Calcul de la Vitesse d'un Avion avec un Tube de Pitot

Contexte : Les Fondamentaux de l'Hydraulique en Aéronautique.

La mesure de la vitesse d'un avion par rapport à l'air ambiant (vitesse anémométrique) est cruciale pour le pilotage et la sécurité. L'un des instruments les plus fondamentaux pour cette mesure est le Tube de PitotUn instrument de mesure de la vitesse des fluides. Il est largement utilisé en aéronautique pour mesurer la vitesse de l'avion par rapport à l'air.. Cet exercice vous guidera à travers les principes de la mécanique des fluides, en particulier l'équation de Bernoulli, pour déterminer la vitesse d'un avion à partir des mesures de pression fournies par cet instrument.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une application directe et essentielle du théorème de Bernoulli, un pilier de l'hydraulique, en le transposant du cadre théorique à un problème d'ingénierie aéronautique concret.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de fonctionnement d'un tube de Pitot.
Appliquer l'équation de Bernoulli pour un fluide compressible (l'air).
Calculer la vitesse d'un aéronef à partir de la pression dynamique.
Maîtriser les conversions d'unités pour les pressions et les masses volumiques.

Données de l'étude

Un avion de ligne vole à une altitude où les conditions atmosphériques sont connues. Son tube de Pitot enregistre les données de pression nécessaires pour que le système anémométrique calcule la vitesse.

Conditions de Vol

Schéma de Principe du Tube de Pitot

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression totale (ou d'arrêt)	\(P_t\)	70 125	\(\text{Pa}\)
Pression statique	\(P_s\)	54 050	\(\text{Pa}\)
Masse volumique de l'air	\(\rho\)	0.736	\(\text{kg/m}^3\)

Questions à traiter

Calculer la pression dynamique \(P_d\).
Énoncer l'équation de Bernoulli simplifiée applicable à ce cas.
À partir de cette équation, isoler et exprimer la formule littérale de la vitesse \(V\).
Calculer la vitesse de l'avion \(V\) en mètres par seconde (m/s).
Convertir cette vitesse en kilomètres par heure (km/h) et en nœuds (kt).

Les bases sur le Tube de Pitot et Bernoulli

Le fonctionnement du tube de Pitot repose sur le théorème de Bernoulli, qui relie la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en mouvement. Pour un écoulement horizontal, l'équation se simplifie.

1. Pression Statique, Dynamique et Totale
La pression statique (\(P_s\)) est la pression de l'air ambiant, indépendante du mouvement de l'avion. La pression dynamique (\(P_d\)) est générée par la vitesse de l'air. La pression totale (\(P_t\)), mesurée au point d'arrêt du tube de Pitot où la vitesse de l'air s'annule, est la somme des deux. \[ P_t = P_s + P_d \]

2. Équation de Bernoulli
L'équation de Bernoulli stipule que pour un fluide incompressible, l'énergie totale le long d'une ligne de courant est constante. La pression dynamique est directement liée à la vitesse (\(V\)) et à la masse volumique (\(\rho\)) du fluide. \[ P_d = \frac{1}{2} \rho V^2 \]

Correction : Calcul de la Vitesse d’un Avion avec un Tube de Pitot

Question 1 : Calculer la pression dynamique \(P_d\)

Principe

La pression dynamique est la composante de la pression qui est due au mouvement du fluide. Physiquement, elle représente l'énergie cinétique par unité de volume. On l'obtient en soustrayant la pression ambiante (statique) de la pression maximale mesurée au point d'arrêt (totale).

Mini-Cours

La pression totale \(P_t\) est la somme de la pression statique \(P_s\) et de la pression dynamique \(P_d\). La pression statique est mesurée par des orifices sur le côté du fuselage, là où l'air s'écoule parallèlement, tandis que la pression totale est mesurée par l'orifice frontal du tube de Pitot, qui fait face au vent. La différence entre ces deux mesures isole donc la pression due uniquement à la vitesse.

Remarque Pédagogique

Cette première question est une étape fondamentale et simple. Assurez-vous de bien comprendre cette relation \(P_t = P_s + P_d\), car tout le reste du calcul en découle. C'est la clé pour isoler l'effet de la vitesse.

Normes

Les définitions des pressions statique, dynamique et totale sont des concepts fondamentaux de la mécanique des fluides, décrits dans tous les manuels de référence et conformes aux standards de l'Organisation de l'Aviation Civile Internationale (OACI) pour l'instrumentation aéronautique.

Formule(s)

\[ P_d = P_t - P_s \]

Hypothèses

Pour cette étape, aucune hypothèse majeure n'est nécessaire, il s'agit d'une définition. On suppose simplement que les instruments de mesure sont précis et correctement calibrés.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression totale	\(P_t\)	70 125	\(\text{Pa}\)
Pression statique	\(P_s\)	54 050	\(\text{Pa}\)

Astuces

La pression totale est toujours supérieure ou égale à la pression statique. Par conséquent, la pression dynamique \(P_d\) doit toujours être une valeur positive. Si vous obtenez un résultat négatif, vous avez probablement inversé \(P_t\) et \(P_s\).

Calcul(s)

\begin{aligned} P_d &= 70125 \text{ Pa} - 54050 \text{ Pa} \\ &= 16075 \text{ Pa} \end{aligned}

Réflexions

Une pression dynamique de 16 075 Pascals (ou 16.075 kPa) est significative. Elle indique que l'avion se déplace à une vitesse considérable, car il faut beaucoup d'énergie cinétique pour générer une telle pression.

Points de vigilance

Assurez-vous que les deux pressions sont dans la même unité (ici, le Pascal) avant de les soustraire. Une erreur de conversion (par exemple, mélanger Pa et hPa) est une faute classique.

Points à retenir

La pression dynamique est la clé qui relie la mesure de pression à la vitesse du fluide. C'est la première information à calculer.

Le saviez-vous ?

Le givrage d'un tube de Pitot peut obstruer l'orifice de pression totale, menant à des lectures de vitesse erronées. Ce fut un facteur contributif dans plusieurs accidents aériens, comme celui du vol Air France 447 en 2009, soulignant l'importance critique de cet instrument simple.

FAQ

Pourquoi ne pas utiliser directement la pression totale pour la vitesse ?

La pression totale inclut la pression statique, qui dépend de l'altitude. Utiliser \(P_t\) directement donnerait une vitesse fausse qui changerait avec l'altitude même si la vitesse réelle restait constante. Il est essentiel d'isoler la pression dynamique.

Résultat Final

La pression dynamique est de 16 075 Pa.

A vous de jouer

Si la pression totale était de 80 000 Pa et la pression statique de 62 500 Pa, quelle serait la nouvelle pression dynamique ?

Question 2 : Énoncer l'équation de Bernoulli simplifiée

Principe

Le théorème de Bernoulli est une déclaration de la conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement. Il stipule que la somme de l'énergie de pression, de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante. Dans notre cas, en considérant un écoulement horizontal, on peut ignorer le terme d'énergie potentielle (altitude).

Mini-Cours

L'équation complète de Bernoulli est \(P + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g h = \text{constante}\). Au point d'arrêt (entrée du tube de Pitot), la vitesse \(V\) est nulle, donc le terme d'énergie cinétique disparaît et la pression est \(P_t\). Loin du tube, la vitesse est \(V\) et la pression est \(P_s\). En égalant les deux états (et en annulant \(\rho g h\)), on obtient la relation qui lie les pressions et la vitesse.

Remarque Pédagogique

Comprendre que cette formule n'est pas "magique" mais découle d'un principe physique fondamental (la conservation de l'énergie) est essentiel pour un ingénieur. Vous ne faites pas qu'appliquer une formule, vous modélisez un phénomène physique.

Formule(s)

L'équation relie la pression totale au point d'arrêt (où l'énergie est uniquement sous forme de pression) à la somme des pressions statique et dynamique dans l'écoulement non perturbé.

P_t = P_s + \frac{1}{2} \rho V^2

Hypothèses

L'écoulement de l'air est considéré comme stationnaire (les propriétés ne changent pas avec le temps).
L'air est traité comme un fluide incompressible (sa masse volumique \(\rho\) est constante), ce qui est une bonne approximation pour des vitesses inférieures à environ Mach 0.3.
Les effets de la viscosité sont négligés.
L'écoulement est horizontal (pas de changement d'altitude entre les points de mesure).

Points à retenir

Cette équation est le pont entre le monde des pressions (ce que l'on mesure) et le monde de la cinématique (la vitesse que l'on cherche).

FAQ

Cette équation est-elle toujours valable ?

Non. Pour les très hautes vitesses (supersoniques), les effets de compressibilité de l'air deviennent importants et cette formule doit être remplacée par des relations plus complexes issues de la thermodynamique et de la dynamique des gaz.

Question 3 : Isoler et exprimer la formule littérale de la vitesse \(V\)

Principe

Cette étape est un exercice purement algébrique. L'objectif est de manipuler l'équation de Bernoulli pour que la variable que nous cherchons, la vitesse \(V\), soit seule d'un côté de l'équation.

Remarque Pédagogique

Savoir manipuler des équations littérales est une compétence fondamentale. Cela permet de comprendre les relations de cause à effet entre les variables avant même de passer à l'application numérique. Par exemple, on voit que V dépend de la racine carrée de la pression, et non linéairement.

Formule(s)

L'équation de départ est celle de Bernoulli :

P_t = P_s + \frac{1}{2} \rho V^2

Calcul(s)

Étape 1 : Isoler le terme de pression dynamique

P_t - P_s = \frac{1}{2} \rho V^2

Étape 2 : Multiplier par 2 et diviser par \(\rho\) pour isoler \(V^2\)

V^2 = \frac{2 \cdot (P_t - P_s)}{\rho}

Étape 3 : Extraire la racine carrée pour obtenir V

V = \sqrt{\frac{2 \cdot (P_t - P_s)}{\rho}}

Points de vigilance

Attention à l'ordre des opérations. Il faut d'abord faire la soustraction des pressions, puis multiplier par 2 et diviser par \(\rho\), et enfin, prendre la racine carrée de l'ensemble du résultat.

Points à retenir

La vitesse est proportionnelle à la racine carrée de la pression dynamique, et inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse volumique de l'air.

Résultat Final

La formule littérale de la vitesse est \( V = \sqrt{\frac{2 \cdot (P_t - P_s)}{\rho}} \).

Question 4 : Calculer la vitesse de l'avion \(V\) en m/s

Principe

C'est l'application numérique de la formule littérale établie à la question précédente. On remplace les symboles par leurs valeurs numériques pour trouver le résultat final.

Remarque Pédagogique

C'est le moment de vérité où la physique et les mathématiques se rejoignent pour donner un résultat concret et tangible. La rigueur dans le calcul est ici primordiale.

Formule(s)

V = \sqrt{\frac{2 \cdot (P_t - P_s)}{\rho}}

Hypothèses

On reprend les hypothèses de l'équation de Bernoulli (fluide incompressible, non visqueux, etc.) et on considère que les données de l'énoncé sont exactes.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression dynamique	\(P_d = P_t - P_s\)	16 075	\(\text{Pa}\)
Masse volumique de l'air	\(\rho\)	0.736	\(\text{kg/m}^3\)

Astuces

Avant de taper sur la calculatrice, faites une estimation rapide. L'ordre de grandeur de \(2 \times 16000 / 0.7\) est d'environ \(32000 / 0.7 \approx 45000\). La racine carrée de 40000 est 200. Votre résultat final doit donc être proche de 200 m/s. Cela permet de détecter une erreur de saisie grossière.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des Données pour le Calcul

Calcul(s)

\begin{aligned} V &= \sqrt{\frac{2 \cdot 16075}{0.736}} \\ &= \sqrt{\frac{32150}{0.736}} \\ &= \sqrt{43682.065} \\ &\approx 209.00 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la Vitesse Calculée

Réflexions

Une vitesse de 209 m/s est extrêmement rapide. Pour donner un ordre de grandeur, c'est plus de deux fois la longueur d'un terrain de football en une seule seconde. Ce résultat est tout à fait cohérent avec la vitesse de croisière d'un avion de ligne.

Points de vigilance

La principale source d'erreur ici est de s'assurer que toutes les unités sont dans le Système International (Pascals pour la pression, kg/m³ pour la masse volumique) avant de commencer le calcul. Le résultat sera alors directement en m/s.

Le saviez-vous ?

Les anémomètres des avions calculent en réalité plusieurs vitesses : la Vitesse Indiquée (lue sur l'instrument), la Vitesse Corrigée (qui ajuste les erreurs de l'instrument), et la Vitesse Vraie (qui corrige les effets de l'altitude et de la température, comme nous le faisons ici). La vitesse que nous calculons est la Vitesse Vraie (True Airspeed - TAS).

Résultat Final

La vitesse de l'avion est d'environ 209 m/s.

A vous de jouer

Avec la même masse volumique de 0.736 kg/m³, quelle serait la vitesse en m/s si la pression dynamique mesurée était de 20 000 Pa ?

Question 5 : Convertir cette vitesse en km/h et en nœuds

Principe

La vitesse en m/s est la référence scientifique, mais elle n'est pas toujours la plus intuitive. Cette étape consiste à traduire notre résultat dans des unités plus courantes dans les domaines de l'automobile (km/h) et de l'aéronautique (nœuds).

Remarque Pédagogique

Un bon ingénieur doit savoir communiquer ses résultats de manière claire. Savoir convertir les unités est essentiel pour que les pilotes, les contrôleurs aériens et même les passagers puissent comprendre les informations de vitesse.

Formule(s)

V_{\text{km/h}} = V_{\text{m/s}} \times 3.6

V_{\text{kt}} = V_{\text{m/s}} \times 1.944

Donnée(s)

La seule donnée d'entrée est le résultat de la question précédente : \(V = 209.00 \text{ m/s}\).

Astuces

Pour se souvenir des conversions : il y a 3600 secondes dans une heure et 1000 mètres dans un kilomètre. Donc, pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3600/1000 = 3.6. Un nœud est un peu plus de 0.5 m/s, donc pour passer de m/s en nœuds, on doit multiplier par un chiffre proche de 2.

Calcul(s)

Conversion en \(\text{km/h}\)

\begin{aligned} V_{\text{km/h}} &= 209.00 \text{ m/s} \times 3.6 \\ &\approx 752.4 \text{ km/h} \end{aligned}

Conversion en nœuds

\begin{aligned} V_{\text{kt}} &= 209.00 \text{ m/s} \times 1.944 \\ &\approx 406.3 \text{ kt} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison Visuelle des Unités de Vitesse

Réflexions

Une vitesse de 752 km/h est une vitesse de croisière typique pour un avion subsonique. Les 406 nœuds sont l'unité que le pilote verrait sur ses instruments de bord. Ces résultats confirment que nos calculs sont cohérents avec le monde réel de l'aviation.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser les facteurs de conversion. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3.6. Une erreur fréquente est de multiplier dans le mauvais sens.

Résultat Final

La vitesse de l'avion est d'environ 752.4 km/h, soit 406.3 nœuds.

A vous de jouer

Si un avion vole à 300 m/s, quelle est sa vitesse en km/h ?

Outil Interactif : Simulateur de Vitesse

Utilisez les curseurs pour faire varier la pression dynamique (la différence entre Pt et Ps) et la masse volumique de l'air pour voir leur impact sur la vitesse calculée de l'avion.

Paramètres d'Entrée

Pression Dynamique (Pa) 16075 Pa

Masse Volumique de l'air (kg/m³) 0.736 kg/m³

Résultats Clés

Vitesse (m/s) -

Vitesse (km/h) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que mesure directement la différence \(P_t - P_s\)?

La pression statique
La pression dynamique
La pression totale

2. Si la vitesse de l'avion augmente, comment la pression dynamique évolue-t-elle ?

Elle diminue
Elle reste constante
Elle augmente

3. À une altitude plus élevée, la masse volumique de l'air (\(\rho\)) diminue. Pour une même pression dynamique, la vitesse réelle de l'avion sera :

Plus élevée
Plus basse
Inchangée

Glossaire

Tube de Pitot: Un instrument de mesure de la vitesse des fluides. Il est largement utilisé en aéronautique pour mesurer la vitesse de l'avion par rapport à l'air.
Pression Statique (\(P_s\)): La pression du fluide au repos, ou la pression qui serait mesurée par un capteur se déplaçant avec le fluide. C'est la pression atmosphérique à l'altitude de vol.
Pression Dynamique (\(P_d\)): La pression résultant de l'énergie cinétique du fluide en mouvement. Elle est nulle si le fluide est immobile et augmente avec le carré de la vitesse.
Pression Totale (\(P_t\)): La somme de la pression statique et de la pression dynamique. C'est la pression mesurée au point d'arrêt d'un écoulement, où la vitesse est nulle.
Nœud (kt): Une unité de vitesse correspondant à un mille marin par heure (environ 1.852 km/h ou 0.5144 m/s), couramment utilisée en navigation maritime et aérienne.