Analyse de l’Effet d’un Rétrécissement de Canal

Calcul du Profil de la Ligne d'Eau au Passage d'un Rétrécissement

Calcul du Profil de la Ligne d'Eau au Passage d'un Rétrécissement de Canal

Comprendre l'Écoulement dans un Rétrécissement

Lorsqu'un canal se rétrécit progressivement, le fluide doit accélérer pour maintenir le même débit (principe de continuité). Cette augmentation de vitesse cinétique se fait au détriment de l'énergie potentielle, ce qui se traduit par une baisse du niveau d'eau. Ce phénomène est gouverné par le principe de conservation de l'énergie spécifique. Il existe une largeur de canal minimale en dessous de laquelle l'écoulement ne peut plus se faire sans modifier les conditions en amont : c'est le phénomène d'étranglement ou de "choke", où le régime devient critique au col. L'analyse de ces transitions est essentielle pour la conception de ponts, de canaux et de structures de contrôle.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans un canal rectangulaire horizontal qui subit un rétrécissement progressif.

Caractéristiques du système :

Débit (\(Q\)) : \(10 \, \text{m}^3/\text{s}\).
Largeur amont (section 1) (\(B_1\)) : \(5.0 \, \text{m}\).
Hauteur d'eau en amont (section 1) (\(y_1\)) : \(2.5 \, \text{m}\).
Largeur du col (section 2) (\(B_2\)) : \(3.0 \, \text{m}\).
On néglige les pertes de charge par frottement.

Schéma du Rétrécissement

Questions à traiter

Calculer l'énergie spécifique (\(E_1\)) dans la section amont.
Déterminer la largeur minimale du col (\(B_{\text{min}}\)) qui permet l'écoulement sans provoquer d'étranglement.
La largeur du col étant de 3.0 m, calculer la hauteur d'eau \(y_2\) dans cette section.

Correction : Analyse de l'Effet d'un Rétrécissement de Canal

Question 1 : Calcul de l'Énergie Spécifique (\(E_1\))

Principe :

L'énergie spécifique est la somme de l'énergie potentielle (hauteur d'eau) et de l'énergie cinétique (hauteur de vitesse). C'est l'énergie de l'écoulement par rapport au fond du canal.

Formule(s) utilisée(s) :

V = \frac{Q}{B \cdot y} \quad | \quad E = y + \frac{V^2}{2g}

Calcul :

Calcul de la vitesse en section 1 :

\begin{aligned} V_1 &= \frac{10 \, \text{m}^3/\text{s}}{5.0 \, \text{m} \times 2.5 \, \text{m}} \\ &= 0.8 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul de l'énergie spécifique en section 1 :

\begin{aligned} E_1 &= 2.5 \, \text{m} + \frac{(0.8 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 2.5 + 0.0326 \\ &\approx 2.533 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : L'énergie spécifique en amont est \(E_1 \approx 2.533 \, \text{m}\).

Question 2 : Détermination de la Largeur Minimale (\(B_{\text{min}}\))

Principe :

Pour une énergie spécifique donnée, il existe un débit par unité de largeur maximal qui peut passer, correspondant au régime critique. La largeur minimale est celle qui impose ce débit unitaire critique. L'énergie spécifique au col sera alors l'énergie critique \(E_c = E_1\).

Formule(s) utilisée(s) :

y_c = \frac{2}{3}E_c \quad | \quad q_{\text{max}} = \sqrt{g y_c^3} \quad | \quad B_{\text{min}} = \frac{Q}{q_{\text{max}}}

Calcul :

Calcul de la hauteur critique correspondante à \(E_1\):

y_c = \frac{2}{3} \times 2.533 \, \text{m} \approx 1.689 \, \text{m}

Calcul du débit unitaire maximal possible :

\begin{aligned} q_{\text{max}} &= \sqrt{9.81 \times (1.689)^3} \\ &\approx 6.88 \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned}

Calcul de la largeur minimale :

\begin{aligned} B_{\text{min}} &= \frac{10 \, \text{m}^3/\text{s}}{6.88 \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &\approx 1.45 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La largeur minimale pour éviter un étranglement est de 1.45 m.

Question 3 : Calcul de la Hauteur d'Eau (\(y_2\)) dans le Col

Principe :

Puisque la largeur du col (\(B_2 = 3.0 \, \text{m}\)) est supérieure à la largeur minimale, l'écoulement passe sans atteindre le régime critique. En négligeant les pertes, l'énergie spécifique est conservée (\(E_2 = E_1\)). On doit donc résoudre l'équation de l'énergie spécifique pour trouver la nouvelle hauteur \(y_2\).

Formule(s) utilisée(s) :

E_1 = y_2 + \frac{V_2^2}{2g} = y_2 + \frac{Q^2}{2g B_2^2 y_2^2}

Calcul :

On remplace les valeurs connues :

\begin{aligned} 2.533 &= y_2 + \frac{10^2}{2 \times 9.81 \times 3^2 \times y_2^2} \\ 2.533 &= y_2 + \frac{100}{176.58 \cdot y_2^2} \\ 2.533 &= y_2 + \frac{0.566}{y_2^2} \end{aligned}

Cette équation se résout par itération ou avec un solveur. L'écoulement amont étant fluvial, la solution cherchée correspond à la hauteur fluviale. En testant des valeurs, on trouve :

\(y_2 \approx 2.44 \, \text{m}\) car \(2.44 + \frac{0.566}{2.44^2} \approx 2.44 + 0.095 \approx 2.535 \approx E_1\).

Résultat Question 3 : La hauteur d'eau dans la section rétrécie est d'environ 2.44 m.

D’autres exercices d’hydraulique à surface:

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Données de l'étude

Schéma du Rétrécissement

Questions à traiter

Correction : Analyse de l'Effet d'un Rétrécissement de Canal

Question 1 : Calcul de l'Énergie Spécifique (\(E_1\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 2 : Détermination de la Largeur Minimale (\(B_{\text{min}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 3 : Calcul de la Hauteur d'Eau (\(y_2\)) dans le Col

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

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