ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Exercice : Ligne de Charge en Réseau Hydraulique Ramifié

Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Contexte : L'Hydraulique en ChargeÉtude des écoulements de liquides dans des conduites complètement remplies, où la pression est généralement supérieure à la pression atmosphérique..

Le dimensionnement des réseaux d'adduction d'eau potable est un enjeu crucial pour les ingénieurs. Il faut garantir un débit et une pression suffisants en tout point du réseau pour les usagers. Cet exercice se concentre sur un cas simple mais fondamental : un réseau ramifiéUn réseau de distribution où les conduites se divisent en branches successives sans former de boucles, s'écoulant d'un point central vers les utilisateurs., alimenté par un château d'eau. Nous allons calculer l'énergie de l'eau (la charge) tout au long du parcours et vérifier si la pression est correcte aux points de livraison.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de Bernoulli généralisé pour calculer les pertes de charge et en déduire la ligne de charge et la ligne piézométrique d'un système. C'est la base de tout calcul de réseau hydraulique.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique et le théorème de Bernoulli.
  • Calculer les vitesses, nombres de Reynolds et pertes de charge dans plusieurs conduites.
  • Déterminer la ligne de charge et la pression en des points spécifiques d'un réseau ramifié.
  • Analyser la validité des résultats et identifier des problèmes potentiels comme la cavitation.

Données de l'étude

Un château d'eau, dont le plan d'eau est à une altitude de 100 m (point A), alimente deux points de distribution B et C via un réseau de conduites en fonte (rugosité, k = 0.1 mm). Le réseau se sépare au niveau d'un nœud N. Les débits requis sont de 30 L/s au point B et 20 L/s au point C.

Schéma du Réseau d'Adduction d'Eau
Niveau du sol Zₐ = 100 m Tronçon AN (D=200mm) Tronçon NB (D=150mm) Tronçon NC (D=100mm) Nœud N B Zₑ = 80 m Q = 30 L/s C Zc = 85 m Q = 20 L/s
Tronçon Longueur (L) Diamètre (D)
AN (Principal) 500 m 200 mm
NB (Branche 1) 300 m 150 mm
NC (Branche 2) 200 m 100 mm

Questions à traiter

On négligera les pertes de charge singulières. On prendra la viscosité cinématique de l'eau \(\nu = 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}\) et \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).

  1. Calculer le débit dans le tronçon principal AN.
  2. Pour chaque tronçon, calculer la vitesse de l'écoulement et le nombre de Reynolds.
  3. En utilisant les coefficients de perte de charge linéaire fournis ci-dessous, calculer les pertes de charge dans chaque tronçon.
    • \(\lambda_{\text{AN}} = 0.0178\)
    • \(\lambda_{\text{NB}} = 0.0190\)
    • \(\lambda_{\text{NC}} = 0.0200\)
  4. Déterminer la charge hydraulique au nœud N.
  5. Calculer la pression (en bar) aux points de livraison B et C. Conclure sur la validité du réseau.

Les bases sur l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur le théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel en mouvement, qui prend en compte la dissipation d'énergie due aux frottements : les pertes de charge.

1. Théorème de Bernoulli généralisé
Entre deux points (1 et 2) d'une ligne de courant, la relation de Bernoulli pour un fluide réel s'écrit : \[ \frac{P_1}{\rho g} + Z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + Z_2 + \frac{V_2^2}{2g} + J_{1 \to 2} \] Où \(P\) est la pression, \(Z\) l'altitude, \(V\) la vitesse, \(\rho\) la masse volumique, \(g\) l'accélération de la pesanteur, et \(J_{1 \to 2}\) représente les pertes de chargeDiminution de l'énergie totale d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) ou aux accidents de parcours (pertes singulières). entre 1 et 2.

2. Pertes de Charge Linéaires (Darcy-Weisbach)
Les pertes de charge dues au frottement sur la longueur d'une conduite sont dites linéaires. Elles sont calculées par la formule de Darcy-Weisbach : \[ J = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Le coefficient \(\lambda\) dépend du régime d'écoulement (caractérisé par le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement. Re < 2000 : laminaire ; Re > 4000 : turbulent. \(Re = VD/\nu\), \(Re\)) et de la rugosité relative de la conduite (\(k/D\)).

Correction : Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Question 1 : Calculer le débit dans le tronçon principal AN.

Principe

Le réseau est ramifié, ce qui signifie qu'il n'y a pas de boucles. La conservation de la masse au nœud de bifurcation N impose que tout le débit qui arrive par le tronçon principal (AN) doit se répartir dans les branches (NB et NC). C'est le principe de continuité.

Mini-Cours

La loi des nœuds en hydraulique est une application directe du principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible. Elle stipule qu'en régime permanent, la somme des débits massiques (et donc volumiques pour un fluide incompressible) entrant dans un nœud est égale à la somme des débits sortant. C'est l'équivalent de la première loi de Kirchhoff pour les circuits électriques.

Remarque Pédagogique

Pour analyser un réseau, commencez toujours par identifier les nœuds. L'application de la loi de continuité à chaque nœud est la première étape fondamentale qui permet de déterminer les débits inconnus dans les différentes branches du système.

Normes

Ce calcul ne dépend pas d'une norme de construction spécifique (comme les Eurocodes), mais du principe physique fondamental de la conservation de la masse, qui est la base de toute la mécanique des fluides.

Formule(s)

Loi des nœuds pour les débits :

\[ Q_{\text{AN}} = Q_{\text{NB}} + Q_{\text{NC}} \]
Hypothèses

On fait l'hypothèse que le fluide (l'eau) est incompressible, ce qui est une excellente approximation pour les liquides dans les conditions usuelles. On suppose également que l'écoulement est en régime permanent, c'est-à-dire que les débits ne varient pas dans le temps.

Donnée(s)

Les débits demandés aux points de livraison sont fournis dans l'énoncé.

  • Débit en B : \(Q_{\text{NB}} = 30 \text{ L/s}\)
  • Débit en C : \(Q_{\text{NC}} = 20 \text{ L/s}\)
Astuces

Pour une simple addition comme celle-ci, il n'y a pas d'astuce particulière, si ce n'est de bien vérifier que tous les débits sont exprimés dans la même unité avant de les sommer.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du nœud N
ANQ_AN = ?NNB30 L/sNC20 L/s
Calcul(s)

Somme des débits

\[ \begin{aligned} Q_{\text{AN}} &= 30 \text{ L/s} + 20 \text{ L/s} \\ &= 50 \text{ L/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Schéma du nœud N avec débit calculé
AN50 L/sNNB30 L/sNC20 L/s
Réflexions

Le résultat est logique : le tronçon principal doit transporter la somme des débits nécessaires à toutes les branches qu'il alimente. Un débit de 50 L/s est un débit conséquent pour une conduite de 200 mm.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici serait une simple faute de calcul. Dans un réseau plus complexe, il faudrait faire attention à ne pas oublier une branche ou à ne pas en compter une deux fois.

Points à retenir

La loi des nœuds est la première étape de tout calcul de réseau hydraulique. La somme des débits qui arrivent à un point de jonction est toujours égale à la somme des débits qui en repartent.

Le saviez-vous ?

Le principe de la loi des nœuds a été formulé par Gustav Kirchhoff en 1845 pour les circuits électriques. Les ingénieurs hydrauliciens ont rapidement réalisé que l'analogie entre le courant électrique et le débit d'eau était si forte que les mêmes lois fondamentales s'appliquaient.

FAQ
Et s'il y avait une fuite au nœud N ?

S'il y avait une fuite, elle serait considérée comme un débit sortant supplémentaire. La formule deviendrait \(Q_{\text{AN}} = Q_{\text{NB}} + Q_{\text{NC}} + Q_{\text{fuite}}\).

Résultat Final
Le débit dans le tronçon principal AN est de 50 L/s.
A vous de jouer

Si le débit requis au point B augmentait à 45 L/s, quel serait le nouveau débit dans le tronçon AN ?

Question 2 : Calculer la vitesse et le nombre de Reynolds pour chaque tronçon.

Principe

La vitesse moyenne (\(V\)) dans une conduite est le rapport du débit (\(Q\)) par l'aire de la section transversale (\(S\)). Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension crucial qui permet de déterminer si l'écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent. Il se calcule à partir de la vitesse, du diamètre et de la viscosité du fluide.

Mini-Cours

Le nombre de Reynolds compare les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et un écoulement chaotique) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir les perturbations et à maintenir un écoulement régulier). Un Re faible signifie que la viscosité domine (écoulement laminaire), tandis qu'un Re élevé signifie que l'inertie domine (écoulement turbulent). La transition se fait autour de Re = 2000-4000.

Remarque Pédagogique

La détermination du régime d'écoulement via le nombre de Reynolds est capitale. Elle conditionne le choix de la formule pour calculer le coefficient de perte de charge \(\lambda\). Pour un écoulement laminaire, \(\lambda = 64/Re\), tandis que pour un écoulement turbulent, on utilise des formules plus complexes (comme celle de Colebrook-White) ou des diagrammes (Moody).

Normes

Les définitions de la vitesse moyenne et du nombre de Reynolds sont des standards universels en mécanique des fluides et ne proviennent pas de normes de construction.

Formule(s)

Formule de la Vitesse

\[ V = \frac{Q}{S} \quad \text{avec} \quad S = \frac{\pi D^2}{4} \]

Formule du Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses

On suppose que la vitesse est uniforme sur toute la section de la conduite (profil de vitesse "plat"), ce qui est une approximation pour définir une vitesse moyenne. En réalité, la vitesse est nulle à la paroi et maximale au centre.

Donnée(s)

On utilise les débits calculés et les diamètres donnés, ainsi que la viscosité cinématique de l'eau.

  • \(Q_{\text{AN}}=0.05 \text{ m}^3/\text{s}\), \(D_{\text{AN}}=0.2 \text{ m}\)
  • \(Q_{\text{NB}}=0.03 \text{ m}^3/\text{s}\), \(D_{\text{NB}}=0.15 \text{ m}\)
  • \(Q_{\text{NC}}=0.02 \text{ m}^3/\text{s}\), \(D_{\text{NC}}=0.1 \text{ m}\)
  • \(\nu = 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}\)
Astuces

Dans les applications pratiques d'adduction d'eau, les vitesses sont généralement comprises entre 0.5 m/s et 2.5 m/s. Si votre calcul donne une valeur très en dehors de cette plage, vérifiez vos unités. De même, l'écoulement dans ces réseaux est presque toujours turbulent.

Schéma (Avant les calculs)
Section de conduite et profil de vitesse
DVProfil de vitesse(turbulent)
Calcul(s)

Calcul de la section du tronçon AN

\[ \begin{aligned} S_{\text{AN}} &= \frac{\pi \times D_{\text{AN}}^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.0314 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la section du tronçon NB

\[ \begin{aligned} S_{\text{NB}} &= \frac{\pi \times D_{\text{NB}}^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.15)^2}{4} \\ &\approx 0.0177 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la section du tronçon NC

\[ \begin{aligned} S_{\text{NC}} &= \frac{\pi \times D_{\text{NC}}^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.1)^2}{4} \\ &\approx 0.00785 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse dans le tronçon AN

\[ \begin{aligned} V_{\text{AN}} &= \frac{Q_{\text{AN}}}{S_{\text{AN}}} \\ &= \frac{0.05}{0.0314} \\ &\approx 1.59 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse dans le tronçon NB

\[ \begin{aligned} V_{\text{NB}} &= \frac{Q_{\text{NB}}}{S_{\text{NB}}} \\ &= \frac{0.03}{0.0177} \\ &\approx 1.69 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse dans le tronçon NC

\[ \begin{aligned} V_{\text{NC}} &= \frac{Q_{\text{NC}}}{S_{\text{NC}}} \\ &= \frac{0.02}{0.00785} \\ &\approx 2.55 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul de Reynolds pour le tronçon AN

\[ \begin{aligned} Re_{\text{AN}} &= \frac{V_{\text{AN}} \cdot D_{\text{AN}}}{\nu} \\ &= \frac{1.59 \times 0.2}{10^{-6}} \\ &= \frac{0.318}{10^{-6}} \\ &\approx 318000 \end{aligned} \]

Calcul de Reynolds pour le tronçon NB

\[ \begin{aligned} Re_{\text{NB}} &= \frac{V_{\text{NB}} \cdot D_{\text{NB}}}{\nu} \\ &= \frac{1.69 \times 0.15}{10^{-6}} \\ &= \frac{0.2535}{10^{-6}} \\ &\approx 253500 \end{aligned} \]

Calcul de Reynolds pour le tronçon NC

\[ \begin{aligned} Re_{\text{NC}} &= \frac{V_{\text{NC}} \cdot D_{\text{NC}}}{\nu} \\ &= \frac{2.55 \times 0.1}{10^{-6}} \\ &= \frac{0.255}{10^{-6}} \\ &\approx 255000 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des résultats par tronçon
Tronçon ANV = 1.59 m/sRe = 318 000Tronçon NBV = 1.69 m/sRe = 253 500Tronçon NCV = 2.55 m/sRe = 255 000
Réflexions

Tous les nombres de Reynolds sont très supérieurs à 4000, ce qui confirme que l'écoulement est pleinement turbulent dans toutes les conduites. La vitesse la plus élevée est dans le tronçon NC, le plus petit, ce qui est logique pour un débit donné.

Points de vigilance

Attention aux unités ! C'est la source d'erreur la plus fréquente. Convertissez systématiquement les débits en m³/s et les diamètres en m avant tout calcul. Une erreur ici se propage à toutes les questions suivantes.

Points à retenir

Pour une conduite circulaire, retenez les deux formules clés : \(V = Q / (\pi D^2 / 4)\) et \(Re = VD/\nu\). La maîtrise de ces calculs est indispensable.

Le saviez-vous ?

Osborne Reynolds, l'ingénieur qui a donné son nom à ce fameux nombre, a mis en évidence la transition entre écoulement laminaire et turbulent en 1883 en injectant un filet de colorant dans un écoulement d'eau dans un tube de verre. Une expérience simple mais qui a révolutionné la mécanique des fluides !

FAQ
Pourquoi utilise-t-on la viscosité cinématique \(\nu\) et non la viscosité dynamique \(\mu\) ?

Le nombre de Reynolds peut s'écrire \(Re = \rho V D / \mu\). La viscosité cinématique est simplement définie comme \(\nu = \mu / \rho\). Utiliser \(\nu\) simplifie la formule en \(Re = VD/\nu\), ce qui est plus direct car on n'a pas besoin de la masse volumique \(\rho\).

Résultat Final
TronçonVitesse (m/s)Reynolds
AN1.59318 000
NB1.69253 500
NC2.55255 000
A vous de jouer

Recalculez la vitesse et le nombre de Reynolds pour le tronçon NB si son diamètre était de 200 mm au lieu de 150 mm (en gardant Q=30 L/s).

Question 3 : Calculer les pertes de charge linéaires dans chaque tronçon.

Principe

Maintenant que nous connaissons les vitesses et les coefficients de frottement (\(\lambda\)), nous pouvons appliquer la formule de Darcy-Weisbach pour chaque tronçon afin de quantifier l'énergie perdue par frottement sur toute la longueur de la conduite.

Mini-Cours

La formule de Darcy-Weisbach montre que la perte d'énergie (ou de charge) est proportionnelle à la longueur de la conduite (\(L\)) et au carré de la vitesse (\(V^2\)), et inversement proportionnelle au diamètre (\(D\)). Le coefficient de frottement \(\lambda\) est un facteur adimensionnel qui encapsule tous les effets complexes de la turbulence et de la rugosité de la paroi.

Remarque Pédagogique

Le terme \(V^2/2g\) est appelé "hauteur dynamique" et représente l'énergie cinétique de l'eau. La formule montre que la perte de charge est un multiple de cette énergie cinétique. C'est pourquoi les vitesses élevées sont si pénalisantes en termes de pertes d'énergie : doubler la vitesse quadruple les pertes de charge !

Normes

La formule de Darcy-Weisbach est l'équation de référence standard au niveau international pour le calcul des pertes de charge dans les conduites en charge.

Formule(s)

Formule de Darcy-Weisbach

\[ J = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses

L'énoncé nous demande de négliger les pertes de charge singulières (coudes, tés, vannes...). Dans un calcul réel, il faudrait les ajouter. On suppose aussi que les coefficients \(\lambda\) fournis sont corrects et constants sur toute la longueur de chaque tronçon.

Donnée(s)

On utilise toutes les données de l'énoncé et les vitesses calculées précédemment.

  • Tronçon AN : L=500m, D=0.2m, V=1.59m/s, \(\lambda\)=0.0178
  • Tronçon NB : L=300m, D=0.15m, V=1.69m/s, \(\lambda\)=0.0190
  • Tronçon NC : L=200m, D=0.1m, V=2.55m/s, \(\lambda\)=0.0200
Astuces

Avant de calculer, comparez les rapports L/D. Le tronçon AN a \(L/D = 2500\), NB a \(L/D = 2000\), et NC a \(L/D = 2000\). Cependant, la vitesse en NC est bien plus élevée, son terme \(V^2\) sera donc prépondérant. On peut s'attendre à ce que J_NC soit la perte de charge la plus importante.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la perte de charge
Conduite L, D →EGL₁EGL₂Perte de charge J
Calcul(s)

Perte de charge dans le tronçon AN

\[ \begin{aligned} J_{\text{AN}} &= \lambda_{\text{AN}} \frac{L_{\text{AN}}}{D_{\text{AN}}} \frac{V_{\text{AN}}^2}{2g} \\ &= 0.0178 \times \frac{500}{0.2} \times \frac{(1.59)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.0178 \times 2500 \times \frac{2.5281}{19.62} \\ &= 44.5 \times 0.1288 \\ &\approx 5.74 \text{ m} \end{aligned} \]

Perte de charge dans le tronçon NB

\[ \begin{aligned} J_{\text{NB}} &= \lambda_{\text{NB}} \frac{L_{\text{NB}}}{D_{\text{NB}}} \frac{V_{\text{NB}}^2}{2g} \\ &= 0.0190 \times \frac{300}{0.15} \times \frac{(1.69)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.0190 \times 2000 \times \frac{2.8561}{19.62} \\ &= 38 \times 0.1456 \\ &\approx 5.54 \text{ m} \end{aligned} \]

Perte de charge dans le tronçon NC

\[ \begin{aligned} J_{\text{NC}} &= \lambda_{\text{NC}} \frac{L_{\text{NC}}}{D_{\text{NC}}} \frac{V_{\text{NC}}^2}{2g} \\ &= 0.0200 \times \frac{200}{0.1} \times \frac{(2.55)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.0200 \times 2000 \times \frac{6.5025}{19.62} \\ &= 40 \times 0.3314 \\ &\approx 13.25 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Pertes de Charge
TronçonsPertes de Charge J (m)510155.74 mAN5.54 mNB13.25 mNC
Réflexions

Comme anticipé, la perte de charge dans le tronçon NC est de loin la plus élevée (13.25 m), soit plus du double des autres. Ceci est principalement dû à la vitesse élevée (2.55 m/s) dans ce conduit de faible diamètre. C'est un point critique pour le dimensionnement du réseau.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la bonne vitesse pour le bon tronçon. Une erreur fréquente est de mélanger les valeurs. N'oubliez pas d'élever la vitesse au carré, et de bien diviser par \(2g\) (environ 19.62).

Points à retenir

La formule de Darcy-Weisbach est fondamentale. Retenez surtout que les pertes de charge sont très sensibles à la vitesse (\(J \propto V^2\)) et au diamètre (\(J \propto 1/D\)). Pour réduire les pertes, il faut donc réduire la vitesse, ce qui signifie augmenter le diamètre de la conduite.

Le saviez-vous ?

Il existe d'autres formules empiriques pour les pertes de charge, comme la formule de Hazen-Williams, très utilisée aux États-Unis, ou celle de Manning pour les canaux à ciel ouvert. Cependant, la formule de Darcy-Weisbach est la plus universelle et la plus juste physiquement, car elle est dérivée de l'analyse dimensionnelle.

FAQ
Pourquoi les coefficients \(\lambda\) sont-ils différents ?

Le coefficient \(\lambda\) dépend de la rugosité relative (\(k/D\)) et du nombre de Reynolds. Même si la rugosité \(k\) du matériau est la même, le diamètre \(D\) change pour chaque tronçon, donc le rapport \(k/D\) change. Cela, combiné aux différentes valeurs de Reynolds, conduit à des coefficients de frottement distincts.

Résultat Final
Les pertes de charge sont de 5.74 m pour AN, 5.54 m pour NB et 13.25 m pour NC.
A vous de jouer

Si la vitesse dans le tronçon NC était limitée à 2.0 m/s, quelle serait la nouvelle perte de charge J_NC (en gardant les mêmes L, D, \(\lambda\)) ?

Question 4 : Déterminer la charge hydraulique au nœud N.

Principe

La charge hydraulique en un point est l'énergie totale de l'eau par unité de poids. Pour trouver la charge au nœud N, on part de la charge au point de départ A (le réservoir) et on soustrait l'énergie perdue par frottement dans la conduite qui les relie (tronçon AN).

Mini-Cours

La charge hydraulique, notée H et exprimée en mètres, est une mesure de l'énergie d'un fluide. Dans un réservoir à surface libre, la pression est atmosphérique (pression relative nulle) et la vitesse est négligeable. La charge est donc entièrement potentielle et égale à l'altitude du plan d'eau : \(H = Z\). C'est le point de départ énergétique de tout le réseau.

Remarque Pédagogique

Imaginez la ligne de charge comme une "pente d'énergie" disponible. Elle part de son maximum au réservoir et descend continuellement le long du réseau à cause des frottements. La charge en un point est simplement la "hauteur" de cette ligne d'énergie à ce point précis.

Normes

Le calcul de la ligne de charge est basé sur le théorème de Bernoulli, un principe fondamental de la physique.

Formule(s)

Calcul de la charge au nœud

\[ H_{\text{N}} = H_{\text{A}} - J_{\text{AN}} \]
Hypothèses

On suppose que la vitesse à la surface du réservoir A est nulle, ce qui est une hypothèse standard si le réservoir est grand par rapport au diamètre de la conduite de sortie. On suppose aussi que la pression à la surface est la pression atmosphérique (pression relative de 0).

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente.

  • Charge en A : \(H_{\text{A}} = Z_{\text{A}} = 100 \text{ m}\)
  • Perte de charge AN : \(J_{\text{AN}} = 5.74 \text{ m}\)
Astuces

C'est une simple soustraction. L'astuce est conceptuelle : ne jamais oublier que la ligne de charge ne peut que descendre dans le sens de l'écoulement (sauf si une pompe ajoute de l'énergie).

Schéma (Avant les calculs)
Profil de la Ligne de Charge (Partiel)
Tronçon ANHₐ = 100mHₙ = ?J_AN
Calcul(s)

Soustraction de la perte de charge

\[ \begin{aligned} H_{\text{N}} &= 100 - 5.74 \\ &= 94.26 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de la Ligne de Charge avec H_N calculé
Tronçon ANHₐ = 100mHₙ = 94.26 mJ_AN = 5.74m
Réflexions

La charge au nœud N est de 94.26 m. C'est le niveau d'énergie disponible pour alimenter les deux branches NB et NC. Toute l'eau qui arrive en N, qu'elle aille vers B ou vers C, part avec cette même énergie initiale.

Points de vigilance

Ne pas confondre la charge (\(H_N\)) avec l'altitude du nœud (\(Z_N\)), qui n'est d'ailleurs pas donnée et n'est pas nécessaire pour ce calcul. La charge est une mesure d'énergie, pas une simple coordonnée géométrique.

Points à retenir

La charge hydraulique se propage le long du réseau en diminuant à chaque tronçon. La charge à la fin d'un tronçon est la charge du début moins les pertes de charge dans ce tronçon. \(H_{\text{fin}} = H_{\text{début}} - J\).

Le saviez-vous ?

L'ingénieur et physicien italien Giovanni Battista Venturi a été l'un des premiers à étudier la relation entre la pression et la vitesse dans les conduites, bien avant Bernoulli. L'effet Venturi, qui décrit la dépression créée par un rétrécissement, est une conséquence directe de la conservation de l'énergie dans un fluide.

FAQ
Pourquoi la vitesse à la surface du réservoir est-elle considérée comme nulle ?

Si le réservoir a une grande surface, le niveau de l'eau descend très lentement, même pour un débit de sortie important. La vitesse de descente \(V_A\) est donc si faible que son énergie cinétique (\(V_A^2/2g\)) est totalement négligeable par rapport aux autres termes énergétiques (altitude et pression).

Résultat Final
La charge hydraulique au nœud N est de 94.26 m.
A vous de jouer

Si la perte de charge dans le tronçon AN était de 7.5 m, quelle serait la charge au nœud N ?

Question 5 : Calculer la pression aux points B et C et conclure.

Principe

La charge hydraulique totale (\(H\)) est la somme de l'altitude (\(Z\)), de la charge de pression (\(P/\rho g\)) et de la charge de vitesse (\(V^2/2g\)). Pour trouver la pression en B et C, on calcule d'abord la charge en ces points (en partant du nœud N et en soustrayant les pertes de charge respectives), puis on isole le terme de pression.

Mini-Cours

La ligne piézométrique représente l'énergie potentielle et de pression (\(Z + P/\rho g\)). La pression en un point d'une conduite est directement liée à la différence de hauteur entre la ligne piézométrique et la conduite elle-même. Si la conduite passe au-dessus de la ligne piézométrique, la pression devient négative (inférieure à la pression atmosphérique).

Remarque Pédagogique

La conclusion est l'étape la plus importante pour un ingénieur. Un résultat numérique n'est rien sans interprétation. Comparer la pression obtenue aux exigences réglementaires (généralement une pression minimale de 1.5 à 2 bars est requise) et vérifier qu'elle est positive est essentiel pour valider la conception.

Normes

Les réglementations sur l'eau potable (comme celles de l'OMS ou les directives nationales) imposent des pressions minimales et maximales dans les réseaux de distribution pour assurer le bon fonctionnement des appareils et éviter les casses.

Formule(s)

Formules des charges aux points de livraison

\[ H_{\text{B}} = H_{\text{N}} - J_{\text{NB}} \quad \text{et} \quad H_{\text{C}} = H_{\text{N}} - J_{\text{NC}} \]

Formule de la pression depuis la charge

\[ P_{\text{point}} = (H_{\text{point}} - Z_{\text{point}}) \cdot \rho g \]
Hypothèses

On suppose que les points B et C sont des points de livraison où la vitesse de l'eau est considérée comme nulle (l'eau arrive dans une cuve ou un robinet fermé). On calcule donc la pression statique, qui est la plus pertinente pour l'usager.

Donnée(s)

On utilise les charges et pertes de charge calculées, ainsi que les altitudes des points de livraison.

  • \(H_{\text{N}} = 94.26 \text{ m}\)
  • \(J_{\text{NB}} = 5.54 \text{ m}\), \(Z_{\text{B}} = 80 \text{ m}\)
  • \(J_{\text{NC}} = 13.25 \text{ m}\), \(Z_{\text{C}} = 85 \text{ m}\)
  • \(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
Astuces

Pour une conversion rapide, retenez qu'une hauteur d'eau de 10 mètres correspond à peu près à une pression de 1 bar. Ainsi, \((H - Z)\) vous donne une idée directe de la pression en "mètres de colonne d'eau", qu'il suffit de diviser par 10 pour avoir une estimation en bars.

Schéma (Avant les calculs)
Profil en long du réseau
Profil en long du réseauOrigine AExtrémités B,C100m85m80mCharge en ABC
Calcul(s)

Calcul de la charge au point B

\[ \begin{aligned} H_{\text{B}} &= H_{\text{N}} - J_{\text{NB}} \\ &= 94.26 - 5.54 \\ &= 88.72 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la charge au point C

\[ \begin{aligned} H_{\text{C}} &= H_{\text{N}} - J_{\text{NC}} \\ &= 94.26 - 13.25 \\ &= 81.01 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la pression au point B

\[ \begin{aligned} P_{\text{B}} &= (H_{\text{B}} - Z_{\text{B}}) \cdot \rho g \\ &= (88.72 - 80) \times 1000 \times 9.81 \\ &= 8.72 \times 9810 \\ &= 85543.2 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Conversion de la pression en B

\[ \begin{aligned} P_{\text{B}} &= \frac{85543.2}{100000} \\ &\approx 0.86 \text{ bar} \end{aligned} \]

Calcul de la pression au point C

\[ \begin{aligned} P_{\text{C}} &= (H_{\text{C}} - Z_{\text{C}}) \cdot \rho g \\ &= (81.01 - 85) \times 1000 \times 9.81 \\ &= -3.99 \times 9810 \\ &= -39141.9 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Conversion de la pression en C

\[ \begin{aligned} P_{\text{C}} &= \frac{-39141.9}{100000} \\ &\approx -0.39 \text{ bar} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de la Ligne de Charge et Piézométrique
Profil en long du réseau100m85m80mLigne de ChargeLigne PiézométriquePression B > 0Pression C < 0 !
Réflexions

La pression de 0.86 bar en B est faible, souvent inférieure au minimum requis pour un service correct (généralement 1.5 bar). La pression négative en C est un défaut de conception majeur : la conduite est trop petite pour le débit demandé, ce qui cause des pertes de charge excessives. La ligne piézométrique passe sous la conduite, ce qui est physiquement impossible sans créer une dépression. Le réseau n'est pas viable et doit être redimensionné (par exemple, en augmentant le diamètre du tronçon NC).

Points de vigilance

La principale erreur est de mal interpréter la formule : \(P = (H - Z)\rho g\). Une inversion entre H et Z peut mener à un signe incorrect. De plus, ne pas oublier de convertir la pression de Pascals en bars pour la conclusion finale, car c'est l'unité usuelle en plomberie et adduction d'eau.

Points à retenir

La pression en un point dépend de l'énergie restante (\(H_{\text{point}}\)) et de l'altitude de ce point (\(Z_{\text{point}}\)). Une pression devient négative si les pertes de charge sont si importantes que la ligne piézométrique descend en dessous de l'altitude de la conduite.

Le saviez-vous ?

Le phénomène de "coup de bélier" est un autre risque majeur dans les réseaux en charge. Lors d'une fermeture rapide de vanne, l'énergie cinétique de l'eau se transforme brutalement en une onde de surpression qui peut faire éclater les conduites. C'est pour cela que les vannes de grands réseaux sont conçues pour se fermer très lentement.

FAQ
Comment pourrait-on résoudre le problème de pression négative au point C ?

Plusieurs solutions existent : 1) Augmenter significativement le diamètre de la conduite NC pour réduire la vitesse et donc les pertes de charge. 2) Rehausser le château d'eau pour augmenter la charge initiale H_A. 3) Ajouter une pompe surpresseur sur la branche NC (solution plus coûteuse en énergie).

Résultat Final
La pression au point B est d'environ 0.86 bar (faible). La pression au point C est d'environ -0.39 bar (inacceptable).
A vous de jouer

Si l'altitude du point B était de 75 m au lieu de 80 m, quelle serait la nouvelle pression en bar en ce point (avec \(H_B = 88.72 \text{ m}\)) ?

Outil Interactif : Influence du Débit

Utilisez ce simulateur pour visualiser comment le débit total demandé et le diamètre de la conduite principale influencent la vitesse et les pertes de charge dans le tronçon AN.

Paramètres d'Entrée
50 L/s
200 mm
Résultats sur Tronçon AN
Vitesse (m/s) -
Perte de charge (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente la ligne de charge ?

2. Si on augmente le diamètre d'une conduite (à débit constant), comment évoluent les pertes de charge linéaires ?

3. Dans l'exercice, la pression calculée en C est négative. Quelle est la principale cause ?

4. Le nombre de Reynolds permet de déterminer :

5. Selon la loi de continuité (conservation de la masse) au nœud N :

Glossaire

Ligne de Charge
Ligne imaginaire qui représente l'énergie totale de l'eau (altitude + pression + énergie cinétique) tout au long de l'écoulement. Elle est toujours décroissante dans le sens de l'écoulement à cause des pertes de charge.
Ligne Piézométrique
Ligne imaginaire représentant la somme de l'altitude et de la hauteur de pression (\(Z + P/\rho g\)). Elle indique le niveau que l'eau atteindrait dans un tube vertical (piézomètre) connecté à la conduite.
Perte de Charge
Diminution de l'énergie totale d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) ou aux accidents de parcours comme les coudes ou les vannes (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement. Un Re faible (<2000) indique un écoulement laminaire (ordonné), tandis qu'un Re élevé (>4000) indique un écoulement turbulent (chaotique).
Exercice : Hydraulique en Charge - Réseau Ramifié

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