ÉTUDE HYDRAULIQUE

Analyse d’un Système de Siphon

Analyse d’un Système de Siphon

Analyse d’un Système de Siphon

Contexte : Le SiphonDispositif permettant de transférer un liquide d'un réservoir à un autre situé à un niveau inférieur, en passant par un point plus élevé..

Cet exercice porte sur l'étude d'un siphon utilisé pour transférer de l'eau entre deux réservoirs à des altitudes différentes. Nous analyserons les principes fondamentaux de l'hydraulique en charge, notamment l'équation de Bernoulli et le calcul des pertes de chargePerte d'énergie d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes régulières) et aux accidents de parcours comme les coudes ou vannes (pertes singulières).. L'objectif est de déterminer le débit réel du système et de vérifier un critère de conception essentiel : le risque de cavitationPhénomène de formation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de sa pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles peut endommager les canalisations. au point le plus élevé du siphon.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'application classique du théorème de Bernoulli généralisé. Il vous apprendra à modéliser un système hydraulique réel en tenant compte des pertes d'énergie, et à identifier les points critiques pour le dimensionnement, comme la pression minimale dans le circuit.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer l'équation de Bernoulli entre deux points d'un écoulement.
  • Calculer les pertes de charge régulières (linéaires) et singulières.
  • Déterminer le débit dans une conduite par une approche itérative.
  • Vérifier le risque de cavitation en calculant la pression en un point critique.

Données de l'étude

On souhaite transférer de l'eau d'un réservoir A vers un réservoir B, tous deux à la pression atmosphérique, à l'aide d'une conduite en PVC fonctionnant comme un siphon.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Fluide Eau
Température de l'eau 20 °C
Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) 1000 kg/m³
Viscosité cinématique de l'eau (\(\nu\)) \(1.0 \times 10^{-6}\) m²/s
Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) 101325 Pa
Pression de vapeur saturante (\(P_v\)) 2340 Pa (à 20°C)
Schéma du Système de Siphon
zA zB zS A B S
Paramètre Géométrique Symbole Valeur Unité
Altitude du plan d'eau A \(z_A\) 10 m
Altitude du plan d'eau B \(z_B\) 2 m
Altitude du sommet du siphon \(z_S\) 12 m
Longueur totale de la conduite \(L_{\text{tot}}\) 25 m
Diamètre intérieur de la conduite \(D\) 100 mm
Rugosité de la conduite (PVC) \(\varepsilon\) 0.15 mm
Coefficient de perte de charge (entrée) \(K_{\text{ent}}\) 0.5 -
Coefficient de perte de charge (2 coudes 90°) \(K_{\text{coudes}}\) 2 x 0.9 -
Coefficient de perte de charge (sortie) \(K_{\text{sor}}\) 1.0 -

Questions à traiter

  1. Exprimer l'équation de Bernoulli généralisée entre les points A et B.
  2. Calculer la somme des coefficients de pertes de charge singulières (\(\Sigma K\)).
  3. En utilisant une approche itérative (ou un diagramme de Moody), déterminer la vitesse d'écoulement \(v\) et le débit volumique \(Q\) dans la conduite.
  4. Calculer la pression au point S, le sommet du siphon. On supposera que la longueur de conduite entre A et S est de 7 m.
  5. Le siphon risque-t-il de se désamorcer par cavitation ? Justifier.

Les bases sur l'Hydraulique des Siphons

L'analyse d'un siphon repose sur l'équation de Bernoulli généralisée, qui est une expression du principe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement. Elle stipule que la charge totale en un point (énergie de pression, énergie cinétique et énergie potentielle) est égale à la charge totale en un autre point en aval, diminuée des pertes d'énergie (pertes de charge) entre les deux points.

1. Équation de Bernoulli généralisée
Entre deux points 1 et 2 d'une ligne de courant, l'équation s'écrit : \[ \frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + \Delta H_{1 \to 2} \] Où \(\Delta H_{1 \to 2}\) représente les pertes de charge totales entre 1 et 2.

2. Calcul des Pertes de Charge
Les pertes de charge totales sont la somme des pertes de charge régulières (dues au frottement) et singulières (dues aux accidents de parcours) : \[ \Delta H_{\text{tot}} = \Delta H_{\text{reg}} + \Delta H_{\text{sing}} = \left( \lambda \frac{L}{D} \right) \frac{v^2}{2g} + \left( \Sigma K \right) \frac{v^2}{2g} \] Le coefficient de frottement \(\lambda\) dépend du nombre de Reynolds (\(Re\)) et de la rugosité relative (\(\varepsilon/D\)), et est souvent déterminé par l'équation de Colebrook-White.

Correction : Analyse d’un Système de Siphon

Question 1 : Équation de Bernoulli généralisée entre A et B

Principe

On applique le principe de conservation de l'énergie pour le fluide entre les surfaces libres des deux réservoirs (points A et B). Ces points sont stratégiques car la pression y est connue (pression atmosphérique) et la vitesse du fluide peut être considérée comme nulle, ce qui simplifie grandement les calculs.

Mini-Cours

L'équation de Bernoulli est une formulation du principe de conservation de l'énergie pour un fluide. Chaque terme représente une forme d'énergie par unité de poids du fluide (exprimée en mètres) : \(\frac{P}{\rho g}\) est la hauteur de pression, \(\frac{v^2}{2g}\) est la hauteur cinétique, et \(z\) est la hauteur potentielle. La version "généralisée" ajoute un terme \(\Delta H\) pour comptabiliser l'énergie perdue par frottement.

Remarque Pédagogique

Pour résoudre un problème d'hydraulique, le premier réflexe est de choisir deux points pertinents pour appliquer l'équation de Bernoulli. Idéalement, on choisit des points où l'on connaît un maximum d'informations (pression, vitesse, altitude).

Normes

Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour l'application de l'équation de Bernoulli, car il s'agit d'un principe physique fondamental de la mécanique des fluides, établi par Daniel Bernoulli au 18ème siècle.

Formule(s)

L'équation de Bernoulli généralisée est l'outil central :

\[ \frac{P_A}{\rho g} + \frac{v_A^2}{2g} + z_A = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{v_B^2}{2g} + z_B + \Delta H_{A \to B} \]
Hypothèses

On pose les hypothèses simplificatrices suivantes pour les points A et B :

  • Les réservoirs sont ouverts à l'atmosphère, donc \(P_A = P_B = P_{\text{atm}}\).
  • Les surfaces des réservoirs sont suffisamment grandes pour que les vitesses de descente/montée du niveau d'eau soient négligeables, donc \(v_A \approx 0\) et \(v_B \approx 0\).
Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette étape sont les altitudes :

  • \(z_A = 10 \text{ m}\)
  • \(z_B = 2 \text{ m}\)
Astuces

Lorsque deux points sont à la même pression (ici, la pression atmosphérique), on peut directement simplifier les termes de pression de chaque côté de l'équation sans même les calculer.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Système de Siphon
zAzBAB
Calcul(s)

En appliquant les hypothèses, l'équation se simplifie grandement :

\[ \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} + 0 + z_A = \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} + 0 + z_B + \Delta H_{A \to B} \]

Après simplification des termes de pression atmosphérique, on obtient la relation fondamentale pour un siphon :

\[ z_A - z_B = \Delta H_{A \to B} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique Global
Énergie PotentiellezA - zBÉnergie DissipéeΔH A→B=
Réflexions

Ce résultat est très important : il montre que la différence de hauteur entre les deux plans d'eau est le "moteur" de l'écoulement. Toute cette énergie potentielle disponible (\(z_A - z_B\)) est entièrement dissipée par les pertes de charge dans la conduite.

Points de vigilance

Il est crucial de vérifier que les hypothèses \(v_A \approx 0\) et \(v_B \approx 0\) sont valides. Si les réservoirs étaient des tuyaux de petit diamètre, cette simplification serait incorrecte et il faudrait conserver les termes d'énergie cinétique.

Points à retenir

Pour un écoulement entre deux grands réservoirs à l'air libre, la dénivellation entre les surfaces est égale à la somme de toutes les pertes de charge dans le système. C'est le point de départ de la plupart des problèmes de ce type.

Le saviez-vous ?

Le principe de Bernoulli est aussi ce qui explique la portance d'une aile d'avion. L'air se déplaçant plus vite sur le dessus de l'aile (extrados) que sur le dessous (intrados), la pression y est plus faible, créant une force ascendante.

FAQ
Pourquoi peut-on supposer les vitesses nulles aux points A et B ?

L'équation de continuité (\(Q = v \times S\)) nous dit que pour un débit \(Q\) donné, si la surface \(S\) est très grande (cas d'un réservoir), la vitesse \(v\) devient très faible, au point d'être négligeable dans les calculs d'énergie.

Résultat Final
L'équation de Bernoulli appliquée entre A et B se simplifie en : \( z_A - z_B = \Delta H_{A \to B} \). La dénivellation de 8 m est entièrement consommée par les frottements.
A vous de jouer

Si le réservoir B était plus bas, avec \(z_B = 1\) m, quelle serait la valeur de l'énergie à dissiper par les pertes de charge ?

Question 2 : Calcul de la somme des coefficients de pertes de charge singulières

Principe

Les pertes de charge singulières sont des pertes d'énergie localisées dues aux changements de géométrie de la conduite (entrée, coudes, sortie). Chaque "accident" est caractérisé par un coefficient \(K\). Il suffit de les identifier tous et d'additionner leurs coefficients pour obtenir le coefficient total.

Mini-Cours

Les pertes de charge sont de deux types : régulières (frottement sur la longueur du tuyau) et singulières. Les pertes singulières sont proportionnelles à l'énergie cinétique du fluide (\(v^2/2g\)). Le coefficient \(K\) est un facteur de proportionnalité sans dimension, déterminé expérimentalement et tabulé dans des manuels d'hydraulique.

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul, il est utile de "parcourir" mentalement le trajet du fluide depuis le début jusqu'à la fin et de lister chaque singularité rencontrée. Cela évite les oublis. Ici : une entrée, deux coudes, une sortie.

Normes

Les valeurs des coefficients de perte de charge \(K\) ne sont pas normalisées au sens strict, mais proviennent de bases de données expérimentales très complètes, comme celles compilées par des auteurs de référence tels qu'Idel'cik ou Miller.

Formule(s)

La formule pour la somme des coefficients est une simple addition :

\[ \Sigma K = K_{\text{ent}} + K_{\text{coudes}} + K_{\text{sor}} \]
Hypothèses

On suppose que les coefficients \(K\) fournis sont constants et ne dépendent pas du nombre de Reynolds, ce qui est une hypothèse raisonnable pour des écoulements turbulents où les effets de la viscosité sont moins prépondérants dans les singularités.

Donnée(s)

Les coefficients individuels sont fournis dans l'énoncé :

ComposantSymboleValeur
Entrée de conduite\(K_{\text{ent}}\)0.5
Deux coudes à 90°\(K_{\text{coudes}}\)2 x 0.9 = 1.8
Sortie de conduite\(K_{\text{sor}}\)1.0
Astuces

Pour une sortie de conduite débouchant dans un grand réservoir, le coefficient de perte de charge singulière est toujours égal à 1, car toute l'énergie cinétique (\(1 \times v^2/2g\)) est dissipée dans le réservoir.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation des Pertes de Charge Singulières
Entrée (Kent)Coude 1Coude 2Sortie (Ksor)
Calcul(s)

On additionne simplement les valeurs :

\[ \begin{aligned} \Sigma K &= K_{\text{ent}} + K_{\text{coudes}} + K_{\text{sor}} \\ &= 0.5 + (2 \times 0.9) + 1.0 \\ &= 0.5 + 1.8 + 1.0 \\ &= 3.3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composition des Pertes de Charge Singulières
Coefficient KEntrée0.5Coude 10.9Coude 20.9Sortie1.0ΣK = 3.3
Réflexions

Une valeur de \(\Sigma K = 3.3\) signifie que les pertes d'énergie dues aux singularités sont équivalentes à 3.3 fois l'énergie cinétique du fluide. On verra plus tard comment cela se compare aux pertes par frottement.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier de composants. Ici, il y a bien deux coudes, il faut donc compter le coefficient deux fois. Une erreur fréquente est de n'en compter qu'un seul ou d'oublier la perte à la sortie.

Points à retenir

Les pertes de charge totales sont la somme des pertes régulières (frottement) et singulières (accidents). Le calcul de \(\Sigma K\) est la première étape pour quantifier ces pertes singulières.

Le saviez-vous ?

Les concepteurs de circuits hydrauliques cherchent à minimiser les pertes de charge singulières en utilisant des coudes à grand rayon de courbure plutôt que des coudes brusques, car leur coefficient \(K\) est beaucoup plus faible.

FAQ
D'où viennent ces valeurs de K ?

Elles sont le fruit de nombreuses campagnes d'essais en laboratoire. Pour chaque type d'accident (coude, vanne, etc.), des mesures de pression sont effectuées en amont et en aval pour différentes vitesses afin de déterminer expérimentalement la perte d'énergie et en déduire le coefficient K.

Résultat Final
La somme des coefficients de pertes de charge singulières est \(\Sigma K = 3.3\).
A vous de jouer

Si on ajoutait une vanne semi-ouverte dans le circuit (avec un \(K_{\text{vanne}} = 2.1\)), quelle serait la nouvelle valeur de \(\Sigma K\) ?

Question 3 : Détermination de la vitesse et du débit

Principe

La vitesse \(v\) dépend du coefficient de frottement \(\lambda\), qui lui-même dépend de la vitesse via le nombre de Reynolds. On ne peut donc pas résoudre directement. Il faut utiliser une méthode itérative : on suppose une valeur de \(\lambda\), on calcule \(v\), puis on recalcule \(\lambda\) avec cette nouvelle vitesse, et on répète le processus jusqu'à ce que la valeur de \(\lambda\) se stabilise.

Mini-Cours

Le coefficient de frottement \(\lambda\) pour un écoulement turbulent est donné par l'équation de Colebrook-White. Comme elle est implicite ( \(\lambda\) apparaît des deux côtés), on utilise souvent des approximations (comme celle de Swamee-Jain) ou des outils graphiques comme le diagramme de Moody, qui représente \(\lambda\) en fonction du nombre de Reynolds \(Re\) et de la rugosité relative \(\varepsilon/D\).

Remarque Pédagogique

L'approche itérative peut sembler complexe, mais elle converge très rapidement. En général, deux ou trois itérations suffisent pour obtenir une précision excellente. Le choix de la valeur initiale de \(\lambda\) n'est pas critique, mais une bonne estimation accélère la convergence.

Normes

L'équation de Colebrook-White est la référence quasi-universelle dans les normes et codes de calcul (comme les normes ISO ou les recommandations professionnelles) pour le calcul du coefficient de perte de charge régulière en régime turbulent dans les conduites industrielles.

Formule(s)

Nous combinons les résultats précédents :

\[ z_A - z_B = \left( \lambda \frac{L_{\text{tot}}}{D} + \Sigma K \right) \frac{v^2}{2g} \]

Le nombre de Reynolds est nécessaire :

\[ Re = \frac{vD}{\nu} \]

Le coefficient de frottement est donné par l'équation de Colebrook :

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses

On suppose que l'écoulement est en régime turbulent rugueux, ce qui est très probable pour de l'eau dans une conduite de cette taille à une vitesse non négligeable. Cette hypothèse justifie l'utilisation de l'équation de Colebrook-White.

Donnée(s)

On rassemble toutes les données nécessaires au calcul :

  • Dénivellation motrice : \(H = z_A - z_B = 8 \text{ m}\)
  • Diamètre : \(D = 0.1 \text{ m}\)
  • Longueur : \(L_{\text{tot}} = 25 \text{ m}\)
  • Rugosité : \(\varepsilon = 0.00015 \text{ m}\) (soit \(\varepsilon/D = 0.0015\))
  • Viscosité : \(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}\)
  • Coefficients singuliers : \(\Sigma K = 3.3\)
Astuces

Pour une première estimation, on peut ignorer les pertes de charge régulières (\(\lambda=0\)) pour avoir une vitesse maximale théorique, puis utiliser cette vitesse pour un premier calcul de \(Re\) et \(\lambda\). Une autre astuce est de prendre une valeur de \(\lambda\) "moyenne" pour les tuyaux industriels, comme 0.02.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Système de Siphon
zAzBAB
Calcul(s)

On procède par itérations. On part d'une estimation de \(\lambda = 0.02\).

Itération\(\lambda\) (supposé)Calcul de \(v\) (m/s)Calcul de \(Re\)\(\lambda\) (calculé via Colebrook)Convergence ?
10.020\(v = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.81 \cdot 8}{0.020 \frac{25}{0.1} + 3.3}} = 4.35\)\(4.35 \times 10^5\)0.022Non
20.022\(v = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.81 \cdot 8}{0.022 \frac{25}{0.1} + 3.3}} = 4.22\)\(4.22 \times 10^5\)0.022Oui

La valeur de \(\lambda\) converge vers 0.022. Nous adoptons donc la vitesse \(v = 4.22 \text{ m/s}\).

Calcul du débit

\[ \begin{aligned} Q &= v \times A \\ &= v \times \frac{\pi D^2}{4} \\ &= 4.22 \times \frac{\pi (0.1)^2}{4} \\ &\approx 0.0331 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de fonctionnement sur le Diagramme de Moody
<-- Axes -->Nombre de Reynolds (Re)Coefficient de Friction (λ)ε/D = 0.0015Re=4.22e5λ=0.022
Réflexions

Le débit de 33.1 L/s est conséquent, il permettrait de vider une piscine de 50 m³ en environ 25 minutes. On note aussi que les pertes de charge régulières (\(\lambda L/D = 0.022 \times 25 / 0.1 = 5.5\)) sont supérieures aux pertes singulières (\(\Sigma K = 3.3\)), ce qui est fréquent pour les conduites relativement longues.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur d'unité dans le calcul de la rugosité relative \(\varepsilon/D\) (mm et m). Assurez-vous que les deux sont dans la même unité. De plus, une erreur dans la formule de Colebrook (log vs ln, etc.) est fréquente.

Points à retenir

La détermination du débit dans une conduite est un problème implicite qui nécessite une méthode itérative. La procédure consiste à supposer \(\lambda\), calculer \(v\), puis recalculer \(\lambda\) jusqu'à convergence.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, publié en 1944, a été une avancée considérable car il a permis aux ingénieurs de résoudre graphiquement l'équation complexe de Colebrook-White, bien avant l'avènement des calculatrices programmables et des ordinateurs.

FAQ
Que se passe-t-il si l'écoulement est laminaire ?

Si le nombre de Reynolds est inférieur à 2300, l'écoulement est laminaire. Dans ce cas, le calcul est plus simple car le coefficient de frottement ne dépend que de Re : \(\lambda = 64/Re\). Le problème reste itératif mais la formule est plus directe.

Résultat Final
La vitesse d'écoulement est \(v \approx 4.22 \text{ m/s}\) et le débit volumique est \(Q \approx 33.1 \text{ L/s}\).
A vous de jouer

En gardant \(\lambda = 0.022\), quel serait le débit si la conduite était deux fois plus longue (\(L=50\) m) ?

Question 4 : Calcul de la pression au sommet S

Principe

Pour trouver la pression en un point inconnu du circuit (S), on applique l'équation de Bernoulli entre un point connu (A) et ce point S. La pression en S sera influencée par la différence d'altitude et les pertes de charge entre A et S.

Mini-Cours

La ligne de charge (ou ligne d'énergie totale, EGL) représente la charge totale \((P/\rho g + v^2/2g + z)\) le long de la conduite. Elle est toujours décroissante. La ligne piézométrique (HGL) représente la charge piézométrique \((P/\rho g + z)\). La distance verticale entre la conduite et la ligne piézométrique indique la pression dans le tuyau. Si la ligne piézométrique passe en dessous de la conduite, la pression est négative (dépression).

Remarque Pédagogique

Le point le plus haut d'un siphon est toujours le point le plus critique en termes de pression. C'est là que la pression sera la plus faible, car le fluide doit "monter" jusqu'à ce point, convertissant son énergie de pression en énergie potentielle.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique, mais le calcul de la pression minimale est une étape obligatoire dans la conception de tout système de tuyauterie pour éviter la cavitation et garantir l'intégrité structurelle de la conduite en cas de forte dépression.

Formule(s)

L'équation de Bernoulli entre A et S est :

\[ \frac{P_A}{\rho g} + \frac{v_A^2}{2g} + z_A = \frac{P_S}{\rho g} + \frac{v_S^2}{2g} + z_S + \Delta H_{A \to S} \]

Les pertes de charge de A à S incluent l'entrée et un coude :

\[\Delta H_{A \to S} = \left( \lambda \frac{L_{AS}}{D} + K_{\text{ent}} + K_{\text{coude}} \right) \frac{v^2}{2g}\]
Hypothèses

On suppose que la vitesse \(v = 4.22 \text{ m/s}\) est constante sur toute la longueur de la conduite. On considère qu'un seul des deux coudes se situe entre A et S.

Donnée(s)

On utilise les données suivantes :

  • \(P_A = P_{\text{atm}} = 101325 \text{ Pa}\)
  • \(v_A = 0\), \(v_S = v = 4.22 \text{ m/s}\)
  • \(z_A = 10 \text{ m}\), \(z_S = 12 \text{ m}\)
  • \(L_{AS} = 7 \text{ m}\)
  • \(\lambda = 0.022\), \(K_{\text{ent}} = 0.5\), \(K_{\text{coude}} = 0.9\)
Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, il est souvent plus simple de calculer chaque terme (hauteur de pression, hauteur cinétique, pertes de charge) séparément avant de les regrouper dans l'équation finale.

Schéma (Avant les calculs)
Section d'étude A → S
zA = 10mzS = 12mAS
Calcul(s)

On isole \(\frac{P_S}{\rho g}\) (la hauteur de pression en S) :

\[ \frac{P_S}{\rho g} = \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} + (z_A - z_S) - \left( 1 + \lambda \frac{L_{AS}}{D} + K_{\text{ent}} + K_{\text{coude}} \right) \frac{v^2}{2g} \]

On remplace par les valeurs numériques :

\[ \begin{aligned} \frac{P_S}{9810} &= \frac{101325}{9810} + (10 - 12) - \left( 1 + 0.022 \frac{7}{0.1} + 0.5 + 0.9 \right) \frac{4.22^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 10.33 - 2 - (1 + 1.54 + 0.5 + 0.9) \times 0.908 \\ &= 8.33 - (3.94 \times 0.908) \\ &= 8.33 - 3.58 \\ &= 4.75 \text{ mCE} \end{aligned} \]

Ceci est la hauteur de pression. La pression absolue est :

\[ \begin{aligned} P_{S, \text{abs}} &= 4.75 \times 9810 \\ &\approx 46598 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de Charge et Ligne Piézométrique
zAzBEGLHGLPression en S < 0 (Dépression)
Réflexions

La pression absolue au sommet (environ 46.6 kPa) est inférieure à la moitié de la pression atmosphérique (101.3 kPa). Cela signifie que le siphon crée une forte "aspiration" à son point le plus haut pour permettre à l'eau de franchir cet obstacle.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de mal calculer les pertes de charge \(\Delta H_{A \to S}\) en oubliant un composant ou en utilisant la longueur totale \(L_{\text{tot}}\) au lieu de \(L_{AS}\). Il faut aussi faire attention à la différence entre pression absolue et relative.

Points à retenir

La pression en un point d'une conduite dépend de l'altitude de ce point et de toutes les pertes d'énergie en amont. Le point le plus haut est généralement le plus critique car il a la plus faible pression.

Le saviez-vous ?

La hauteur maximale théorique à laquelle un siphon peut élever l'eau à la pression atmosphérique normale est d'environ 10.3 mètres. En pratique, à cause des pertes de charge et du risque de cavitation, cette hauteur est limitée à environ 7 ou 8 mètres.

FAQ
Pouvait-on calculer la pression en partant du point B ?

Oui, mais c'est plus complexe. Il faudrait appliquer Bernoulli entre S et B. L'équation serait \( \frac{P_S}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z_S = \frac{P_B}{\rho g} + 0 + z_B + \Delta H_{S \to B} \). Il faudrait calculer les pertes de charge de S à B, ce qui donnerait le même résultat mais avec plus d'étapes.

Résultat Final
La pression absolue au sommet S est de \(P_{S, \text{abs}} \approx 46.6 \text{ kPa}\).
A vous de jouer

En gardant les mêmes pertes de charge, quelle serait la pression absolue en S (en kPa) si le sommet était à \(z_S = 13\) m ?

Question 5 : Vérification du risque de cavitation

Principe

La cavitation est la "vaporisation" de l'eau à basse pression. Elle se produit si la pression absolue en un point du circuit descend en dessous de la pression de vapeur saturante du liquide. Le point le plus susceptible est le sommet S, car c'est le point de plus basse pression.

Mini-Cours

La pression de vapeur saturante (\(P_v\)) est la pression à laquelle un liquide et sa vapeur sont en équilibre à une température donnée. Si la pression du liquide tombe en dessous de \(P_v\), il se met à bouillir, même à température ambiante. Pour l'eau à 20°C, cette pression est très faible (2340 Pa), mais elle augmente rapidement avec la température.

Remarque Pédagogique

La vérification de la cavitation est une étape de sécurité cruciale. Un siphon qui cavite devient bruyant, son débit devient instable, et il peut se désamorcer complètement si la poche de vapeur devient trop grande.

Normes

En ingénierie des pompes, un concept lié est le NPSH (Net Positive Suction Head), qui représente la marge de pression au-dessus de la pression de vapeur à l'entrée d'une pompe pour éviter la cavitation. Les fabricants de pompes spécifient un NPSH requis (\(NPSH_r\)) que l'installation doit fournir.

Formule(s)

Le critère de non-cavitation est simple :

\[ P_{S, \text{abs}} > P_v \]
Hypothèses

On suppose que la température de l'eau reste constante à 20°C tout au long du circuit, et donc que la pression de vapeur saturante est bien de 2340 Pa.

Donnée(s)

On compare la pression absolue calculée à la question précédente avec la pression de vapeur saturante :

  • Pression absolue au sommet S : \(P_{S, \text{abs}} = 46598 \text{ Pa}\)
  • Pression de vapeur saturante : \(P_v = 2340 \text{ Pa}\)
Astuces

Une règle simple est de s'assurer que la hauteur d'aspiration (différence d'altitude entre le sommet et le réservoir amont, plus les pertes de charge) reste bien en dessous de la hauteur de pression atmosphérique (environ 10.3 m).

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Pressions au Sommet S
Pression en SPS,absPression VapeurPv>
Calcul(s)

La comparaison est directe :

\[ 46598 \text{ Pa} > 2340 \text{ Pa} \]

La condition est vérifiée.

Schéma (Après les calculs)
Vérification Graphique de la Cavitation
zAHGLPv/ρgMarge de sécurité
Réflexions

La marge de sécurité est importante (\(46598 - 2340 = 44258\) Pa, soit environ 4.5 m de colonne d'eau). Le système est donc robuste face au risque de cavitation dans les conditions données. Si le sommet S était plus élevé, cette marge diminuerait.

Points de vigilance

Toujours comparer des pressions de même nature : absolue avec absolue. Comparer la pression relative à la pression de vapeur est une erreur grave qui mènerait à des conclusions erronées.

Points à retenir

La cavitation est un risque majeur dans les siphons et les aspirations de pompes. Elle est évitée en s'assurant que la pression absolue du liquide reste toujours supérieure à sa pression de vapeur saturante, en particulier au point le plus haut du circuit.

Le saviez-vous ?

La cavitation n'est pas seulement un problème de désamorçage. Lorsque les bulles de vapeur implosent dans des zones de plus haute pression, elles créent des micro-jets de liquide extrêmement violents qui peuvent éroder et détruire les parois des conduites ou les aubes des pompes, un phénomène comparable à un micro-martelage.

FAQ
Que se passe-t-il si l'eau est plus chaude ?

Si la température de l'eau augmente, sa pression de vapeur saturante \(P_v\) augmente aussi (par exemple, à 80°C, \(P_v \approx 47.4\) kPa). Dans ce cas, notre siphon caviterait car la pression au sommet (46.6 kPa) serait inférieure à \(P_v\).

Résultat Final
Comme \(P_{S, \text{abs}} > P_v\), il n'y a pas de risque de cavitation. Le siphon fonctionnera correctement sans se désamorcer.
A vous de jouer

À partir de quelle altitude \(z_S\) (en mètres) la cavitation commencerait-elle à apparaître dans ce système ? (Indice: cherchez le \(z_S\) qui rend \(P_{S, \text{abs}} = P_v\))

Outil Interactif : Simulateur de Siphon

Utilisez les curseurs pour modifier l'altitude du sommet du siphon et le diamètre de la conduite. Observez comment le débit et la pression au sommet sont affectés. La ligne rouge sur le graphique indique la limite de cavitation.

Paramètres d'Entrée
12.0 m
100 mm
Résultats Clés
Débit (L/s) -
Pression au sommet (kPa abs.) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un siphon, l'écoulement est principalement causé par :

2. La cavitation se produit lorsque :

3. Si on augmente la rugosité de la conduite, le débit du siphon va :

4. Le point où la pression est la plus faible dans un siphon est généralement :

5. Les pertes de charge dites "singulières" sont dues :

Glossaire

Cavitation
Phénomène de formation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de sa pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles peut endommager les canalisations.
Charge Hydraulique
Énergie totale d'un fluide par unité de poids, exprimée en mètres. C'est la somme de la hauteur de pression (\(P/\rho g\)), de la hauteur cinétique (\(v^2/2g\)) et de la hauteur géodésique (\(z\)).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour caractériser le régime d'un écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent). Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Pertes de Charge
Perte d'énergie d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes régulières) et aux accidents de parcours comme les coudes ou vannes (pertes singulières).
Siphon
Dispositif permettant de transférer un liquide d'un réservoir à un autre situé à un niveau inférieur, en passant par un point plus élevé, grâce à la pression atmosphérique et la gravité.
Analyse d’un Système de Siphon

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