ÉTUDE HYDRAULIQUE

Problème de la Mise en Charge d’une Conduite Vide

Problème de la Mise en Charge d'une Conduite Vide

Problème de la Mise en Charge d'une Conduite Vide

Comprendre le Problème de la Mise en Charge d'une Conduite Vide

La mise en charge, ou le remplissage d'une conduite initialement vide, est un régime transitoire complexe et critique en hydraulique. Lorsqu'une vanne est ouverte, un front d'eau avance dans la conduite, poussant devant lui la colonne d'air qui l'occupait. La vitesse de ce front n'est pas constante : elle est maximale au début et diminue à mesure que la longueur de la colonne d'eau augmente, car les pertes de charge par frottement deviennent de plus en plus importantes. Une mauvaise gestion de ce processus, notamment une évacuation inefficace de l'air, peut entraîner la formation de poches d'air comprimé, des vibrations et des surpressions dangereuses (coups de bélier). L'objectif de cet exercice est d'estimer le temps de remplissage en utilisant un modèle simplifié.

Données de l'étude

On souhaite estimer le temps de remplissage d'une conduite horizontale vide, alimentée par un grand réservoir et débouchant à l'air libre.

Caractéristiques du système :

  • Fluide : Eau à 20°C
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Charge motrice constante (hauteur du réservoir) : \(H = 30 \, \text{m}\)
  • Longueur totale de la conduite (\(L\)) : \(1200 \, \text{m}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(500 \, \text{mm}\)
  • Coefficient de frottement (Darcy-Weisbach) : \(f = 0.02\) (supposé constant)

Hypothèse : On suppose que l'air s'échappe librement à l'extrémité de la conduite sans créer de contre-pression. On néglige les pertes de charge singulières.

Schéma de la mise en charge
H=30m Air expulsé Front d'eau V(t) x(t) L = 1200 m

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation de Bernoulli entre la surface libre du réservoir et le front d'eau (à une distance \(x\) de l'entrée).
  2. À partir de cette équation, exprimer la vitesse du front d'eau \(V\) en fonction de sa position \(x\).
  3. Calculer la vitesse initiale (\(V_0\) pour \(x=0\)) et la vitesse finale (\(V_f\) pour \(x=L\)).
  4. En utilisant une vitesse moyenne simplifiée \(V_m = (V_0 + V_f)/2\), estimer le temps de remplissage total (\(T\)).

Correction : Problème de la Mise en Charge d'une Conduite Vide

Question 1 : Équation de Bernoulli

Principe :

On applique le théorème de l'énergie entre la surface du réservoir (point A) et le front d'eau mobile (point F). La charge totale en A doit être égale à la charge totale en F plus les pertes de charge par frottement sur la longueur déjà remplie \(x\).

Équation :
\[ \begin{aligned} H_A &= H_F + \Delta H_{AF} \\ Z_A + \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} &= (Z_F + \frac{P_F}{\rho g} + \frac{V_F^2}{2g}) + f\frac{x}{D}\frac{V_F^2}{2g} \end{aligned} \]

Avec \(Z_A = H\), \(P_A=P_F=0\) (pression atmosphérique), \(V_A \approx 0\), \(Z_F=0\) (conduite horizontale) et \(V_F = V\), l'équation se simplifie :

\[ H = \frac{V^2}{2g} + f\frac{x}{D}\frac{V^2}{2g} = \frac{V^2}{2g} \left(1 + f\frac{x}{D}\right) \]

Question 2 : Vitesse du Front d'Eau (\(V(x)\))

Principe :

On isole la vitesse \(V\) de l'équation obtenue à la question précédente pour voir comment elle varie en fonction de la distance parcourue \(x\).

Expression de V(x) :
\[ V^2 = \frac{2gH}{1 + f\frac{x}{D}} \Rightarrow V(x) = \sqrt{\frac{2gH}{1 + f\frac{x}{D}}} \]

Question 3 : Vitesses Initiale et Finale

Principe :

On calcule la vitesse au tout début (\(x=0\)) et à la toute fin du remplissage (\(x=L\)) en utilisant la formule de \(V(x)\).

Calcul de la vitesse initiale (\(V_0\)) :
\[ V_0 = V(x=0) = \sqrt{\frac{2 \times 9.81 \times 30}{1 + 0}} = \sqrt{588.6} \approx 24.26 \, \text{m/s} \]
Calcul de la vitesse finale (\(V_f\)) :
\[ \begin{aligned} V_f = V(x=L) &= \sqrt{\frac{2 \times 9.81 \times 30}{1 + 0.02 \times \frac{1200}{0.5}}} = \sqrt{\frac{588.6}{1 + 48}} \\ &= \sqrt{\frac{588.6}{49}} \approx \sqrt{12.01} \approx 3.47 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse initiale est très élevée (\(V_0 \approx 24.3 \, \text{m/s}\)) et la vitesse finale est beaucoup plus faible (\(V_f \approx 3.5 \, \text{m/s}\)).

Question 4 : Temps de Remplissage Estimé (\(T\))

Principe :

Puisque la vitesse varie de façon non linéaire, un calcul exact du temps nécessiterait d'intégrer l'inverse de la fonction V(x). Pour une estimation simplifiée, on utilise une vitesse moyenne arithmétique et la formule cinématique de base \(T = L/V_m\).

Calcul de la vitesse moyenne :
\[ V_m = \frac{V_0 + V_f}{2} = \frac{24.26 + 3.47}{2} = 13.865 \, \text{m/s} \]
Calcul du temps :
\[ \begin{aligned} T = \frac{L}{V_m} = \frac{1200 \, \text{m}}{13.865 \, \text{m/s}} \approx 86.55 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le temps de remplissage estimé est d'environ 87 secondes.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Lors de la mise en charge d'une conduite, la vitesse du front d'eau :

8. Le risque principal associé à une mauvaise évacuation de l'air pendant la mise en charge est :

9. La vitesse initiale de remplissage est élevée car...

Glossaire

Mise en Charge
Opération consistant à remplir d'eau une conduite ou un réseau initialement vide. C'est une phase transitoire où la vitesse et la pression évoluent rapidement.
Front d'Eau
Interface mobile entre la colonne d'eau qui avance et la colonne d'air qui est repoussée lors du remplissage d'une conduite.
Ventouse (ou Purgeur d'air)
Dispositif de protection installé sur les points hauts des conduites pour permettre l'évacuation de l'air pendant la mise en charge et l'entrée d'air pendant la vidange, afin d'éviter les surpressions et les dépressions.
Coup de Bélier
Phénomène de surpression (onde de choc) qui se propage dans une conduite suite à une variation brusque de la vitesse du fluide, comme la fermeture rapide d'une vanne ou la jonction de deux colonnes d'eau séparées par une poche d'air.
Problème de la Mise en Charge - Exercice d'Application

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