ÉTUDE HYDRAULIQUE

Utilisation du Diagramme de Moody

Utilisation du Diagramme de Moody

Utilisation du Diagramme de Moody

Comprendre le Diagramme de Moody

Le diagramme de Moody est un outil graphique indispensable en mécanique des fluides pour déterminer le coefficient de perte de charge régulière (ou facteur de friction de Darcy, \(f\)). Il représente la relation complexe entre trois paramètres sans dimension : le nombre de Reynolds (\(Re\)), qui caractérise le régime d'écoulement, la rugosité relative de la conduite (\(\epsilon/D\)), et le coefficient de frottement (\(f\)). Ce diagramme permet d'éviter la résolution d'équations implicites complexes comme celle de Colebrook-White.

Données de l'étude

On souhaite calculer le coefficient de frottement pour un écoulement de kérosène dans une conduite en acier commercial.

Caractéristiques du fluide et de la conduite :

  • Fluide : Kérosène
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(820 \, \text{kg/m}^3\)
  • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(1.92 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • Conduite en acier commercial, rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.045 \, \text{mm}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(100 \, \text{mm}\)

Conditions de l'écoulement :

  • Débit volumique (\(Q\)) : \(40 \, \text{L/s}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la section de la conduite (\(A\)) et la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)).
  2. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour cet écoulement.
  3. Calculer la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite.
  4. À l'aide des valeurs calculées et du diagramme de Moody, déterminer le coefficient de frottement \(f\).

Correction : Utilisation du Diagramme de Moody

Question 1 : Vitesse Moyenne de l'Écoulement (\(V\))

Principe :

La vitesse moyenne d'écoulement est le rapport entre le débit volumique (\(Q\)) et l'aire de la section transversale de la conduite (\(A\)). Il est nécessaire de convertir toutes les unités dans le système international (mètres et secondes).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D^2}{4} \quad \text{et} \quad V = \frac{Q}{A}\]
Données spécifiques (unités SI) :
  • Débit (\(Q\)) : \(40 \, \text{L/s} = 0.04 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.1 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \\ \\ V &= \frac{0.04 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.007854 \, \text{m}^2} \\ &\approx 5.09 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse moyenne de l'écoulement est \(V \approx 5.09 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds est calculé à partir des propriétés du fluide (masse volumique et viscosité dynamique) et des conditions d'écoulement (vitesse et diamètre). La formule utilisant la viscosité dynamique (\(\mu\)) est \(Re = (\rho V D) / \mu\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re = \frac{\rho V D}{\mu}\]
Données spécifiques (unités SI) :
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(820 \, \text{kg/m}^3\)
  • Vitesse (\(V\)) : \(5.09 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.1 \, \text{m}\)
  • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(1.92 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{820 \, \text{kg/m}^3 \times 5.09 \, \text{m/s} \times 0.1 \, \text{m}}{1.92 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}} \\ &= \frac{417.38}{0.00192} \\ &\approx 217385 \end{aligned} \]

On peut arrondir et utiliser la notation scientifique : \(Re \approx 2.2 \times 10^5\).

Résultat Question 2 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 2.2 \times 10^5\).

Question 3 : Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))

Principe :

La rugosité relative est le rapport de la rugosité absolue de la paroi de la conduite au diamètre intérieur de cette même conduite. Les deux longueurs doivent être dans la même unité pour que le rapport soit sans dimension.

Données spécifiques (unités homogènes) :
  • Rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.045 \, \text{mm}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.045 \, \text{mm}}{100 \, \text{mm}} \\ &= 0.00045 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La rugosité relative est \(\epsilon/D = 0.00045\).

Question 4 : Détermination du Coefficient de Frottement (\(f\))

Principe :

Le coefficient de frottement \(f\) est trouvé à l'intersection des valeurs du nombre de Reynolds et de la rugosité relative sur le diagramme de Moody.
1. Localiser le nombre de Reynolds sur l'axe horizontal (abscisse).
2. Identifier la courbe correspondant à la rugosité relative calculée (ou s'interpoler entre deux courbes si nécessaire).
3. Suivre verticalement depuis la valeur de \(Re\) jusqu'à croiser la courbe de rugosité.
4. Depuis ce point d'intersection, se déplacer horizontalement vers la gauche pour lire la valeur de \(f\) sur l'axe vertical (ordonnée).

Schéma : Lecture sur le Diagramme de Moody
Nombre de Reynolds, Re (log) Coefficient de Frottement, f Rugosité Relative ε/D 10⁴ 10⁵ 10⁶ 0.015 0.02 0.03 0.04 0.001 0.0004 0.0002 Re ≈ 2.2x10⁵ f ≈ 0.018 Intersection avec ε/D ≈ 0.00045

Illustration du processus de lecture sur un diagramme de Moody simplifié.

Lecture du diagramme :
  1. On localise \(Re \approx 2.2 \times 10^5\) sur l'axe des abscisses.
  2. On cherche la courbe pour \(\epsilon/D = 0.00045\). Elle se situe entre la courbe 0.0004 et 0.0005 (ici représentée de manière approchée par la courbe 0.0004).
  3. On suit la ligne verticale de \(Re\) jusqu'à cette courbe.
  4. On lit la valeur sur l'axe des ordonnées, qui est approximativement \(f \approx 0.018\).
Résultat Question 4 : Le coefficient de frottement est \(f \approx 0.018\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Le diagramme de Moody relie :

6. Dans la zone de turbulence "pleinement développée" (à droite du diagramme), le coefficient de frottement \(f\) dépend principalement de :

7. Pour un tuyau parfaitement lisse (\(\epsilon = 0\)), comment trouve-t-on le coefficient de frottement \(f\) ?

Glossaire

Diagramme de Moody
Abaque permettant de déterminer le coefficient de frottement \(f\) en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative.
Viscosité Dynamique (\(\mu\))
Mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement. Unité SI : Pascal-seconde (Pa·s).
Viscosité Cinématique (\(\nu\))
Rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique (\(\nu = \mu / \rho\)). Unité SI : mètre carré par seconde (m²/s).
Régime Turbulent
Écoulement à plus haute vitesse, caractérisé par des mouvements chaotiques, des tourbillons et un mélange intense du fluide. Typiquement pour \(Re > 4000\).
Rugosité Absolue (\(\epsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités de la surface intérieure d'une conduite, exprimée en unités de longueur (ex: mm).
Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))
Rapport sans dimension entre la rugosité absolue et le diamètre de la conduite. Influence majeure sur le frottement en régime turbulent.
Utilisation du Diagramme de Moody - Exercice d'Application

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