Écoulement au-dessus d’une Surélévation de Radier

Analyse de l'Écoulement au-dessus d'une Surélévation de Radier

Calcul du Profil de la Ligne d'Eau au Passage d'une Surélévation de Radier

Comprendre l'Écoulement sur un Seuil

Lorsqu'un écoulement à surface libre rencontre une surélévation du fond (radier), comme un seuil ou une rampe, la conservation de l'énergie dicte une modification du profil de la ligne d'eau. La surélévation \(\Delta z\) diminue l'énergie spécifique disponible pour l'écoulement. En régime fluvial (subcritique), cette perte d'énergie potentielle due au seuil est compensée par une accélération du fluide et une baisse du niveau d'eau. Ce principe est fondamental pour concevoir des passes à poissons ou des structures de mesure de débit.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans un large canal rectangulaire passant au-dessus d'un seuil de fond lisse et progressif.

Caractéristiques du système :

Débit par unité de largeur (\(q\)) : \(2.0 \, \text{m}^2/\text{s}\).
Hauteur d'eau en amont (section 1) (\(y_1\)) : \(2.0 \, \text{m}\).
Hauteur de la surélévation du radier (\(\Delta z\)) : \(0.2 \, \text{m}\).
On néglige les pertes de charge par frottement.

Schéma : Écoulement sur un Seuil de Fond

Questions à traiter

Calculer l'énergie spécifique (\(E_1\)) dans la section amont.
Déterminer la hauteur maximale du seuil (\(\Delta z_{\text{max}}\)) qui peut être installée sans provoquer d'étranglement de l'écoulement.
Calculer la hauteur d'eau (\(y_2\)) au-dessus du seuil de 0.2 m.

Correction : Analyse de l'Écoulement au-dessus d'une Surélévation de Radier

Question 1 : Calcul de l'Énergie Spécifique (\(E_1\))

Principe :

L'énergie spécifique de l'écoulement en amont est la somme de sa hauteur (énergie potentielle) et de sa hauteur de vitesse (énergie cinétique). C'est la charge totale par rapport au fond du canal initial.

Formule(s) utilisée(s) :

V = \frac{q}{y} \quad | \quad E = y + \frac{V^2}{2g}

Calcul :

Calcul de la vitesse en section 1 :

\begin{aligned} V_1 &= \frac{2.0 \, \text{m}^2/\text{s}}{2.0 \, \text{m}} \\ &= 1.0 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul de l'énergie spécifique en section 1 :

\begin{aligned} E_1 &= 2.0 \, \text{m} + \frac{(1.0 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 2.0 + 0.051 \\ &\approx 2.051 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : L'énergie spécifique en amont est \(E_1 \approx 2.051 \, \text{m}\).

Question 2 : Détermination de la Hauteur Maximale du Seuil (\(\Delta z_{\text{max}}\))

Principe :

Un étranglement se produit si la surélévation du radier est si importante qu'elle exige une énergie spécifique au-dessus du seuil qui est inférieure à l'énergie critique pour le débit donné. La hauteur maximale du seuil correspond au cas où l'énergie spécifique au-dessus du seuil devient exactement égale à l'énergie critique (\(E_c\)). La surélévation maximale est donc la différence entre l'énergie amont et l'énergie critique.

Formule(s) utilisée(s) :

y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} \quad | \quad E_c = \frac{3}{2}y_c \quad | \quad \Delta z_{\text{max}} = E_1 - E_c

Calcul :

Calcul de la hauteur critique (\(y_c\)):

\begin{aligned} y_c &= \sqrt[3]{\frac{(2.0)^2}{9.81}} \\ &\approx \sqrt[3]{0.4077} \approx 0.742 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de l'énergie critique (\(E_c\)) :

\begin{aligned} E_c &= \frac{3}{2} \times 0.742 \, \text{m} \\ &\approx 1.113 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de la hauteur maximale du seuil :

\begin{aligned} \Delta z_{\text{max}} &= 2.051 \, \text{m} - 1.113 \, \text{m} \\ &\approx 0.938 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La hauteur maximale du seuil pour éviter un étranglement est de 0.938 m.

Question 3 : Calcul de la Hauteur d'Eau (\(y_2\)) sur le Seuil

Principe :

Puisque \(\Delta z = 0.2 \, \text{m} < \Delta z_{\text{max}}\), l'écoulement n'est pas étranglé. L'énergie totale est conservée. L'énergie spécifique disponible au-dessus du seuil, \(E_2\), est l'énergie initiale \(E_1\) moins la hauteur du seuil \(\Delta z\). On doit alors résoudre l'équation de l'énergie spécifique pour trouver \(y_2\).

Formule(s) utilisée(s) :

E_2 = E_1 - \Delta z \quad | \quad E_2 = y_2 + \frac{q^2}{2g y_2^2}

Calcul :

Calcul de l'énergie spécifique au-dessus du seuil :

E_2 = 2.051 \, \text{m} - 0.2 \, \text{m} = 1.851 \, \text{m}

Résolution de l'équation :

\begin{aligned} 1.851 &= y_2 + \frac{2.0^2}{2 \times 9.81 \times y_2^2} \\ 1.851 &= y_2 + \frac{0.204}{y_2^2} \end{aligned}

On résout cette équation par itération. L'écoulement étant fluvial (\(y_1 > y_c\)), on cherche la solution fluviale (\(y_2 > y_c\)).

Testons \(y_2 = 1.7 \, \text{m}\) : \(1.7 + \frac{0.204}{1.7^2} = 1.7 + 0.071 = 1.771\) (trop bas).

Testons \(y_2 = 1.8 \, \text{m}\) : \(1.8 + \frac{0.204}{1.8^2} = 1.8 + 0.063 = 1.863\) (très proche).

Résultat Question 3 : La hauteur d'eau au-dessus du seuil est \(y_2 \approx 1.80 \, \text{m}\).

D’autres exercices d’hydraulique à surface libre:

Écoulement au-dessus d’une Surélévation de Radier

Données de l'étude

Schéma : Écoulement sur un Seuil de Fond

Questions à traiter

Correction : Analyse de l'Écoulement au-dessus d'une Surélévation de Radier

Question 1 : Calcul de l'Énergie Spécifique (\(E_1\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 2 : Détermination de la Hauteur Maximale du Seuil (\(\Delta z_{\text{max}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 3 : Calcul de la Hauteur d'Eau (\(y_2\)) sur le Seuil

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

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