Calcul du Temps de Vidange d'un Réservoir

Comprendre la Vidange d'un Réservoir

Le calcul du temps de vidange d'un réservoir est un problème d'hydraulique en régime non permanent. Contrairement à un écoulement à charge constante, ici la hauteur d'eau dans le réservoir, qui est le "moteur" de l'écoulement, diminue au fur et à mesure que le réservoir se vide. Par conséquent, le débit de sortie n'est pas constant mais diminue avec le temps. Pour trouver le temps total de vidange, il faut établir une équation différentielle qui lie la variation de la hauteur d'eau à la vitesse de sortie, puis l'intégrer entre les niveaux de départ et d'arrivée.

Données de l'étude

Un réservoir cylindrique vertical de grande section se vide par une conduite horizontale.

Caractéristiques du système :

Diamètre du réservoir (\(D_T\)) : \(8 \, \text{m}\).
Diamètre de la conduite (\(d\)) : \(150 \, \text{mm}\).
Longueur de la conduite (\(L\)) : \(25 \, \text{m}\).
Hauteur initiale de l'eau au-dessus de l'axe de la conduite (\(h_1\)) : \(6 \, \text{m}\).
Hauteur finale de l'eau au-dessus de l'axe de la conduite (\(h_2\)) : \(1 \, \text{m}\).
Coefficient de perte de charge global de la conduite (entrée + friction + sortie) : \(K = 5.5\).

Schéma : Vidange d'un Réservoir

Questions à traiter

Établir l'équation différentielle qui régit la vidange du réservoir.
Intégrer cette équation pour obtenir la formule du temps de vidange (\(T\)).
Calculer le temps nécessaire pour abaisser le niveau d'eau de \(h_1\) à \(h_2\).

Correction : Calcul du Temps de Vidange d'un Réservoir

Question 1 : Établissement de l'Équation Différentielle

Principe :

On exprime la conservation de la masse. Le volume d'eau qui quitte le réservoir pendant un petit intervalle de temps \(dt\) est égal au volume qui s'écoule par la conduite pendant ce même temps. Le volume sortant du réservoir est \(-S_T \cdot dh\), où \(S_T\) est la section du réservoir et \(dh\) la petite baisse de niveau. Le volume s'écoulant par la conduite est \(Q \cdot dt\). La vitesse de sortie \(V\) (et donc \(Q\)) est donnée par l'équation de Bernoulli incluant les pertes de charge, où la charge motrice est la hauteur instantanée \(h\).

Vitesse dans la conduite : \(h = K \frac{V^2}{2g} \Rightarrow V = \sqrt{\frac{2gh}{K}}\).

Débit : \(Q = S_c V = S_c \sqrt{\frac{2gh}{K}}\), avec \(S_c\) la section de la conduite.

Conservation du volume :

-S_T dh = Q dt = S_c \sqrt{\frac{2gh}{K}} dt

On isole \(dt\) pour obtenir l'équation différentielle :

dt = - \frac{S_T}{S_c} \sqrt{\frac{K}{2g}} \frac{dh}{\sqrt{h}}

Question 2 : Intégration de l'Équation

Principe :

Pour trouver le temps total de vidange entre deux hauteurs \(h_1\) et \(h_2\), on intègre l'équation différentielle précédente. Le temps \(T\) s'écoule de 0 à T, tandis que la hauteur \(h\) varie de \(h_1\) à \(h_2\).

Calcul de l'intégrale :

\begin{aligned} \int_0^T dt &= - \frac{S_T}{S_c} \sqrt{\frac{K}{2g}} \int_{h_1}^{h_2} h^{-1/2} dh \\ T &= - \frac{S_T}{S_c} \sqrt{\frac{K}{2g}} \left[ 2\sqrt{h} \right]_{h_1}^{h_2} \\ T &= - \frac{S_T}{S_c} \sqrt{\frac{K}{2g}} (2\sqrt{h_2} - 2\sqrt{h_1}) \\ T &= \frac{2 S_T}{S_c} \sqrt{\frac{K}{2g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2}) \end{aligned}

Résultat Question 2 : La formule du temps de vidange est \( T = \frac{2 S_T}{S_c} \sqrt{\frac{K}{2g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2}) \).

Question 3 : Calcul du Temps de Vidange

Principe :

On calcule d'abord les surfaces, puis on applique la formule finale avec les données numériques de l'énoncé.

Calcul des surfaces :

Surface du réservoir (\(S_T\)) : \(D_T = 8 \, \text{m}\)

S_T = \frac{\pi D_T^2}{4} = \frac{\pi \times 8^2}{4} \approx 50.265 \, \text{m}^2

Surface de la conduite (\(S_c\)) : \(d = 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m}\)

S_c = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times 0.15^2}{4} \approx 0.01767 \, \text{m}^2

Calcul final du temps :

\begin{aligned} T &= \frac{2 \times 50.265}{0.01767} \sqrt{\frac{5.5}{2 \times 9.81}} (\sqrt{6} - \sqrt{1}) \\ &= 5690 \times \sqrt{0.2803} \times (2.449 - 1) \\ &= 5690 \times 0.529 \times 1.449 \\ &\approx 4363 \, \text{s} \end{aligned}

Conversion en heures et minutes : \(4363 \, \text{s} \approx 1 \, \text{heure}, 12 \, \text{minutes} \, \text{et} \, 43 \, \text{secondes}\).

Résultat Question 3 : Le temps de vidange du réservoir entre 6m et 1m est d'environ 4363 secondes (soit 1h 12min).

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