Calcul de la Surpression due à un Coup de Bélier

Comprendre le Coup de Bélier

Le coup de bélier est un phénomène de surpression qui se produit lors de la variation brusque de la vitesse d'un fluide dans une conduite, typiquement lors de la fermeture rapide d'une vanne. L'énergie cinétique du fluide en mouvement est brutalement convertie en énergie de pression, créant une onde de choc qui se propage dans la tuyauterie. Cette onde peut générer des pressions très élevées, potentiellement destructrices pour l'installation. La formule de Joukowsky permet de calculer l'amplitude maximale de cette surpression pour une fermeture instantanée.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans une conduite en acier. Une vanne située à l'extrémité de la conduite est fermée instantanément.

Caractéristiques du système :

Vitesse initiale de l'eau (\(V_0\)) : \(2.5 \, \text{m/s}\).
Pression de service initiale (\(P_0\)) : \(5 \, \text{bar}\).
Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(300 \, \text{mm}\).
Épaisseur de la paroi de la conduite (\(e\)) : \(10 \, \text{mm}\).
Module d'élasticité de l'acier (Young) (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\).
Module de compressibilité de l'eau (\(K\)) : \(2.2 \, \text{GPa}\).
Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\).

Schéma : Coup de Bélier dans une Conduite

Questions à traiter

Calculer la célérité (\(c\)) de l'onde de coup de bélier dans la conduite.
Calculer la surpression maximale (\(\Delta P\)) générée par la fermeture instantanée.
Déterminer la pression maximale (\(P_{\text{max}}\)) subie par la conduite.

Correction : Calcul de la Surpression due à un Coup de Bélier

Question 1 : Calcul de la Célérité de l'Onde (\(c\))

Principe :

La célérité de l'onde de choc ne dépend pas seulement de la compressibilité du fluide, mais aussi de l'élasticité de la conduite. Une conduite flexible amortit l'onde et réduit sa vitesse. La formule combine le module de compressibilité de l'eau (\(K\)) et le module d'élasticité de la conduite (\(E\)).

Formule(s) utilisée(s) :

c = \sqrt{\frac{K/\rho}{1 + \frac{K}{E} \cdot \frac{D}{e}}}

Données et Conversion :

\(D = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m}\).
\(e = 10 \, \text{mm} = 0.01 \, \text{m}\).
\(E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{Pa}\).
\(K = 2.2 \, \text{GPa} = 2.2 \times 10^9 \, \text{Pa}\).

Calcul :

\begin{aligned} c &= \sqrt{\frac{(2.2 \times 10^9)/1000}{1 + \frac{2.2 \times 10^9}{210 \times 10^9} \cdot \frac{0.3}{0.01}}} \\ &= \sqrt{\frac{2.2 \times 10^6}{1 + 0.0105 \times 30}} \\ &= \sqrt{\frac{2.2 \times 10^6}{1 + 0.315}} \\ &= \sqrt{\frac{2.2 \times 10^6}{1.315}} \\ &\approx \sqrt{1673003} \\ &\approx 1293.4 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La célérité de l'onde de coup de bélier est d'environ 1293 m/s.

Question 2 : Calcul de la Surpression Maximale (\(\Delta P\))

Principe :

La formule de Joukowsky donne la surpression maximale pour une fermeture instantanée. Elle est le produit de la masse volumique du fluide, de la célérité de l'onde et de la variation de vitesse (ici, la vitesse initiale, car la vitesse finale est nulle).

Formule(s) utilisée(s) :

\Delta P = \rho \cdot c \cdot V_0

Calcul :

\begin{aligned} \Delta P &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 1293.4 \, \text{m/s} \times 2.5 \, \text{m/s} \\ &= 3233500 \, \text{Pa} \end{aligned}

En bar : \(3233500 \, \text{Pa} / 10^5 = 32.335 \, \text{bar}\).

Résultat Question 2 : La surpression maximale générée est d'environ 32.3 bar.

Question 3 : Détermination de la Pression Maximale (\(P_{\text{max}}\))

Principe :

La pression maximale que la conduite subit est la somme de la pression de service initiale et de la surpression due au coup de bélier. C'est cette valeur qui doit être comparée à la résistance mécanique de la tuyauterie.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{max}} = P_0 + \Delta P

Calcul :

\begin{aligned} P_{\text{max}} &= 5 \, \text{bar} + 32.3 \, \text{bar} \\ &= 37.3 \, \text{bar} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La pression maximale dans la conduite atteint 37.3 bar, soit plus de 7 fois la pression de service.

Calcul de la Surpression due à un Coup de Bélier