ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse de l’Effet Venturi

Exercice : Analyse de l’Effet Venturi

Analyse de l’Effet Venturi

Contexte : Les fondamentaux de l'hydraulique.

L'Effet VenturiPhénomène de la dynamique des fluides où il y a formation d'une dépression dans une zone où les particules de fluides sont accélérées. est un principe fondamental en mécanique des fluides qui décrit comment la pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente. Ce phénomène, formalisé par le physicien italien Giovanni Battista Venturi, a des applications pratiques innombrables, allant des carburateurs de voitures aux débitmètres industriels. Cet exercice a pour but de vous faire appliquer les deux piliers de l'analyse des écoulements : le Théorème de BernoulliPrincipe de conservation de l'énergie pour les fluides en mouvement, reliant la pression, la vitesse et l'altitude. et l'Équation de continuitéPrincipe de conservation de la masse pour un fluide, stipulant que le débit massique est constant le long d'une conduite..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre la relation inverse entre la vitesse et la pression d'un fluide, et de quantifier ces variations dans un système simple mais représentatif.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer l'équation de continuité pour calculer la vitesse d'un fluide.
  • Utiliser le théorème de Bernoulli pour déterminer la variation de pression.
  • Calculer le débit volumique dans une conduite.
  • Comprendre l'impact des variations de géométrie sur un écoulement.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement d'eau, considéré comme un fluide parfait et incompressible, à travers un tube de Venturi horizontal. Le tube est composé d'une section d'entrée large (Point 1) et d'une section rétrécie appelée "col" (Point 2).

Schéma du Tube de Venturi
Point 1 P₁ Point 2 P₂ v₁ D₁ D₂
Paramètre Symbole Valeur Unité
Diamètre au Point 1 \(D_1\) 100 mm
Diamètre au Point 2 (col) \(D_2\) 50 mm
Vitesse du fluide au Point 1 \(v_1\) 2 m/s
Pression au Point 1 \(P_1\) 150 kPa
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 kg/m³

Questions à traiter

  1. Calculer la section (aire) de la conduite aux points 1 et 2.
  2. En utilisant l'équation de continuité, déterminer la vitesse de l'eau \(v_2\) au niveau du col (Point 2).
  3. Appliquer le théorème de Bernoulli entre les points 1 et 2 pour calculer la pression \(P_2\) au niveau du col.
  4. Calculer le débit volumique \(Q_v\) de l'eau dans la conduite.
  5. Si la pression au col \(P_2\) ne devait pas descendre en dessous de 80 kPa, quelle serait la vitesse maximale \(v_1\) autorisée à l'entrée ?

Les bases sur l'Effet Venturi

Pour résoudre cet exercice, deux principes fondamentaux de la mécanique des fluides sont nécessaires. On considère ici un écoulement horizontal (\(z_1 = z_2\)) et un fluide parfait (pas de pertes d'énergie par frottement).

1. Équation de continuité (Conservation de la masse)
Pour un fluide incompressible, le débit volumique est constant. Cela signifie que le produit de la section (aire) \(A\) par la vitesse \(v\) est le même en tout point de la conduite. \[ A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \]

2. Théorème de Bernoulli (Conservation de l'énergie)
Il exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant. Pour un écoulement horizontal sans frottement, il se simplifie comme suit : \[ P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \] Où \(P\) est la pression, \(\rho\) la masse volumique et \(v\) la vitesse du fluide.

Correction : Analyse de l’Effet Venturi

Question 1 : Calculer la section (aire) de la conduite aux points 1 et 2.

Principe (le concept physique)

La première étape de toute analyse hydraulique est de caractériser la géométrie du système. La section, ou l'aire transversale, de la conduite détermine l'espace disponible pour l'écoulement du fluide. C'est une propriété géométrique fondamentale qui influence directement la vitesse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La section transversale est l'aire de la surface coupée perpendiculairement à la direction de l'écoulement. Pour les conduites, cette section est presque toujours circulaire. Comprendre comment l'aire change avec le diamètre est crucial, car la plupart des équations de la mécanique des fluides (continuité, Bernoulli) dépendent de cette surface.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez toujours le temps de lister et de calculer les propriétés géométriques de base avant de vous lancer dans les équations de l'écoulement. Une erreur ici se répercutera sur tous les calculs suivants. Pensez à toujours convertir vos unités vers le Système International (mètres, secondes, etc.) dès le début.

Normes (la référence réglementaire)

En pratique, les diamètres des tuyauteries sont standardisés (normes ISO, ASTM, etc.). Les ingénieurs utilisent des tables pour trouver les diamètres internes réels (et donc les sections) en fonction du "Diamètre Nominal" (DN) et de la classe de pression (ou "Schedule") du tuyau.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'aire d'un disque

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les conduites sont parfaitement circulaires et que les diamètres donnés sont les diamètres internes de l'écoulement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données de l'énoncé doivent être converties en unités du Système International.

  • Diamètre 1 : \(D_1 = 100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}\)
  • Diamètre 2 : \(D_2 = 50 \text{ mm} = 0.05 \text{ m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour des estimations rapides, retenez que \(\pi/4 \approx 0.785\). Ainsi, \(A \approx 0.785 \times D^2\). C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Section circulaire d'une conduite
Diamètre D
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la section A₁

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi D_1^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.1 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.01 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la section A₂

\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.05 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0025 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 0.001963 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des aires
A₁A₂
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe que lorsque le diamètre est divisé par 2 (de 100 mm à 50 mm), l'aire est divisée par \(2^2 = 4\). Cette relation quadratique est fondamentale et explique pourquoi de petites variations de diamètre peuvent avoir de grands effets sur l'écoulement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les diamètres en mètres avant le calcul, ce qui conduit à une erreur d'un facteur \(1000^2 = 1,000,000\). Une autre erreur est d'oublier de mettre le diamètre au carré.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

  • La section \(A\) est proportionnelle au carré du diamètre \(D\).
  • La conversion des unités est la première étape de tout calcul.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "diamètre hydraulique" est utilisé pour calculer une section "efficace" pour des conduites non-circulaires (rectangulaires, ovales), permettant d'appliquer les mêmes formules que pour les tubes ronds.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utiliser le mètre comme unité de base ?

Le mètre (m) est l'unité de longueur du Système International (SI). Utiliser les unités SI (m, kg, s, Pa) garantit que les équations physiques sont cohérentes et que les résultats sont directement comparables sans facteurs de conversion complexes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les sections sont : \(A_1 \approx 7.854 \times 10^{-3} \text{ m}^2\) et \(A_2 \approx 1.963 \times 10^{-3} \text{ m}^2\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'aire d'une conduite de diamètre \(D_3 = 75 \text{ mm}\) ?

Question 2 : Déterminer la vitesse de l'eau \(v_2\) au niveau du col (Point 2).

Principe (le concept physique)

L'équation de continuité est l'expression de la conservation de la masse. Pour un fluide incompressible comme l'eau, si la section de la conduite diminue, le fluide doit accélérer pour que la même quantité de matière passe par seconde. C'est comme pincer un tuyau d'arrosage : l'eau sort plus vite.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le débit volumique \(Q_v = A \cdot v\) représente le volume de fluide traversant une section par seconde. Dans un tube sans fuite ni embranchement, ce débit est constant. Donc, si \(A\) diminue, \(v\) doit augmenter proportionnellement pour que le produit \(A \cdot v\) reste identique. C'est la base de nombreux dispositifs de mesure et d'accélération de fluides.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans les problèmes combinant continuité et Bernoulli, commencez presque toujours par l'équation de continuité. Elle vous permet d'établir une relation simple entre les vitesses, qui sera ensuite essentielle pour résoudre l'équation de Bernoulli, plus complexe.

Normes (la référence réglementaire)

Les débitmètres à effet Venturi sont des instruments de mesure normalisés (par exemple, par la norme ISO 5167). Cette norme spécifie les géométries précises et les équations de calcul (incluant des coefficients de correction pour les fluides réels) afin de garantir une mesure précise et reproductible du débit.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de continuité réarrangée

\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \Rightarrow v_2 = v_1 \frac{A_1}{A_2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On formule deux hypothèses majeures : 1) Le fluide (eau) est incompressible, sa masse volumique ne change pas. 2) L'écoulement est stationnaire, c'est-à-dire que la vitesse en un point donné ne varie pas dans le temps.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les résultats de la question 1 et les données de l'énoncé.

  • Vitesse initiale : \(v_1 = 2 \text{ m/s}\)
  • Section 1 : \(A_1 \approx 0.007854 \text{ m}^2\)
  • Section 2 : \(A_2 \approx 0.001963 \text{ m}^2\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque \(A = \pi D^2 / 4\), le rapport des aires \(A_1/A_2\) est simplement le carré du rapport des diamètres \((D_1/D_2)^2\). Ici, \(D_1/D_2 = 100/50 = 2\), donc \(A_1/A_2 = 2^2 = 4\). La vitesse \(v_2\) sera donc 4 fois plus grande que \(v_1\).

Schéma (Avant les calculs)
Accélération du fluide
v₁v₂
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la vitesse v₂

\[ \begin{aligned} v_2 &= v_1 \times \frac{A_1}{A_2} \\ &= 2 \text{ m/s} \times \frac{0.007854 \text{ m}^2}{0.001963 \text{ m}^2} \\ &= 2 \text{ m/s} \times 4 \\ &= 8 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des vitesses
v₁ = 2 m/sv₂ = 8 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est cohérent avec notre intuition : la vitesse dans la section rétrécie est bien plus élevée. Le quadruplement de la vitesse est une conséquence directe de la division par quatre de la section d'écoulement. Cette accélération est la cause directe de la chute de pression que nous allons calculer ensuite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale serait d'inverser le rapport des aires (\(A_2/A_1\)), ce qui conduirait à une vitesse plus faible, en contradiction avec le principe physique. Assurez-vous que votre résultat a un sens physique : si la section diminue, la vitesse doit augmenter.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

  • La vitesse est inversement proportionnelle à la section.
  • La continuité est la première étape pour lier les conditions entre deux points d'un écoulement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les animaux fouisseurs comme les chiens de prairie utilisent ce principe ! Ils construisent des entrées de terrier de formes différentes. Le vent soufflant sur les ouvertures crée une différence de vitesse, et donc de pression, ce qui assure une ventilation naturelle et continue de leur habitat souterrain.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si le fluide était compressible, comme l'air ?

L'équation de continuité serait plus complexe. Elle ferait intervenir la masse volumique \(\rho\) à chaque point : \(\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2\). Comme la pression change, la masse volumique de l'air changerait aussi, et il faudrait utiliser des lois thermodynamiques en plus de Bernoulli.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse de l'eau au col est \(v_2 = 8 \text{ m/s}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la même géométrie, que deviendrait \(v_2\) si la vitesse d'entrée \(v_1\) était de 3 m/s ?

Question 3 : Calculer la pression \(P_2\) au niveau du col.

Principe (le concept physique)

Le théorème de Bernoulli est l'expression de la conservation de l'énergie pour un fluide. L'énergie totale d'une particule de fluide se compose de son énergie de pression, de son énergie cinétique (due à sa vitesse) et de son énergie potentielle (due à son altitude). Dans le Venturi horizontal, l'énergie potentielle ne change pas. L'augmentation de l'énergie cinétique (vitesse plus élevée) au col doit donc être compensée par une diminution de l'énergie de pression.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation \(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}\) montre l'équilibre entre trois termes : la pression statique \(P\), la pression dynamique \(\frac{1}{2}\rho v^2\), et la pression hydrostatique \(\rho g z\). Dans notre cas, \(z\) est constant, donc c'est un simple échange entre pression statique et pression dynamique. Cette conversion d'énergie est la clé de l'effet Venturi.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Écrivez toujours l'équation de Bernoulli complète entre les deux points d'étude. Ensuite, simplifiez-la en barrant les termes qui s'annulent ou sont nuls (ici, les termes d'altitude \(\rho g z_1\) et \(\rho g z_2\)). Cela évite les erreurs et clarifie le raisonnement.

Normes (la référence réglementaire)

La norme ISO 5167, qui régit les débitmètres à pression différentielle, fournit des équations précises pour calculer le débit à partir de la mesure de \(\Delta P = P_1 - P_2\). Ces équations incluent un "coefficient de décharge" qui tient compte des effets des fluides réels (viscosité, etc.) que notre modèle de fluide parfait ignore.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de Bernoulli réarrangée

\[ P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

En plus des hypothèses précédentes (fluide incompressible, écoulement stationnaire), on suppose ici que le fluide est "parfait" ou "non-visqueux", ce qui signifie qu'il n'y a aucune perte d'énergie due au frottement contre les parois du tube.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les données de l'énoncé et les résultats des questions précédentes.

  • Pression 1 : \(P_1 = 150 \text{ kPa} = 150000 \text{ Pa}\)
  • Masse volumique : \(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)
  • Vitesse 1 : \(v_1 = 2 \text{ m/s}\)
  • Vitesse 2 : \(v_2 = 8 \text{ m/s}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Le terme \(\frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)\) représente la chute de pression \(\Delta P\). Calculez-le séparément avant de le soustraire de \(P_1\). Cela rend le calcul plus clair et moins sujet aux erreurs de signe.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la pression avec des manomètres
P₁P₂
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la pression P₂

\[ \begin{aligned} P_2 &= 150000 \text{ Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times ((2 \frac{\text{m}}{\text{s}})^2 - (8 \frac{\text{m}}{\text{s}})^2) \\ &= 150000 + 500 \times (4 - 64) \\ &= 150000 + 500 \times (-60) \\ &= 150000 - 30000 \\ &= 120000 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profils de Vitesse et Pression
PressionVitesse
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une chute de pression de 30 kPa (de 150 à 120 kPa) est une conséquence directe de l'accélération du fluide de 2 à 8 m/s. Ce résultat quantifie précisément l'échange entre énergie de pression et énergie cinétique. Il montre que l'effet Venturi est un phénomène très significatif.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités ! La pression doit être en Pascals (Pa), pas en kPa, pour être cohérente avec les autres unités SI. De plus, une erreur fréquente est d'oublier les carrés sur les vitesses (\(v^2\)) ou de se tromper dans le signe du terme de vitesse (\(v_1^2 - v_2^2\)), qui est négatif ici.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

  • Bernoulli décrit la conservation de l'énergie d'un fluide.
  • Une augmentation de vitesse se traduit par une diminution de pression (et vice-versa).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la pression dans un liquide comme l'eau chute trop bas (en dessous de sa "pression de vapeur saturante"), le liquide se met à bouillir, même à température ambiante ! Ce phénomène, appelé cavitation, crée des bulles de vapeur qui implosent violemment et peuvent détruire les hélices de bateau ou les turbines de pompe.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ignore-t-on les frottements (fluide parfait) ?

Pour un exercice fondamental, cette hypothèse simplifie grandement les calculs. Dans la réalité, les frottements (viscosité) causent une perte d'énergie, ce qui signifie que la pression réelle au point 2 serait légèrement inférieure à celle calculée, et la pression en sortie du Venturi ne remonterait pas totalement à sa valeur initiale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pression au col est \(P_2 = 120 \text{ kPa}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les mêmes vitesses, que deviendrait \(P_2\) si la pression d'entrée \(P_1\) était de 200 kPa ?

Question 4 : Calculer le débit volumique \(Q_v\) de l'eau.

Principe (le concept physique)

Le débit volumique est une mesure de la "quantité" de fluide qui s'écoule. C'est le volume qui traverse une section de la conduite chaque seconde. Dans un système fermé sans fuites, ce débit est le même partout, que la conduite soit large ou étroite.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Il ne faut pas confondre le débit volumique \(Q_v\) (en m³/s) avec le débit massique \(Q_m\) (en kg/s). Les deux sont liés par la masse volumique : \(Q_m = \rho \cdot Q_v\). Pour un fluide incompressible comme l'eau, \(\rho\) est constant, donc la conservation du débit volumique est équivalente à la conservation du débit massique (la masse).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour calculer le débit, vous pouvez utiliser les données du point 1 (\(A_1, v_1\)) ou du point 2 (\(A_2, v_2\)). Il est plus sûr d'utiliser les données du point 1, car elles proviennent directement de l'énoncé. Utiliser les données du point 2 pour vérifier votre calcul est une excellente façon de s'assurer que vos résultats précédents sont cohérents.

Normes (la référence réglementaire)

Le débit est l'une des grandeurs les plus importantes en ingénierie des procédés. Les pompes, vannes et instruments sont tous caractérisés par leur capacité à gérer un certain débit. Par exemple, une pompe sera choisie pour fournir un débit nominal requis à une pression donnée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du débit volumique

\[ Q_v = A \times v \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'écoulement est supposé stationnaire, ce qui signifie que le débit ne varie pas dans le temps.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les données du point 1 :

  • Section 1 : \(A_1 \approx 0.007854 \text{ m}^2\)
  • Vitesse 1 : \(v_1 = 2 \text{ m/s}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Dans de nombreuses applications (plomberie, irrigation), le débit est exprimé en litres par seconde (L/s) ou par minute (L/min), ou encore en mètres cubes par heure (m³/h). Souvenez-vous des conversions : \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\) et \(1 \text{ heure} = 3600 \text{ s}\).

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du débit volumique
Volume / tempsv
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul avec les données du point 1

\[ \begin{aligned} Q_v &= A_1 \times v_1 \\ &= 0.007854 \text{ m}^2 \times 2 \text{ m/s} \\ &\approx 0.015708 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Vérification avec les données du point 2

\[ \begin{aligned} Q_v &= A_2 \times v_2 \\ &= 0.001963 \text{ m}^2 \times 8 \text{ m/s} \\ &\approx 0.015704 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Conservation du Débit
Volume 1 (pendant 1s)Volume 2 (pendant 1s)=

Le volume qui traverse la section 1 en 1s est égal au volume qui traverse la section 2 en 1s.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les deux calculs donnent un résultat quasiment identique (la petite différence est due aux arrondis), ce qui confirme la validité de nos calculs de vitesse et de section. Un débit de 15.7 L/s est un débit important, équivalent à remplir une baignoire standard en une dizaine de secondes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que l'aire est en m² et la vitesse en m/s pour obtenir un débit en m³/s. Une erreur commune est de mal convertir le résultat final dans d'autres unités comme les L/min ou m³/h.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

  • Le débit volumique \(Q_v = A \cdot v\) est constant dans une conduite simple.
  • Il peut être calculé en n'importe quel point de la conduite.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les tubes de Venturi sont extrêmement robustes et fiables car ils n'ont aucune pièce mobile. C'est pourquoi ils sont utilisés dans des environnements difficiles, comme la mesure du débit de gaz d'échappement ou de fluides chargés de particules, où des débitmètres plus délicats (à turbine, par exemple) tomberaient rapidement en panne.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment le débit est-il contrôlé dans un vrai circuit ?

Le débit est généralement contrôlé par une pompe, qui fournit l'énergie au fluide, et/ou par une vanne, qui crée une obstruction pour réduire le débit. Le tube de Venturi, lui, ne fait que mesurer le débit qui le traverse, il ne le contrôle pas.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le débit volumique est \(Q_v \approx 0.0157 \text{ m}^3/\text{s}\) (soit 15.7 L/s).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel est ce débit exprimé en mètres cubes par heure (m³/h) ? (Rappel : 1h = 3600s)

Question 5 : Vitesse maximale \(v_1\) pour que \(P_2 \ge 80\) kPa.

Principe (le concept physique)

Cette question aborde la notion de contrainte de fonctionnement. Dans de nombreux systèmes réels, il existe des limites à ne pas dépasser (pression maximale, pression minimale, température, etc.). Ici, on veut trouver la vitesse maximale à l'entrée qui garantit que la pression au col ne descende pas en dessous d'une valeur de sécurité (par exemple, pour éviter la cavitation).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

C'est un problème de "dimensionnement" ou de "vérification de conception". On ne calcule plus l'état d'un système pour des conditions données, mais on détermine les conditions limites pour que le système respecte une contrainte. Cela implique de réarranger les équations pour isoler la variable que l'on cherche (ici, \(v_1\)) en fonction des autres paramètres et de la contrainte (\(P_{2,\text{min}}\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La clé ici est de combiner les deux équations (continuité et Bernoulli) pour obtenir une seule équation reliant la variable d'entrée (\(v_1\)) aux variables de sortie (\(P_2\)). En substituant l'expression de \(v_2\) dans Bernoulli, on peut résoudre pour \(v_1\).

Normes (la référence réglementaire)

Les codes de construction pour les tuyauteries (comme l'ASME B31.3) spécifient les pressions de service maximales et minimales autorisées pour différents matériaux et températures. Un ingénieur doit s'assurer que les conditions de fonctionnement, y compris les dépressions locales comme dans un Venturi, restent dans ces limites de sécurité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison de Bernoulli et de la continuité

\[ P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - (4v_1)^2) \Rightarrow P_2 = P_1 - \frac{15}{2}\rho v_1^2 \]

Formule de la vitesse v₁ isolée

\[ v_1 = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{15\rho}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Toutes les hypothèses précédentes (fluide parfait, incompressible, écoulement stationnaire) restent valables.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise la pression limite pour \(P_2\).

  • Pression 1 : \(P_1 = 150 \text{ kPa} = 150000 \text{ Pa}\)
  • Pression 2 minimale : \(P_{2,\text{min}} = 80 \text{ kPa} = 80000 \text{ Pa}\)
  • Masse volumique : \(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Effectuez la manipulation algébrique pour isoler la variable inconnue avant de remplacer par les valeurs numériques. Cela réduit le risque d'erreurs de calcul et rend la formule finale plus claire.

Schéma (Avant les calculs)
Contrainte de Pression Minimale
P₂Limite = 80 kPa
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la vitesse maximale v₁

\[ \begin{aligned} v_{1,\text{max}} &= \sqrt{\frac{2(P_1 - P_{2,\text{min}})}{15\rho}} \\ &= \sqrt{\frac{2(150000 - 80000)}{15 \times 1000}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 70000}{15000}} \\ &= \sqrt{\frac{140000}{15000}} \\ &= \sqrt{9.333...} \\ &\approx 3.055 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Relation Pression-Vitesse
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat signifie que si la vitesse à l'entrée dépasse 3.06 m/s, la pression au col tombera en dessous de la limite de 80 kPa, ce qui pourrait être dangereux pour le système. Notre vitesse de fonctionnement initiale de 2 m/s nous laissait donc une marge de sécurité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Faites très attention lors de la manipulation algébrique pour isoler \(v_1\). Une erreur de signe ou un oubli de la racine carrée sont des pièges courants. Vérifiez que la différence de pression \(P_1 - P_2\) est bien positive avant de prendre la racine.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

  • Les principes physiques peuvent être utilisés pour déterminer des limites de fonctionnement.
  • La combinaison des équations est une compétence clé en ingénierie.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La portance d'une aile d'avion est une application directe du principe de Bernoulli. L'air se déplace plus vite sur l'extrados (le dessus bombé de l'aile) que sur l'intrados (le dessous plat). Cette différence de vitesse crée une dépression sur le dessus de l'aile, aspirant l'avion vers le haut.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y aurait-il une pression minimale à respecter ?

Outre le risque de cavitation, certains liquides peuvent libérer des gaz dissous si la pression baisse trop, créant des bulles qui perturbent l'écoulement. De plus, les tuyauteries peuvent ne pas être conçues pour résister à une pression externe si la pression interne devient trop faible (risque d'écrasement).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse maximale autorisée à l'entrée est \(v_{1,\text{max}} \approx 3.06 \text{ m/s}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la vitesse maximale \(v_{1,\text{max}}\) si la pression limite \(P_{2,\text{min}}\) était fixée à 90 kPa ?

Outil Interactif : Simulateur Venturi

Utilisez les curseurs pour faire varier le diamètre du col et la vitesse d'entrée. Observez en temps réel l'impact sur la vitesse et la dépression au niveau du col.

Paramètres d'Entrée
2 m/s
50 mm
Résultats Clés
Vitesse au col \(v_2\) (m/s) -
Pression au col \(P_2\) (kPa) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la vitesse d'entrée \(v_1\) dans un Venturi, que devient la vitesse au col \(v_2\), en supposant la géométrie inchangée ?

2. Selon le théorème de Bernoulli pour un écoulement horizontal, si la vitesse d'un fluide augmente, sa pression...

3. L'équation de continuité (\(A_1 v_1 = A_2 v_2\)) est une expression de la...

4. Si le diamètre d'une conduite est divisé par 3, par quel facteur sa section est-elle divisée ?

5. Le débit volumique dans un tube de Venturi est...

Effet Venturi
Phénomène de la dynamique des fluides où il y a formation d'une dépression (diminution de pression) dans une zone où les particules de fluides subissent une accélération (augmentation de vitesse).
Théorème de Bernoulli
Principe de conservation de l'énergie appliqué à un fluide en mouvement. Il établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide le long d'une ligne de courant.
Équation de continuité
Principe de conservation de la masse pour un fluide. Pour un fluide incompressible, elle stipule que le débit volumique (produit de la section par la vitesse) est constant.
Débit volumique (Qv)
Volume de fluide qui s'écoule à travers une surface donnée par unité de temps. Son unité dans le Système International est le mètre cube par seconde (m³/s).
Exercice : Analyse de l’Effet Venturi

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