ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Comprendre le Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Un réseau de distribution d'eau est dit "ramifié" lorsqu'une conduite principale se divise en plusieurs branches pour desservir différents points. Le point de division est appelé un nœud. Le défi dans l'analyse de tels réseaux est de déterminer comment le débit se répartit entre les différentes branches. La résolution repose sur deux principes fondamentaux : 1) La conservation de la masse au nœud (le débit entrant est égal à la somme des débits sortants). 2) L'unicité de l'énergie au nœud (la charge hydraulique, somme de la cote, de la pression et de l'énergie cinétique, est la même pour toutes les conduites qui s'y connectent). Le calcul est souvent itératif : on suppose une valeur de charge au nœud, on calcule les débits qui en résultent, et on ajuste l'hypothèse jusqu'à ce que la loi de conservation de la masse soit respectée.

Données de l'étude

Un réservoir (A) dont la surface libre est à une cote de 120 m alimente deux autres réservoirs (B et C) via un nœud de jonction (J). Les sorties dans les réservoirs B et C se font à l'air libre.

Caractéristiques du fluide et des conduites :

  • Fluide : Eau à 20°C (Viscosité cinématique \(\nu = 1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}\))
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Conduite 1 (AJ) : \(L_1 = 1500 \, \text{m}\), \(D_1 = 300 \, \text{mm}\), \(f_1 = 0.02\)
  • Conduite 2 (JB) : \(L_2 = 800 \, \text{m}\), \(D_2 = 200 \, \text{mm}\), \(f_2 = 0.022\)
  • Conduite 3 (JC) : \(L_3 = 600 \, \text{m}\), \(D_3 = 150 \, \text{mm}\), \(f_3 = 0.025\)

Cotes des réservoirs :

  • Cote du réservoir A : \(Z_A = 120 \, \text{m}\)
  • Cote du réservoir B : \(Z_B = 95 \, \text{m}\)
  • Cote du réservoir C : \(Z_C = 85 \, \text{m}\)

Hypothèse : Les pertes de charge singulières sont négligées pour simplifier le problème. Les coefficients de frottement \(f\) sont supposés constants.

Schéma du réseau ramifié
Réservoir A Z_A = 120 m Réservoir B Z_B = 95 m Réservoir C Z_C = 85 m Nœud J H_J = ? Conduite 1 (Q₁) Conduite 2 (Q₂) Conduite 3 (Q₃)

Questions à traiter

  1. Écrire les équations de perte de charge (\(\Delta H\)) pour chaque conduite en fonction de son débit (\(Q\)). Exprimer \(\Delta H\) sous la forme \(\Delta H = k \cdot Q^2\).
  2. Écrire les équations de Bernoulli entre le réservoir A et le nœud J, puis entre le nœud J et les réservoirs B et C.
  3. En réalisant une première itération avec une charge hydraulique au nœud J de \(H_J = 105 \, \text{m}\), calculer les débits \(Q_1\), \(Q_2\) et \(Q_3\).
  4. Vérifier la loi de continuité au nœud J (\(Q_1 = Q_2 + Q_3\)).
  5. En fonction du résultat, indiquer si la valeur de \(H_J\) pour la prochaine itération doit être augmentée ou diminuée.

Correction : Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié

Question 1 : Équation de Perte de Charge (\(\Delta H = kQ^2\))

Principe :

On exprime la formule de Darcy-Weisbach en fonction du débit \(Q\) plutôt que de la vitesse \(V\), en utilisant la relation \(V = Q/A\). Cela permet d'isoler un coefficient de résistance \(k\) propre à chaque conduite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} = f \frac{L}{D} \frac{1}{2g} \left(\frac{Q}{A}\right)^2 = \left(f \frac{L}{D} \frac{8}{g \pi^2 D^4}\right) Q^2 = k Q^2 \]
Calcul des coefficients k :
\[ \begin{aligned} k_1 &= f_1 \frac{8 L_1}{g \pi^2 D_1^5} = 0.02 \frac{8 \times 1500}{9.81 \times \pi^2 \times (0.3)^5} \approx 1017.5 \\ k_2 &= f_2 \frac{8 L_2}{g \pi^2 D_2^5} = 0.022 \frac{8 \times 800}{9.81 \times \pi^2 \times (0.2)^5} \approx 4543.5 \\ k_3 &= f_3 \frac{8 L_3}{g \pi^2 D_3^5} = 0.025 \frac{8 \times 600}{9.81 \times \pi^2 \times (0.15)^5} \approx 16417.8 \end{aligned} \]

Question 2 : Équations de Bernoulli

Principe :

On applique le théorème de Bernoulli entre la surface libre de chaque réservoir (où la pression est nulle et la vitesse négligeable) et le nœud de jonction J.

Équations :
\[ \begin{aligned} Z_A &= H_J + \Delta H_{AJ} \Rightarrow \Delta H_{AJ} = Z_A - H_J = k_1 Q_1^2 \\ H_J &= Z_B + \Delta H_{JB} \Rightarrow \Delta H_{JB} = H_J - Z_B = k_2 Q_2^2 \\ H_J &= Z_C + \Delta H_{JC} \Rightarrow \Delta H_{JC} = H_J - Z_C = k_3 Q_3^2 \end{aligned} \]

Question 3 : Calcul des Débits (Itération 1)

Principe :

On utilise l'hypothèse \(H_J = 105 \, \text{m}\) et les équations précédentes pour calculer les débits dans chaque branche.

Calculs :
\[ \begin{aligned} Q_1 &= \sqrt{\frac{Z_A - H_J}{k_1}} = \sqrt{\frac{120 - 105}{1017.5}} = \sqrt{0.01474} \approx 0.121 \, \text{m}^3/\text{s} \\ Q_2 &= \sqrt{\frac{H_J - Z_B}{k_2}} = \sqrt{\frac{105 - 95}{4543.5}} = \sqrt{0.00220} \approx 0.047 \, \text{m}^3/\text{s} \\ Q_3 &= \sqrt{\frac{H_J - Z_C}{k_3}} = \sqrt{\frac{105 - 85}{16417.8}} = \sqrt{0.001218} \approx 0.035 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Pour \(H_J = 105 \, \text{m}\), les débits sont \(Q_1 \approx 121 \, \text{L/s}\), \(Q_2 \approx 47 \, \text{L/s}\), et \(Q_3 \approx 35 \, \text{L/s}\).

Question 4 : Vérification de la Continuité

Principe :

On vérifie si la loi des nœuds (\(Q_1 = Q_2 + Q_3\)) est respectée avec les débits calculés.

Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_1 &\stackrel{?}{=} Q_2 + Q_3 \\ 0.121 \, \text{m}^3/\text{s} &\stackrel{?}{=} 0.047 \, \text{m}^3/\text{s} + 0.035 \, \text{m}^3/\text{s} \\ 0.121 \, \text{m}^3/\text{s} &\neq 0.082 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La continuité n'est pas respectée. Le débit entrant (\(Q_1\)) est supérieur à la somme des débits sortants (\(Q_2+Q_3\)).

Question 5 : Ajustement de l'Hypothèse

Principe :

Le résultat \(Q_1 > Q_2 + Q_3\) indique que notre estimation de la charge au nœud J est incorrecte. Un débit entrant trop fort signifie que la "résistance" (\(\Delta H\)) de la branche amont est sous-estimée par rapport aux branches aval. Pour augmenter cette résistance (et donc réduire \(Q_1\)) tout en diminuant la résistance des branches aval (pour augmenter \(Q_2\) et \(Q_3\)), il faut augmenter la charge au nœud J.

Résultat Question 5 : La valeur de \(H_J\) est trop basse. Pour la prochaine itération, il faudrait choisir une valeur de \(H_J\) supérieure à 105 m pour tenter d'équilibrer les débits.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. Dans un réseau ramifié, quel principe doit TOUJOURS être satisfait au nœud de jonction ?

7. Dans la méthode itérative, si votre calcul montre que le débit entrant \(Q_1\) est INFERIEUR à la somme des débits sortants (\(Q_2 + Q_3\)), cela signifie que votre hypothèse de charge au nœud (\(H_J\)) était :

8. La ligne de charge dans une conduite...

Glossaire

Réseau Ramifié
Système de conduites où une ou plusieurs conduites se divisent en branches pour alimenter différents points. Il n'y a pas de boucles.
Nœud Hydraulique
Point de jonction où trois conduites ou plus se rencontrent. La loi de continuité (conservation de la masse) et l'unicité de la charge s'y appliquent.
Ligne de Charge (ou Ligne d'Énergie)
Représentation graphique de l'énergie totale du fluide le long de la conduite. Sa cote en un point est la somme de la cote géométrique (\(Z\)), de la hauteur de pression (\(P/\rho g\)) et de la hauteur de vitesse (\(V^2/2g\)).
Méthode Itérative
Technique de résolution de problème qui consiste à trouver une solution par approximations successives. On commence par une hypothèse, on calcule un résultat, on le compare à la condition à satisfaire, puis on ajuste l'hypothèse pour une nouvelle itération jusqu'à convergence.
Calcul de la Ligne de Charge dans un Réseau Ramifié - Exercice d'Application

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