Analyse de l'Effet d'un Rétrécissement de Canal

Contexte : L'Énergie Spécifique en HydrauliqueL'énergie par unité de poids de l'eau, relative au fond du canal. C'est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur d'énergie cinétique..

Cet exercice porte sur un problème classique d'hydraulique à surface libre : l'écoulement de l'eau dans un canal rectangulaire qui subit un rétrécissement progressif. Nous allons analyser comment la hauteur d'eau et la vitesse de l'écoulement s'adaptent à ce changement de géométrie.

Pour ce faire, nous utiliserons deux principes fondamentaux : la conservation du débit (équation de continuité) et la conservation de l'énergie (via le concept d'énergie spécifique), en supposant un écoulement permanent et en négligeant les pertes de charge dues à la friction.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le principe de l'énergie spécifique pour prédire les variations du niveau de l'eau. C'est une compétence essentielle pour la conception d'ouvrages hydrauliques tels que les piles de pont, les déversoirs ou les transitions de canaux.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et calculer l'énergie spécifique d'un écoulement.
Appliquer l'équation de continuité (\(Q = AV\)) et l'équation d'énergie entre deux sections.
Déterminer la hauteur d'eau dans un canal rectangulaire rétréci.
Identifier le régime d'écoulement (fluvial/subcritique) à l'aide du nombre de Froude.
Introduire le concept de régime critique et de blocage hydraulique (choke).

Données de l'étude

Un canal rectangulaire horizontal, de fond supposé lisse (pertes de charge négligées), subit un rétrécissement progressif. L'écoulement est permanent et uniforme en amont du rétrécissement.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de canal	Rectangulaire, fond horizontal
Type d'écoulement	Permanent, uniforme en amont
Pertes de charge	Négligées dans la transition

Schémas du Problème

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	12.0	m³/s
Largeur amont (Section 1)	\(b_1\)	6.0	m
Hauteur amont (Section 1)	\(y_1\)	2.0	m
Largeur rétrécie (Section 2)	\(b_2\)	4.0	m
Accélération de la gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer la vitesse \(V_1\) et l'énergie spécifique \(E_1\) dans la section 1 (amont).
Déterminer le régime d'écoulement dans la section 1 (calculer le nombre de Froude \(Fr_1\)).
Écrire l'équation de l'énergie spécifique pour la section 2 (rétrécie) en fonction de la hauteur \(y_2\).
Résoudre (par itération ou à l'aide d'un graphe) pour trouver la hauteur d'eau \(y_2\) dans le rétrécissement.
Calculer la variation du niveau de la surface libre, \(\Delta z = y_1 - y_2\), et déterminer la largeur minimale \(b_{2,\text{min}}\) qui peut être installée sans provoquer de remous en amont (blocage).

Les bases de l'Hydraulique à Surface Libre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux principes clés (en négligeant les frottements) et d'un nombre adimensionnel pour classifier l'écoulement.

1. Équation de Continuité (Conservation de la Masse)
Le débit \(Q\) (volume d'eau par seconde) doit être constant tout le long du canal. Le débit est le produit de la section d'écoulement \(A\) par la vitesse moyenne \(V\). \[ Q = A \cdot V = \text{constante} \] Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(y\), \(A = b \cdot y\). \[ Q = b_1 y_1 V_1 = b_2 y_2 V_2 \]

2. Équation d'Énergie Spécifique (Conservation de l'Énergie)
L'énergie spécifique \(E\) est l'énergie par unité de poids de l'eau, relative au fond du canal. C'est la somme de la hauteur d'eau \(y\) (énergie potentielle/pression) et de la hauteur d'énergie cinétique \(\frac{V^2}{2g}\). \[ E = y + \frac{V^2}{2g} \] En l'absence de frottement et pour un fond horizontal, l'énergie spécifique se conserve : \(E_1 = E_2\). \[ y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = y_2 + \frac{V_2^2}{2g} \]

3. Nombre de Froude (Classification de l'Écoulement)
Le nombre de Froude \(Fr\) compare la vitesse de l'écoulement \(V\) à la vitesse des ondes de surface (célérité) \(c = \sqrt{gy}\). \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{gy}} \]

Si \(Fr < 1\) : Écoulement Fluvial (ou subcritique). L'eau est "lente", les ondes peuvent remonter le courant.
Si \(Fr > 1\) : Écoulement Torrentiel (ou supercritique). L'eau est "rapide", les ondes sont emportées vers l'aval.
Si \(Fr = 1\) : Écoulement Critique. C'est le point de transition, correspondant à l'énergie spécifique minimale pour un débit donné.

Correction : Analyse de l’Effet d’un Rétrécissement de Canal

Question 1 : Calculer la vitesse \(V_1\) et l'énergie spécifique \(E_1\) en amont.

Principe

Nous utilisons l'équation de continuité pour trouver la vitesse \(V_1\) à partir du débit \(Q\) et de la section \(A_1\). Ensuite, nous utilisons la définition de l'énergie spécifique pour calculer \(E_1\) avec la hauteur \(y_1\) et la vitesse \(V_1\) trouvée.

Mini-Cours

Le débit \(Q\) est le flux volumique constant. La vitesse \(V\) est le débit divisé par l'aire \(A\). L'énergie spécifique \(E\) est la somme de l'énergie de pression/potentielle (\(y\)) et de l'énergie cinétique (\(V^2/2g\)).

Remarque Pédagogique

La première étape est toujours de caractériser l'écoulement initial. Calculez d'abord l'aire, puis la vitesse, et enfin l'énergie. Soyez attentifs aux unités.

Normes

Ce calcul ne fait pas directement référence à une norme spécifique mais repose sur les principes fondamentaux de la mécanique des fluides appliqués aux écoulements à surface libre.

Formule(s)

Formule de la Section d'écoulement (Rectangulaire)

A_1 = b_1 \cdot y_1

Formule de la Continuité

V_1 = \frac{Q}{A_1}

Formule de l'Énergie Spécifique

E_1 = y_1 + \frac{V_1^2}{2g}

Hypothèses

L'écoulement est permanent et la vitesse est uniformément répartie dans la section (vitesse moyenne).

Donnée(s)

Les données initiales pour la section 1 sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	12.0	m³/s
Largeur amont	\(b_1\)	6.0	m
Hauteur amont	\(y_1\)	2.0	m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Vérifiez toujours que les unités sont cohérentes (m, s) avant de faire le calcul numérique final.

Schéma (Avant les calculs)

Section 1 (Amont) - Données Initiales

Calcul(s)

Calcul de la section \(A_1\)

A_1 = b_1 \cdot y_1 = 6.0 \, \text{m} \times 2.0 \, \text{m} = 12.0 \, \text{m}^2

Calcul de la vitesse \(V_1\)

V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{12.0 \, \text{m}^3/\text{s}}{12.0 \, \text{m}^2} = 1.0 \, \text{m/s}

Calcul de l'énergie spécifique \(E_1\)

\begin{aligned} E_1 &= y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \\ &= 2.0 \, \text{m} + \frac{(1.0 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 2.0 \, \text{m} + \frac{1.0}{19.62} \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} + 0.051 \, \text{m} \\ &= 2.051 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Section 1 (Amont) - Résultats Calculés

Réflexions

L'énergie spécifique \(E_1\) est de 2.051 m. Cela signifie que l'énergie totale de l'écoulement (par unité de poids) équivaut à une hauteur d'eau de 2.051 m. Notez que la hauteur d'énergie cinétique (0.051 m) est très faible par rapport à la hauteur d'eau (2.0 m), ce qui suggère un écoulement lent.

Points de vigilance

Assurez-vous que le terme \(V^2\) est correctement calculé (carré de la vitesse) et que la division par \(2g\) est effectuée.

Points à retenir

La vitesse se déduit de la continuité (\(V=Q/A\)).
L'énergie spécifique est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur cinétique (\(E = y + V^2/2g\)).

Le saviez-vous ?

Le concept d'énergie spécifique a été introduit par Boris Bakhmeteff au début du 20ème siècle, simplifiant grandement l'analyse des écoulements à surface libre, notamment pour les transitions et les ressauts hydrauliques.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La vitesse en amont est \(V_1 = 1.0 \, \text{m/s}\) et l'énergie spécifique est \(E_1 = 2.051 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Si le débit était de 15 m³/s (au lieu de 12), quelle serait la nouvelle énergie spécifique \(E_1\) (en m) ?

Question 2 : Déterminer le régime d'écoulement dans la section 1 (calculer \(Fr_1\)).

Principe

Pour classifier l'écoulement, nous calculons le nombre de Froude \(Fr_1\). Si \(Fr_1 < 1\), l'écoulement est fluvial (subcritique). Si \(Fr_1 > 1\), il est torrentiel (supercritique).

Mini-Cours

Le nombre de Froude est le rapport des forces d'inertie (liées à la vitesse \(V\)) aux forces de gravité (liées à la profondeur \(y\)). Il détermine si l'écoulement est "rapide" ou "lent" par rapport à la vitesse à laquelle une petite vague peut se propager (\(c = \sqrt{gy}\)).

Remarque Pédagogique

Calculer le nombre de Froude est crucial car il indique comment l'écoulement réagira aux changements (rétrécissement, seuil, etc.). Un écoulement fluvial (\(Fr<1\)) est contrôlé par l'aval, tandis qu'un écoulement torrentiel (\(Fr>1\)) est contrôlé par l'amont.

Normes

Le nombre de Froude est un concept fondamental en hydraulique et n'est pas lié à une norme spécifique, mais sa valeur détermine quelle partie des normes (ex: Eurocodes pour les ponts) s'applique.

Formule(s)

Formule du Nombre de Froude (canal rectangulaire)

Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}}

Hypothèses

La formule \(Fr = V/\sqrt{gy}\) est spécifique aux canaux rectangulaires. Pour d'autres formes, on utilise la profondeur hydraulique \(D_h = A/T\) où \(T\) est la largeur au miroir.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la Question 1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse amont (calculée)	\(V_1\)	1.0	m/s
Hauteur amont	\(y_1\)	2.0	m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Le terme \(\sqrt{gy}\) représente la célérité (vitesse) des petites ondes de surface. \(Fr\) compare donc la vitesse de l'eau à la vitesse des ondes.

Schéma (Avant les calculs)

Section 1 (Amont) - État avant calcul de Froude

Calcul(s)

Calcul de la célérité des ondes \(c_1\)

\begin{aligned} \sqrt{g \cdot y_1} &= \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2.0 \, \text{m}} \\ &= \sqrt{19.62 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &= 4.43 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul du nombre de Froude \(Fr_1\)

\begin{aligned} Fr_1 &= \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}} \\ &= \frac{1.0 \, \text{m/s}}{4.43 \, \text{m/s}} \\ &= 0.226 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Section 1 (Amont) - Régime d'Écoulement

Réflexions

Nous avons \(Fr_1 = 0.226\), ce qui est nettement inférieur à 1. L'écoulement en amont est donc fluvial (ou subcritique). Cela signifie que les perturbations en aval (comme le rétrécissement) peuvent influencer l'écoulement en amont.

Points de vigilance

Ne confondez pas la vitesse de l'eau (\(V_1 = 1.0\) m/s) avec la vitesse des ondes (\(c_1 = 4.43\) m/s). C'est parce que \(V_1 < c_1\) que l'écoulement est fluvial.

Points à retenir

\(Fr = V/\sqrt{gy}\) pour canal rectangulaire.
\(Fr < 1\) : Fluvial (subcritique).
\(Fr > 1\) : Torrentiel (supercritique).
\(Fr = 1\) : Critique.

Le saviez-vous ?

Le nombre de Froude est nommé d'après William Froude, un ingénieur anglais du 19ème siècle qui l'a utilisé pour étudier la résistance des coques de navires en faisant des essais sur maquettes réduites, en assurant la similitude des phénomènes de vagues.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le nombre de Froude est \(Fr_1 = 0.226\). L'écoulement est de régime fluvial (subcritique).

A vous de jouer

Si la hauteur \(y_1\) était de 0.5 m (avec \(V_1\) recalculée pour \(Q=12\) et \(b_1=6\)), quel serait le nouveau régime d'écoulement ?

Question 3 : Écrire l'équation de l'énergie spécifique pour la section 2 en fonction de \(y_2\).

Principe

Nous appliquons la conservation de l'énergie spécifique entre la section 1 et la section 2 (\(E_1 = E_2\)). Nous exprimons \(E_2\) en fonction de la hauteur inconnue \(y_2\). Pour cela, nous devons d'abord exprimer la vitesse \(V_2\) en fonction de \(y_2\) en utilisant la continuité.

Mini-Cours

Puisqu'il n'y a pas de perte d'énergie (frottement négligé) et que le fond est horizontal, l'énergie spécifique reste constante entre les sections 1 et 2. L'énergie \(E_2\) s'écrit \(y_2 + V_2^2 / 2g\). En utilisant \(V_2 = Q/(b_2 y_2)\) tiré de la continuité, on peut exprimer \(E_2\) uniquement en fonction de \(y_2\).

Remarque Pédagogique

L'objectif est d'obtenir une seule équation avec \(y_2\) comme seule inconnue. La conservation de l'énergie (\(E_1=E_2\)) est la clé, mais elle fait intervenir \(V_2\), qu'il faut éliminer grâce à la conservation du débit (\(Q=A_2 V_2\)).

Normes

Pas de norme spécifique, mais application des principes de conservation de l'énergie et de la masse.

Formule(s)

Formule de la Continuité pour \(V_2\)

V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{Q}{b_2 \cdot y_2}

Formule de la Conservation de l'Énergie Spécifique

E_1 = E_2 = y_2 + \frac{V_2^2}{2g}

Hypothèses

L'énergie spécifique se conserve (\(E_1 = E_2\)). Cela suppose un fond horizontal et des pertes de charge négligeables entre les sections 1 et 2.

Donnée(s)

Nous utilisons \(E_1\) (calculé Q1) et les données géométriques de la section 2 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie amont (calculée)	\(E_1\)	2.051	m
Débit	\(Q\)	12.0	m³/s
Largeur rétrécie	\(b_2\)	4.0	m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Il est souvent pratique de calculer d'abord le terme \(Q^2 / (2 g b_2^2)\) qui apparaîtra dans l'équation finale.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma de principe - Conservation de l'énergie

Calcul(s)

Expression de \(V_2\) en fonction de \(y_2\)

\begin{aligned} V_2 &= \frac{Q}{b_2 \cdot y_2} \\ &= \frac{12.0}{4.0 \cdot y_2} \\ &= \frac{3.0}{y_2} \end{aligned}

Substitution dans l'équation d'énergie \(E_1 = E_2\)

E_1 = y_2 + \frac{V_2^2}{2g}

2.051 = y_2 + \frac{(3.0 / y_2)^2}{2 \times 9.81}

Simplification de l'équation

\begin{aligned} 2.051 &= y_2 + \frac{9.0 / y_2^2}{19.62} \\ &= y_2 + \frac{0.4587}{y_2^2} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe d'Énergie Spécifique E₂(y₂)

Réflexions

Nous obtenons une équation à une inconnue (\(y_2\)). C'est une équation cubique si on multiplie tout par \(y_2^2\) : \(2.051 y_2^2 = y_2^3 + 0.4587\). Cette équation lie l'énergie totale (fixée par l'amont) à la hauteur \(y_2\) dans le rétrécissement.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré sur \(V_2\) et sur \(y_2\) lors de la substitution.

Points à retenir

L'équation \(E = y + Q^2/(2g b^2 y^2)\) relie l'énergie spécifique \(E\) à la hauteur \(y\) pour un débit \(Q\) et une largeur \(b\) donnés dans un canal rectangulaire.

Le saviez-vous ?

Graphiquement, la solution \(y_2\) est l'intersection entre la droite horizontale \(E=E_1\) et la courbe d'énergie spécifique \(E_2(y_2)\) tracée pour la largeur \(b_2\) et le débit \(Q\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

L'équation d'énergie à résoudre pour trouver \(y_2\) est : \(2.051 = y_2 + \frac{0.4587}{y_2^2}\).

A vous de jouer

Si la largeur \(b_2\) était de 5.0 m (au lieu de 4.0 m), quelle serait la nouvelle équation pour \(y_2\) ?

Question 4 : Résoudre pour trouver la hauteur d'eau \(y_2\) dans le rétrécissement.

Principe

L'équation \(f(y_2) = y_2 + \frac{0.4587}{y_2^2} - 2.051 = 0\) n'a pas de solution analytique simple. Nous devons la résoudre par une méthode numérique ou par itération (tâtonnement).

Mini-Cours

L'équation \(E = y + C/y^2\) peut avoir jusqu'à trois racines réelles positives pour \(y\). Cependant, pour une énergie \(E\) donnée supérieure à l'énergie minimale (critique) \(E_c\), il n'existe que deux solutions physiquement possibles : une hauteur \(y < y_c\) (régime torrentiel) et une hauteur \(y > y_c\) (régime fluvial).

Remarque Pédagogique

La courbe d'énergie spécifique \(E(y)\) (voir simulateur) montre que pour une énergie \(E > E_{\text{critique}}\), il y a deux hauteurs possibles : une subcritique (grande hauteur, faible vitesse) et une supercritique (faible hauteur, grande vitesse). Puisque notre écoulement amont est fluvial (\(Fr_1 < 1\)), l'écoulement restera fluvial (\(Fr_2 < 1\)) tant que le rétrécissement n'est pas trop sévère. Nous cherchons donc la solution \(y_2\) qui est subcritique (la plus grande des deux racines positives).

Normes

Pas applicable directement, mais les méthodes de résolution d'équations non linéaires sont courantes en ingénierie.

Formule(s)

Équation à résoudre

y_2 + \frac{0.4587}{y_2^2} - 2.051 = 0

Hypothèses

Nous supposons que l'écoulement reste fluvial dans le rétrécissement, ce qui est généralement le cas pour des rétrécissements modérés partant d'un régime fluvial.

Donnée(s)

L'équation obtenue à la Question 3 : \(2.051 = y_2 + \frac{0.4587}{y_2^2}\)

Astuces

Pour vérifier que c'est la bonne racine (la subcritique), on peut calculer la hauteur critique \(y_{c2}\) dans la section 2 et s'assurer que notre solution \(y_2\) est bien supérieure à \(y_{c2}\).

Calcul du débit spécifique \(q_2\)

q_2 = Q/b_2 = 12/4 = 3.0 \, \text{m}^2/\text{s}

Calcul de la hauteur critique \(y_{c2}\)

y_{c2} = \left( \frac{q_2^2}{g} \right)^{1/3} = \left( \frac{3.0^2}{9.81} \right)^{1/3} = (0.917)^{1/3} \approx 0.97 \, \text{m}

Notre solution \(y_2 = 1.93 \, \text{m}\) est bien supérieure à \(y_{c2} = 0.97 \, \text{m}\).

Schéma (Avant les calculs)

Courbe d'Énergie Spécifique et Recherche de \(y_2\)

Calcul(s)

Nous cherchons \(y_2\) tel que \(f(y_2) = y_2 + 0.4587/y_2^2 - 2.051 = 0\). Puisque l'écoulement est fluvial, nous nous attendons à ce que \(y_2\) soit légèrement inférieur à \(y_1\). Essayons \(y_2 = 1.95 \, \text{m}\) :

Test pour \(y_2 = 1.95 \, \text{m}\)

\begin{aligned} f(1.95) &= 1.95 + \frac{0.4587}{(1.95)^2} - 2.051 \\ &= 1.95 + 0.1206 - 2.051 \\ &= 0.0196 \end{aligned}

C'est très proche de 0, mais légèrement positif. Essayons une valeur un peu plus faible, \(y_2 = 1.94 \, \text{m}\) :

Test pour \(y_2 = 1.94 \, \text{m}\)

\begin{aligned} f(1.94) &= 1.94 + \frac{0.4587}{(1.94)^2} - 2.051 \\ &= 1.94 + 0.1219 - 2.051 \\ &= 0.0109 \end{aligned}

Encore plus proche. Essayons \(y_2 = 1.92 \, \text{m}\) :

Test pour \(y_2 = 1.92 \, \text{m}\)

\begin{aligned} f(1.92) &= 1.92 + \frac{0.4587}{(1.92)^2} - 2.051 \\ &= 1.92 + 0.1244 - 2.051 \\ &= -0.0066 \end{aligned}

La solution se trouve entre 1.92 m et 1.94 m. Une valeur de \(y_2 \approx 1.93 \, \text{m}\) est une excellente approximation.

Schéma (Après les calculs)

Profil en Long avec Hauteur \(y_2\) Calculée

Réflexions

Le rétrécissement force l'eau à accélérer (\(V_2 = 3.0/1.93 \approx 1.55 \, \text{m/s} > V_1\)). Pour conserver la même énergie spécifique (\(E_1=E_2\)), cette augmentation d'énergie cinétique doit être compensée par une diminution d'énergie potentielle, d'où la baisse du niveau d'eau (\(y_2 < y_1\)).

Points de vigilance

Assurez-vous de choisir la bonne racine de l'équation. Si l'écoulement amont est fluvial, cherchez la racine fluviale (\(y_2 > y_{c2}\)). Si l'écoulement amont était torrentiel, il faudrait chercher la racine torrentielle (\(y_2 < y_{c2}\)).

Points à retenir

L'équation \(E = y + C/y^2\) se résout souvent par itération ou graphiquement.
En partant d'un régime fluvial, on cherche la solution fluviale (\(y > y_c\)).

Le saviez-vous ?

Des outils comme les solveurs intégrés aux tableurs (Excel, Google Sheets) ou des calculatrices programmables peuvent trouver la racine de cette équation très rapidement en utilisant des méthodes numériques comme Newton-Raphson.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La hauteur d'eau dans le rétrécissement est \(y_2 \approx 1.93 \, \text{m}\).

A vous de jouer

En utilisant l'équation \(2.051 = y_2 + 0.2936/y_2^2\) (pour \(b_2=5\,\text{m}\)), trouvez la hauteur \(y_2\) correspondante par itération (à 0.01 m près).

Question 5 : Calculer \(\Delta z\) et la largeur minimale \(b_{2,\text{min}}\) (blocage).

Principe

La première partie (\(\Delta z\)) est une simple soustraction \(y_1 - y_2\). La seconde partie (\(b_{2,\text{min}}\)) consiste à trouver la largeur critique \(b_{c}\) pour laquelle l'énergie spécifique requise dans le col (\(E_{c2}\)) est exactement égale à l'énergie disponible en amont (\(E_1\)). Si \(b_2\) devient plus petit que \(b_{c}\), l'écoulement est bloqué.

Mini-Cours

L'énergie spécifique minimale \(E_c\) pour un débit \(Q\) dans un canal rectangulaire de largeur \(b\) est \(E_c = 1.5 y_c\), où \(y_c = (q^2/g)^{1/3}\) est la hauteur critique et \(q=Q/b\). Le blocage se produit lorsque l'énergie disponible \(E_1\) est égale à l'énergie minimale requise \(E_{c2}\) pour faire passer le débit \(Q\) dans la largeur \(b_{2,\text{min}}\).

Remarque Pédagogique

Calculer \(b_{2,\text{min}}\) permet de connaître la limite de rétrécissement possible sans affecter les conditions en amont. C'est important pour le dimensionnement des piles de pont ou des rétrécissements de canaux pour éviter des inondations imprévues en amont.

Normes

Les calculs de hauteur critique et de blocage sont fondamentaux pour l'application des normes de conception d'ouvrages hydrauliques (ex: calcul des remous causés par les piles de pont).

Formule(s)

Formule de la Variation de surface

\Delta z = y_1 - y_2

Formule de la Condition Critique pour \(b_{2,\text{min}}\)

E_1 = E_{c2} = 1.5 \cdot y_{c2}

Formule de la Hauteur Critique \(y_{c2}\) en fonction de \(b_{2,\text{min}}\)

y_{c2} = \left( \frac{(Q/b_{2,\text{min}})^2}{g} \right)^{1/3}

Hypothèses

Les mêmes que précédemment : conservation de l'énergie, fond horizontal, pertes négligeables.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur amont	\(y_1\)	2.0	m
Hauteur rétrécie (calculée Q4)	\(y_2\)	1.93	m
Énergie amont (calculée Q1)	\(E_1\)	2.051	m
Débit	\(Q\)	12.0	m³/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Pour trouver \(b_{2,\text{min}}\), il est plus facile de calculer d'abord \(y_{c2}\) à partir de \(E_1\), puis de calculer \(q_2\) critique correspondant à ce \(y_{c2}\), et enfin d'en déduire \(b_{2,\text{min}} = Q/q_2\).

Schéma (Avant les calculs)

Condition de Blocage (Limite Critique) - Vue Courbe Énergie

Calcul(s)

Calcul de \(\Delta z\)

\Delta z = y_1 - y_2 = 2.0 \, \text{m} - 1.93 \, \text{m} = 0.07 \, \text{m}

La surface de l'eau s'abaisse de 7 cm.

Détermination de la hauteur critique \(y_{c2}\) au blocage

Au point de blocage, \(E_1 = E_{c2}\).

E_1 = 2.051 \, \text{m} \Rightarrow E_{c2} = 2.051 \, \text{m}

\begin{aligned} E_{c2} = 1.5 \cdot y_{c2} \Rightarrow y_{c2} &= \frac{E_{c2}}{1.5} \\ &= \frac{2.051}{1.5} \\ &= 1.367 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul du débit spécifique critique \(q_2\) correspondant

\begin{aligned} y_{c2} = \left( \frac{q_2^2}{g} \right)^{1/3} \Rightarrow q_2^2 &= g \cdot y_{c2}^3 \\ &= 9.81 \times (1.367)^3 \\ &= 9.81 \times 2.555 \\ &= 25.065 \end{aligned}

\Rightarrow q_2 = \sqrt{25.065} = 5.006 \, \text{m}^2/\text{s}

Calcul de la largeur minimale \(b_{2,\text{min}}\)

\begin{aligned} q_2 = \frac{Q}{b_{2,\text{min}}} \Rightarrow b_{2,\text{min}} &= \frac{Q}{q_2} \\ &= \frac{12.0}{5.006} \\ &= 2.397 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Profil en Long - Condition Critique au Col

Réflexions

Si le canal se rétrécit à \(b_2 = 4.0 \, \text{m}\), la hauteur baisse de 7 cm. Si on continue de rétrécir, la hauteur \(y_2\) va continuer de baisser (et \(Fr_2\) d'augmenter). Si on atteint \(b_2 = b_{2,\text{min}} \approx 2.40 \, \text{m}\), la hauteur \(y_2\) sera \(y_c = 1.367 \, \text{m}\) et l'écoulement sera critique (\(Fr_2 = 1\)). Si on rétrécit ENCORE PLUS (ex: \(b_2 = 2.0 \, \text{m}\)), l'énergie \(E_1 = 2.051 \, \text{m}\) n'est plus suffisante. L'eau va "s'accumuler" en amont, \(y_1\) va augmenter, ce qui augmente \(E_1\) jusqu'à ce qu'une nouvelle condition d'équilibre soit trouvée. C'est le blocage.

Points de vigilance

Ne pas confondre la largeur \(b_2\) donnée dans l'énoncé (4.0 m) avec la largeur minimale \(b_{2,\text{min}}\) (2.40 m) qui correspond au cas limite du blocage.

Points à retenir

En régime fluvial, un rétrécissement fait baisser le niveau (\(\Delta z > 0\)).
Il existe une largeur minimale \(b_{\text{min}}\) qui correspond au passage critique (\(Fr_2=1\)) et utilise toute l'énergie amont (\(E_1=E_{c2}\)).
Un rétrécissement plus fort provoque un blocage et une augmentation de \(y_1\).

Le saviez-vous ?

Le même phénomène de blocage (appelé "choking" en anglais) se produit en aérodynamique lorsqu'un gaz atteint la vitesse du son (Mach 1) dans un col de tuyère convergente. L'énergie spécifique est l'analogue de l'enthalpie d'arrêt en gazodynamique.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La baisse du niveau d'eau est \(\Delta z = 0.07 \, \text{m}\) (7 cm). La largeur minimale avant blocage est \(b_{2,\text{min}} \approx 2.40 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Si l'énergie amont \(E_1\) était de 1.80 m (pour le même débit \(Q=12\)), quelle serait la nouvelle largeur minimale \(b_{2,\text{min}}\) (en m) ?

Outil Interactif : Courbe d'Énergie Spécifique

Cet outil trace la courbe d'énergie spécifique \(E = f(y)\) pour un débit par unité de largeur \(q\) donné. L'axe des X représente la hauteur d'eau \(y\) et l'axe des Y représente l'énergie spécifique \(E\). Observez le minimum de la courbe : c'est l'énergie critique \(E_c\), qui se produit à la hauteur critique \(y_c\).

Paramètres d'Entrée

Débit par unité de largeur, \(q\) (m²/s) 2.00 m²/s

Résultats Clés

Hauteur Critique, \(y_c\) (m) -

Énergie Critique, \(E_c\) (m) -

Débit (\(Q\)): Le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps. Unité : m³/s.
Énergie Spécifique (\(E\)): L'énergie par unité de poids de l'eau, mesurée par rapport au fond du canal. \(E = y + V^2/2g\). Unité : m.
Hauteur d'eau (\(y\)): La profondeur verticale de l'eau dans le canal, de la surface au fond. Unité : m.
Nombre de Froude (\(Fr\)): Un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il classifie l'écoulement (\(Fr<1\) = Fluvial, \(Fr>1\) = Torrentiel).
Régime Fluvial (Subcritique): Un régime d'écoulement "lent" (\(Fr < 1\)) où la vitesse \(V\) est inférieure à la célérité \(c\) des ondes. Les perturbations peuvent remonter le courant.
Régime Critique: Le point de transition (\(Fr = 1\)) où l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné.
Hauteur Critique (\(y_c\)): La hauteur d'eau correspondant au régime critique (\(Fr=1\)). Pour un canal rectangulaire, \(y_c = (q^2/g)^{1/3}\) où \(q=Q/b\).
Énergie Critique (\(E_c\)): L'énergie spécifique minimale requise pour faire passer un débit \(Q\) dans une section de largeur \(b\). Pour un canal rectangulaire, \(E_c = 1.5 y_c\).
Blocage Hydraulique (Choke): Phénomène qui se produit lorsque la géométrie (ex: rétrécissement \(b_2 < b_{2,\text{min}}\) ou seuil trop haut) demande plus d'énergie que ce qui est disponible en amont (\(E_c > E_1\)). Cela force l'écoulement amont à s'ajuster (généralement \(y_1\) augmente) pour fournir l'énergie nécessaire.