (présence de feuilles).

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La hauteur d'eau normale pour le Cas 2 (avec végétation) est \(h_2 \approx 1.83 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si la végétation était encore plus dense, avec \(n_3 = 0.060 \text{ s/m}^{1/3}\), quelle serait la nouvelle hauteur d'eau \(h_3\) (en m) ? (Indice : \(K_{\text{cible}, 3} \approx 37.95\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Objectif : Trouver \(h_2\) pour \(n_2=0.045\).
Formule : \(K(h) = A^{5/3} / P^{2/3} = K_{\text{cible}}\).
Calcul : \(K_{\text{cible}, 2} = 28.46\).
Solution : Itération \(\Rightarrow\) \(h_2 \approx 1.83 \text{ m}\).

Question 3 : Déterminer le pourcentage d'augmentation de la hauteur d'eau.

Principe

Cette question vise à quantifier l'impact relatif de la végétation sur le niveau d'eau. Nous calculons la différence absolue de hauteur, puis nous la rapportons à la hauteur initiale (canal propre) pour obtenir un pourcentage, qui est souvent plus parlant qu'une valeur absolue.

Mini-Cours

Le calcul d'un pourcentage d'augmentation (ou de diminution) est une opération mathématique de base. Il s'agit de calculer la variation entre une valeur finale et une valeur initiale, puis de diviser cette variation par la valeur initiale. Le résultat est ensuite multiplié par 100 pour l'exprimer en pourcentage. \[ \%_{\text{Variation}} = \left( \frac{\text{Valeur Finale} - \text{Valeur Initiale}}{\text{Valeur Initiale}} \right) \times 100 \] Une valeur positive indique une augmentation, une valeur négative une diminution.

Remarque Pédagogique

Il est important de bien identifier la valeur "initiale" ou "de référence". Ici, c'est la hauteur dans le canal propre (\(h_1\)) qui sert de base de comparaison. On mesure l'augmentation *par rapport* à cet état initial.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique ici, c'est un calcul mathématique standard.

Formule(s)

Pourcentage d'augmentation

\%_{\text{Augmentation}} = \left( \frac{h_2 - h_1}{h_1} \right) \times 100

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes.

Hauteur initiale (canal propre) : \(h_1 \approx 1.33 \text{ m}\)
Hauteur finale (avec végétation) : \(h_2 \approx 1.83 \text{ m}\)

Astuces

Vérifiez que le résultat est cohérent. Comme \(h_2 > h_1\), le pourcentage doit être positif. Un ordre de grandeur : \(h_2\) est environ 1.5 fois \(h_1\), donc l'augmentation devrait être de l'ordre de 50%. Notre calcul (environ 38%) est donc plausible (la relation n'est pas linéaire).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de comparaison des hauteurs d'eau de la Question 1 illustre bien la différence \(\Delta h = h_2 - h_1\) que nous allons calculer et rapporter à \(h_1\).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'augmentation absolue

\Delta h = h_2 - h_1 \] \[ \Delta h = 1.83 \text{ m} - 1.33 \text{ m} \] \[ \Delta h = 0.50 \text{ m}

Étape 2 : Calcul du pourcentage d'augmentation

\%_{\text{Augmentation}} = \left( \frac{\Delta h}{h_1} \right) \times 100 \] \[ \%_{\text{Augmentation}} = \left( \frac{0.50}{1.33} \right) \times 100 \] \[ \%_{\text{Augmentation}} \approx 37.6 \%

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma spécifique pour ce calcul, il s'agit d'une interprétation numérique de la différence visible sur les schémas précédents.

Réflexions

Un chiffre seul ne veut rien dire. Une augmentation de 37.6% de la hauteur d'eau est considérable dans le contexte de la gestion d'un canal. Cela signifie que le niveau de l'eau monte de 50 cm uniquement à cause de la croissance des plantes dans le canal. C'est un problème majeur pour la gestion des canaux car cela réduit significativement la revancheMarge de sécurité verticale entre le niveau d'eau maximal attendu et le sommet de la digue ou de la berge du canal. (voir Q5) et augmente les risques de débordement, même si le débit reste identique.

Points de vigilance

Assurez-vous de diviser par la bonne valeur de référence (\(h_1\)). Diviser par \(h_2\) donnerait le pourcentage de réduction si on passait de l'état végétalisé à l'état propre, ce qui n'est pas la question posée.

Points à retenir

La quantification de l'impact de la végétation (ou de tout autre changement) passe souvent par un calcul de variation relative (pourcentage).
Le choix de la valeur de référence est essentiel pour l'interprétation du résultat.

Le saviez-vous ?

La gestion de la végétation dans les canaux (appelée faucardage) est une opération de maintenance coûteuse mais indispensable. La fréquence dépend du type de végétation, du climat et des objectifs du canal (irrigation, drainage, navigation). Un manque d'entretien peut rendre un canal quasi inutilisable ou dangereux.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

La végétation provoque une augmentation de la hauteur d'eau de 50 cm, soit environ 37.6%.

A vous de jouer

Si, après un léger faucardage, la hauteur d'eau redescendait à \(h_3 = 1.60\) m, quel serait le pourcentage de réduction par rapport à l'état le plus végétalisé (\(h_2=1.83\) m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Objectif : Quantifier l'augmentation de \(h\).
Formule : \(\% = ((h_2 - h_1) / h_1) \times 100\).
Calcul : \((0.50 / 1.33) \times 100\).
Solution : Augmentation \(\approx 37.6 \%\).

Question 4 : Calculer la vitesse moyenne d'écoulement (\(V_1\) et \(V_2\)) dans les deux cas.

Principe

La vitesse moyenne de l'eau dans le canal est directement liée au débit et à la section transversale de l'écoulement (l'aire mouillée). Nous utilisons l'équation fondamentale de continuité, qui stipule que pour un débit constant, si la section augmente, la vitesse doit diminuer, et vice-versa.

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible en régime permanent s'écrit \(Q = V \times A\), où \(Q\) est le débit volumique (m³/s), \(V\) est la vitesse moyenne perpendiculaire à la section (m/s), et \(A\) est l'aire de cette section (m²). Cette équation exprime la conservation de la masse : le volume d'eau qui passe à travers une section par unité de temps est constant. On peut donc calculer la vitesse si on connaît le débit et l'aire : \(V = Q / A\).

Remarque Pédagogique

Puisque la hauteur d'eau \(h_2\) (avec végétation) est plus grande que \(h_1\) (canal propre), l'aire mouillée \(A_2\) sera également plus grande que \(A_1\). Comme le débit \(Q\) est le même dans les deux cas, on s'attend logiquement à ce que la vitesse \(V_2\) soit inférieure à \(V_1\).

Normes

L'équation de continuité est un principe fondamental de la mécanique des fluides, pas une norme au sens réglementaire.

Formule(s)

Équation de Continuité (réarrangée)

V = \frac{Q}{A}

Aire mouillée (rappel)

\[ A = (b + m h) h \]

Donnée(s)

Nous utilisons le débit \(Q\) et les aires mouillées \(A_1\) et \(A_2\) correspondant aux hauteurs \(h_1\) et \(h_2\) trouvées dans les questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	Q	20	m³/s
Hauteur (Cas 1)	\(h_1\)	1.33	m
Aire (Cas 1)	\(A_1\)	15.94	m²
Hauteur (Cas 2)	\(h_2\)	1.83	m
Aire (Cas 2)	\(A_2\)	23.36	m²

Astuces

Vérifiez les unités : si \(Q\) est en m³/s et \(A\) en m², alors \(V = Q/A\) sera bien en m/s. C'est une vérification simple mais utile.

Schéma (Avant les calculs)

Imaginez la section mouillée \(A_1\) (plus petite) et \(A_2\) (plus grande). Pour que le même volume d'eau (débit Q) passe par seconde, l'eau doit s'écouler plus vite (\(V_1\)) dans la section plus petite et plus lentement (\(V_2\)) dans la section plus grande.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la vitesse \(V_1\) (Cas 1, propre)

V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{20 \text{ m³/s}}{15.94 \text{ m²}} \approx 1.25 \text{ m/s}

Étape 2 : Calcul de la vitesse \(V_2\) (Cas 2, végétation)

V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{20 \text{ m³/s}}{23.36 \text{ m²}} \approx 0.86 \text{ m/s}

Schéma (Après les calculs)

On peut imaginer des vecteurs vitesse plus longs dans le cas 1 et plus courts dans le cas 2 pour représenter visuellement cette différence.

Réflexions

La végétation a considérablement ralenti l'écoulement, faisant passer la vitesse moyenne de 1.25 m/s à 0.86 m/s (une réduction d'environ 31%). C'est ce ralentissement, dû à la friction accrue, qui force l'eau à monter en hauteur (augmentant \(A\)) pour maintenir constant le produit \(V \times A = Q\). Cette réduction de vitesse peut aussi avoir des conséquences écologiques (sédimentation accrue, moins d'oxygénation).

Points de vigilance

Veillez à utiliser l'aire mouillée \(A\) correspondant à la bonne hauteur (\(h_1\) pour \(V_1\), \(h_2\) pour \(V_2\)). Ne pas intervertir les valeurs.

Points à retenir

L'équation de continuité \(Q=VA\) est fondamentale.
Pour un débit \(Q\) constant, une augmentation de la section \(A\) implique une diminution de la vitesse \(V\).
L'augmentation de la rugosité (\(n\)) cause une diminution de la vitesse \(V\) (et une augmentation de \(h\) et \(A\)).

Le saviez-vous ?

La vitesse de l'eau n'est pas uniforme dans la section d'un canal. Elle est généralement maximale près de la surface libre au centre, et minimale près du fond et des berges à cause de la friction. La vitesse \(V\) calculée ici est une vitesse moyenne sur toute la section.

FAQ

Questions fréquentes sur la vitesse.

Résultat Final

La vitesse passe de \(V_1 \approx 1.25 \text{ m/s}\) (canal propre) à \(V_2 \approx 0.86 \text{ m/s}\) (avec végétation).

A vous de jouer

Pour la Question 1 "A vous de jouer" (\(Q=15\) m³/s, \(h \approx 1.15\) m), quelle serait la vitesse moyenne \(V\) ? (Indice : \(A \approx 13.77\) m²).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Objectif : Calculer \(V_1\) et \(V_2\).
Formule : \(V = Q / A\).
Calculs : \(V_1 = 20 / 15.94\), \(V_2 = 20 / 23.36\).
Solution : \(V_1 \approx 1.25\) m/s, \(V_2 \approx 0.86\) m/s.

Question 5 : Si la hauteur totale du canal est de 2.20 m, quelle était la revanche ? Que devient-elle ? Conclure.

Principe

La revancheMarge de sécurité verticale entre le niveau d'eau maximal attendu et le sommet de la digue ou de la berge du canal. est une marge de sécurité cruciale dans la conception des canaux et digues. Elle représente la hauteur libre disponible au-dessus du niveau d'eau normal (ou de crue) pour absorber les fluctuations imprévues (vagues, surélévation due au vent, incertitudes sur le débit ou la rugosité) sans qu'il y ait débordement.

Mini-Cours

La revanche est simplement la différence entre la hauteur géométrique totale du canal (du fond au sommet des berges, \(H_{\text{total}}\)) et la hauteur d'eau calculée (\(h_n\)). \[ \text{Revanche} = H_{\text{total}} - h_n \] Une revanche insuffisante est une cause majeure de défaillance des systèmes de protection contre les inondations ou d'interruption de service pour les canaux d'irrigation/navigation.

Remarque Pédagogique

Cette question met en évidence la conséquence pratique la plus directe de l'augmentation de la hauteur d'eau due à la végétation : la réduction de la marge de sécurité. C'est pourquoi l'entretien des canaux est si important.

Normes

Des recommandations existent pour les valeurs minimales de revanche en fonction du type de canal, du débit, de la présence de vagues, etc. Par exemple, pour les canaux d'irrigation, des revanches de 0.3 m à 1 m sont courantes.

Formule(s)

Calcul de la Revanche

\text{Revanche} = H_{\text{total}} - h_n

Hypothèses

Nous supposons que la hauteur totale du canal (\(H_{\text{total}} = 2.20\) m) est constante et mesurée depuis le fond du canal.

Donnée(s)

Nous utilisons la hauteur totale donnée et les hauteurs normales calculées précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur Totale Canal	\(H_{\text{total}}\)	2.20	m
Hauteur Eau (Cas 1)	\(h_1\)	1.33	m
Hauteur Eau (Cas 2)	\(h_2\)	1.83	m

Astuces

Assurez-vous que \(h_n\) et \(H_{\text{total}}\) sont bien mesurées par rapport à la même référence (ici, le fond du canal).

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la revanche sur le schéma de comparaison des hauteurs : c'est la distance verticale entre la ligne d'eau (bleue ou verte) et le sommet imaginaire des berges (non dessiné, mais situé à \(H_{\text{total}}=2.20\) m au-dessus du fond).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la Revanche pour le Cas 1 (Propre)

\text{Revanche}_1 = H_{\text{total}} - h_1 \] \[ \text{Revanche}_1 = 2.20 \text{ m} - 1.33 \text{ m} \] \[ \text{Revanche}_1 = 0.87 \text{ m}

Étape 2 : Calcul de la Revanche pour le Cas 2 (Végétation)

\text{Revanche}_2 = H_{\text{total}} - h_2 \] \[ \text{Revanche}_2 = 2.20 \text{ m} - 1.83 \text{ m} \] \[ \text{Revanche}_2 = 0.37 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous montre explicitement la revanche dans les deux cas.

Visualisation de la Revanche

Réflexions

Conclusion sur le risque : La revanche initiale de 87 cm (Cas 1) était très confortable et sécuritaire pour un canal de ce type. Cependant, la croissance de la végétation fait chuter cette marge à seulement 37 cm (Cas 2). Cette valeur est généralement considérée comme insuffisante et dangereuse. Elle expose le canal à un risque élevé de débordement en cas de légère surcote (causée par une onde de crue amont, le vent créant des vagues, ou simplement une imprécision sur le débit réel) ou si la végétation devient encore plus dense. L'entretien régulier du canal par faucardage est donc indispensable pour maintenir une capacité d'évacuation suffisante et une marge de sécurité adéquate.

Points de vigilance

Ne pas confondre la hauteur d'eau (\(h\)) avec la hauteur totale du canal (\(H_{\text{total}}\)). La revanche est la différence entre les deux. Une revanche négative signifierait que le canal déborde déjà en régime normal.

Points à retenir

La revanche est une marge de sécurité essentielle.
Les augmentations de rugosité (végétation, sédiments, dégradation) réduisent la revanche pour un débit donné.
Une revanche insuffisante augmente considérablement le risque de débordement.
L'entretien des canaux est crucial pour préserver leur capacité et leur sécurité.

Le saviez-vous ?

Les recommandations de revanche varient. Pour les petits canaux, 30 cm peuvent suffire. Pour les grands canaux ou les digues de protection contre les crues, des revanches de 1 m à 1.5 m (voire plus, en tenant compte des vagues et du vent) sont souvent requises pour assurer une protection fiable.

FAQ

Questions sur la revanche.

Résultat Final

La revanche de sécurité chute de 0.87 m (cas propre, sûr) à 0.37 m (cas végétalisé, dangereux) à cause de la végétation.

A vous de jouer

Quelle devrait être la hauteur totale minimale \(H_{\text{total}}\) du canal pour conserver une revanche d'au moins 0.50 m même dans le cas le plus végétalisé (\(h_2 = 1.83\) m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Objectif : Calculer la revanche et évaluer le risque.
Formule : \(\text{Revanche} = H_{\text{total}} - h_n\).
Calculs : \(R_1 = 2.20 - 1.33\), \(R_2 = 2.20 - 1.83\).
Solution : \(R_1 = 0.87\) m, \(R_2 = 0.37\) m. Risque accru.

Outil Interactif : Simulateur de Hauteur d'Eau

Explorez comment la hauteur d'eau (\(h\)) et la vitesse (\(V\)) changent en fonction du coefficient de Manning (\(n\)) et du débit (\(Q\)). (Basé sur le canal de l'exercice : b=10, m=1.5, S=0.001)

Paramètres d'Entrée

Débit (Q) (m³/s) 20 m³/s

Coeff. Manning (n) (s/m¹/³) 0.022 s/m¹/³

Résultats Clés

Hauteur d'eau (h) (m) -

Vitesse (V) (m/s) -

Glossaire

Coefficient de Manning (\(n\)): Un coefficient empirique (qui a des unités : s/m¹/³) qui quantifie la rugosité ou la friction d'un canal. Un \(n\) élevé (ex: 0.05) signifie beaucoup de friction (végétation), un \(n\) faible (ex: 0.015) signifie peu de friction (béton lisse).
Hauteur normale (\(h_n\)): Aussi appelée "tirant d'eau normal". C'est la hauteur d'eau constante atteinte dans un canal lorsque l'écoulement est en régime uniforme (les forces motrices, gravité/pente, et les forces de friction sont à l'équilibre).
Périmètre mouillé (\(P\)): La longueur totale de la section transversale du canal qui est en contact avec l'eau (le fond + les deux berges mouillées).
Rayon hydraulique (\(R_h\)): Rapport entre l'aire mouillée (\(A\)) et le périmètre mouillé (\(P\)). Il représente l'efficacité d'un canal à transporter l'eau. Un \(R_h\) élevé signifie moins de friction relative.
Revanche (hydraulique): Marge de sécurité verticale entre le niveau d'eau maximal attendu (la ligne d'eau) et le sommet de la digue ou de la berge du canal. Elle prévient les débordements.
Régime uniforme: Un état d'écoulement où la hauteur d'eau, la vitesse moyenne et la section mouillée sont constantes le long d'un tronçon de canal.