Énergie Spécifique et Hauteur Critique

Contexte : L'Énergie SpécifiqueL'énergie par unité de poids de fluide, comptée à partir du fond du canal. C'est un concept clé pour analyser les écoulements à surface libre. en canal rectangulaire.

En hydraulique à surface libre, l'énergie spécifique (\(E_s\)) est un outil fondamental pour analyser le comportement d'un écoulement. Elle représente l'énergie totale par unité de poids du fluide, mesurée par rapport au fond du canal. L'étude de sa variation en fonction de la hauteur d'eau (\(h\)) permet de définir la hauteur critiqueLa hauteur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale, pour un débit donné. (\(h_c\)), un point de contrôle essentiel qui sépare les régimes d'écoulement fluvial (lent) et torrentiel (rapide).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer l'énergie spécifique pour un écoulement donné, à déterminer la hauteur critique correspondante, et à utiliser ces informations pour classifier le régime d'écoulement.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer l'énergie spécifique (\(E_s\)) d'un écoulement dans un canal rectangulaire.
Calculer le débit linéaire (\(q\)) et la hauteur critique (\(h_c\)) pour un débit donné.
Comprendre la relation entre la hauteur d'eau (\(h\)) et la hauteur critique (\(h_c\)) pour déterminer le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel).

Données de l'Exercice

On étudie un écoulement d'eau permanent dans un canal rectangulaire de largeur constante.

Caractéristiques du Canal

Caractéristique	Valeur
Forme du Canal	Rectangulaire
Fluide	Eau (\(\rho \approx 1000 \text{ kg/m}^3\))
Accélération de la pesanteur (\(g\))	\(9.81 \text{ m/s}^2\)

Schéma du Canal Rectangulaire (Section)

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Largeur du canal (\(L\))	Largeur de la section rectangulaire	2.0	m
Débit volumique (\(Q\))	Volume d'eau par seconde	5.0	m³/s
Hauteur d'eau (\(h\))	Hauteur de l'écoulement observée	1.5	m

Questions à traiter

Calculer la surface mouillée (\(A\)) et la vitesse moyenne (\(v\)) de l'écoulement.
Calculer l'énergie spécifique (\(E_s\)) pour la hauteur d'eau donnée (\(h = 1.5 \text{ m}\)).
Calculer le débit linéaire (\(q\)).
Calculer la hauteur critique (\(h_c\)) pour ce débit.
Comparer la hauteur d'eau (\(h\)) à la hauteur critique (\(h_c\)) et déterminer le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel).

Rappels sur l'Énergie Spécifique

L'énergie spécifique (\(E_s\)) est un concept introduit par Boris Bakhmeteff. Elle simplifie l'analyse des écoulements en se référant au fond du canal comme datum (origine des altitudes).

1. Énergie Spécifique (\(E_s\))
C'est la somme de la hauteur de pression (la hauteur d'eau \(h\)) et de la hauteur cinétique (l'énergie due à la vitesse \(v\)). On néglige la pente du fond sur une courte section. \[ E_s = h + \frac{v^2}{2g} \] Pour un canal rectangulaire, \(v = Q / A = Q / (L \cdot h) = q / h\). La formule devient : \[ E_s = h + \frac{q^2}{2g h^2} \]

2. Hauteur Critique (\(h_c\))
Pour un débit linéaire \(q\) constant, il existe une hauteur, appelée hauteur critique \(h_c\), pour laquelle l'énergie spécifique \(E_s\) est minimale. Cette hauteur est un point de contrôle fondamental.

h_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}}

Le nombre de FroudeUn nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. \(Fr = v / \sqrt{gh}\). (\(Fr\)) vaut 1 à la hauteur critique.

Correction : Calcul de l'Énergie Spécifique et de la Hauteur Critique

Question 1 : Calculer la surface mouillée (\(A\)) et la vitesse moyenne (\(v\))

Principe

La vitesse moyenne de l'écoulement est obtenue en divisant le débit total (\(Q\)) par la surface de la section d'écoulement, dite "surface mouillée" (\(A\)). Pour un canal rectangulaire, cette surface est simplement la largeur (\(L\)) multipliée par la hauteur d'eau (\(h\)).

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que le débit (\(Q\)) est constant. Ce débit est le produit de la vitesse moyenne (\(v\)) et de la surface (\(A\)) perpendiculaire à l'écoulement : \(Q = v \cdot A\). En réarrangeant, on obtient \(v = Q / A\).

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique est de bien caractériser la géométrie de l'écoulement. Le calcul de \(A\) est fondamental. Assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes (m, m², m³/s) avant de calculer la vitesse.

Normes

Ce calcul repose sur le principe fondamental de la conservation de la masse (équation de continuité) pour un écoulement permanent et incompressible.

Formule(s)

Les formules nécessaires sont :

Surface mouillée (rectangle)

A = L \times h

Vitesse moyenne

v = \frac{Q}{A}

Hypothèses

Nous supposons que la vitesse est uniformément répartie sur toute la section mouillée. C'est une simplification, mais elle est standard pour ce type de calcul (on utilise un coefficient de Coriolis \(\alpha = 1\)).

Écoulement permanent (débit constant dans le temps).
Fluide incompressible (masse volumique constante).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	5.0	m³/s
Largeur du canal	\(L\)	2.0	m
Hauteur d'eau	\(h\)	1.5	m

Astuces

Vérifiez l'ordre de grandeur. Un canal a souvent une vitesse de l'ordre de 1 à 3 m/s. Si vous trouvez 0.01 m/s ou 100 m/s, il y a probablement une erreur d'unité ou de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre la section transversale. Nous allons calculer l'aire de la zone bleue (l'eau).

Section Mouillée à Calculer

Calcul(s)

Nous procédons en deux étapes :

Étape 1 : Calcul de la surface mouillée (\(A\))

\begin{aligned} A &= L \times h \\ &= 2.0 \text{ m} \times 1.5 \text{ m} \\ &= 3.0 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse moyenne (\(v\))

\begin{aligned} v &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{5.0 \text{ m}^3/\text{s}}{3.0 \text{ m}^2} \\ &= 1.667 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La vitesse de 1.667 m/s est la vitesse moyenne du fluide à travers la section de 3.0 m².

Résultat : Vitesse Moyenne

Réflexions

Une vitesse de 1.67 m/s (environ 6 km/h) est une vitesse d'écoulement plausible pour un canal de cette taille. Le calcul est cohérent.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre la largeur \(L\) (propriété du canal) avec la hauteur d'eau \(h\) (propriété de l'écoulement). Une autre erreur est de mal calculer la surface (par exemple, pour un trapèze).

Points à retenir

La relation \(Q = v \cdot A\) est l'une des équations les plus fondamentales de l'hydraulique. La maîtrise du calcul de la surface mouillée (\(A\)) pour différentes géométries est essentielle.

Canal rectangulaire : \(A = L \cdot h\)

Le saviez-vous ?

Dans un écoulement réel, la vitesse n'est pas uniforme. Elle est nulle sur les parois (fond et côtés) à cause de la friction et maximale près de la surface libre, légèrement sous celle-ci. La vitesse \(v = Q/A\) est une moyenne pratique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La surface mouillée est \(A = 3.0 \text{ m}^2\) et la vitesse moyenne est \(v = 1.667 \text{ m/s}\).

A vous de jouer

Avec les mêmes données (\(Q=5.0 \text{ m}^3/\text{s}\), \(L=2.0 \text{ m}\)), quelle serait la vitesse \(v\) si la hauteur d'eau \(h\) était de 1.0 m ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Débit, Vitesse et Surface.
Formule Essentielle : \(A = L \cdot h\) et \(v = Q / A\).
Point de Vigilance : Unités cohérentes (m, m², m³/s).

Question 2 : Calculer l'énergie spécifique (\(E_s\))

Principe

L'énergie spécifique (\(E_s\)) est l'énergie par unité de poids du fluide, mesurée par rapport au fond du canal. Elle se compose de deux termes : l'énergie potentielle (liée à la hauteur d'eau \(h\)) et l'énergie cinétique (liée à la vitesse \(v\)). C'est une mesure de l'énergie disponible pour l'écoulement à une section donnée.

Mini-Cours

La hauteur d'énergie totale (\(H\)) en un point est donnée par le théorème de Bernoulli : \(H = z + h + \alpha \frac{v^2}{2g}\), où \(z\) est l'altitude du fond. L'énergie spécifique (\(E_s\)) se définit comme l'énergie par rapport au fond, donc \(E_s = H - z\). En supposant \(\alpha=1\) (coefficient de Coriolis pour une vitesse moyenne), on a \(E_s = h + \frac{v^2}{2g}\). Le premier terme, \(h\), représente l'énergie potentielle de pression, et le second, \(\frac{v^2}{2g}\), l'énergie cinétique.

Remarque Pédagogique

Notez que les deux termes de \(E_s\) sont des longueurs (en mètres). \(h\) est la "charge de pression" et \(\frac{v^2}{2g}\) est la "charge de vitesse" (aussi appelée hauteur cinétique). L'énergie spécifique est donc une hauteur (une ligne d'énergie) par rapport au fond du canal. Elle représente la hauteur qu'atteindrait l'eau dans un tube de Pitot imaginaire placé dans l'écoulement, si le fond est pris comme référence.

Normes

L'application du théorème de Bernoulli pour les écoulements à surface libre, en prenant le fond comme référence, est une pratique standard et universelle en hydraulique.

Formule(s)

Énergie Spécifique

E_s = h + \frac{v^2}{2g}

Hypothèses

Nous utilisons les hypothèses standards pour cette formule :

Pente du canal faible (le terme \(\cos \theta\) dans la hauteur de pression est considéré égal à 1).
Coefficient de Coriolis \(\alpha = 1\) (distribution de vitesse considérée uniforme pour le calcul de l'énergie cinétique moyenne).
Accélération de la pesanteur \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).
Fluide incompressible et écoulement permanent.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau	\(h\)	1.5	m
Vitesse moyenne	\(v\)	1.667	m/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

La charge de vitesse \(\frac{v^2}{2g}\) est souvent petite par rapport à \(h\) dans les régimes lents (fluviaux), mais devient dominante dans les régimes rapides (torrentiels). Calculer ce terme séparément est une bonne pratique pour éviter les erreurs et pour analyser la contribution relative de chaque forme d'énergie.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons à calculer la hauteur totale \(E_s\), qui est la somme de \(h\) et de la charge de vitesse. Elle représente la hauteur de la ligne d'énergie au-dessus du fond du canal.

Composition de l'Énergie Spécifique

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la charge cinétique (\( \frac{v^2}{2g} \))

\begin{aligned} \frac{v^2}{2g} &= \frac{(1.667 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{2.778 \text{ m}^2/\text{s}^2}{19.62 \text{ m/s}^2} \\ &= 0.142 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'énergie spécifique (\(E_s\))

\begin{aligned} E_s &= h + \frac{v^2}{2g} \\ &= 1.5 \text{ m} + 0.142 \text{ m} \\ &= 1.642 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La ligne d'énergie spécifique se situe 0.142 m au-dessus de la surface libre, soit à 1.642 m au-dessus du fond.

Lignes d'Énergie

Réflexions

L'énergie spécifique totale est de 1.642 m. On voit que la majorité de l'énergie est sous forme potentielle (hauteur \(h\)), représentant \(1.5 / 1.642 \approx 91\%\), et une plus petite partie (environ 9%) est sous forme cinétique (vitesse). Cela suggère un écoulement relativement lent, ce que nous confirmerons plus tard.

Points de vigilance

Ne pas oublier de mettre la vitesse au carré ! Une erreur fréquente est de calculer \(h + v/(2g)\). Pensez toujours aux unités : \(v^2\) (m²/s²) divisé par \(g\) (m/s²) donne bien des mètres (m).

Points à retenir

L'énergie spécifique est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur cinétique.
\(E_s = h + \frac{v^2}{2g}\).
Les deux composantes s'expriment en mètres (m).

Le saviez-vous ?

Pour un débit donné, il existe deux hauteurs d'eau possibles (sauf au minimum) qui donnent la même énergie spécifique : une hauteur fluviale (grande) et une hauteur torrentielle (petite). Elles sont appelées "hauteurs conjuguées". Le passage de l'une à l'autre se fait via des phénomènes spécifiques (seuil, vanne, ressaut hydraulique).

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

L'énergie spécifique de l'écoulement est \(E_s = 1.642 \text{ m}\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat de "A vous de jouer" de la Q1 (\(h=1.0 \text{ m}\), \(v=2.5 \text{ m/s}\)), quelle serait la nouvelle énergie spécifique \(E_s\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Énergie Spécifique (potentielle + cinétique).
Formule Essentielle : \(E_s = h + v^2/(2g)\).
Point de Vigilance : Mettre la vitesse au carré, vérifier les unités.

Question 3 : Calculer le débit linéaire (\(q\))

Principe

Le débit linéaire, ou débit par unité de largeur, est un concept très utile pour les canaux rectangulaires. Il simplifie les équations en réduisant le problème à deux dimensions (hauteur et longueur), en supposant que ce qui se passe sur 1 mètre de largeur est représentatif de tout le canal. Il représente le flux volumique qui traverse une section verticale de 1m de large.

Mini-Cours

Le débit linéaire (\(q\)) est défini comme le débit total (\(Q\)) divisé par la largeur du canal (\(L\)). Ses unités sont des m³/s par mètre, soit des m²/s. Il est crucial pour le calcul de la hauteur critique et pour l'utilisation de la courbe \(E_s(h)\), car cette courbe est unique pour une valeur de \(q\) donnée (dans un canal rectangulaire).

Remarque Pédagogique

Pensez au débit linéaire \(q\) comme à une "densité de débit". Si vous avez un canal de 10 m de large avec un débit \(Q=50 \text{ m}^3/\text{s}\), son \(q\) est de 5 m²/s. Un canal de 2 m de large avec \(Q=10 \text{ m}^3/\text{s}\) a le *même* \(q\) (5 m²/s) et aura donc la *même* hauteur critique et la *même* courbe \(E_s(h)\). C'est un paramètre normalisé très puissant.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme, mais d'une définition standard en hydraulique à surface libre pour les canaux rectangulaires, largement utilisée dans la littérature et les logiciels.

Formule(s)

Débit Linéaire

q = \frac{Q}{L}

Hypothèses

Cette définition n'est valable et utile que pour les canaux rectangulaires de largeur constante. Pour d'autres formes, le concept n'est pas directement applicable de la même manière.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	5.0	m³/s
Largeur du canal	\(L\)	2.0	m

Astuces

Les unités de \(q\) sont en m²/s. Cela peut sembler étrange, mais c'est logique : \((\text{m}^3/\text{s}) / \text{m} = \text{m}^2/\text{s}\). Ne soyez pas tenté d'écrire m/s, qui est une vitesse ! C'est un débit par mètre de largeur.

Schéma (Avant les calculs)

On "découpe" virtuellement le débit total \(Q\) qui traverse toute la largeur \(L\) en tranches de 1m de large, chacune transportant un débit \(q\).

Débit Total vs. Débit Linéaire

Calcul(s)

Calcul du débit linéaire (\(q\))

\begin{aligned} q &= \frac{Q}{L} \\ &= \frac{5.0 \text{ m}^3/\text{s}}{2.0 \text{ m}} \\ &= 2.5 \text{ m}^2/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Chaque "tranche" de 1 mètre de large du canal transporte 2.5 m³ d'eau par seconde.

Réflexions

Le calcul de \(q\) simplifie grandement les problèmes. Désormais, nous n'avons plus besoin de connaître \(Q\) et \(L\) séparément, seulement la valeur de \(q = 2.5 \text{ m}^2/\text{s}\) pour la suite de l'analyse, notamment pour calculer la hauteur critique et tracer la courbe \(E_s(h)\).

Points de vigilance

Cette notion de débit linéaire \(q\) n'a de sens que pour les canaux rectangulaires (ou très larges où les effets de bord sont négligeables). Ne l'appliquez pas directement à un canal trapézoïdal ou circulaire sans adaptation.

Points à retenir

Le débit linéaire \(q\) est le débit par unité de largeur.
\(q = Q / L\).
Unités : m²/s.

Le saviez-vous ?

En modélisation hydraulique avancée (2D ou 3D), on ne parle plus de \(q\) mais de vecteur vitesse ou de flux. \(q\) est une simplification très efficace issue de la modélisation 1D (unidimensionnelle) des écoulements, particulièrement utile pour les canaux prismatiques.

FAQ

Questions sur le débit linéaire.

Résultat Final

Le débit linéaire est \(q = 2.5 \text{ m}^2/\text{s}\).

A vous de jouer

Si le débit total \(Q\) passait à 10 m³/s (en gardant \(L=2.0 \text{ m}\)), quel serait le nouveau débit linéaire \(q\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Débit Linéaire (par unité de largeur).
Formule Essentielle : \(q = Q / L\).
Point de Vigilance : Unités (m²/s) et usage (canaux rectangulaires).

Question 4 : Calculer la hauteur critique (\(h_c\))

Principe

La hauteur critique (\(h_c\)) est une hauteur d'eau unique pour un débit linéaire \(q\) donné. À cette hauteur, l'énergie spécifique (\(E_s\)) est à son minimum absolu. C'est un état d'écoulement très particulier où le nombre de Froude \(Fr=1\), marquant la transition entre les régimes fluvial et torrentiel.

Mini-Cours

On peut trouver la hauteur critique en dérivant l'expression de l'énergie spécifique \(E_s(h) = h + q^2/(2gh^2)\) par rapport à \(h\) et en cherchant le minimum (où \(dE_s/dh = 0\)). \[ \frac{dE_s}{dh} = 1 - \frac{q^2}{gh^3} \] En posant \(dE_s/dh = 0\), on obtient \(1 = q^2/(gh_c^3)\), ce qui mène directement à la relation \(h_c^3 = q^2/g\).

Remarque Pédagogique

La hauteur critique ne dépend *que* du débit linéaire (\(q\)) et de la gravité (\(g\)). Elle ne dépend pas de la hauteur d'eau actuelle (\(h\)) ou de la largeur (\(L\)) si on connaît \(q\). C'est une propriété intrinsèque de l'écoulement (pour un \(q\) donné), pas un état observé (sauf si l'écoulement *est* critique).

Normes

La définition de l'état critique (\(Fr=1\)) et la formule dérivée pour \(h_c\) sont des conventions universelles en hydraulique à surface libre.

Formule(s)

Hauteur Critique (canal rectangulaire)

h_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}}

Hypothèses

La formule est valable pour un canal rectangulaire.

Accélération de la pesanteur \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).
Débit linéaire \(q\) constant.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q3 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit linéaire	\(q\)	2.5	m²/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Sur votre calculatrice, \(\sqrt[3]{X}\) peut s'écrire \(X^{(1/3)}\) ou `pow(X, 1/3)`. Assurez-vous de bien calculer \(q^2\) *avant* de diviser par \(g\). Vérifiez les unités : \(q^2\) est en \(\text{m}^4/\text{s}^2\), \(g\) est en \(\text{m/s}^2\), le rapport est en \(\text{m}^3\), et la racine cubique donne bien des \(\text{m}\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons le point minimum sur la courbe Énergie-Hauteur. Ce point correspond à la hauteur critique \(h_c\) et à l'énergie minimale \(E_{\text{min}}\).

Courbe Énergie Spécifique vs. Hauteur

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(q^2\)

q^2 = (2.5 \text{ m}^2/\text{s})^2 = 6.25 \text{ m}^4/\text{s}^2

Étape 2 : Calcul de la hauteur critique (\(h_c\))

\begin{aligned} h_c &= \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{6.25 \text{ m}^4/\text{s}^2}{9.81 \text{ m/s}^2}} \\ &= \sqrt[3]{0.6371 \text{ m}^3} \\ &= 0.860 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le point critique (énergie minimale) pour cet écoulement (\(q=2.5 \text{ m}^2/\text{s}\)) se situe à une hauteur de 0.860 m.

Point Critique Identifié

Réflexions

Cette hauteur de 0.860 m est le "point de bascule" pour cet écoulement. Tout écoulement avec ce débit (\(q=2.5 \text{ m}^2/\text{s}\)) aura cette hauteur critique, qu'il soit actuellement à 0.5 m, 1.5 m ou 10 m de profondeur. C'est une caractéristique fondamentale liée au débit et à la gravité.

Points de vigilance

Ne confondez pas la hauteur critique \(h_c\) (une valeur calculée, propriété de l'écoulement) avec la hauteur d'eau \(h\) (une valeur observée, état de l'écoulement). L'exercice consiste justement à les comparer. Assurez-vous aussi d'utiliser les bonnes unités (\(\text{m}^2/\text{s}\) pour \(q\), \(\text{m/s}^2\) pour \(g\)).

Points à retenir

La hauteur critique \(h_c\) correspond à l'énergie spécifique minimale \(E_{\text{min}}\).
Elle ne dépend que du débit linéaire \(q\) et de \(g\).
Formule (rectangle) : \(h_c = (q^2/g)^{1/3}\).

Le saviez-vous ?

L'énergie minimale correspondante, \(E_{\text{min}}\), vaut toujours \(1.5 \times h_c\) pour un canal rectangulaire. Dans notre cas, \(E_{\text{min}} = 1.5 \times 0.860 = 1.29 \text{ m}\). Notre énergie calculée en Q2 (1.642 m) est bien supérieure à ce minimum, ce qui confirme que l'écoulement n'est pas critique.

FAQ

Questions sur la hauteur critique.

Résultat Final

La hauteur critique pour cet écoulement est \(h_c = 0.860 \text{ m}\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat de "A vous de jouer" de la Q3 (\(q=5.0 \text{ m}^2/\text{s}\)), quelle serait la nouvelle hauteur critique \(h_c\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Hauteur Critique (minimum d'énergie, \(Fr=1\)).
Formule Essentielle : \(h_c = \sqrt[3]{q^2/g}\) (rectangle).
Point de Vigilance : Ne pas confondre \(h\) (hauteur observée) et \(h_c\) (hauteur caractéristique du débit).

Question 5 : Déterminer le régime d'écoulement

Principe

Le régime d'écoulement décrit le comportement dynamique de l'eau (lent ou rapide). Il est déterminé en comparant la hauteur d'eau observée (\(h\)) à la hauteur critique (\(h_c\)) calculée pour le débit (\(q\)) actuel. Si l'eau est plus haute que la hauteur critique, elle s'écoule lentement (régime fluvial). Si elle est plus basse, elle s'écoule rapidement (régime torrentiel).

Mini-Cours

La classification des régimes est fondamentale en hydraulique à surface libre :

Régime Fluvial (Subcritique) : \(h > h_c\). L'écoulement est lent, profond, dominé par les forces de gravité. Les perturbations peuvent remonter le courant (contrôle par l'aval). Le Nombre de Froude \(Fr < 1\).
Régime Critique : \(h = h_c\). L'écoulement est à son énergie minimale, état instable souvent localisé (ex: sur un seuil). \(Fr = 1\).
Régime Torrentiel (Supercritique) : \(h < h_c\). L'écoulement est rapide, peu profond, dominé par les forces d'inertie. Les perturbations ne peuvent pas remonter le courant (contrôle par l'amont). \(Fr > 1\).

Remarque Pédagogique

Pensez à un rocher dans une rivière. En régime fluvial (\(h > h_c\)), l'eau "sent" l'obstacle en amont et le niveau monte légèrement avant le rocher (influence de l'aval). En régime torrentiel (\(h < h_c\)), l'eau va trop vite pour "sentir" l'obstacle ; elle le frappe et crée une vague ou un ressaut hydraulique *après* le rocher (influence de l'amont).

Normes

La classification (subcritique, critique, supercritique) basée sur le nombre de Froude (ou la comparaison \(h/h_c\)) est la convention standard mondiale en mécanique des fluides et hydraulique.

Formule(s)

Comparaison des hauteurs

\text{Si } h > h_c \Rightarrow \text{Régime Fluvial (Subcritique)}

\text{Si } h = h_c \Rightarrow \text{Régime Critique}

\text{Si } h < h_c \Rightarrow \text{Régime Torrentiel (Supercritique)}

Hypothèses

L'analyse est basée sur les valeurs de \(h\) (observée) et \(h_c\) (calculée) précédemment déterminées.

Donnée(s)

Nous utilisons la donnée de l'énoncé et le résultat de la Q4 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau observée	\(h\)	1.5	m
Hauteur critique calculée	\(h_c\)	0.860	m

Astuces

Un moyen mnémotechnique : "Fluvial" (comme un fleuve tranquille) est lent et profond (\(h\) est relativement grand, \(h > h_c\)). "Torrentiel" (comme un torrent de montagne rapide) est rapide et peu profond (\(h\) est relativement petit, \(h < h_c\)).

Schéma (Avant les calculs)

Nous allons situer notre hauteur observée (\(h=1.5 \text{ m}\)) sur la courbe d'énergie, par rapport à la hauteur critique (\(h_c=0.860 \text{ m}\)) pour déterminer si nous sommes sur la branche supérieure (fluviale) ou inférieure (torrentielle) de la courbe.

Position de la Hauteur Observée

Calcul(s)

Comparaison

h = 1.5 \text{ m} \quad \text{et} \quad h_c = 0.860 \text{ m} \] \[ \text{On constate que } 1.5 > 0.860 \] \[ \text{Donc } h > h_c

Réflexions

Puisque la hauteur d'eau observée est supérieure à la hauteur critique, l'écoulement est lent et profond. Il est en régime fluvial (ou subcritique). L'énergie spécifique de l'écoulement (1.642 m, calculée en Q2) est supérieure à l'énergie minimale possible (1.29 m, voir "Le saviez-vous ?" de Q4), ce qui est cohérent avec un régime non critique.

Points de vigilance

Faites attention à ne pas inverser la comparaison. \(h > h_c\) \(\rightarrow\) Fluvial (Subcritique). \(h < h_c\) \(\rightarrow\) Torrentiel (Supercritique). C'est une source d'erreur fréquente pour les débutants.

Points à retenir

La hauteur critique \(h_c\) est la référence pour déterminer le régime.
\(h > h_c\) : Régime Fluvial (Subcritique), Nombre de Froude \(Fr < 1\).
\(h < h_c\) : Régime Torrentiel (Supercritique), Nombre de Froude \(Fr > 1\).

Le saviez-vous ?

Un "ressaut hydraulique" (comme la vague stationnaire observée parfois au pied d'un barrage ou dans un évier) est le passage brutal et turbulent d'un régime torrentiel (\(h < h_c\)) à un régime fluvial (\(h > h_c\)). Ce phénomène dissipe une quantité importante d'énergie sous forme de chaleur et de turbulence.

FAQ

Questions sur les régimes d'écoulement.

Résultat Final

L'écoulement est en régime fluvial (subcritique) car la hauteur d'eau \(h = 1.5 \text{ m}\) est supérieure à la hauteur critique \(h_c = 0.860 \text{ m}\).

A vous de jouer

Calculez le nombre de Froude (\(Fr = v / \sqrt{gh}\)) pour notre écoulement (\(v=1.667 \text{ m/s}\), \(h=1.5 \text{ m}\)). (Réponse attendue avec 3 décimales : 0.435)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Régime d'écoulement (Fluvial vs Torrentiel).
Formule Essentielle : Comparer \(h\) et \(h_c\) ou calculer \(Fr = v / \sqrt{gh}\).
Point de Vigilance : Fluvial si \(h > h_c\) (ou \(Fr < 1\)), Torrentiel si \(h < h_c\) (ou \(Fr > 1\)).

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie Spécifique

Utilisez ce simulateur pour visualiser la courbe Énergie Spécifique (\(E_s\)) en fonction de la hauteur (\(h\)) pour un débit linéaire (\(q\)) donné. Observez comment la hauteur critique (\(h_c\)) et l'énergie changent.

Paramètres d'Entrée

Débit linéaire (\(q\)) (m²/s) 2.5 m²/s

Hauteur d'eau (\(h\)) (m) 1.5 m

Résultats Clés

Hauteur Critique (\(h_c\)) (m) -

Énergie Spécifique (\(E_s\)) (m) -

Glossaire

Énergie Spécifique (\(E_s\)): Énergie par unité de poids du fluide, mesurée par rapport au fond du canal. C'est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur cinétique : \(E_s = h + v^2/(2g)\).
Hauteur Critique (\(h_c\)): Profondeur d'écoulement unique pour un débit donné (\(q\)) à laquelle l'énergie spécifique (\(E_s\)) est minimale. C'est le point où le nombre de Froude \(Fr = 1\).
Régime Fluvial (Subcritique): Écoulement lent et profond, où \(h > h_c\) et \(Fr < 1\). Les ondes de surface peuvent remonter le courant.
Régime Torrentiel (Supercritique): Écoulement rapide et peu profond, où \(h < h_c\) et \(Fr > 1\). Les ondes de surface ne peuvent pas remonter le courant.
Débit Linéaire (\(q\)): Applicable aux canaux rectangulaires, c'est le débit volumique total (\(Q\)) divisé par la largeur du canal (\(L\)). Unités : \(\text{m}^2/\text{s}\).
Nombre de Froude (\(Fr\)): Nombre sans dimension comparant les forces d'inertie aux forces de gravité. \(Fr = v / \sqrt{gh}\) pour un canal rectangulaire.