ÉTUDE HYDRAULIQUE

Modélisation d’une fuite dans une conduite

Modélisation d'une Fuite dans une Conduite

Modélisation d'une fuite dans une conduite : calcul du débit perdu

Comprendre la Modélisation d'une fuite dans une conduite : calcul du débit perdu

Les fuites sont une préoccupation majeure dans les réseaux de distribution d'eau, entraînant des pertes de ressources et d'énergie. Une fuite peut être modélisée comme un écoulement à travers un orifice. Selon le théorème de Torricelli, le débit sortant par cet orifice (\(Q_\text{fuite}\)) est proportionnel à la racine carrée de la charge de pression (\(H_\text{fuite}\)) à l'endroit de la fuite. Le problème est complexe car la présence de la fuite modifie les débits en amont et en aval, ce qui change les pertes de charge et donc la pression au point de fuite. La résolution nécessite de trouver un équilibre entre le débit qui arrive au point de fuite, le débit qui continue dans la conduite, et le débit qui est perdu.

Données de l'étude

Une conduite relie un réservoir (A) à un point de distribution (C). Une fuite s'est déclarée à un point intermédiaire (F).

Caractéristiques du système :

  • Fluide : Eau à 20°C (\(\nu = 1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}\))
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Tronçon 1 (AF) : \(L_1 = 800 \, \text{m}\), \(D_1 = 200 \, \text{mm}\), \(f_1 = 0.022\)
  • Tronçon 2 (FC) : \(L_2 = 600 \, \text{m}\), \(D_2 = 200 \, \text{mm}\), \(f_2 = 0.022\)

Charges et Loi de la fuite :

  • Charge au réservoir A : \(H_A = 100 \, \text{m}\)
  • Charge requise au point C : \(H_C = 82 \, \text{m}\)
  • La loi de la fuite au point F est donnée par : \(Q_\text{fuite} = C_f \sqrt{H_F}\) où \(C_f = 0.015 \, \text{m}^{2.5}\text{/s}\) et \(H_F\) est la charge au point de fuite.
Schéma de la conduite avec fuite
Réservoir A H_A=100m Fuite F Q_fuite Tronçon 1 (Q₁) Tronçon 2 (Q₂) Point C H_C=82m

Questions à traiter

  1. Exprimer le débit amont \(Q_1\) en fonction de la charge au point de fuite \(H_F\).
  2. Exprimer le débit aval \(Q_2\) en fonction de la charge au point de fuite \(H_F\).
  3. Exprimer le débit de la fuite \(Q_\text{fuite}\) en fonction de \(H_F\).
  4. En utilisant la loi de continuité (\(Q_1 = Q_2 + Q_\text{fuite}\)) et en faisant l'hypothèse de départ que \(H_F = 90 \, \text{m}\), calculer les trois débits et vérifier si l'équation de continuité est satisfaite.
  5. Conclure sur la direction dans laquelle ajuster \(H_F\) pour la prochaine itération.

Correction : Modélisation d'une fuite dans une conduite : calcul du débit perdu

Question 1 : Débit Amont (\(Q_1\))

Principe :

On applique Bernoulli entre A et F. La perte de charge \(\Delta H_{AF}\) est la différence de charge \(H_A - H_F\). On utilise la formule \(\Delta H = kQ^2\) pour en déduire \(Q_1\).

Calcul du coefficient de résistance \(k_1\) :
\[ k_1 = f_1 \frac{8 L_1}{g \pi^2 D_1^5} = 0.022 \frac{8 \times 800}{9.81 \times \pi^2 \times (0.2)^5} \approx 4543.5 \]
Expression de \(Q_1\) :
\[ Q_1 = \sqrt{\frac{H_A - H_F}{k_1}} = \sqrt{\frac{100 - H_F}{4543.5}} \]

Question 2 : Débit Aval (\(Q_2\))

Principe :

On applique Bernoulli entre F et C. La perte de charge \(\Delta H_{FC}\) est \(H_F - H_C\). On en déduit \(Q_2\).

Calcul du coefficient de résistance \(k_2\) :
\[ k_2 = f_2 \frac{8 L_2}{g \pi^2 D_2^5} = 0.022 \frac{8 \times 600}{9.81 \times \pi^2 \times (0.2)^5} \approx 3407.6 \]
Expression de \(Q_2\) :
\[ Q_2 = \sqrt{\frac{H_F - H_C}{k_2}} = \sqrt{\frac{H_F - 82}{3407.6}} \]

Question 3 : Débit de Fuite (\(Q_\text{fuite}\))

Principe :

Le débit de la fuite est donné directement par la loi de l'orifice fournie dans l'énoncé.

Expression de \(Q_\text{fuite}\) :
\[ Q_\text{fuite} = 0.015 \sqrt{H_F} \]

Question 4 : Itération 1 (\(H_F = 90 \, \text{m}\))

Principe :

On calcule les trois débits avec la charge supposée et on vérifie si la somme des débits sortants est égale au débit entrant.

Calcul des débits :
\[ \begin{aligned} Q_1 &= \sqrt{\frac{100 - 90}{4543.5}} = \sqrt{0.00220} \approx 0.0469 \, \text{m}^3/\text{s} \\ Q_2 &= \sqrt{\frac{90 - 82}{3407.6}} = \sqrt{0.002347} \approx 0.0485 \, \text{m}^3/\text{s} \\ Q_\text{fuite} &= 0.015 \sqrt{90} = 0.015 \times 9.487 \approx 0.1423 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Vérification de la continuité :
\[ \begin{aligned} Q_1 &\stackrel{?}{=} Q_2 + Q_\text{fuite} \\ 0.0469 \, \text{m}^3/\text{s} &\stackrel{?}{=} 0.0485 \, \text{m}^3/\text{s} + 0.1423 \, \text{m}^3/\text{s} \\ 0.0469 \, \text{m}^3/\text{s} &\neq 0.1908 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La continuité n'est pas respectée. Le débit entrant (\(\approx 47\) L/s) est très inférieur à la somme des débits sortants (\(\approx 191\) L/s).

Question 5 : Ajustement de l'Hypothèse

Principe :

Le résultat \(Q_1 < Q_2 + Q_\text{fuite}\) indique que notre hypothèse de charge \(H_F\) est trop élevée. Une charge élevée au point de fuite réduit la perte de charge en amont (d'où un faible \(Q_1\)) tout en augmentant fortement la perte de charge en aval et le débit de fuite (d'où des \(Q_2\) et \(Q_\text{fuite}\) élevés). Pour rééquilibrer, il faut diminuer la valeur de \(H_F\). Cela augmentera le débit entrant \(Q_1\) et réduira les débits sortants.

Résultat Question 5 : La valeur de \(H_F\) est trop haute. Pour la prochaine itération, il faudrait choisir une valeur de \(H_F\) inférieure à 90 m.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Le débit d'une fuite modélisée par un orifice est proportionnel à :

8. Si la pression dans une conduite augmente, le débit de fuite :

9. La résolution d'un problème de fuite est itérative car :

Glossaire

Fuite
Ouverture non désirée dans une conduite par laquelle le fluide s'échappe. En hydraulique, elle est souvent modélisée comme un orifice.
Loi de l'Orifice
Principe (dérivé du théorème de Torricelli) qui stipule que la vitesse de sortie d'un fluide par un petit orifice est proportionnelle à la racine carrée de la charge de pression agissant sur cet orifice. Le débit est alors proportionnel à cette vitesse et à l'aire de l'orifice.
Charge Hydraulique (H)
Énergie totale du fluide par unité de poids en un point donné. Elle est la somme de la cote (\(Z\)), de la hauteur de pression (\(P/\rho g\)) et de la hauteur de vitesse (\(V^2/2g\)).
Loi de Continuité (ou Loi des Nœuds)
Principe de conservation de la masse appliqué à un nœud, qui stipule que la somme des débits entrants doit être égale à la somme des débits sortants.
Modélisation d'une Fuite - Exercice d'Application

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