ÉTUDE HYDRAULIQUE

Rendement Volumétrique d’une Pompe Usée

Exercice: Rendement Pompe Usée

Rendement Volumétrique d’une Pompe Usée

Contexte : Le Rendement VolumétriqueLe rapport entre le débit réel fourni par la pompe et son débit théorique (calculé à partir de sa cylindrée et sa vitesse). en Oléohydraulique.

En hydraulique de puissance, les pompes sont le cœur du système. Avec le temps, l'usure interne (entre les pistons et les chemises, les engrenages et le carter, etc.) provoque des fuites. Ces fuites internesLe débit d'huile qui retourne à l'aspiration ou au drain à l'intérieur de la pompe au lieu d'être envoyé vers le circuit, à cause des jeux d'usure. font chuter le débit réel de la pompe pour une vitesse de rotation donnée. Le rendement volumétrique est l'indicateur clé pour diagnostiquer cette usure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier l'usure d'une pompe en calculant son rendement volumétrique à partir de données constructeur et de mesures de test. Vous apprendrez à différencier le débit théorique du débit réel et à calculer un débit de fuite.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la cylindrée d'une pompe à partir de ses données nominales.
  • Calculer un débit de fuite interne en comparant le débit théorique et le débit réel.
  • Déterminer le rendement volumétrique d'une pompe usée.
  • Quantifier la chute de performance par rapport à l'état neuf.
  • Comprendre l'impact de la pression sur les fuites (modèle simplifié).

Données de l'étude

Nous étudions une pompe hydraulique à pistons axiaux utilisée sur une presse. Après 10 000 heures de service, des ralentissements sont observés. Un technicien effectue un test sur un banc d'essai.

Fiche Technique (Constructeur)
Caractéristique Valeur
Type de pompe Pompe à pistons, cylindrée variable
Débit théorique max (\(Q_{\text{th\_constructeur}}\)) 45 L/min
Vitesse de rotation nominale (\(N_{\text{th}}\)) 1500 tr/min
Pression de service max (\(P_{\text{max}}\)) 350 bar
Rendement volumétrique (neuf) ~95% (à \(P_{\text{max}}\) et \(N_{\text{th}}\))
Schéma de principe du test de pompe
Réservoir M Moteur (N) P Pompe usée Q Débitmètre P Manomètre Valve (200 bar)
Paramètre de Test Symbole Valeur Unité
Vitesse de rotation du test \(N_{\text{test}}\) 1500 tr/min
Pression de réglage du test \(P_{\text{test}}\) 200 bar
Débit réel mesuré (au débitmètre) \(Q_{\text{reel\_mesure}}\) 38.5 L/min

Questions à traiter

  1. Calculer la cylindrée (\(V_c\)) de la pompe en cm³/tr.
  2. Calculer le débit de fuite interne (\(Q_f\)) en L/min lors du test.
  3. Calculer le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) de la pompe usée lors du test.
  4. Calculer la chute de rendement (en points de %) par rapport à l'état neuf.
  5. En supposant une relation linéaire simple (\(Q_f = C_f \times P\)), estimer le coefficient de fuite (\(C_f\)) de la pompe usée en (L/min)/bar.

Les bases sur le Rendement Volumétrique

La performance d'une pompe n'est jamais parfaite. Le rendement volumétrique est un des indicateurs clés pour la mesurer.

1. Débit Théorique (\(Q_{\text{th}}\))
C'est le débit idéal que la pompe devrait fournir. Il ne dépend que de la géométrie (cylindrée) et de la vitesse de rotation. Il ne prend pas en compte les fuites. \[ Q_{\text{th}} = V_c \times N \] Où \(V_c\) est la cylindrée (ex: cm³/tr) et \(N\) la vitesse (ex: tr/min).

2. Débit de Fuite (\(Q_f\))
C'est le volume d'huile qui, à cause de l'usure et des jeux internes, n'est pas expulsé vers le circuit mais retourne à l'aspiration (ou au drain). Ce débit augmente avec la pression et l'usure.

3. Débit Réel (\(Q_{\text{reel}}\))
C'est le débit que l'on mesure concrètement à la sortie de la pompe. C'est le débit théorique moins les fuites. \[ Q_{\text{reel}} = Q_{\text{th}} - Q_f \]

4. Rendement Volumétrique (\(\eta_v\))
C'est le rapport (souvent en %) entre ce qui sort réellement et ce qui aurait dû sortir idéalement. \[ \eta_v = \frac{Q_{\text{reel}}}{Q_{\text{th}}} \times 100\% \] Un rendement de 100% signifierait zéro fuite (pompe parfaite, impossible). Un rendement faible (ex: 70%) indique une pompe très usée.

Correction : Rendement Volumétrique d’une Pompe Usée

Question 1 : Calculer la cylindrée (\(V_c\)) de la pompe en cm³/tr.

Principe

La cylindrée (\(V_c\)) est le volume de fluide que la pompe est censée déplacer en un tour complet. C'est une caractéristique géométrique fixe de la pompe. On peut la trouver à partir du débit théorique (constructeur) et de la vitesse de rotation correspondante.

Mini-Cours

La cylindrée est le "moteur" de la pompe. Si une pompe a une cylindrée de 30 cm³/tr, cela signifie qu'à chaque tour, elle aspire et refoule (théoriquement) 30 cm³ d'huile. La relation fondamentale est : Débit Théorique = Cylindrée × Vitesse. \(Q_{\text{th}} = V_c \times N\). Pour trouver la cylindrée, on inverse la formule : \(V_c = Q_{\text{th}} / N\).

Remarque Pédagogique

Pour ce calcul, nous utilisons exclusivement les données "constructeur" ou "nominales" (\(Q_{\text{th\_constructeur}}\) et \(N_{\text{th}}\)). Ces données décrivent la pompe à l'état neuf et idéal. On n'utilise pas encore les mesures du test de la pompe usée.

Normes

Il n'y a pas de "norme" à proprement parler pour ce calcul, mais une convention universelle en hydraulique. Il est crucial d'être cohérent avec les unités. Les cylindrées sont presque toujours exprimées en cm³/tr (centimètres cubes par tour).

Formule(s)

La formule principale est l'inversion de la formule du débit théorique.

Cylindrée

\[ V_c = \frac{Q_{\text{th\_constructeur}}}{N_{\text{th}}} \]
Hypothèses

Pour cette question, nous faisons l'hypothèse que les données constructeur sont exactes et représentent le fonctionnement théorique parfait (sans fuite) de la pompe.

  • Les données \(Q_{\text{th\_constructeur}}\) et \(N_{\text{th}}\) sont fiables.
  • Ces données décrivent un fonctionnement idéal (\(\eta_v = 100\%\) pour ce débit théorique).
Donnée(s)

Nous extrayons les données de la "Fiche Technique (Constructeur)".

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit théorique constructeur\(Q_{\text{th\_constructeur}}\)45L/min
Vitesse de rotation nominale\(N_{\text{th}}\)1500tr/min
Astuces

Attention aux unités ! La question demande des cm³/tr, mais le débit est donné en L/min. Le plus simple est de calculer d'abord \(V_c\) en L/tr (Litres par tour), puis de convertir le résultat en cm³/tr en sachant que \(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\).

Schéma (Avant les calculs)

Cette première étape est un calcul direct basé sur des données nominales. Elle ne nécessite pas de schéma d'analyse structurelle.

Calcul(s)

Nous allons détailler chaque étape, en montrant d'abord la formule, puis la substitution des valeurs de l'énoncé, et enfin le résultat.

Étape 1 : Calcul de la cylindrée en L/tr

On part de la formule de base qui lie débit, vitesse et cylindrée :

\[ V_c = \frac{Q_{\text{th\_constructeur}}}{N_{\text{th}}} \]

On substitue les valeurs des données (Qth = 45 L/min, N = 1500 tr/min) :

\[ V_c = \frac{45 \text{ L/min}}{1500 \text{ tr/min}} \]

On obtient le résultat en Litres par tour (L/tr) :

\[ V_c = 0.03 \text{ L/tr} \]

Étape 2 : Conversion en cm³/tr

Maintenant, nous convertissons les Litres en centimètres cubes. On sait que \(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\). On multiplie donc notre résultat par 1000 :

\[ V_c = 0.03 \frac{\text{L}}{\text{tr}} \times 1000 \frac{\text{cm}^3}{\text{L}} \]

Le résultat final pour la cylindrée est :

\[ V_c = 30 \text{ cm}^3/\text{tr} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce résultat est une constante de la pompe, pas un diagramme.

Réflexions

Nous avons déterminé que la pompe est un modèle de 30 cm³/tr. C'est une valeur fixe qui ne changera pas, que la pompe soit neuve ou usée. C'est la "carte d'identité" géométrique de la pompe. Nous allons utiliser cette valeur comme base pour tous les calculs suivants.

Points de vigilance

Ne pas confondre les données nominales (constructeur, 45 L/min) avec les données mesurées lors du test (38.5 L/min). La cylindrée se calcule TOUJOURS avec les données théoriques/nominales.

Points à retenir
  • La cylindrée \(V_c\) est une constante géométrique de la pompe.
  • Formule clé : \(V_c = Q_{\text{th}} / N\).
  • Attention à la conversion L/min en cm³/tr (facteur 1000).
Le saviez-vous ?

Sur les pompes à cylindrée variable (comme celle-ci), ce "30 cm³/tr" représente la cylindrée *maximale* (quand la pompe est "à fond"). Le mécanisme de variation (plateau inclinable) permet de réduire cette cylindrée, parfois jusqu'à 0 cm³/tr, sans changer la vitesse de rotation du moteur.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi ne pas utiliser le débit mesuré (38.5 L/min) pour calculer la cylindrée ?

Parce que le débit mesuré est le débit *réel* de la pompe *usée*. Il inclut l'effet des fuites. La cylindrée, elle, est une définition *théorique* et géométrique, elle doit donc être calculée à partir du débit *théorique* (celui sans fuite).

Que se passe-t-il si la vitesse nominale était différente ?

Si le constructeur avait donné 90 L/min à 3000 tr/min, le calcul serait \(V_c = 90 / 3000 = 0.03 \text{ L/tr}\). Le résultat serait le même, car la cylindrée est une constante. Le débit théorique est toujours proportionnel à la vitesse.

Résultat Final
La cylindrée de la pompe est de 30 \(\text{cm}^3/\text{tr}\).
A vous de jouer

Si une pompe a un débit nominal de 60 L/min à 2000 tr/min, quelle est sa cylindrée en cm³/tr ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Définition de la cylindrée (\(V_c\)).
  • Formule Essentielle : \(V_c = Q_{\text{th}} / N\).
  • Point de Vigilance Majeur : Utiliser les données théoriques/nominales. Conversion L -> cm³.

Question 2 : Calculer le débit de fuite interne (\(Q_f\)) en L/min lors du test.

Principe

Le débit de fuite est la "perte" de débit. C'est la différence entre ce que la pompe *devrait* fournir (débit théorique) et ce qu'elle fournit *réellement* (débit réel mesuré) dans les conditions de test (vitesse et pression données).

Mini-Cours

Comme vu dans les bases, le débit réel est la conséquence des fuites : \(Q_{\text{reel}} = Q_{\text{th}} - Q_f\). Pour trouver le débit de fuite, il suffit de réarranger cette formule : \(Q_f = Q_{\text{th}} - Q_{\text{reel}}\). Le point clé est de calculer le \(Q_{\text{th}}\) *aux conditions de test* (bonne vitesse) et d'utiliser le \(Q_{\text{reel}}\) *mesuré* pendant ce même test.

Remarque Pédagogique

Nous avons maintenant deux "débits théoriques" : celui du constructeur (45 L/min à 1500 tr/min) et celui que nous devons calculer pour notre test. Nous devons d'abord calculer le débit théorique que la pompe *devrait* avoir à la vitesse de test (\(N_{\text{test}}\)) en utilisant la cylindrée (\(V_c\)) que nous venons de trouver à la Q1.

Normes

Les tests de performance des pompes hydrauliques sont souvent standardisés (par ex: ISO 4409), mais le principe de calcul du débit de fuite reste une application physique de base : (Idéal - Réel = Perte).

Formule(s)

Nous avons besoin de deux formules : d'abord calculer le débit théorique aux conditions de test, puis calculer la fuite.

Débit Théorique (au test)

\[ Q_{\text{th\_test}} = V_c \times N_{\text{test}} \]

Débit de Fuite

\[ Q_f = Q_{\text{th\_test}} - Q_{\text{reel\_mesure}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les instruments de mesure (débitmètre, tachymètre) sont précis et que le test est effectué à des conditions stabilisées.

  • La cylindrée \(V_c = 30 \text{ cm}^3/\text{tr}\) (calculée en Q1) est correcte.
  • Les mesures (\(N_{\text{test}}\), \(Q_{\text{reel\_mesure}}\)) sont fiables.
Donnée(s)

Nous utilisons nos résultats de Q1 et les données du "Test sur banc".

ParamètreSymboleValeurUnité
Cylindrée (de Q1)\(V_c\)30cm³/tr
Vitesse de rotation du test\(N_{\text{test}}\)1500tr/min
Débit réel mesuré\(Q_{\text{reel\_mesure}}\)38.5L/min
Astuces

La vitesse de test (1500 tr/min) est la même que la vitesse nominale constructeur. Cela simplifie les choses ! Le débit théorique *au test* (\(Q_{\text{th\_test}}\)) sera donc logiquement le même que le débit nominal constructeur (\(Q_{\text{th\_constructeur}}\)). On peut le vérifier par le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter le débit théorique comme un "gros" vecteur, dont une partie est perdue (fuite), laissant le débit réel plus petit.

Visualisation des débits
Q Théorique (Idéal) 45.0 L/min Q Réel (Mesuré) 38.5 L/min Qf ?
Calcul(s)

Le calcul se fait en deux temps : d'abord trouver le débit théorique pour les conditions de test, puis le soustraire du débit réel mesuré.

Étape 1 : Calcul du débit théorique (au test)

On utilise la formule avec la cylindrée (\(V_c\)) de Q1 et la vitesse de test (\(N_{\text{test}}\)) :

\[ Q_{\text{th\_test}} = V_c \times N_{\text{test}} \]

On substitue les valeurs (Vc = 30 cm³/tr, Ntest = 1500 tr/min). Attention à la conversion d'unités !

\[ Q_{\text{th\_test}} = 30 \frac{\text{cm}^3}{\text{tr}} \times 1500 \frac{\text{tr}}{\text{min}} \]

On obtient le débit en cm³/min :

\[ Q_{\text{th\_test}} = 45000 \frac{\text{cm}^3}{\text{min}} \]

On convertit les cm³/min en L/min (en divisant par 1000) :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{th\_test}} &= \frac{45000 \text{ cm}^3/\text{min}}{1000 \text{ cm}^3/\text{L}} \\ &= 45 \text{ L/min} \end{aligned} \]

(Note : Comme prévu dans l'astuce, on retrouve bien les 45 L/min des données constructeur, car la vitesse est la même).

Étape 2 : Calcul du débit de fuite

C'est la différence entre l'idéal (théorique) et le réel (mesuré). On utilise la formule :

\[ Q_f = Q_{\text{th\_test}} - Q_{\text{reel\_mesure}} \]

On substitue le débit théorique qu'on vient de calculer (45 L/min) et le débit réel mesuré sur le banc (38.5 L/min) :

\[ Q_f = 45 \text{ L/min} - 38.5 \text{ L/min} \]

Le résultat est le débit "perdu" à cause de l'usure :

\[ Q_f = 6.5 \text{ L/min} \]
Schéma (Après les calculs)

En reprenant le schéma précédent avec la valeur calculée :

Répartition des débits au test
Q Théorique (45.0 L/min) Q Réel (38.5 L/min) + Fuite (6.5 L/min) 38.5 6.5
Réflexions

La pompe "perd" 6.5 Litres par minute à cause de l'usure interne lorsqu'elle fonctionne à 1500 tr/min et 200 bar. Ce débit de fuite est significatif. C'est ce qui explique le ralentissement des vérins sur la presse.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser le mauvais débit théorique. Il faut toujours calculer le débit théorique pour la vitesse du test (\(N_{\text{test}}\)), et non utiliser une valeur "par défaut". Ici, c'était la même, mais si le test avait été fait à 1000 tr/min, le \(Q_{\text{th\_test}}\) aurait été de \(30 \text{ cm}^3/\text{tr} \times 1000 \text{ tr/min} = 30 \text{ L/min}\).

Points à retenir
  • Formule clé : \(Q_f = Q_{\text{th}} - Q_{\text{reel}}\).
  • Le débit de fuite est la différence entre l'idéal et le réel.
  • Toujours calculer \(Q_{\text{th}}\) avec la vitesse de l'essai (\(N_{\text{test}}\)).
Le saviez-vous ?

Ce débit de fuite interne se transforme presque intégralement en chaleur ! Les 6.5 L/min fuyant à 200 bar créent une puissance thermique (\(P = Q \times \Delta P\)) d'environ 2.17 kW. Une pompe usée non seulement ralentit le système, mais elle le fait aussi chauffer davantage.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Est-ce que 6.5 L/min de fuite, c'est beaucoup ?

Nous ne pouvons pas encore le dire. C'est une valeur absolue. Pour savoir si c'est "beaucoup", il faut la comparer au débit total que la pompe devrait fournir. C'est tout l'objet de la question 3 : le rendement.

Pourquoi le test est-il fait à 200 bar et pas 350 bar (Pmax) ?

Souvent pour des raisons de sécurité du banc d'essai, ou parce que 200 bar est la pression de travail moyenne de la machine. Le débit de fuite augmente avec la pression, donc un test à 350 bar aurait probablement montré un débit de fuite encore plus grand.

Résultat Final
Le débit de fuite interne lors du test est de 6.5 L/min.
A vous de jouer

Si, à 1500 tr/min, un autre test sur une pompe identique mais *moins* usée avait mesuré 42 L/min, quel aurait été son débit de fuite ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Débit de fuite.
  • Formule Essentielle : \(Q_f = Q_{\text{th\_test}} - Q_{\text{reel\_mesure}}\).
  • Point de Vigilance Majeur : Utiliser \(Q_{\text{th}}\) à \(N_{\text{test}}\) et \(Q_{\text{reel}}\) mesuré.

Question 3 : Calculer le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) de la pompe usée lors du test.

Principe

Le rendement volumétrique est le "bulletin de santé" de la pompe. Il exprime en pourcentage l'efficacité de la pompe à transformer sa rotation en débit. C'est le rapport entre le débit qui sort vraiment (le Réel) et le débit qui aurait dû sortir (le Théorique).

Mini-Cours

La formule, comme vue dans les bases, est simple : \(\eta_v = Q_{\text{reel}} / Q_{\text{th}}\). Plus ce chiffre est proche de 1 (ou 100%), moins il y a de fuites et meilleure est la pompe. Une pompe neuve a un \(\eta_v\) élevé (ex: 95-98%). Une pompe très usée aura un \(\eta_v\) bas (ex: < 80%).

Remarque Pédagogique

Pour ce calcul, nous avons déjà toutes les pièces du puzzle ! Nous avons le débit réel mesuré (\(Q_{\text{reel\_mesure}}\)) et nous avons le débit théorique calculé aux conditions de test (\(Q_{\text{th\_test}}\)). Il ne reste qu'à faire la division.

Normes

Le rendement est une grandeur adimensionnelle (un rapport), mais il est universellement exprimé en pourcentage (%) pour une lecture plus facile. On multiplie donc le rapport par 100.

Formule(s)

La formule fondamentale du rendement volumétrique.

Rendement Volumétrique

\[ \eta_v = \frac{Q_{\text{reel\_mesure}}}{Q_{\text{th\_test}}} \times 100\% \]
Hypothèses

Nous supposons que les calculs des Q1 et Q2 sont corrects et que les mesures sont fiables.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données des questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit réel mesuré\(Q_{\text{reel\_mesure}}\)38.5L/min
Débit théorique (au test)\(Q_{\text{th\_test}}\)45L/min
Astuces

Il existe une autre façon de calculer \(\eta_v\) : en utilisant le débit de fuite. Comme \(Q_{\text{reel}} = Q_{\text{th}} - Q_f\), la formule devient \(\eta_v = (Q_{\text{th}} - Q_f) / Q_{\text{th}} = 1 - (Q_f / Q_{\text{th}})\). En utilisant \(Q_f = 6.5 \text{ L/min}\), on a : \[ \begin{aligned} \eta_v &= 1 - \frac{6.5}{45} \\ &\approx 1 - 0.1444 \\ &= 0.8556 \end{aligned} \] On retrouve bien le même résultat (85.56%). C'est une bonne vérification !

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser cela comme un "camembert" où la part manquante représente les fuites.

Répartition du débit théorique
85.6% RÉEL Q_reel (85.6%) Q_fuite (14.4%)
Calcul(s)

Nous appliquons la définition du rendement volumétrique en utilisant les valeurs de débit (Réel et Théorique) que nous connaissons.

Étape 1 : Calcul du rapport

On part de la formule du rendement. C'est le rapport du réel sur l'idéal :

\[ \eta_v = \frac{Q_{\text{reel\_mesure}}}{Q_{\text{th\_test}}} \]

On substitue le débit réel (38.5 L/min) et le débit théorique (45 L/min). Les unités (L/min) doivent être les mêmes pour s'annuler :

\[ \eta_v = \frac{38.5 \text{ L/min}}{45 \text{ L/min}} \]

On obtient un rapport adimensionnel (un simple nombre) :

\[ \eta_v \approx 0.8555... \]

Étape 2 : Conversion en pourcentage

Pour une lecture plus facile, on multiplie ce rapport par 100 :

\[ \begin{aligned} \eta_v &= 0.8555... \times 100\% \\ &\approx 85.6 \% \end{aligned} \]

Le résultat est le rendement volumétrique (arrondi à une décimale).

Schéma (Après les calculs)

Le graphique en anneau (donut) ci-dessus visualise ce résultat.

Réflexions

Un rendement de 85.6% confirme que la pompe est fatiguée. La plupart des constructeurs de presses considèrent qu'une pompe dont le rendement volumétrique chute en dessous de 85% (voire 90% pour des applications critiques) doit être remplacée ou reconditionnée. Nous sommes à la limite.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien diviser le Réel par le Théorique (\(38.5 / 45\)) et non l'inverse. Le rendement (sauf cas très particuliers) est toujours inférieur à 100%. Si vous trouvez 117%, c'est qu'une inversion a été faite.

Points à retenir
  • Formule clé : \(\eta_v = Q_{\text{reel}} / Q_{\text{th}}\).
  • Le rendement est la mesure de l'efficacité (Réel / Idéal).
  • C'est un indicateur clé de l'usure.
Le saviez-vous ?

Il existe aussi un rendement mécaniqueRapport entre la puissance hydraulique théorique et la puissance mécanique réellement fournie à l'arbre de la pompe. Il quantifie les pertes par frottement. (pertes par frottement) et un rendement total (\(\eta_{\text{total}} = \eta_v \times \eta_{\text{meca}}\)). Mais pour diagnostiquer l'usure interne et les fuites, le rendement volumétrique est le plus important.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Ce rendement de 85.6% est-il constant ?

Non. Le débit de fuite (\(Q_f\)) augmente avec la pression. Si le test avait été fait à 300 bar au lieu de 200, \(Q_f\) serait plus grand, et \(\eta_v\) serait donc plus faible. Le rendement volumétrique diminue quand la pression augmente.

Résultat Final
Le rendement volumétrique de la pompe usée est d'environ 85.6 %.
A vous de jouer

Avec la pompe de l'exercice "A vous de jouer" de Q2 (Qth=45, Qreel=42), quel serait le rendement volumétrique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Rendement volumétrique.
  • Formule Essentielle : \(\eta_v = (Q_{\text{reel}} / Q_{\text{th}}) \times 100\).
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours \(\eta_v \le 100\%\). Diviser Réel / Théorique.

Question 4 : Calculer la chute de rendement (en points de %) par rapport à l'état neuf.

Principe

Cette question vise à quantifier la dégradation. Nous allons simplement comparer le "bulletin de santé" actuel (notre \(\eta_v\) calculé) à celui d'une pompe neuve (donné par le constructeur) et calculer la différence.

Mini-Cours

La "chute de rendement" ou "perte de points" est une simple soustraction. \(\Delta \eta_v = \eta_{v\_\text{neuf}} - \eta_{v\_\text{test}}\). Cela donne un chiffre très parlant pour un technicien ou un responsable de maintenance. Dire "le rendement a chuté de 9.4 points" est souvent plus clair que de dire "le rendement est à 85.6%".

Remarque Pédagogique

Il est important de comparer des choses comparables. Le rendement neuf (95%) est donné par le constructeur à pression et vitesse nominale. Notre test (85.6%) a été fait à la même vitesse mais à une pression inférieure (200 bar vs 350 bar). Idéalement, il faudrait comparer à la valeur neuve *à 200 bar*. Mais en l'absence de cette donnée, on utilise la valeur nominale comme référence.

Normes

Pas de norme, c'est une simple arithmétique.

Formule(s)

Une simple soustraction.

Chute de rendement

\[ \Delta \eta_v = \eta_{v\_\text{neuf}} - \eta_{v\_\text{test}} \]
Hypothèses

On suppose que le rendement neuf de 95% est une référence valide pour notre comparaison.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de Q3 et une donnée de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Rendement (neuf)\(\eta_{v\_\text{neuf}}\)95%
Rendement (test) (de Q3)\(\eta_{v\_\text{test}}\)85.6%
Astuces

Attention à ne pas faire un calcul de pourcentage *sur* le pourcentage. On ne calcule pas \( (95 - 85.6) / 95 \). La question demande la chute en "points de %", ce qui signifie une simple soustraction.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la différence.

Chute de Rendement
0% 50% 85.6% 100% Rendement Neuf 95.0% Rendement Usé (Test) 85.6% Chute: 9.4 pts
Calcul(s)

Nous calculons la différence (en "points") entre le rendement neuf et le rendement mesuré.

Calcul de la chute de rendement

On pose la formule de la différence :

\[ \Delta \eta_v = \eta_{v\_\text{neuf}} - \eta_{v\_\text{test}} \]

On substitue le rendement neuf (95%) et notre rendement calculé (85.6%) :

\[ \Delta \eta_v = 95\% - 85.6\% \]

Le résultat est la chute de rendement en points de pourcentage :

\[ \Delta \eta_v = 9.4\% \text{ (ou 9.4 points)} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma à barres ci-dessus illustre ce résultat.

Réflexions

La pompe a perdu 9.4 points de rendement. C'est une dégradation notable. Si la limite de remplacement est fixée à une chute de 10 points, la pompe est sur le point d'être changée.

Points de vigilance

Comme mentionné dans l'astuce, l'erreur est de calculer une variation relative. La question est simple : soustraire les deux pourcentages.

Points à retenir
  • La "chute en points" est une simple soustraction.
Le saviez-vous ?

Dans les systèmes "Load Sensing", une telle chute de rendement est très problématique. Le système compare la pression de la pompe et la pression du récepteur. Un débit de fuite important (mauvais \(\eta_v\)) perturbe cette régulation, causant des pertes d'énergie et une chauffe même lorsque l'utilisateur ne demande rien.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Est-ce que 9.4 points de chute, c'est grave ?

Oui, c'est généralement considéré comme une usure avancée. La plupart des services de maintenance planifieraient une intervention (remplacement ou réparation) en voyant une telle chute, car elle signifie une perte d'énergie et de productivité.

Résultat Final
La pompe a subi une chute de rendement de 9.4 points de pourcentage.
A vous de jouer

Si le rendement neuf était de 96% et le rendement mesuré de 91%, quelle est la chute en points ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Quantifier la dégradation.
  • Formule Essentielle : \(\Delta \eta_v = \eta_{v\_\text{neuf}} - \eta_{v\_\text{test}}\).
  • Point de Vigilance Majeur : C'est une soustraction (points), pas une division.

Question 5 : Estimer le coefficient de fuite (\(C_f\)) de la pompe usée en (L/min)/bar.

Principe

On cherche à modéliser l'usure. On fait une hypothèse simplificatrice : le débit de fuite (\(Q_f\)) est directement proportionnel à la pression de test (\(P_{\text{test}}\)). Le coefficient de fuite (\(C_f\)) est le "facteur d'usure" qui lie les deux : \(Q_f = C_f \times P\).

Mini-Cours

Ce modèle linéaire est une simplification. En réalité, la relation dépend de la viscosité de l'huile (qui dépend de la température), du type de fuite (laminaire ou turbulent), etc. Cependant, ce modèle simple (\(Q_f \propto P\)) est très utile pour une première estimation. Notre coefficient \(C_f\) représente "combien de L/min on perd pour chaque bar de pression appliqué".

Remarque Pédagogique

Pour trouver \(C_f\), on réarrange la formule : \(C_f = Q_f / P_{\text{test}}\). Nous avons déjà calculé \(Q_f\) à la Q2 (6.5 L/min) et nous connaissons la pression à laquelle cette fuite a été mesurée (\(P_{\text{test}} = 200 \text{ bar}\)). On peut donc trouver le coefficient.

Normes

Ce modèle est une simplification de la loi de Poiseuille pour un écoulement laminaire dans un jeu, qui stipule que le débit de fuite est proportionnel à la différence de pression.

Formule(s)

La formule du modèle de fuite linéaire.

Coefficient de Fuite

\[ C_f = \frac{Q_f}{P_{\text{test}}} \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est celle de l'énoncé :

  • Le débit de fuite est proportionnel à la pression (\(Q_f = C_f \times P\)).
  • On suppose que le débit de fuite est nul à 0 bar (ce qui est vrai).
Donnée(s)

On utilise le résultat de Q2 et une donnée de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit de fuite (de Q2)\(Q_f\)6.5L/min
Pression de test\(P_{\text{test}}\)200bar
Astuces

L'unité de \(C_f\) est importante : (L/min) / bar. C'est une "pente". Ce coefficient est très utile car il permet d'estimer la fuite à *n'importe quelle* pression. Par exemple, à 300 bar, on pourrait estimer la fuite à \(Q_f = C_f \times 300\).

Schéma (Avant les calculs)

On cherche la pente de la droite qui relie (0 bar, 0 L/min) à notre point de mesure (200 bar, 6.5 L/min).

Modèle linéaire de la fuite
P (bar) Qf (L/min) ... 6.5 50 100 150 200 250 0 Test (200 bar, 6.5 L/min) Pente = C_f = ?
Calcul(s)

Nous utilisons le modèle linéaire simple pour trouver le coefficient \(C_f\), qui est la pente de la droite \(Q_f\) en fonction de \(P\).

Calcul du coefficient

On part de la formule \(Q_f = C_f \times P\). Pour trouver \(C_f\), on l'isole :

\[ C_f = \frac{Q_f}{P_{\text{test}}} \]

On substitue le débit de fuite de Q2 (6.5 L/min) et la pression de test (200 bar) :

\[ C_f = \frac{6.5 \text{ L/min}}{200 \text{ bar}} \]

On obtient le résultat, avec ses unités spécifiques (Litres par minute *par* bar) :

\[ C_f = 0.0325 \frac{\text{L/min}}{\text{bar}} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessus est maintenant complet : la pente de la droite rouge est \(C_f = 0.0325 \text{ (L/min)/bar}\).

Réflexions

Ce coefficient est la "signature" de l'usure de la pompe. Une pompe neuve aurait un \(C_f\) beaucoup plus faible (ex: 0.005). En suivant l'évolution de ce coefficient dans le temps (maintenance prédictive), on peut anticiper la défaillance avant qu'elle ne devienne critique.

Points de vigilance

Ce modèle est une simplification ! Il ne faut pas l'utiliser pour des calculs de haute précision. Mais pour un diagnostic rapide et une estimation, il est très répandu et efficace.

Points à retenir
  • On peut modéliser la fuite par : \(Q_f = C_f \times P\).
  • \(C_f = Q_f / P\) est un indicateur d'usure.
  • Il permet d'estimer la fuite à d'autres pressions.
Le saviez-vous ?

Pour être plus précis, les bancs d'essai modernes mesurent la fuite à plusieurs points de pression (ex: 50, 100, 150, 200, 250 bar) et tracent la courbe \(Q_f(P)\) complète. On peut alors voir si la relation est vraiment linéaire ou si elle s'infléchit (ce qui indique un passage en régime turbulent).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

À quoi sert ce \(C_f\) en pratique ?

Imaginons que la presse doive travailler à 300 bar. On peut estimer le débit de fuite à cette pression : \[ \begin{aligned} Q_f &= C_f \times 300 \text{ bar} \\ &= 0.0325 \times 300 \\ &\approx 9.75 \text{ L/min} \end{aligned} \] On peut ensuite estimer le débit réel à 300 bar : \[ \begin{aligned} Q_{\text{reel}} &= Q_{\text{th}} - Q_f \\ &= 45 - 9.75 \\ &= 35.25 \text{ L/min} \end{aligned} \] Et le rendement : \(\eta_v = 35.25 / 45 \approx 78.3\%\). On voit que la pompe s'effondre à haute pression.

Résultat Final
Le coefficient de fuite estimé est de 0.0325 \(\text{(L/min)/bar}\).
A vous de jouer

Si une pompe a une fuite de 4 L/min à 100 bar, quel est son \(C_f\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Modélisation linéaire de la fuite.
  • Formule Essentielle : \(C_f = Q_f / P\).
  • Point de Vigilance Majeur : C'est une estimation (modèle simplifié).

Outil Interactif : Simulateur d'Usure

Utilisez cet outil pour voir comment le débit de fuite et le rendement volumétrique changent en fonction de la pression de service et du niveau d'usure (le \(C_f\)).

Paramètres d'Entrée
200 bar
0.0325 (L/min)/bar
Résultats Clés (à 1500 tr/min)
Débit Théorique (\(Q_{\text{th}}\)) 45.0 L/min
Débit de Fuite (\(Q_f\)) - L/min
Débit Réel (\(Q_{\text{reel}}\)) - L/min
Rendement Volumétrique (\(\eta_v\)) - %

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que la cylindrée (\(V_c\)) ?

2. Si une pompe (Vc=20 cm³/tr) tourne à 1000 tr/min, quel est son débit THÉORIQUE ?

3. Le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) est calculé par :

4. Qu'indique un faible rendement volumétrique (ex: 75%) ?

5. Dans notre exercice (Qf = 6.5 L/min à 200 bar), que se passerait-il si la pression augmentait ?

Glossaire

Cylindrée (\(V_c\))Volume de fluide (cm³ ou L) qu'une pompe ou un moteur déplace théoriquement en un tour complet de son arbre.
Volume de fluide (cm³ ou L) qu'une pompe ou un moteur déplace théoriquement en un tour complet de son arbre. C'est une caractéristique géométrique fixe.
Débit de Fuite (\(Q_f\))Le débit d'huile qui retourne à l'aspiration ou au drain à l'intérieur de la pompe au lieu d'être envoyé vers le circuit, à cause des jeux d'usure.
Le débit d'huile qui retourne à l'aspiration ou au drain à l'intérieur de la pompe au lieu d'être envoyé vers le circuit, à cause des jeux d'usure.
Débit Théorique (\(Q_{\text{th}}\))
Le débit idéal (ex: L/min) calculé à partir de la cylindrée et de la vitesse de rotation (\(Q_{\text{th}} = V_c \times N\)), sans tenir compte des fuites.
Débit Réel (\(Q_{\text{reel}}\))
Le débit (ex: L/min) que l'on mesure réellement à la sortie de la pompe. Il est toujours inférieur ou égal au débit théorique.
Rendement Volumétrique (\(\eta_v\))Le rapport entre le débit réel fourni par la pompe et son débit théorique (calculé à partir de sa cylindrée et sa vitesse).
Le rapport (en %) entre le débit réel et le débit théorique (\(\eta_v = Q_{\text{reel}} / Q_{\text{th}}\)). C'est l'indicateur principal de l'usure interne.
Exercice: Rendement Volumétrique d’une Pompe Usée

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