Application de l'Équation de Quantité de Mouvement

Comprendre les Forces sur un Coude

Lorsqu'un fluide s'écoule à travers un coude, sa direction change. Ce changement de direction implique une variation du vecteur vitesse, et donc une variation de la quantité de mouvement du fluide. Pour imposer cette variation, le coude doit exercer une force sur le fluide. En vertu du principe d'action-réaction, le fluide exerce une force égale et opposée sur le coude. Le calcul de cette force de liaison est essentiel pour dimensionner correctement les supports et les ancrages de la tuyauterie, afin d'éviter tout mouvement ou rupture. L'outil fondamental pour ce calcul est le théorème d'Euler, ou l'équation de la quantité de mouvement.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans un coude réducteur horizontal de 90°.

Caractéristiques du système :

Débit de l'eau ($Q$) : $200 \, \text{L/s}$.
Diamètre d'entrée (section 1) ($D_1$) : $300 \, \text{mm}$.
Pression à l'entrée ($P_1$) : $2.0 \, \text{bar}$.
Diamètre de sortie (section 2) ($D_2$) : $150 \, \text{mm}$.
Pression à la sortie ($P_2$) : $1.7 \, \text{bar}$.
Masse volumique de l'eau ($\rho$) : $1000 \, \text{kg/m}^3$.

Schéma : Coude Réducteur et Forces

Questions à traiter

Calculer les surfaces ($S_1, S_2$) et les vitesses ($V_1, V_2$) aux sections d'entrée et de sortie.
Écrire les équations de la quantité de mouvement projetées sur les axes x et y.
Calculer les composantes $F_x$ et $F_y$ de la force exercée par le fluide sur le coude.
Calculer la force résultante $F_R$ et son angle d'application.

Correction : Application de l'Équation de Quantité de Mouvement sur un Coude de Tuyauterie

Question 1 : Calcul des Surfaces et Vitesses

Principe :

On calcule les aires des sections à partir de leurs diamètres, puis les vitesses à partir du débit et de ces aires, en veillant à la cohérence des unités SI.

Données et Conversion :

Débit ($Q$) : $200 \, \text{L/s} = 0.2 \, \text{m}^3/\text{s}$.
Diamètres : $D_1 = 0.3 \, \text{m}$, $D_2 = 0.15 \, \text{m}$.

Calcul :

\begin{aligned} S_1 &= \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi \times (0.3)^2}{4} \approx 0.0707 \, \text{m}^2 \\ S_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi \times (0.15)^2}{4} \approx 0.0177 \, \text{m}^2 \\ V_1 &= \frac{Q}{S_1} = \frac{0.2}{0.0707} \approx 2.83 \, \text{m/s} \\ V_2 &= \frac{Q}{S_2} = \frac{0.2}{0.0177} \approx 11.30 \, \text{m/s} \end{aligned}

Question 2 : Équations de la Quantité de Mouvement

Principe :

Le théorème d'Euler s'écrit vectoriellement $\sum \vec{F} = \rho Q (\vec{V_s} - \vec{V_e})$. On projette cette équation sur les axes x (horizontal) et y (vertical). Les forces incluent les forces de pression aux sections d'entrée/sortie et les forces de liaison du coude ($F_x, F_y$).

Axe x : $P_1 S_1 + F_x = \rho Q (V_{2x} - V_{1x})$
Ici, $V_{1x}=V_1$ et $V_{2x}=0$.
Axe y : $-P_2 S_2 + F_y = \rho Q (V_{2y} - V_{1y})$
Ici, $V_{1y}=0$ et $V_{2y}=V_2$.

Question 3 : Calcul des Composantes de la Force

Principe :

On isole $F_x$ et $F_y$ dans les équations précédentes et on remplace par les valeurs numériques.

Données et Conversion :

$P_1 = 2 \, \text{bar} = 2 \times 10^5 \, \text{Pa}$.
$P_2 = 1.7 \, \text{bar} = 1.7 \times 10^5 \, \text{Pa}$.

Calcul de $F_x$ :

\begin{aligned} F_x &= \rho Q (0 - V_1) - P_1 S_1 \\ &= 1000 \times 0.2 \times (-2.83) - (2 \times 10^5 \times 0.0707) \\ &= -566 - 14140 = -14706 \, \text{N} \end{aligned}

Calcul de $F_y$ :

\begin{aligned} F_y &= \rho Q (V_2 - 0) + P_2 S_2 \\ &= 1000 \times 0.2 \times (11.30) + (1.7 \times 10^5 \times 0.0177) \\ &= 2260 + 3009 = 5269 \, \text{N} \end{aligned}

Le signe négatif de $F_x$ indique que la force exercée par le coude sur le fluide est dirigée vers la gauche. La force exercée par le fluide sur le coude est donc dirigée vers la droite.

Force du fluide sur le coude (axe x) : 14706 N (vers la droite).
Force du fluide sur le coude (axe y) : -5269 N (vers le bas).

Question 4 : Force Résultante et Angle

Principe :

La force résultante est la somme vectorielle de ses composantes. On calcule sa magnitude avec le théorème de Pythagore et sa direction avec l'arctangente.

Calcul :

Magnitude :

\begin{aligned} F_R &= \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \\ &= \sqrt{14706^2 + (-5269)^2} \\ &\approx \sqrt{2.16 \times 10^8 + 0.28 \times 10^8} \\ &\approx 15600 \, \text{N} \end{aligned}

Angle (par rapport à l'horizontale) :

\theta = \arctan\left(\frac{F_y}{F_x}\right) = \arctan\left(\frac{-5269}{14706}\right) \approx -19.7^\circ

Résultat Question 4 : La force résultante exercée par le fluide sur le coude est de 15.6 kN, orientée à environ -20° par rapport à l'horizontale (vers la droite et vers le bas).

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