Bassin d'Amortissement pour un Déversoir

Contexte : L'évacuation des crues.

Le déversoir d'un barrage doit évacuer un débit de crue important. L'eau acquiert une énergie cinétiqueL'énergie que possède un corps du fait de son mouvement. En hydraulique, elle est liée à la vitesse de l'eau (V²/2g). considérable en dévalant le parement. Pour protéger le lit de la rivière en aval contre l'érosion, un bassin d'amortissement est construit. Son rôle est de forcer un Ressaut HydrauliqueTransition brusque d'un écoulement rapide et peu profond (torrentiel) à un écoulement lent et profond (fluvial), dissipant une grande quantité d'énergie., un phénomène qui dissipe cette énergie de manière contrôlée.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les principes fondamentaux du ressaut hydraulique pour vérifier le dimensionnement d'un bassin d'amortissement simple (bassin rectangulaire lisse).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le phénomène du ressaut hydraulique et son utilité.
Calculer les caractéristiques d'un écoulement amont (Vitesse, Nombre de Froude).
Appliquer l'équation de Belanger pour trouver la hauteur conjuguée (profondeur aval).
Vérifier si le ressaut est "noyé" ou "dégagé" en comparant avec la hauteur aval.
Estimer la longueur du bassin et la puissance dissipée par le ressaut.

Données de l'étude

On étudie un canal rectangulaire à l'aval d'un déversoir, servant de bassin d'amortissement.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de déversoir	Seuil Creager (profil standard)
Largeur du canal (b)	10.0 m
Matériau du bassin	Béton armé (radier horizontal)

Schéma de principe du déversoir et du bassin

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	Q	150	m³/s
Profondeur amont (au pied)	y₁	0.80	m
Profondeur aval (Tailwater)	ytw	4.50	m
Accélération de la pesanteur	g	9.81	m/s²
Masse volumique de l'eau	ρ	1000	kg/m³

Questions à traiter

Calculer la vitesse d'écoulement V₁ et le Nombre de FroudeNombre sans dimension comparant les forces d'inertie (vitesse) aux forces de gravité (profondeur). Il caractérise le régime d'écoulement. Fr₁ à l'entrée du bassin.
Déterminer la hauteur conjuguéeLa profondeur d'eau (y₂) requise en aval pour qu'un ressaut hydraulique se forme, en partant d'une profondeur amont (y₁). y₂ (profondeur théorique juste après le ressaut).
Comparer la hauteur conjuguée y₂ à la profondeur aval ytw. Conclure sur la position et le type du ressaut (noyé, dégagé ou normal).
Estimer la longueur minimale Lb du bassin d'amortissement nécessaire pour contenir le ressaut (on prendra Lb ≈ 6 ⋅ y₂).
Calculer la puissance (en Mégawatts, MW) dissipée par le ressaut hydraulique.

Les bases sur le Ressaut Hydraulique

Le ressaut hydraulique est la transition brusque d'un écoulement torrentielRégime d'écoulement rapide et peu profond, où Fr > 1. Les ondes ne peuvent pas remonter le courant. (rapide, Fr > 1) à un écoulement fluvialRégime d'écoulement lent et profond, où Fr < 1. Les perturbations peuvent remonter le courant. (lent, Fr < 1). Cette transition s'accompagne d'une forte turbulence et d'une dissipation d'énergie significative, ce qui est recherché dans les bassins d'amortissement.

1. Nombre de Froude (Fr)
C'est le paramètre clé qui régit ces écoulements. Pour un canal rectangulaire : \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot y}} \] Où V est la vitesse moyenne, g la pesanteur, et y la profondeur.

Si Fr < 1 : Écoulement fluvial (subcritique)
Si Fr = 1 : Écoulement critique
Si Fr > 1 : Écoulement torrentiel (supercritique)

2. Équation du Ressaut (Formule de Belanger)
Pour un canal rectangulaire horizontal, la relation entre la profondeur amont y₁ (avant le ressaut) et la profondeur aval y₂ (après le ressaut) ne dépend que du nombre de Froude amont Fr₁ : \[ \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right) \] Cette équation est fondamentale pour le dimensionnement.

Correction : Bassin d’Amortissement pour un Déversoir

Question 1 : Calcul de la Vitesse V₁ et du Nombre de Froude Fr₁

Principe

Pour caractériser un écoulement, nous devons connaître sa vitesse et son régime (fluvial ou torrentiel). La vitesse se déduit de la conservation du débit (Q). Le régime est donné par le Nombre de Froude, qui compare l'énergie cinétique (vitesse) à l'énergie potentielle (profondeur).

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que le débit Q (en m³/s) est constant. Il est le produit de la section d'écoulement A (en m²) et de la vitesse moyenne V (en m/s). Pour un canal rectangulaire de largeur b et de profondeur y, la section est A = b ⋅ y. On a donc Q = (b ⋅ y) ⋅ V.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique est de calculer les caractéristiques de base de l'écoulement : Aire, Vitesse, et Nombre de Froude. Sans Fr₁, il est impossible de calculer le ressaut.

Normes

Cette étape n'utilise pas de norme spécifique (comme l'USBR pour les bassins), mais se base sur les principes fondamentaux de la mécanique des fluides : l'équation de continuité et la définition du Nombre de Froude.

Formule(s)

Les formules à utiliser sont :

Section d'écoulement amont (A₁)

A_1 = b \cdot y_1

Vitesse amont (V₁)

V_1 = \frac{Q}{A_1}

Nombre de Froude amont (Fr₁)

Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}}

Hypothèses

Pour ces calculs, nous posons les hypothèses suivantes :

Le canal est parfaitement rectangulaire.
La vitesse V₁ est uniformément répartie sur la section A₁.
L'eau est un fluide incompressible (ρ = constante).

Donnée(s)

Les données de l'énoncé nécessaires pour cette question sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	Q	150	m³/s
Largeur du canal	b	10.0	m
Profondeur amont	y₁	0.80	m
Gravité	g	9.81	m/s²

Astuces

Vérifiez toujours la cohérence de vos unités. Ici, tout est en unités du Système International (mètres, secondes, m³). Il n'y a pas de conversion à faire. Si la profondeur était donnée en cm, il faudrait la convertir avant tout calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul se base sur la section transversale amont de l'écoulement.

Section transversale amont (vue en coupe)

Calcul(s)

Nous procédons étape par étape :

Étape 1 : Calcul de la section d'écoulement A₁

\begin{aligned} A_1 &= b \cdot y_1 \\ &= 10.0 \text{ m} \times 0.80 \text{ m} \\ &= 8.0 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse amont V₁

\begin{aligned} V_1 &= \frac{Q}{A_1} \\ &= \frac{150 \text{ m}^3/\text{s}}{8.0 \text{ m}^2} \\ &= 18.75 \text{ m/s} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du Nombre de Froude Fr₁

\begin{aligned} Fr_1 &= \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}} \\ &= \frac{18.75}{\sqrt{9.81 \times 0.80}} \\ &= \frac{18.75}{\sqrt{7.848}} \\ &= \frac{18.75}{2.801} \\ &\approx 6.69 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Les résultats caractérisent l'écoulement à l'entrée du bassin (section 1).

Caractéristiques de l'écoulement en section 1

Réflexions

Le Nombre de Froude Fr₁ = 6.69 est largement supérieur à 1. Cela confirme que l'écoulement à l'entrée du bassin est bien torrentiel (supercritique)Régime d'écoulement rapide et peu profond, où Fr > 1. Les ondes ne peuvent pas remonter le courant.. Un ressaut hydraulique est donc non seulement possible, mais nécessaire pour revenir à un écoulement fluvial.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de prendre la racine carrée au dénominateur du Nombre de Froude (√(g ⋅ y₁)) ou de mal calculer la section A₁. Une vitesse de 18.75 m/s (plus de 67 km/h) est très élevée et érosive, ce qui justifie l'enjeu de l'exercice.

Points à retenir

Pour un canal rectangulaire :

V = Q / (b ⋅ y)
Fr = V / √(gy)
Si Fr > 1, l'écoulement est torrentiel.

Le saviez-vous ?

Le Nombre de Froude a été nommé en l'honneur de William Froude, un ingénieur anglais du 19ème siècle. Il l'utilisait non pas pour les rivières, mais pour modéliser la résistance des coques de navires à l'aide de modèles réduits.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La vitesse amont est V₁ = 18.75 m/s et le Nombre de Froude est Fr₁ = 6.69.

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, que vaudrait Fr₁ si le débit était seulement de Q = 100 m³/s (en gardant y₁ = 0.80 m et b = 10 m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Caractérisation de l'écoulement amont.
Formules : V₁ = Q / (b ⋅ y₁) et Fr₁ = V₁ / √(gy₁).
Résultat : Fr₁ > 1 (Torrentiel).

Question 2 : Détermination de la hauteur conjuguée y₂

Principe

La hauteur conjuguée y₂ est la profondeur théorique que l'eau atteindra après le ressaut pour que la quantité de mouvement soit conservée. Elle est calculée à l'aide de la formule de Belanger, qui lie y₂ à y₁ et Fr₁.

Mini-Cours

La conservation de la quantité de mouvement à travers le ressaut stipule que la somme des forces de pression et de la variation du flux de quantité de mouvement est nulle. Pour un canal rectangulaire horizontal, cela se traduit par l'équilibre entre les forces hydrostatiques et les forces d'inertie, menant directement à la formule de Belanger. Cette formule est spécifique au ressaut hydraulique et ne s'applique pas aux transitions graduelles.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre que la formule de Belanger ne dépend que des conditions *amont* (y₁ et Fr₁). Elle donne la hauteur y₂ *nécessaire* pour former le ressaut. La comparaison de cette y₂ théorique avec la profondeur réellement disponible en aval (ytw) déterminera le comportement réel du ressaut (voir Question 3).

Normes

La formule de Belanger découle directement des principes de la mécanique des fluides (équation de quantité de mouvement) et est une base reconnue internationalement pour l'étude des ressauts hydrauliques.

Formule(s)

Formule de Belanger

y_2 = \frac{y_1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)

Hypothèses

L'application de la formule de Belanger repose sur plusieurs hypothèses simplificatrices :

Canal prismatique (section constante) et rectangulaire.
Fond du canal horizontal.
Frottement sur le fond et les parois négligé sur la courte longueur du ressaut.
Répartition hydrostatique des pressions dans les sections amont (1) et aval (2) du ressaut (valable car les lignes de courant y sont quasi-parallèles).
Coefficient de Boussinesq (correction de la répartition non uniforme des vitesses) pris égal à 1.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1 :

y₁ = 0.80 m
Fr₁ = 6.69

Astuces

Le terme sous la racine, 1 + 8 Fr₁², est toujours positif. De plus, comme Fr₁ > 1 pour un ressaut, 8 Fr₁² > 8, donc √(1 + 8 Fr₁²) > √9 = 3. Le terme ( √(1 + 8 Fr₁²) - 1 ) est donc toujours supérieur à 2. Par conséquent, y₂ sera toujours supérieur à y₁. C'est une vérification rapide de la cohérence du résultat.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche la profondeur y₂ juste après la zone turbulente du ressaut, en fonction de y₁ et Fr₁.

Profil du Ressaut et Hauteurs

Calcul(s)

Calcul de y₂

\begin{aligned} y_2 &= \frac{y_1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right) \\ &= \frac{0.80}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot (6.69)^2} - 1 \right) \\ &= 0.40 \left( \sqrt{1 + 8 \cdot 44.756} - 1 \right) \\ &= 0.40 \left( \sqrt{1 + 358.05} - 1 \right) \\ &= 0.40 \left( \sqrt{359.05} - 1 \right) \\ &= 0.40 \left( 18.948 - 1 \right) \\ &= 0.40 \times 17.948 \\ &\approx 7.18 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul nous donne la valeur théorique de la profondeur après le ressaut.

Hauteurs avant et après le ressaut (calculée)

Réflexions

La profondeur théorique requise après le ressaut est de 7.18 m. L'écoulement passe d'une profondeur de 0.80 m à 7.18 m, ce qui est une augmentation considérable, typique d'un ressaut avec un Froude élevé.

Points de vigilance

Vérifiez bien que vous utilisez Fr₁ (Froude *avant* le ressaut) dans la formule, et non Fr₂. Une erreur courante est d'inverser y₁ et y₂ dans la formule ou d'oublier le facteur 1/2 devant.

Points à retenir

La formule de Belanger (y₂ = f(y₁, Fr₁)) est centrale pour l'étude du ressaut.
Elle permet de calculer la profondeur *requise* en aval pour stabiliser le ressaut.

Le saviez-vous ?

Il existe une formule symétrique permettant de calculer y₁ si on connaît y₂ et Fr₂ = V₂/√(gy₂) (le Froude *après* le ressaut) : y₁ = (y₂/2) ( √(1 + 8 Fr₂²) - 1 ). Notez que Fr₂ est toujours inférieur à 1.

FAQ

Questions typiques sur cette étape :

Résultat Final

La hauteur conjuguée théorique est y₂ = 7.18 m.

A vous de jouer

Avec Fr₁ = 4.46 (cas de la Q1 "A vous de jouer"), que vaudrait y₂ ? (gardez y₁=0.80 m)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Calcul de la hauteur conjuguée post-ressaut.
Formule Essentielle : Belanger y₂ = (y₁/2) ( √(1 + 8 Fr₁²) - 1 ).
Résultat : Obtention de la profondeur requise y₂.

Question 3 : Comparaison y₂ et ytw (Position du ressaut)

Principe

La nature du ressaut dépend de la relation entre la hauteur conjuguée y₂ (la profondeur *requise* par le ressaut) et la profondeur aval ytw (la profondeur *disponible* dans le canal aval).

Mini-Cours

Il y a trois cas possibles :

y₂ = ytw : Ressaut Normal. Cas idéal. Le ressaut se forme stablement à l'endroit prévu.
y₂ < ytw : Ressaut Noyé. L'aval est "trop haut". Le ressaut est "repoussé" vers l'amont et peut remonter sur le déversoir (indésirable).
y₂ > ytw : Ressaut Dégagé (ou Balayé). L'aval est "trop bas". Le ressaut est "aspiré" vers l'aval et se forme loin du bassin, n'assurant plus la protection.

Donnée(s)

Nous comparons deux valeurs :

Hauteur conjuguée calculée : y₂ = 7.18 m
Profondeur aval (tailwater) : ytw = 4.50 m

Calcul(s)

Comparaison

7.18 \text{ m} \ (y_2) \quad > \quad 4.50 \text{ m} \ (y_{tw})

Réflexions

Puisque la hauteur requise par le ressaut (y₂ = 7.18 m) est supérieure à la hauteur disponible dans la rivière (ytw = 4.50 m), le ressaut ne peut pas se former stablement. Il sera "balayé" vers l'aval, hors de la zone protégée.

Points de vigilance

C'est une situation dangereuse ! Un ressaut dégagé signifie que le bassin d'amortissement tel que conçu est inutile. L'écoulement à haute vitesse (18.75 m/s) continuera bien au-delà du radier en béton et affouillera (creusera) le lit naturel de la rivière, menaçant la stabilité de l'ouvrage.

Solution d'ingénieur : Il faudrait surcreuser le radier du bassin (l'abaisser) pour que la profondeur totale disponible au droit du bassin soit égale ou légèrement supérieure à y₂.

Résultat Final

Le ressaut est Dégagé (ou Balayé), car y₂ = 7.18 m > ytw = 4.50 m. Le bassin n'est pas fonctionnel en l'état.

A vous de jouer

Si la profondeur aval ytw était de 8.0 m, quel type de ressaut aurions-nous ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Comparaison hauteur requise (y₂) vs hauteur disponible (ytw).
Cas : y₂=ytw (Normal), y₂ < ytw (Noyé), y₂ > ytw (Dégagé).
Conséquence : Détermine la position et la stabilité du ressaut.

Question 4 : Estimation de la longueur du bassin Lb

Principe

Même si notre ressaut est dégagé, nous calculons la longueur qu'il *faudrait* pour contenir le ressaut, si les conditions de profondeur aval étaient remplies. On utilise des formules empiriques, souvent basées sur y₂, pour estimer la distance sur laquelle la turbulence intense du ressaut se développe.

Mini-Cours

La longueur du ressaut (Lj ou Lb) n'a pas de définition théorique unique comme y₂. Elle correspond à la distance entre le début du ressaut (section 1) et la section où l'écoulement redevient approximativement parallèle et où la turbulence de surface s'atténue. Des études expérimentales ont montré que cette longueur dépend principalement du Froude amont Fr₁ et de la hauteur aval y₂.

Remarque Pédagogique

La formule Lb ≈ 6 y₂ est une règle du pouce pratique et souvent conservatrice (elle surestime légèrement la longueur nécessaire) pour des ressauts bien développés (Fr₁ > 4.5). Elle est facile à mémoriser et à utiliser pour un pré-dimensionnement.

Normes

Diverses recommandations de conception, notamment celles de l'US Bureau of Reclamation (USBR) pour les bassins d'amortissement (Stilling Basins), proposent des graphiques et des formules plus élaborées (par exemple Lj/y₂ = f(Fr₁)) basées sur des campagnes expérimentales. La formule 6 y₂ est une approximation de ces courbes dans la plage de Froude courante.

Formule(s)

Formule empirique (USBR, simplifiée)

L_b \approx L_j \approx 6 \cdot y_2

Note : Cette approximation est valable pour des Fr₁ dans la plage de 4.5 à 13. Notre Fr₁ = 6.69 est dans cette plage.

Hypothèses

L'application de cette formule suppose implicitement :

Un ressaut hydraulique stable et bien formé (ce qui nécessite y₂ ≈ ytw).
Un canal rectangulaire à fond horizontal.
Des conditions d'écoulement suffisamment établies en amont et en aval.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q2 :

y₂ = 7.18 m

Astuces

N'oubliez pas que cette longueur est une estimation. Dans une conception réelle, on ajouterait une marge de sécurité (par exemple, 10-20%) et on vérifierait avec des méthodes plus détaillées ou des simulations si l'enjeu est important.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche à estimer la distance Lb sur laquelle s'étend la zone de turbulence principale du ressaut.

Longueur du Ressaut Hydraulique

Calcul(s)

Calcul de Lb

\begin{aligned} L_b &= 6 \times y_2 \\ &= 6 \times 7.18 \text{ m} \\ &= 43.08 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La longueur estimée nécessaire pour contenir le ressaut est d'environ 43.1 m.

Longueur Estimée du Ressaut

Réflexions

Il faudrait un radier en béton d'au moins 43.1 mètres de long (et surcreusé, comme vu en Q3) pour s'assurer que l'intégralité du ressaut (zone de forte turbulence) se produise sur la structure protégée.

Points de vigilance

Utiliser une formule empirique en dehors de son domaine de validité (ici, Fr₁ entre 4.5 et 13) peut conduire à des estimations erronées. Toujours vérifier les conditions d'application.

Points à retenir

La longueur du ressaut Lj est proportionnelle à la hauteur aval y₂.
Formule d'estimation rapide : Lj ≈ 6 y₂ (pour 4.5 < Fr₁ < 13).

Le saviez-vous ?

Pour les très grands nombres de Froude (Fr₁ > 13), le ressaut devient plus instable et peut nécessiter des bassins plus longs ou des dispositifs spéciaux (seuils, piles) pour stabiliser sa position et améliorer la dissipation.

FAQ

Questions typiques sur cette étape :

Résultat Final

La longueur de bassin requise est estimée à Lb ≈ 43.1 m.

A vous de jouer

Quelle longueur Lb faudrait-il pour le cas de la Q2 "A vous de jouer" (où y₂ = 4.66 m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Estimation de la longueur du ressaut.
Formule Essentielle : Lb ≈ 6 y₂ (approximation courante).
Utilité : Dimensionnement de la longueur du radier protégé.

Question 5 : Calcul de la puissance dissipée (ΔP)

Principe

La puissance dissipée (perte d'énergie par unité de temps) est égale à la perte de charge hydraulique (ΔE, différence d'énergie spécifique entre l'amont et l'aval du ressaut) multipliée par le débit-poids (γ ⋅ Q, ou ρ ⋅ g ⋅ Q).

Mini-Cours

L'énergie spécifique E représente l'énergie totale de l'écoulement par unité de poids d'eau, rapportée au fond du canal. Elle a la dimension d'une hauteur (mètres). E = y + α (V²/2g), où α est le coefficient de Coriolis (pris égal à 1 pour un écoulement turbulent uniforme). Contrairement à l'équation de Bernoulli pour les écoulements parfaits, la charge hydraulique n'est pas conservée à travers un ressaut en raison des fortes pertes par turbulence.

Remarque Pédagogique

Le calcul de ΔP met en évidence l'efficacité du ressaut comme "frein" hydraulique. Cette puissance, si elle n'était pas dissipée de manière contrôlée dans le bassin, serait utilisée à éroder le lit de la rivière en aval, potentiellement sur des kilomètres.

Normes

Ce calcul est une application directe du premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie, incluant les pertes) appliqué à un volume de contrôle englobant le ressaut.

Formule(s)

Charge hydraulique (Énergie spécifique)

E = y + \frac{V^2}{2g}

Perte de charge dans le ressaut

\Delta E = E_1 - E_2 = \left( y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \right) - \left( y_2 + \frac{V_2^2}{2g} \right)

Puissance dissipée

\Delta P = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta E

Hypothèses

Les hypothèses sont celles de la mécanique des fluides standard :

Fluide incompressible (ρ = 1000 kg/m³).
Accélération de la pesanteur constante (g = 9.81 m/s²).
Coefficient de Coriolis α = 1.
Les profondeurs y₁ et y₂ sont les profondeurs moyennes et les vitesses V₁ et V₂ sont les vitesses moyennes dans les sections correspondantes.

Donnée(s)

Nous avons besoin de presque toutes les données et résultats précédents :

Q = 150 m³/s
g = 9.81 m/s²
ρ = 1000 kg/m³
y₁ = 0.80 m
V₁ = 18.75 m/s (de Q1)
y₂ = 7.18 m (de Q2)

Astuces

Pour vérifier le calcul de ΔE, on peut utiliser la formule alternative : ΔE = (y₂ - y₁)^3 / (4 y₁ y₂).
Dans notre cas : ΔE = (7.18 - 0.80)³ / (4 × 0.80 × 7.18) = (6.38)³ / 22.976 = 259.69 / 22.976 ≈ 11.30 m. Le résultat est très proche de celui obtenu par E₁ - E₂ (11.32 m), la légère différence venant des arrondis intermédiaires.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche à quantifier la chute de la ligne d'énergie (ΔE) à travers le ressaut pour ensuite calculer la puissance dissipée.

Perte d'Énergie Spécifique dans le Ressaut

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la vitesse aval V₂

\begin{aligned} V_2 &= \frac{Q}{A_2} \\ &= \frac{Q}{b \cdot y_2} \\ &= \frac{150}{10 \times 7.18} \\ &\approx 2.09 \text{ m/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la charge amont E₁

\begin{aligned} E_1 &= y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \\ &= 0.80 + \frac{(18.75)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.80 + \frac{351.56}{19.62} \\ &= 0.80 + 17.92 \\ &= 18.72 \text{ m} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la charge aval E₂

\begin{aligned} E_2 &= y_2 + \frac{V_2^2}{2g} \\ &= 7.18 + \frac{(2.09)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 7.18 + \frac{4.368}{19.62} \\ &= 7.18 + 0.22 \\ &= 7.40 \text{ m} \end{aligned}

Étape 4 : Calcul de la perte de charge ΔE

\begin{aligned} \Delta E &= E_1 - E_2 \\ &= 18.72 \text{ m} - 7.40 \text{ m} \\ &= 11.32 \text{ m} \end{aligned}

Étape 5 : Calcul de la puissance dissipée ΔP

\begin{aligned} \Delta P &= \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta E \\ &= 1000 \times 9.81 \times 150 \times 11.32 \\ &= 16\,657\,380 \text{ W} \\ &\approx 16.66 \text{ MW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La perte de charge ΔE est de 11.32 m, ce qui conduit à une puissance dissipée ΔP de 16.66 MW.

Puissance Dissipée par le Ressaut

Réflexions

Le ressaut dissipe près de 16.7 Mégawatts, soit l'équivalent de la puissance de plusieurs milliers de foyers. Cela illustre l'énorme quantité d'énergie destructrice que le ressaut transforme en chaleur et en turbulence, protégeant ainsi le lit de la rivière.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes (SI : kg, m, s) dans le calcul de la puissance pour obtenir des Watts. 1 MW = 10⁶ W. Ne confondez pas la perte de charge ΔE (en mètres) avec la puissance ΔP (en Watts).

Points à retenir

La perte d'énergie ΔE = E₁ - E₂ quantifie l'énergie perdue par unité de poids d'eau.
La puissance dissipée ΔP = ρ g Q ΔE quantifie l'énergie perdue par unité de temps.
Le ressaut est un dissipateur d'énergie très efficace.

Le saviez-vous ?

Dans certains très grands ouvrages hydrauliques, la puissance dissipée dans le bassin d'amortissement peut atteindre plusieurs Gigawatts (GW), équivalant à la production d'une centrale nucléaire, mais cette énergie est perdue sous forme de chaleur et de turbulence.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La puissance dissipée par le ressaut hydraulique est ΔP ≈ 16.66 MW.

A vous de jouer

Quelle est la perte de charge ΔE (en m) pour le cas de la Q2 "A vous de jouer" (y₁=0.8, Fr₁=4.46, y₂=4.66) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Calcul de l'énergie dissipée par le ressaut.
Formules : E = y + V²/2g, ΔE = E₁-E₂ (ou ΔE = (y₂ - y₁)³/(4 y₁ y₂)), ΔP = ρ g Q ΔE.
Importance : Mesure quantitative de l'efficacité de l'amortissement.

Outil Interactif : Simulateur de Ressaut

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit Q et la profondeur amont y₁. Observez en temps réel l'impact sur le Nombre de Froude Fr₁ et la hauteur conjuguée y₂. Le graphique montre l'évolution de y₂ en fonction de y₁ pour le débit Q sélectionné.

Paramètres d'Entrée

Débit Total Q (m³/s) 150 m³/s

Profondeur Amont y₁ (m) 0.8 m

Résultats Clés

Nombre de Froude Amont Fr₁ -

Hauteur Conjuguée y₂ (m) -

Glossaire

Ressaut Hydraulique: Phénomène de transition brusque d'un régime torrentiel (rapide, Fr > 1) à un régime fluvial (lent, Fr < 1), caractérisé par une forte turbulence et une dissipation d'énergie.
Nombre de Froude (Fr): Nombre sans dimension comparant les forces d'inertie (liées à la vitesse) aux forces de gravité (liées à la profondeur). Il détermine le régime d'écoulement.
Hauteur Conjuguée (y₂): La profondeur d'eau y₂ en régime fluvial qui a la même quantité de mouvement (force) qu'une profondeur donnée y₁ en régime torrentiel. C'est la hauteur requise pour former le ressaut.
Écoulement Torrentiel (Supercritique): Régime d'écoulement à haute vitesse et faible profondeur, où Fr > 1. L'écoulement est "rapide".
Écoulement Fluvial (Subcritique): Régime d'écoulement à faible vitesse et grande profondeur, où Fr < 1. L'écoulement est "tranquille".
Profondeur aval (Tailwater, ytw): La profondeur d'eau naturelle dans le canal ou la rivière à l'aval du bassin, imposée par les conditions en aval (un autre barrage, la mer, etc.).