Écoulement au-dessus d'une Surélévation de Radier

Contexte : L'Hydraulique à Surface LibreÉtude des écoulements liquides où la surface supérieure est en contact avec l'atmosphère (ex: rivières, canaux)..

Cet exercice porte sur un problème classique d'hydraulique à surface libre : l'écoulement permanent dans un canal rectangulaire qui rencontre un obstacle, ici une surélévation du radier (aussi appelée "seuil" ou "marche"). Nous allons utiliser le principe de conservation de l'énergie (équation de Bernoulli adaptée) et le concept d'énergie spécifique pour déterminer comment la hauteur d'eau est modifiée par cet obstacle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer les variations de hauteur d'eau au passage d'un seuil en utilisant le concept d'énergie spécifique. Vous apprendrez à déterminer le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel) et à identifier la hauteur critique du seuil qui peut "bloquer" l'écoulement.

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser la notion d'énergie spécifique et sa conservation.
Calculer le débit spécifique, la hauteur critique et l'énergie critique.
Déterminer la hauteur d'eau sur et après la surélévation.
Comprendre le concept de hauteur de seuil critique (phénomène de "choking").

Données de l'étude

On étudie un canal rectangulaire de largeur constante \(b\) transportant un débit \(Q\). Le radierLe fond ou lit d'un canal ou d'une rivière. du canal présente une surélévation (un seuil) lisse de hauteur \(\Delta z\). L'écoulement est supposé permanent et les pertes de charge sont négligées au droit de l'obstacle.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de canal	Rectangulaire
Régime d'écoulement	Permanent
Fluide	Eau (\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\))

Modélisation de l'écoulement sur le seuil

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	\(Q\)	10	m³/s
Largeur du canal	\(b\)	4	m
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	2.5	m
Hauteur du seuil	\(\Delta z\)	0.3	m

Questions à traiter

Calculer le débit spécifique \(q\).
Calculer la vitesse \(V_1\) et l'énergie spécifique \(E_1\) en amont.
Calculer la hauteur critique \(y_c\) et l'énergie critique \(E_c\). Quel est le régime d'écoulement en amont ?
Déterminer la hauteur maximale du seuil \(\Delta z_{\text{max}}\) qui peut être installée sans modifier la hauteur d'eau amont \(y_1\).
Calculer la hauteur d'eau \(y_2\) sur le seuil (pour \(\Delta z = 0.3 \, \text{m}\)) et la hauteur d'eau \(y_3\) en aval (en supposant un retour au radier initial sans pertes).

Les bases sur l'Énergie Spécifique

L'outil principal pour résoudre ce problème est le concept d'énergie spécifiqueÉnergie par unité de poids du fluide, mesurée par rapport au fond (radier) du canal., \(E\), qui représente l'énergie par unité de poids du fluide par rapport au radier du canal. En l'absence de pertes de charge, la charge totale (altitude du radier + énergie spécifique) se conserve.

1. Débit et Énergie Spécifiques
Pour un canal rectangulaire, le débit spécifiqueDébit par unité de largeur du canal (q = Q/b). Se conserve si la largeur est constante. \(q\) est le débit par unité de largeur : \(q = Q/b\). L'énergie spécifique \(E\) est la somme de la hauteur d'eau \(y\) et de la hauteur d'énergie cinétique \(V^2/2g\). \[ E = y + \frac{V^2}{2g} = y + \frac{(q/y)^2}{2g} = y + \frac{q^2}{2gy^2} \]

2. Hauteur Critique \(y_c\)
Pour un débit \(q\) donné, il existe une hauteur, la hauteur critiqueHauteur pour laquelle l'énergie spécifique est minimale. Sépare les régimes fluvial et torrentiel. \(y_c\), pour laquelle l'énergie spécifique \(E\) est minimale. Elle est donnée par : \[ y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} \] L'énergie spécifique minimale (critique) est alors \(E_c = \frac{3}{2}y_c\). L'écoulement est critique lorsque le Nombre de FroudeNombre sans dimension comparant les forces d'inertie et de gravité (Fr = V / sqrt(gy)). \(Fr = 1\).

Correction : Calcul d'Écoulement au-dessus d’une Surélévation de Radier

Question 1 : Calculer le débit spécifique \(q\).

Principe

Le débit spécifique \(q\) est une notion clé pour les canaux rectangulaires. Il représente le débit qui transite par chaque mètre de largeur du canal. Simplifier le problème en 2D (par unité de largeur) est courant en hydraulique.

Mini-Cours

Définition et Unités : Le débit spécifique \(q\) est défini comme le débit total \(Q\) (volume par unité de temps, ex: m³/s) divisé par la largeur \(b\) du canal (longueur, ex: m). L'unité de \(q\) est donc (Volume/Temps)/Longueur = Longueur²/Temps (ex: m²/s). On peut aussi le voir comme Vitesse × Hauteur.

Remarque Pédagogique

Commencer par calculer \(q\) est une bonne habitude. Cela permet de fixer une caractéristique clé de l'écoulement qui restera constante tout au long du canal si sa largeur ne change pas. C'est la première étape pour pouvoir ensuite analyser les variations de hauteur et de vitesse.

Normes

Bien que ce ne soit pas une "norme" au sens réglementaire, l'utilisation du débit spécifique est une convention universellement acceptée dans les manuels et publications traitant de l'hydraulique à surface libre pour les canaux rectangulaires.

Formule(s)

Définition du débit spécifique

q = \frac{Q}{b}

Où \(Q\) est le débit total [\(\text{m}^3/\text{s}\)] et \(b\) est la largeur du canal [\(\text{m}\)].

Hypothèses

L'utilisation du débit spécifique suppose implicitement que :
1. Le canal est bien rectangulaire.
2. La vitesse (et donc le débit) est raisonnablement bien répartie sur toute la largeur \(b\). Cela est généralement vrai pour des canaux droits et réguliers.

Donnée(s)

Les informations nécessaires tirées de l'énoncé sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	\(Q\)	10	m³/s
Largeur du canal	\(b\)	4	m

Astuces

Une vérification rapide des unités est toujours utile : \(\frac{\text{m}^3/\text{s}}{\text{m}} = \text{m}^2/\text{s}\). L'unité est cohérente.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du concept de débit spécifique.

Débit Spécifique q = Q / b

Calcul(s)

Application numérique directe

On applique la formule avec les valeurs de l'énoncé.

\begin{aligned} q &= \frac{Q}{b} \\ &= \frac{10 \, \text{m}^3/\text{s}}{4 \, \text{m}} \\ &= 2.5 \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme la valeur du débit passant à travers la "tranche" unitaire représentée sur le schéma précédent.

Résultat : q = 2.5 m²/s

Réflexions

Cette valeur de \(q = 2.5 \, \text{m}^2/\text{s}\) est maintenant notre référence pour l'intensité de l'écoulement. Elle sera utilisée dans toutes les étapes suivantes pour calculer les hauteurs, vitesses et énergies.

Points de vigilance

Assurez-vous que \(Q\) et \(b\) sont dans des unités cohérentes (ici, m³/s et m) avant de diviser. Une erreur fréquente est d'utiliser une largeur en cm par exemple.

Points à retenir

Le débit spécifique \(q = Q/b\) est la première étape pour analyser un écoulement en canal rectangulaire. Il représente le débit par mètre de largeur.

Le saviez-vous ?

Pour des canaux non rectangulaires (trapézoïdaux, circulaires...), la notion de débit spécifique est moins utile car la largeur varie avec la hauteur. On travaille alors directement avec \(Q\) et l'aire de la section \(S(y)\).

FAQ

Pas de questions fréquentes spécifiques à cette étape simple.

Résultat Final

Le débit spécifique est \(q = 2.5 \, \text{m}^2/\text{s}\).

A vous de jouer

Si le débit total \(Q\) était de 12 m³/s et la largeur \(b\) de 3 m, que vaudrait \(q\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1:

Concept: Débit spécifique \(q\) = débit par unité de largeur.
Formule: \(q = Q/b\).
Utilité: Simplifie les calculs 2D.

Question 2 : Calculer la vitesse \(V_1\) et l'énergie spécifique \(E_1\) en amont.

Principe

La vitesse moyenne \(V_1\) découle de la définition du débit spécifique (\(q = V \times y\)). L'énergie spécifique \(E_1\) représente l'énergie totale de l'écoulement par unité de poids, mesurée par rapport au fond du canal à cet endroit (section 1). Elle est la somme de l'énergie potentielle due à la hauteur d'eau (\(y_1\)) et de l'énergie cinétique due à la vitesse (\(V_1^2 / 2g\)).

Mini-Cours

Vitesse moyenne \(V\) : C'est le débit divisé par l'aire de la section mouillée (\(S\)). Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\) et hauteur \(y\), \(S = b \times y\). Donc \(V = Q/S = Q/(by) = q/y\).
Énergie spécifique \(E\) : Elle est définie comme \(E = y + \frac{V^2}{2g}\). En remplaçant \(V\) par \(q/y\), on obtient la forme très utile : \(E = y + \frac{q^2}{2gy^2}\). Cette équation relie directement l'énergie spécifique à la hauteur d'eau pour un débit spécifique donné.

Remarque Pédagogique

Le calcul de \(E_1\) est fondamental. C'est la "référence énergétique" de l'écoulement amont. En l'absence de pertes de charge, la charge totale \(H = z + E\) (où \(z\) est l'altitude du fond) reste constante. L'énergie spécifique \(E\) peut varier si \(z\) varie (comme c'est le cas avec le seuil).

Normes

L'équation de l'énergie spécifique est une application directe du Théorème de Bernoulli pour les écoulements à surface libre, en prenant la surface libre comme ligne de courant où la pression est atmosphérique (pression relative nulle) et en mesurant les altitudes par rapport au radier.

Formule(s)

Vitesse dans la section (1)

V_1 = \frac{q}{y_1}

Énergie spécifique dans la section (1)

E_1 = y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \quad \text{ou} \quad E_1 = y_1 + \frac{q^2}{2gy_1^2}

Hypothèses

1. Écoulement unidimensionnel (vitesse moyenne \(V_1\) représentative).
2. Coefficient de Coriolis \(\alpha = 1\) (répartition de vitesse uniforme, souvent approximé pour les écoulements turbulents).
3. Pression hydrostatique sur la verticale.

Donnée(s)

Nous utilisons \(q\) de la Q1 et les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit spécifique	\(q\)	2.5	m²/s
Hauteur amont	\(y_1\)	2.5	m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Utiliser la formule \(E_1 = y_1 + \frac{q^2}{2gy_1^2}\) est souvent plus rapide car elle évite le calcul intermédiaire de \(V_1\). Faites attention aux carrés (\(q^2\), \(y_1^2\)) ! Vérifiez les unités : \(q^2/(gy^2)\) est bien homogène à une longueur [\(\text{m}\)].

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des composantes de l'énergie spécifique \(E_1\) dans la section amont.

Composantes de l'Énergie Spécifique E₁

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la vitesse \(V_1\)

On applique la formule \(V = q/y\).

\begin{aligned} V_1 &= \frac{q}{y_1} \\ &= \frac{2.5 \, \text{m}^2/\text{s}}{2.5 \, \text{m}} \\ &= 1.0 \, \text{m/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'énergie spécifique \(E_1\)

On somme la hauteur d'eau et la hauteur de vitesse. Calculons d'abord la hauteur de vitesse :

\begin{aligned} \frac{V_1^2}{2g} &= \frac{(1.0 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{1.0}{19.62} \, \text{m} \\ &\approx 0.051 \, \text{m} \end{aligned}

Puis on ajoute la hauteur d'eau :

\begin{aligned} E_1 &= y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \\ &= 2.5 \, \text{m} + 0.051 \, \text{m} \\ &= 2.551 \, \text{m} \end{aligned}

Vérification avec l'autre formule :

Calcul du terme \( \frac{q^2}{2gy_1^2} \):

\begin{aligned} \frac{q^2}{2gy_1^2} &= \frac{(2.5 \, \text{m}^2/\text{s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times (2.5 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{6.25}{19.62 \times 6.25} \, \text{m} \\ &= \frac{1}{19.62} \, \text{m} \\ &\approx 0.051 \, \text{m} \end{aligned}

Addition avec \(y_1\):

\begin{aligned} E_1 &= y_1 + \frac{q^2}{2gy_1^2} \\ &= 2.5 \, \text{m} + 0.051 \, \text{m} \\ &= 2.551 \, \text{m} \end{aligned}

Les résultats concordent.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent reste valable, on peut maintenant y annoter les valeurs numériques.

Valeurs Numériques pour E₁

Réflexions

L'énergie cinétique représente seulement \(0.051 / 2.551 \approx 2\%\) de l'énergie spécifique totale. C'est typique d'un régime fluvial où l'énergie potentielle domine largement. La vitesse est faible par rapport à la profondeur.

Points de vigilance

Ne pas oublier l'accélération de la pesanteur \(g\) dans le terme d'énergie cinétique. Vérifier que toutes les grandeurs sont en unités SI (mètres, secondes) avant le calcul.

Points à retenir

L'énergie spécifique \(E = y + V^2/2g\) est la somme des hauteurs d'eau et de vitesse. Elle se calcule facilement avec \(q\) pour un canal rectangulaire : \(E = y + q^2/(2gy^2)\).

Le saviez-vous ?

Dans certains calculs très précis ou pour des écoulements non uniformes (ex: près d'une pile de pont), on utilise le coefficient de Coriolis \(\alpha\) (souvent entre 1.05 et 1.2) pour tenir compte de la répartition non uniforme des vitesses réelles dans la section : \(E = y + \alpha V^2/2g\).

FAQ

Résultat Final

La vitesse amont \(V_1 = 1.0 \, \text{m/s}\) et l'énergie spécifique amont \(E_1 \approx 2.551 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Si la hauteur amont \(y_1\) était de 2.0 m (avec \(q = 2.5 \, \text{m}^2/\text{s}\)), que vaudrait \(E_1\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2:

Concept: Énergie spécifique = Énergie potentielle + Énergie cinétique (relativement au radier).
Formule: \(E = y + q^2/(2gy^2)\).
Calcul: \(V_1=q/y_1\), puis \(E_1=y_1+V_1^2/(2g)\).

Question 3 : Calculer \(y_c\) et \(E_c\). Quel est le régime d'écoulement en amont ?

Principe

La hauteur critique \(y_c\) est une propriété fondamentale de l'écoulement qui ne dépend que du débit spécifique \(q\) et de la gravité \(g\). Elle correspond à l'état où l'énergie spécifique \(E\) est minimale (\(E_c\)) pour ce débit \(q\). En comparant la hauteur d'eau réelle \(y_1\) à cette hauteur critique \(y_c\), on peut classer le régime d'écoulement : fluvial (subcritique) si \(y_1 > y_c\), ou torrentiel (supercritique) si \(y_1 < y_c\).

Mini-Cours

Courbe Énergie Spécifique (E-y) : Pour un \(q\) donné, la courbe \(E(y) = y + q^2/(2gy^2)\) a une forme caractéristique : elle décroît depuis \(+\infty\) pour \(y \to 0\), atteint un minimum en \((E_c, y_c)\), puis croît linéairement (\(E \approx y\)) pour \(y \to \infty\).
Point Critique : Le minimum de la courbe \(E(y)\) est trouvé en annulant la dérivée \(dE/dy = 1 - q^2/(gy^3) = 0\). Cela donne \(y^3 = q^2/g\), d'où \(y_c = (q^2/g)^{1/3}\). À ce point, le Nombre de Froude \(Fr = V/\sqrt{gy} = (q/y_c)/\sqrt{gy_c} = \sqrt{q^2/(gy_c^3)} = 1\).

Remarque Pédagogique

Identifier le régime d'écoulement est crucial car il dicte le comportement de l'eau face aux obstacles ou aux changements de pente. Les écoulements fluviaux sont "lents" et sensibles aux conditions aval, tandis que les écoulements torrentiels sont "rapides" et contrôlés par l'amont.

Normes

La distinction entre régime fluvial et torrentiel basée sur la hauteur critique ou le Nombre de Froude est un standard absolu en hydraulique.

Formule(s)

Hauteur Critique (canal rectangulaire)

y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}}

Énergie Critique (canal rectangulaire)

E_c = \frac{3}{2} y_c

Critère de régime

Si \(y_1 > y_c\) (ou \(E_1 > E_c\) et \(y_1\) sur la branche supérieure) \(\Rightarrow\) Fluvial (Subcritique, \(Fr < 1\))
Si \(y_1 < y_c\) (ou \(E_1 > E_c\) et \(y_1\) sur la branche inférieure) \(\Rightarrow\) Torrentiel (Supercritique, \(Fr > 1\))
Si \(y_1 = y_c\) (ou \(E_1 = E_c\)) \(\Rightarrow\) Critique (\(Fr = 1\))

Hypothèses

Ces formules spécifiques (\(y_c = (q^2/g)^{1/3}\), \(E_c = 1.5 y_c\)) sont valables uniquement pour un canal rectangulaire.

Donnée(s)

Les valeurs nécessaires sont celles de \(q\) (calculé en Q1) et \(g\), ainsi que \(y_1\) pour déterminer le régime.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit spécifique	\(q\)	2.5	m²/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²
Hauteur amont	\(y_1\)	2.5	m

Astuces

Retenez que \(E_c = 1.5 \times y_c\). C'est un moyen rapide de calculer l'énergie minimale. Assurez-vous d'utiliser une calculatrice pour la racine cubique.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche le point le plus "à gauche" (énergie minimale) de la courbe E-y pour le débit \(q\) donné.

Recherche du Minimum sur la Courbe E-y

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la hauteur critique \(y_c\)

On calcule d'abord le terme sous la racine cubique :

\begin{aligned} \frac{q^2}{g} &= \frac{(2.5 \, \text{m}^2/\text{s})^2}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{6.25 \, \text{m}^4/\text{s}^2}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 0.6371 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Puis on prend la racine cubique :

\begin{aligned} y_c &= \sqrt[3]{0.6371 \, \text{m}^3} \\ &\approx 0.860 \, \text{m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'énergie critique \(E_c\)

On utilise la relation simple \(E_c = 1.5 \times y_c\).

\begin{aligned} E_c &= \frac{3}{2} y_c \\ &= 1.5 \times 0.860 \, \text{m} \\ &= 1.290 \, \text{m} \end{aligned}

Étape 3 : Détermination du régime amont

Il faut comparer la hauteur d'eau réelle en amont, \(y_1\), avec la hauteur critique \(y_c\).

Donnée : \(y_1 = 2.5 \, \text{m}\)
Calculé : \(y_c = 0.860 \, \text{m}\)
Comparaison : \(y_1 (2.5) > y_c (0.860)\)

Conclusion : Puisque la hauteur d'eau est supérieure à la hauteur critique, l'écoulement en amont est en régime fluvial (ou subcritique).

Schéma (Après les calculs)

On positionne les points critique et amont sur la courbe E-y.

Position des points sur la Courbe E-y

Réflexions

Le régime étant fluvial (\(y_1 > y_c\)), l'écoulement est lent et sa surface est relativement haute. Il a une énergie spécifique \(E_1\) supérieure au minimum requis \(E_c\). Cette "énergie excédentaire" (\(E_1 - E_c\)) lui permet potentiellement de franchir des obstacles (comme le seuil).

Points de vigilance

La formule \(E_c = 1.5 y_c\) n'est valable que pour un canal rectangulaire. Pour d'autres formes (trapèze, cercle), la relation est différente et plus complexe.

Points à retenir

1. Calculer \(y_c\) avec \(q\).
2. Calculer \(E_c = 1.5 y_c\).
3. Comparer la hauteur d'eau \(y\) à \(y_c\) pour déterminer le régime (Fluvial si \(y > y_c\), Torrentiel si \(y < y_c\)).

Le saviez-vous ?

Le Nombre de Froude (\(Fr\)) peut être vu comme le rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse des petites vagues à la surface. Si \(Fr < 1\) (fluvial), les vagues peuvent remonter le courant. Si \(Fr > 1\) (torrentiel), les vagues sont emportées vers l'aval.

FAQ

Résultat Final

La hauteur critique \(y_c \approx 0.860 \, \text{m}\) et l'énergie critique \(E_c = 1.290 \, \text{m}\). Le régime amont est fluvial.

A vous de jouer

Si le débit spécifique \(q\) était de 4.0 m²/s, que vaudrait la hauteur critique \(y_c\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3:

Concept: Hauteur critique \(y_c\) et Énergie critique \(E_c\).
Formules: \(y_c=(q^2/g)^{1/3}\), \(E_c=1.5y_c\).
Régime: Fluvial si \(y > y_c\), Torrentiel si \(y < y_c\).

Question 4 : Déterminer la hauteur maximale du seuil \(\Delta z_{\text{max}}\) (seuil critique).

Principe

Imaginez qu'on augmente progressivement la hauteur du seuil \(\Delta z\). Pour franchir ce seuil, l'eau utilise une partie de son énergie spécifique amont \(E_1\). L'énergie spécifique restante *par rapport au sommet du seuil* est \(E_2 = E_1 - \Delta z\). Il y a une limite à cela : l'énergie restante \(E_2\) ne peut pas être inférieure à l'énergie minimale requise pour faire passer le débit \(q\), c'est-à-dire \(E_c\). La hauteur maximale du seuil, \(\Delta z_{\text{max}}\), correspond au cas où \(E_2\) atteint exactement \(E_c\).

Mini-Cours

Conservation de la Charge Totale \(H\) : \(H_1 = H_2\) (sans pertes).
Comme \(H = z + E\), on a \(z_1 + E_1 = z_2 + E_2\).
En prenant \(z_1 = 0\) (référence au radier amont), alors \(z_2 = \Delta z\).
L'équation devient \(0 + E_1 = \Delta z + E_2\), soit \(E_2 = E_1 - \Delta z\).
Condition Limite (Critique) : L'écoulement ne peut exister que si l'énergie spécifique disponible est au moins égale à l'énergie critique (\(E \ge E_c\)). Donc, sur le seuil, il faut \(E_2 \ge E_c\). La condition limite est \(E_2 = E_c\). En remplaçant dans l'équation de conservation, on obtient \(E_1 = \Delta z_{\text{max}} + E_c\).

Remarque Pédagogique

Ce \(\Delta z_{\text{max}}\) représente la "marge de manœuvre" énergétique de l'écoulement amont. C'est l'élévation maximale que le flux peut franchir en passant juste à l'état critique, sans nécessiter d'accumulation d'énergie (remous) en amont.

Normes

Ce concept est utilisé dans les normes de conception des canaux et déversoirs pour s'assurer que l'écoulement peut se faire ou pour contrôler le niveau d'eau amont.

Formule(s)

Condition pour \(\Delta z_{\text{max}}\)

L'énergie spécifique sur le seuil est égale à l'énergie critique : \(E_2 = E_c\).

Hauteur maximale du seuil (seuil critique)

Déduite de la conservation de l'énergie (\(E_1 = E_2 + \Delta z\)) en remplaçant \(E_2\) par \(E_c\).

\Delta z_{\text{max}} = E_1 - E_c

Hypothèses

1. Écoulement fluvial en amont (\(E_1 > E_c\)).
2. Conservation de l'énergie (pas de pertes de charge locales dues au seuil).

Donnée(s)

On utilise les énergies calculées aux questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie amont	\(E_1\)	2.551	m
Énergie critique	\(E_c\)	1.290	m

Astuces

Visualisez la courbe E-y. \(\Delta z_{\text{max}}\) est simplement la différence d'abscisse (énergie) entre le point amont \((E_1, y_1)\) et le point critique \((E_c, y_c)\).

Schéma (Avant les calculs)

Illustration de \(\Delta z_{\text{max}}\) sur la courbe E-y.

Δzₘₐₓ sur la Courbe E-y

Calcul(s)

Calcul direct par différence

On soustrait l'énergie critique de l'énergie amont.

\begin{aligned} \Delta z_{\text{max}} &= E_1 - E_c \\ &= 2.551 \, \text{m} - 1.290 \, \text{m} \\ &= 1.261 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'écoulement au passage d'un seuil critique (\(\Delta z = \Delta z_{\text{max}}\)).

Écoulement sur Seuil Critique (Δz = Δzₘₐₓ)

Réflexions

Si le seuil avait une hauteur \(\Delta z = 1.3 \, \text{m} > \Delta z_{\text{max}}\), l'écoulement tel que décrit ne serait plus possible. Il faudrait que l'énergie en amont \(E_1\) augmente pour que \(E_1 \ge E_c + 1.3\). Cela se traduit par une augmentation de la hauteur d'eau \(y_1\) en amont du seuil (phénomène de remous).

Points de vigilance

\(\Delta z_{\text{max}}\) n'est défini que si l'écoulement amont est fluvial (\(E_1 > E_c\)). Si l'écoulement est déjà critique ou torrentiel, il n'y a pas de "réserve" d'énergie pour franchir une surélévation sans modification.

Points à retenir

La hauteur maximale de seuil franchissable sans remous amont (en régime fluvial initial) est la différence entre l'énergie spécifique amont et l'énergie critique : \(\Delta z_{\text{max}} = E_1 - E_c\).

Le saviez-vous ?

Ce principe est utilisé dans les canaux Venturi ou les seuils jaugeurs pour mesurer le débit : en créant un seuil de hauteur \(\Delta z \ge \Delta z_{\text{max}}\), on force l'écoulement à passer par la hauteur critique \(y_c\) sur le seuil, et comme \(y_c\) ne dépend que de \(q\), la mesure de \(y_c\) (ou d'une hauteur liée) donne le débit !

FAQ

Résultat Final

La hauteur maximale du seuil est \(\Delta z_{\text{max}} \approx 1.261 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Si une étude montrait que \(E_1 = 3.0 \, \text{m}\) et que \(E_c = 1.5 \, \text{m}\), que vaudrait \(\Delta z_{\text{max}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4:

Concept: Seuil critique = Obstacle maximal sans remous amont.
Condition: \(E_2 = E_c\) sur le seuil.
Formule: \(\Delta z_{\text{max}} = E_1 - E_c\).

Question 5 : Calculer \(y_2\) (sur le seuil) et \(y_3\) (en aval).

Principe

On utilise le principe de conservation de la charge totale \(H = z + E\). Comme les pertes sont négligées, \(H\) est constante : \(H_1 = H_2 = H_3\).
Pour \(y_2\) (sur le seuil) : \(z_1 + E_1 = z_2 + E_2\). Avec \(z_1=0\) et \(z_2=\Delta z = 0.3 \, \text{m}\), on a \(E_1 = \Delta z + E_2\), soit \(E_2 = E_1 - \Delta z\). Connaissant \(E_2\) et \(q\), on doit résoudre \(E_2 = y_2 + q^2/(2gy_2^2)\) pour trouver \(y_2\).
Pour \(y_3\) (en aval) : \(z_1 + E_1 = z_3 + E_3\). Avec \(z_1=0\) et \(z_3=0\) (retour au niveau initial), on a \(E_1 = E_3\). On doit résoudre \(E_1 = y_3 + q^2/(2gy_3^2)\) pour trouver \(y_3\).

Mini-Cours

Courbe E-y et Solutions : Pour une valeur d'énergie \(E > E_c\), la courbe E-y montre qu'il existe deux hauteurs possibles (conjuguées) qui donnent cette énergie : une hauteur fluviale \(y_{\text{fluv}} > y_c\) et une hauteur torrentielle \(y_{\text{torr}} < y_c\). Ces deux hauteurs sont dites "conjuguées" pour l'énergie \(E\). Si \(E = E_c\), il n'y a qu'une solution \(y=y_c\). Si \(E < E_c\), il n'y a pas de solution réelle (l'écoulement est impossible).
Continuité du Régime : Si un écoulement fluvial rencontre un obstacle non critique (\(\Delta z < \Delta z_{\text{max}}\)), il reste généralement fluvial. La hauteur d'eau s'ajuste pour conserver l'énergie, mais elle reste sur la branche fluviale (\(y > y_c\)) de la courbe E-y.

Remarque Pédagogique

La résolution de \(E = y + C/y^2\) (où \(C=q^2/2g\)) est une étape clé. Graphiquement, cela revient à trouver l'intersection d'une droite verticale \(E=\text{constante}\) avec la courbe E-y. Comme on part d'un régime fluvial et que \(E_2 = E_1 - \Delta z > E_c\), on s'attend à trouver une solution \(y_2\) qui est aussi fluviale (\(y_2 > y_c\)). Pour \(y_3\), on sait qu'une solution est \(y_1\), on cherche donc l'autre solution potentielle, mais comme le régime n'a pas changé, on s'attend à retrouver \(y_3 = y_1\).

Normes

L'application de la conservation de l'énergie entre sections est la méthode standard pour calculer les profils de ligne d'eau en écoulement graduellement varié ou au passage de singularités (sans pertes ou avec pertes estimées).

Formule(s)

Équation à résoudre pour \(y_2\) (avec \(E_2 = E_1 - \Delta z\))

E_2 = y_2 + \frac{q^2}{2gy_2^2}

Équation à résoudre pour \(y_3\) (avec \(E_3 = E_1\))

E_1 = y_3 + \frac{q^2}{2gy_3^2}

Hypothèses

1. Conservation de l'énergie (\(H=\text{constante}\)) entre (1), (2), et (3).
2. Retour au niveau du radier initial en (3) (\(z_3=z_1=0\)).
3. Le régime reste fluvial (car \(\Delta z < \Delta z_{\text{max}}\)).

Donnée(s)

On utilise les valeurs calculées et données précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie amont	\(E_1\)	2.551	m
Hauteur du seuil	\(\Delta z\)	0.3	m
Débit spécifique	\(q\)	2.5	m²/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²
Hauteur critique	\(y_c\)	0.860	m

Astuces

Pour résoudre numériquement \(E = y + C/y^2\) (où \(C = q^2/2g\)), on peut la réécrire comme \(y^3 - E y^2 + C = 0\). C'est une équation cubique. On cherche la racine \(y > y_c\). On peut tester des valeurs : \(y_2\) doit être plus petit que \(y_1\) (car le fond monte), mais rester supérieur à \(y_c\).

Schéma (Avant les calculs)

Interprétation graphique sur la courbe E-y.

Détermination de y₂ sur la Courbe E-y

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(E_2\) et de la constante C

On calcule d'abord l'énergie spécifique disponible par rapport au radier du seuil.

\begin{aligned} E_2 &= E_1 - \Delta z \\ &= 2.551 \, \text{m} - 0.3 \, \text{m} \\ &= 2.251 \, \text{m} \end{aligned}

On calcule la constante \(C = q^2 / (2g)\) qui intervient dans l'équation \(E = y + C/y^2\).

\begin{aligned} C = \frac{q^2}{2g} &= \frac{(2.5 \, \text{m}^2/\text{s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{6.25}{19.62} \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.3186 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Étape 2 : Résolution de l'équation pour \(y_2\) par essais successifs

On cherche \(y_2\) tel que \(E(y_2) = y_2 + C/y_2^2 = E_2 = 2.251 \, \text{m}\), avec la condition \(y_2 > y_c = 0.860 \, \text{m}\).

Essai 1: Prenons \(y_2 = 2.2 \, \text{m}\)

\begin{aligned} E(2.2) &= 2.2 + \frac{0.3186}{(2.2)^2} \\ &= 2.2 + \frac{0.3186}{4.84} \\ &\approx 2.2 + 0.0658 \\ &= 2.2658 \, \text{m} \quad (> E_2) \end{aligned}

\(E(2.2)\) est trop grand \(\Rightarrow y_2\) est trop grand. Essayons plus petit.

Essai 2: Prenons \(y_2 = 2.18 \, \text{m}\)

\begin{aligned} E(2.18) &= 2.18 + \frac{0.3186}{(2.18)^2} \\ &= 2.18 + \frac{0.3186}{4.7524} \\ &\approx 2.18 + 0.0670 \\ &= 2.2470 \, \text{m} \quad (< E_2) \end{aligned}

\(E(2.18)\) est trop petit \(\Rightarrow y_2\) est trop petit. La solution est entre 2.18 et 2.2.

Essai 3: Prenons \(y_2 = 2.182 \, \text{m}\)

\begin{aligned} E(2.182) &= 2.182 + \frac{0.3186}{(2.182)^2} \\ &= 2.182 + \frac{0.3186}{4.7611} \\ &\approx 2.182 + 0.0669 \\ &= 2.2489 \, \text{m} \quad (\approx E_2) \end{aligned}

C'est suffisamment proche. La solution fluviale est :

y_2 \approx 2.182 \, \text{m}

Étape 3 : Calcul de \(y_3\)

En aval (section 3), le radier revient à l'altitude \(z_3 = z_1 = 0\). L'énergie spécifique redevient donc \(E_3 = E_1\).

E_3 = E_1 = 2.551 \, \text{m}

L'équation à résoudre est : \(E_3 = y_3 + C/y_3^2\)

2.551 = y_3 + \frac{0.3186}{y_3^2}

On reconnaît l'équation qui définit l'état amont (1) où \(y_1 = 2.5 \, \text{m}\) était la solution fluviale. Comme l'écoulement est resté fluvial tout du long (\(y_1 > y_c\) et \(y_2 > y_c\)), il n'y a pas eu de transition de régime. L'écoulement retourne naturellement à sa hauteur fluviale initiale après l'obstacle (en l'absence de pertes).

y_3 = y_1 = 2.5 \, \text{m}

Schéma (Après les calculs)

Profil de la ligne d'eau avec les hauteurs calculées.

Profil Final de la Ligne d'Eau

Réflexions

L'eau accélère (diminution de \(y\), augmentation de \(V\)) pour monter le seuil, convertissant une partie de son énergie potentielle en énergie cinétique. Comme le seuil n'est pas critique, cette conversion est limitée et l'écoulement reste fluvial. Après le seuil, l'énergie cinétique est reconvertie en énergie potentielle et l'écoulement retrouve son état initial (en l'absence de pertes).

Points de vigilance

1. Bien choisir la bonne racine (fluviale ou torrentielle) lors de la résolution de l'équation cubique, en fonction du contexte physique.
2. Ne pas oublier que \(E_2\) est calculé par rapport au sommet du seuil, d'où le terme \(E_1 - \Delta z\).

Points à retenir

La conservation de l'énergie \(H = z + E\) permet de relier les états de l'écoulement entre différentes sections. La résolution de \(E = y + q^2/(2gy^2)\) est nécessaire pour trouver les hauteurs correspondantes.

Le saviez-vous ?

En réalité, il y a toujours de légères pertes de charge au passage d'un seuil (dues à la turbulence et au frottement). Cela signifie que \(E_3\) serait en fait légèrement inférieur à \(E_1\), et donc \(y_3\) serait légèrement inférieur à \(y_1\).

FAQ

Résultat Final

La hauteur sur le seuil est \(y_2 \approx 2.18 \, \text{m}\). La hauteur en aval est \(y_3 = 2.5 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Si l'on trouve \(E_2 = 2.251 \, \text{m}\), et qu'une des solutions de l'équation est \(y \approx 0.40 \, \text{m}\), à quel régime correspond-elle ? (Indice: comparer à \(y_c = 0.860 \, \text{m}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5:

Concept: Conservation de l'énergie \(H = z+E\) entre sections.
Calcul \(y_2\): Résoudre \(E_1 - \Delta z = y_2 + q^2/(2gy_2^2)\) (chercher racine fluviale \(y_2 > y_c\)).
Calcul \(y_3\): Résoudre \(E_1 = y_3 + q^2/(2gy_3^2)\). Si régime fluvial maintenu et sans pertes, \(y_3 = y_1\).

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie Spécifique

Utilisez cet outil pour voir comment l'énergie spécifique amont \(E_1\), la hauteur critique \(y_c\), et le seuil critique \(\Delta z_{\text{max}}\) changent en fonction du débit \(q\) et de la hauteur amont \(y_1\).

Paramètres d'Entrée

Débit spécifique \(q\) (m²/s) 2.5 m²/s

Hauteur d'eau amont \(y_1\) (m) 2.5 m

Résultats Clés

Énergie Amont \(E_1\) (m) -

Hauteur Critique \(y_c\) (m) -

Énergie Critique \(E_c\) (m) -

Seuil Max \(\Delta z_{\text{max}}\) (m) -

Glossaire

Débit spécifique (\(q\)): Le débit d'eau par unité de largeur du canal (\(q = Q/b\)). Mesuré en m²/s.
Énergie spécifique (\(E\)): L'énergie par unité de poids du fluide, mesurée par rapport au fond (radier) du canal. \(E = y + V^2/2g\).
Hauteur critique (\(y_c\)): La hauteur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit \(q\) donné. Sépare les régimes fluvial et torrentiel.
Nombre de Froude (\(Fr\)): Un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. \(Fr = V / \sqrt{gy}\).
Radier: Le fond ou lit d'un canal, d'une rivière ou d'un ouvrage hydraulique.
Régime fluvial (Subcritique): Écoulement lent et profond, où \(y > y_c\) et \(Fr < 1\). Les ondes peuvent remonter le courant.
Régime torrentiel (Supercritique): Écoulement rapide et peu profond, où \(y < y_c\) et \(Fr > 1\). Les ondes sont emportées vers l'aval.