ÉTUDE HYDRAULIQUE

Puissance Hydraulique Fournie par une Pompe

Exercice : Puissance Pompe Hydraulique

Calcul de la Puissance Hydraulique Fournie par une Pompe

Contexte : L'OléohydrauliqueDomaine de l'ingénierie qui utilise un fluide (généralement de l'huile) sous pression pour transmettre de l'énergie et commander des mouvements. (Hydraulique de Puissance).

Cet exercice porte sur le cœur d'un système hydraulique : la pompe. Nous allons analyser une pompe à engrenages, un composant courant, pour déterminer ses performances clés. En utilisant ses caractéristiques techniques (cylindrée, vitesse) et ses rendements, nous calculerons le débit réel qu'elle fournit, la puissance hydraulique qu'elle transmet au fluide, et la puissance mécanique qu'elle doit absorber du moteur pour fonctionner.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer le débit réel, la puissance hydraulique fournie et la puissance mécanique absorbée par une pompe, en tenant compte de ses rendements volumétrique et mécanique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le débit réel d'une pompe en L/min à partir de sa cylindrée et de sa vitesse.
  • Déterminer la puissance hydraulique fournie au fluide en kW.
  • Comprendre et calculer le rendement global de la pompe.
  • Calculer la puissance mécanique absorbée requise à l'arbre d'entrée.
  • Déterminer le couple nécessaire pour entraîner la pompe.

Données de l'étude : Pompe à Engrenages

Une pompe à engrenages est entraînée par un moteur électrique. Nous disposons des données constructeur et des conditions de fonctionnement suivantes pour analyser ses performances.

Fiche Technique

Cette table n'est pas utilisée pour cet exercice.

Schéma de principe du système hydraulique
M C, n P Réservoir Aspiration Refoulement p Q
[Nom du Paramètre] [Symbole] [Valeur] [Unité]
Cylindrée géométrique \(V_g\) 25 cm³/tr
Vitesse de rotation \(n\) 1500 tr/min
Pression de service (Δp) \(p\) 200 bar
Rendement volumétrique \(\eta_v\) 0.92 -
Rendement mécanique \(\eta_m\) 0.88 -

Questions à traiter

  1. Calculer le débit réel (\(Q\)) de la pompe en L/min.
  2. Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) fournie au fluide en kW.
  3. Calculer le rendement global (\(\eta_t\)) de la pompe.
  4. Calculer la puissance mécanique (\(P_m\)) absorbée par la pompe en kW.
  5. Calculer le couple (\(C\)) nécessaire sur l'arbre de la pompe en N.m.

Les bases sur l'Oléohydraulique

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de comprendre les relations entre le débit, la pression, la vitesse et les rendements d'une pompe.

1. Débit (Q)
Le débit théorique (\(Q_{th}\)) est le volume déplacé par tour multiplié par la vitesse. Le débit réel (\(Q\)) tient compte des fuites internes, quantifiées par le rendement volumétrique (\(\eta_v\)). \[ Q_{th} = V_g \cdot n \] \[ Q = Q_{th} \cdot \eta_v = V_g \cdot n \cdot \eta_v \]

2. Puissance Hydraulique (\(P_h\))
C'est la puissance communiquée au fluide. Elle est le produit du débit et de l'augmentation de pression (\(p\)). Pour obtenir des Watts (W), le débit doit être en m³/s et la pression en Pascals (Pa). \[ P_h = Q \cdot p \]

3. Puissance Mécanique (\(P_m\)) et Rendements
La puissance mécanique est la puissance absorbée par l'arbre de la pompe. Elle est supérieure à la puissance hydraulique à cause des pertes (frottements, fuites). \[ \eta_t = \eta_v \cdot \eta_m \] \[ P_h = P_m \cdot \eta_t \quad \Rightarrow \quad P_m = \frac{P_h}{\eta_t} \] La puissance mécanique est aussi liée au couple (\(C\)) et à la vitesse angulaire (\(\omega\)). \[ P_m = C \cdot \omega \quad \text{avec} \quad \omega = \frac{2\pi n}{60} \]

Correction : Calcul de la Puissance Hydraulique Fournie par une Pompe

Question 1 : Calculer le débit réel (\(Q\)) de la pompe en L/min.

Principe

Le débit réel est le débit théorique (ce que la pompe devrait fournir idéalement, basé sur sa géométrie et sa vitesse) moins les pertes par fuites. Ces fuites sont quantifiées par le rendement volumétrique. Un rendement de 0.92 signifie que 92% du débit théorique est réellement fourni.

Mini-Cours

La cylindrée (\(V_g\)) en cm³/tr nous dit combien de cm³ d'huile sont déplacés à chaque tour de l'arbre. En multipliant par le nombre de tours par minute (\(n\)), on obtient le débit théorique en cm³/min. En appliquant le rendement volumétrique (\(\eta_v\)), on obtient le débit réel (\(Q\)).

Remarque Pédagogique

La première étape de tout calcul hydraulique impliquant une pompe est presque toujours de déterminer le débit. Portez une attention particulière aux unités : la cylindrée est souvent en cm³, la vitesse en tr/min, et le débit final est demandé en L/min. La conversion est essentielle.

Normes

Il n'y a pas de "norme" spécifique pour ce calcul, ce sont les formules de base de l'hydraulique de puissance. Cependant, les méthodes de test pour déterminer les rendements (\(\eta_v, \eta_m\)) sont, elles, normalisées (par exemple, ISO 4409).

Formule(s)

La formule principale pour le débit réel est :

\[ Q = V_g \cdot n \cdot \eta_v \]
Hypothèses

Nous supposons que les valeurs de rendement fournies sont valides pour les conditions de fonctionnement (pression et vitesse) données. En réalité, les rendements varient avec la pression, la vitesse et la viscosité de l'huile.

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Cylindrée géométrique\(V_g\)25cm³/tr
Vitesse de rotation\(n\)1500tr/min
Rendement volumétrique\(\eta_v\)0.92-
Astuces

Pour convertir des cm³/min en L/min, il suffit de diviser par 1000, car \(1 \text{ Litre} = 1000 \text{ cm³}\). C'est une conversion très fréquente.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien la pompe (P) entraînée par l'arbre (\(n\)) et produisant un débit (\(Q\)) à la sortie de refoulement.

Visualisation du Débit
Q = Vg × n × ηv Vg (cm³/tr) × n (tr/min) × ηv (-) Q
Calcul(s)

Nous allons décomposer le calcul étape par étape en remplaçant les symboles par leurs valeurs.

Étape 1 : Calcul du débit théorique (sans les pertes)

On multiplie la cylindrée (volume par tour) par la vitesse (nombre de tours par minute) pour obtenir un volume par minute.

\[ \begin{aligned} Q_{th} &= V_g \cdot n \\ &= (25 \text{ cm³/tr}) \times (1500 \text{ tr/min}) \\ &= 37500 \text{ cm³/min} \end{aligned} \]

Le résultat de cette première étape est le débit *idéal* (théorique) de 37 500 cm³ par minute.

Étape 2 : Calcul du débit réel (avec pertes)

On applique le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) au débit théorique pour trouver le débit réel qui sort de la pompe. C'est 92% du débit théorique.

\[ \begin{aligned} Q &= Q_{th} \cdot \eta_v \\ &= 37500 \text{ cm³/min} \times 0.92 \\ &= 34500 \text{ cm³/min} \end{aligned} \]

Après avoir appliqué le rendement de 0.92 (92%), on constate que le débit réel est de 34 500 cm³ par minute, en tenant compte des fuites internes.

Étape 3 : Conversion en L/min

On convertit les cm³/min en L/min, sachant que \(1 \text{ Litre} = 1000 \text{ cm³}\). Il faut donc diviser notre résultat par 1000.

\[ \begin{aligned} Q \text{ (L/min)} &= \frac{Q \text{ (cm³/min)}}{1000} \\ &= \frac{34500}{1000} \\ &= 34.5 \text{ L/min} \end{aligned} \]

La conversion finale nous donne le débit réel de la pompe en Litres par minute, qui est la valeur recherchée pour cette question.

Schéma (Après les calculs)

Nous avons maintenant une valeur numérique pour \(Q\) à la sortie de la pompe.

Résultat du Débit
Débit Réel : 34.5 L/min
Réflexions

Un débit de 34.5 L/min est une valeur typique pour une pompe de cette taille dans une application mobile ou industrielle légère. Si nous n'avions pas tenu compte du rendement, le débit théorique aurait été de 37.5 L/min. La différence (3 L/min) correspond aux fuites internes qui retournent à l'aspiration.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la conversion \( \text{cm³} \rightarrow \text{L} \). Si vous aviez trouvé 34500 L/min, cela correspondrait au débit d'une pompe incendie, ce qui serait un ordre de grandeur incohérent pour cette application.

Points à retenir
  • La formule clé est \(Q = V_g \cdot n \cdot \eta_v\).
  • Le rendement volumétrique réduit toujours le débit théorique.
  • La conversion \(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm³}\) est fondamentale.
Le saviez-vous ?

Dans les pompes à pistons, le rendement volumétrique est souvent très élevé (plus de 0.95 ou 95%), car les fuites sont mieux maîtrisées que dans une pompe à engrenages où le jeu entre les dents et le carter est une source de fuite plus importante.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Que se passe-t-il si la vitesse (\(n\)) augmente ?

Si la vitesse augmente, le débit (\(Q\)) augmente de manière proportionnelle (en première approximation). C'est la principale façon de réguler le débit dans un système simple.

Et si la pression (\(p\)) augmente ?

La pression n'apparaît pas dans cette formule, mais elle a un effet ! Une pression plus élevée augmente les fuites internes, ce qui *diminue* le rendement volumétrique (\(\eta_v\)). Donc, à vitesse constante, si la pression augmente, le débit réel diminue légèrement.

Résultat Final
Le débit réel de la pompe est de 34.5 L/min.
A vous de jouer

Recalculez le débit réel \(Q\) (en L/min) si la cylindrée était de \(V_g = 30 \text{ cm³/tr}\) (tous les autres paramètres inchangés).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Débit réel = Débit théorique × Rendement volumétrique.
  • Formule Essentielle : \(Q = V_g \cdot n \cdot \eta_v\).
  • Point de Vigilance Majeur : Conversion cm³ en L (diviser par 1000).

Question 2 : Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) fournie au fluide en kW.

Principe

La puissance hydraulique est l'énergie transférée au fluide par unité de temps. Elle est le produit du débit (\(Q\)) qui "pousse" et de la pression (\(p\)) qui "résiste". C'est la puissance utile réelle du système.

Mini-Cours

La formule de base de la puissance est \(P = \text{Force} \times \text{Vitesse}\). En hydraulique, cela se traduit par \(P = (p \times A) \times v\), où A est la section et v la vitesse du fluide. Comme \(Q = A \times v\), on retrouve bien \(P_h = p \cdot Q\). Pour que les unités soient cohérentes (Watts), il faut impérativement utiliser les unités du Système International (SI).

Remarque Pédagogique

La conversion d'unités est le point le plus délicat ici. Les professionnels utilisent souvent des formules "raccourcis" qui intègrent les conversions. Nous allons voir les deux méthodes : la méthode SI (rigoureuse) et la méthode "raccourci" (pratique).

Normes

L'utilisation du Watt (W) comme unité de puissance et du Pascal (Pa) comme unité de pression est définie par le Système International d'unités (SI).

Formule(s)

Formule de base (Unités SI) :

\[ P_h \text{ (W)} = Q \text{ (m³/s)} \cdot p \text{ (Pa)} \]

Formule "raccourci" (Unités usuelles) :

\[ P_h \text{ (kW)} = \frac{Q \text{ (L/min)} \cdot p \text{ (bar)}}{600} \]
Hypothèses

Nous supposons que la pression \(p\) de 200 bar est la différence de pression nette entre la sortie et l'entrée de la pompe (pression de refoulement moins pression d'aspiration). On néglige souvent la pression d'aspiration (proche de 0 bar relatif).

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit réel (de Q1)\(Q\)34.5L/min
Pression de service\(p\)200bar
Astuces

Pourquoi 600 dans le raccourci ?
\(P_h \text{ (W)} = [Q \text{ (L/min)} / (1000 \times 60)] \times [p \text{ (bar)} \times 10^5] \)
\(P_h \text{ (W)} = (Q \cdot p) \times (10^5 / 60000) = (Q \cdot p) \times (100 / 60) \)
\(P_h \text{ (kW)} = P_h \text{ (W)} / 1000 = (Q \cdot p) \times (100 / 60000) = (Q \cdot p) / 600 \)
Savoir d'où vient le "600" permet de ne pas l'oublier et de le retrouver.

Schéma (Avant les calculs)

Nous calculons la puissance à la sortie "Refoulement" du schéma, là où le débit \(Q\) et la pression \(p\) sont au maximum.

Puissance = Pression × Débit / 600
Ph (kW) = (p × Q) / 600 p (bar) × Q (L/min) ÷ 600 ÷ 600 Ph (kW)
Calcul(s)

Nous allons détailler les deux méthodes de calcul (la méthode SI rigoureuse et la méthode "raccourci" pratique).

Méthode 1 : Raccourci (Unités usuelles)

On utilise la formule \(P_h \text{ (kW)} = (Q \cdot p) / 600\), qui intègre toutes les conversions. On remplace \(Q\) par 34.5 L/min et \(p\) par 200 bar.

\[ \begin{aligned} P_h \text{ (kW)} &= \frac{Q \text{ (L/min)} \cdot p \text{ (bar)}}{600} \\ &= \frac{34.5 \times 200}{600} \\ &= \frac{6900}{600} \\ &= 11.5 \text{ kW} \end{aligned} \]

Le numérateur (6900) est le produit simple des valeurs. Le diviseur (600) est la constante de conversion magique (expliquée dans la section "Astuces") qui convertit les (L/min × bar) directement en kW.

Méthode 2 (Vérification) : Méthode SI

Cette méthode est plus longue mais montre d'où viennent les chiffres. Nous devons tout convertir en unités SI : m³/s et Pascals.

1. Conversion du débit \(Q\) :

\[ \begin{aligned} Q &= 34.5 \frac{\text{L}}{\text{min}} \\ &= 34.5 \frac{\text{dm³}}{\text{min}} \\ &= 34.5 \frac{10^{-3} \text{ m³}}{60 \text{ s}} \\ &\approx 0.000575 \text{ m³/s} \end{aligned} \]

Le débit en L/min est divisé par 1000 (pour passer de L à m³) et par 60 (pour passer de min à s).

2. Conversion de la pression \(p\) :

\[ \begin{aligned} p &= 200 \text{ bar} \\ &= 200 \times 10^5 \text{ Pa} \\ &= 20 \times 10^6 \text{ Pa (ou N/m²)} \end{aligned} \]

On multiplie la pression en bar par \(10^5\) (soit 100 000) pour obtenir la pression en Pascals (Pa).

3. Calcul de la puissance en Watts (W) :

\[ \begin{aligned} P_h \text{ (W)} &= Q \text{ (m³/s)} \cdot p \text{ (Pa)} \\ &= 0.000575 \times (20 \times 10^6) \\ &= 11500 \text{ W} \end{aligned} \]

En multipliant les valeurs SI (m³/s et Pa), on obtient la puissance directement en Watts (W).

4. Conversion en kilowatts (kW) :

\[ \begin{aligned} P_h \text{ (kW)} &= \frac{11500 \text{ W}}{1000} \\ &= 11.5 \text{ kW} \end{aligned} \]

On divise les Watts par 1000 pour obtenir le résultat final en kilowatts (kW). Les deux méthodes donnent le même résultat.

Schéma (Après les calculs)

La puissance utile transférée au fluide est de 11.5 kW.

Réflexions

11.5 kW (environ 15.4 chevaux) est une puissance significative. C'est l'énergie disponible pour alimenter les vérins, moteurs et autres actionneurs du circuit. C'est la puissance "utile" du système.

Points de vigilance

Attention à ne pas mélanger les unités. N'utilisez la formule avec "600" QUE si le débit est en L/min et la pression en bar. Si vous utilisez des Pa et des m³/s, il n'y a pas de "600".

Points à retenir
  • La puissance hydraulique est le produit du débit et de la pression.
  • La formule \(P_h \text{ (kW)} = (Q \cdot p) / 600\) est un raccourci essentiel pour les L/min et bar.
Le saviez-vous ?

La constante "600" est une "constante de mécanicien" très célèbre en hydraulique. Sa maîtrise fait gagner un temps considérable et évite les erreurs de conversion en m³/s et Pa.

FAQ

...

Cette puissance est-elle constante ?

Non. Le débit (\(Q\)) dépend de la vitesse de la pompe (\(n\)), et la pression (\(p\)) dépend de la charge (l'effort) que le système doit vaincre. Si la charge augmente, la pression augmente, et donc la puissance augmente (jusqu'à la limite du système, souvent fixée par un limiteur de pression).

Résultat Final
La puissance hydraulique fournie au fluide est de 11.5 kW.
A vous de jouer

Recalculez la puissance hydraulique \(P_h\) (en kW) si la pression était de 150 bar (avec le même débit de 34.5 L/min).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Puissance = Pression × Débit.
  • Formule Essentielle (pratique) : \(P_h \text{ (kW)} = \frac{Q \text{ (L/min)} \cdot p \text{ (bar)}}{600}\).

Question 3 : Calculer le rendement global (\(\eta_t\)) de la pompe.

Principe

Le rendement global (\(\eta_t\), aussi appelé rendement total) n'est pas une nouvelle source de perte, mais simplement la combinaison de toutes les pertes. Il représente l'efficacité globale de la pompe à convertir la puissance mécanique de l'arbre en puissance hydraulique dans le fluide.

Mini-Cours

Les pertes dans une pompe sont de deux types :
1. Pertes Volumétriques (Fuites) : Une partie du fluide retourne à l'aspiration au lieu d'aller au refoulement. Quantifiées par \(\eta_v\).
2. Pertes Mécaniques (Frottements) : Frottements des engrenages, paliers, etc. Elles nécessitent un "surplus" de couple. Quantifiées par \(\eta_m\).
Le rendement global est le produit de ces deux rendements.

Remarque Pédagogique

Il est important de ne pas additionner les rendements ! Les pertes se "composent". Si vous perdez 8% par fuite (\(\eta_v = 0.92\)) et 12% par frottement (\(\eta_m = 0.88\)), les pertes totales ne sont pas 8+12=20%. Le rendement global est \(0.92 \times 0.88\), ce qui donne 0.8096, soit une perte totale de 19.04%.

Normes

La définition des rendements partiels et globaux est un standard de la mécanique des fluides et de l'ingénierie.

Formule(s)

Rendement global

\[ \eta_t = \eta_v \cdot \eta_m \]
Hypothèses

Nous supposons que les deux rendements sont indépendants, bien qu'en réalité ils soient liés par la physique du fluide (viscosité, etc.).

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Rendement volumétrique\(\eta_v\)0.92-
Rendement mécanique\(\eta_m\)0.88-
Astuces

Un bon rendement global pour une pompe à engrenages se situe entre 80% et 85%. Un rendement de 90-95% est excellent et typique des pompes à pistons. Si votre calcul donne 50% ou 110%, il y a une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

...

Composition des Rendements
ηt = ηv × ηm ηv (Fuites) × ηm (Frottements) ηt (Global)
Calcul(s)

Le calcul est une simple multiplication des deux rendements partiels donnés dans l'énoncé.

Étape 1 : Multiplication des rendements

On remplace \(\eta_v\) par 0.92 (92% d'efficacité volumétrique) et \(\eta_m\) par 0.88 (88% d'efficacité mécanique).

\[ \begin{aligned} \eta_t &= \eta_v \cdot \eta_m \\ &= 0.92 \times 0.88 \\ &= 0.8096 \end{aligned} \]

Le rendement global est donc le produit de ces deux valeurs, soit 0.8096, ce qui signifie 80.96%.

Schéma (Après les calculs)

Le rendement global est une valeur sans dimension, souvent exprimée en pourcentage.

Réflexions

Un rendement global de 0.8096 (soit 80.96%) signifie que près de 19% de l'énergie mécanique fournie à l'arbre est perdue (convertie en chaleur) à cause des fuites et des frottements avant de pouvoir être transmise au fluide.

Points de vigilance

Ne jamais additionner les rendements (\(0.92 + 0.88\)) ou les pertes (\(8\% + 12\%\)). C'est une erreur fondamentale.

Points à retenir
  • Le rendement global est le produit des rendements partiels : \(\eta_t = \eta_v \cdot \eta_m\).
  • Il représente l'efficacité globale de la conversion d'énergie mécanique en énergie hydraulique.
Le saviez-vous ?

La puissance perdue (\(P_{perdue} = P_m - P_h\)) est presque entièrement convertie en chaleur. C'est pourquoi les grands systèmes hydrauliques ont besoin de refroidisseurs (échangeurs de chaleur) pour empêcher l'huile de surchauffer.

FAQ

...

Les rendements sont-ils toujours inférieurs à 1 ?

Oui. Conformément au premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie), on ne peut pas créer d'énergie. Un rendement supérieur à 1 (ou 100%) est impossible. Il y a toujours des pertes.

Résultat Final
Le rendement global de la pompe est de 0.8096 (soit 80.96 %).
A vous de jouer

Recalculez le rendement global \(\eta_t\) si le rendement mécanique était meilleur, \(\eta_m = 0.90\) (avec \(\eta_v = 0.92\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Les pertes se multiplient.
  • Formule Essentielle : \(\eta_t = \eta_v \cdot \eta_m\).

Question 4 : Calculer la puissance mécanique (\(P_m\)) absorbée par la pompe en kW.

Principe

La pompe n'est pas parfaite (comme l'a montré \(\eta_t\)). Pour fournir 11.5 kW de puissance *hydraulique*, elle doit absorber *plus* que 11.5 kW de puissance *mécanique* de la part du moteur. La puissance mécanique est la puissance "payée" au moteur pour obtenir la puissance "utile" hydraulique.

Mini-Cours

La définition même du rendement global est le rapport de la puissance de sortie (utile) sur la puissance d'entrée (absorbée).
\[ \eta_t = \frac{P_{\text{sortie}}}{P_{\text{entrée}}} = \frac{P_{\text{hydraulique}}}{P_{\text{mécanique}}} \]
En réarrangeant cette formule, on trouve la puissance d'entrée :
\[ P_{\text{mécanique}} = \frac{P_{\text{hydraulique}}}{\eta_t} \]

Remarque Pédagogique

Puisque le rendement (\(\eta_t\)) est un nombre inférieur à 1, diviser par celui-ci va logiquement augmenter la valeur. C'est un bon moyen de vérifier : la puissance mécanique absorbée (\(P_m\)) doit TOUJOURS être supérieure à la puissance hydraulique fournie (\(P_h\)).

Normes

C'est une application directe de la définition du rendement, un concept universel en ingénierie.

Formule(s)

Puissance mécanique absorbée

\[ P_m = \frac{P_h}{\eta_t} \]
Hypothèses

Nous utilisons les valeurs calculées précédemment, en supposant qu'elles sont correctes.

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance hydraulique (de Q2)\(P_h\)11.5kW
Rendement global (de Q3)\(\eta_t\)0.8096-
Astuces

Pour choisir le moteur d'entraînement, il faudra prendre une puissance *nominale* supérieure à cette valeur calculée (\(P_m\)). On applique un coefficient de sécurité (ex: 1.25) et on choisit la puissance de moteur standardisée juste au-dessus (ex: 15 kW ou 18.5 kW).

Schéma (Avant les calculs)

...

Bilan de Puissance
Pm = Ph / ηt Pm = ? (Entrée Méc.) POMPE (ηt = 0.8096) Pertes (Chaleur) Ph (Sortie Hydrau.) (11.5 kW)
Calcul(s)

Nous réutilisons la définition du rendement global (\(\eta_t = P_h / P_m\)) que nous retournons pour isoler la puissance mécanique d'entrée (\(P_m\)).

Étape 1 : Division par le rendement

On prend la puissance hydraulique utile (\(P_h\)) calculée à la Q2, et on la divise par le rendement global (\(\eta_t\)) calculé à la Q3. Diviser par un nombre < 1 va augmenter la valeur, ce qui est logique (la puissance d'entrée est grande que la sortie).

\[ \begin{aligned} P_m &= \frac{P_h}{\eta_t} \\ &= \frac{11.5 \text{ kW}}{0.8096} \\ &= 14.20454... \text{ kW} \\ &\approx 14.2 \text{ kW} \end{aligned} \]

Le résultat montre que pour *fournir* 11.5 kW au fluide, la pompe doit *absorber* 14.2 kW au moteur. On garde la valeur plus précise (14.2045 kW, ou 14204.5 W) pour le calcul du couple à la question 5, afin d'éviter les erreurs d'arrondi.

Schéma (Après les calculs)

Le moteur doit fournir 14.2 kW à l'arbre de la pompe.

Réflexions

La différence \(P_m - P_h = 14.2 - 11.5 = 2.7 \text{ kW}\) est la puissance "perdue". Ces 2.7 kW sont dissipés sous forme de chaleur dans le corps de la pompe et dans l'huile, ce qui contribue à l'échauffement du système.

Points de vigilance

Ne pas inverser la division ! Si vous aviez fait \(P_m = P_h \times \eta_t\), vous auriez trouvé une puissance absorbée *inférieure* à la puissance fournie, ce qui est physiquement impossible (cela violerait la conservation de l'énergie).

Points à retenir
  • La puissance d'entrée (mécanique) est toujours plus grande que la puissance de sortie (hydraulique).
  • \(P_{\text{entrée}} = P_{\text{sortie}} / \text{Rendement}\).
Le saviez-vous ?

C'est exactement le même principe pour le rendement d'un moteur électrique (puissance électrique absorbée > puissance mécanique fournie) ou d'un moteur thermique (puissance chimique du carburant > puissance mécanique fournie).

FAQ

...

Que se passe-t-il si la pompe est neuve ou usée ?

Une pompe neuve aura des rendements proches de ceux du constructeur (ex: 0.8096). Avec l'usure, les jeux internes augmentent, les fuites aussi : \(\eta_v\) diminue. Les frottements peuvent aussi augmenter : \(\eta_m\) diminue. Le rendement global \(\eta_t\) baisse, et la pompe consomme plus d'énergie pour le même travail, ou fournit moins de débit/pression.

Résultat Final
La puissance mécanique absorbée par la pompe est d'environ 14.2 kW.
A vous de jouer

Recalculez la puissance mécanique \(P_m\) (en kW) si le rendement global était meilleur, \(\eta_t = 0.85\) (avec \(P_h = 11.5\) kW).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Puissance absorbée = Puissance utile / Rendement.
  • Formule Essentielle : \(P_m = P_h / \eta_t\).

Question 5 : Calculer le couple (\(C\)) nécessaire sur l'arbre de la pompe en N.m.

Principe

La puissance mécanique (\(P_m\)) que nous venons de calculer est fournie à la pompe par un arbre en rotation. Cette puissance est la combinaison de deux choses : l'effort de rotation (le Couple, \(C\)) et la vitesse de rotation (la vitesse angulaire, \(\omega\)). Nous connaissons la puissance et la vitesse, nous pouvons donc en déduire le couple.

Mini-Cours

La puissance d'un mouvement de rotation est \(P_m = C \cdot \omega\).
Le couple (\(C\)) est mesuré en Newton-mètres (N.m).
La vitesse angulaire (\(\omega\)) doit être en radians par seconde (rad/s) pour que la puissance soit en Watts (W).
Nous avons la vitesse en tours par minute (\(n\)), nous devons la convertir.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale qui permet de dimensionner l'arbre de transmission et l'accouplement entre le moteur et la pompe. Un couple trop élevé pourrait cisailler l'arbre. Le couple est la "force" de rotation que le moteur doit appliquer.

Normes

La relation \(P = C \cdot \omega\) est une formule fondamentale de la mécanique newtonienne. La conversion \(\text{tr/min} \rightarrow \text{rad/s}\) est une conversion d'unité standard.

Formule(s)

Conversion de vitesse

\[ \omega \text{ (rad/s)} = \frac{n \text{ (tr/min)} \cdot 2\pi}{60} \]

Calcul du couple

\[ C \text{ (N.m)} = \frac{P_m \text{ (W)}}{\omega \text{ (rad/s)}} \]
Hypothèses

Nous utilisons la puissance \(P_m \approx 14204.5 \text{ W}\) (issue de \(11.5 / 0.8096\)) pour plus de précision dans le calcul du couple, plutôt que la valeur arrondie à 14.2 kW.

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance mécanique (de Q4)\(P_m\)14204.5W
Vitesse de rotation\(n\)1500tr/min
Astuces

Il existe aussi un raccourci pour le couple : \(C \text{ (N.m)} \approx 9550 \cdot \frac{P_m \text{ (kW)}}{n \text{ (tr/min)}}\).
Vérifions : \(9550 \times (14.2045 / 1500) = 9550 \times 0.00947 \approx 90.43 \text{ N.m}\). Ça fonctionne ! (La constante 9550 vient de \(60 / (2\pi) \times 1000\)).

Schéma (Avant les calculs)

Nous calculons \(C\) sur l'arbre d'entrée, comme montré sur le schéma de l'énoncé.

Calcul du Couple sur l'Arbre
C (N.m) = Pm (W) / ω (rad/s) Pm (14204.5 W) ω (157.08 rad/s) ÷ C = ? C
Calcul(s)

Nous devons d'abord travailler avec les unités SI (Watts, rad/s) pour trouver le couple en N.m.

Étape 1 : Conversion de la puissance \(P_m\) en Watts (W)

On utilise la valeur non arrondie de la Q4 pour la précision. \(1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}\).

\[ \begin{aligned} P_m &= 14.2045 \text{ kW} \times 1000 \\ &= 14204.5 \text{ W} \end{aligned} \]

La puissance absorbée par l'arbre est de 14 204.5 Watts.

Étape 2 : Conversion de la vitesse (\(n\)) en vitesse angulaire (\(\omega\))

La formule \(P = C \cdot \omega\) exige une vitesse en radians par seconde. Un tour complet est \(2\pi\) radians, et il y a 60 secondes dans une minute.

\[ \begin{aligned} \omega &= \frac{n \text{ (tr/min)} \cdot 2\pi \text{ (rad/tr)}}{60 \text{ (s/min)}} \\ &= \frac{1500 \times 2\pi}{60} \\ &= 25 \times 2\pi \\ &= 50\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 157.08 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

La vitesse de 1500 tr/min correspond à une vitesse angulaire de 157.08 radians par seconde.

Étape 3 : Calcul du couple (C)

On réarrange \(P_m = C \cdot \omega\) pour trouver \(C = P_m / \omega\). On divise la puissance en Watts par la vitesse en rad/s.

\[ \begin{aligned} C &= \frac{P_m \text{ (W)}}{\omega \text{ (rad/s)}} \\ &= \frac{14204.5}{157.08} \\ &= 90.431... \text{ N.m} \\ &\approx 90.43 \text{ N.m} \end{aligned} \]

Le couple requis à l'arbre est donc de 90.43 N.m. C'est l'effort de rotation que le moteur doit fournir.

Schéma (Après les calculs)

L'effort de torsion sur l'arbre est de 90.43 N.m.

Réflexions

Ce couple de 90.4 N.m est l'effort que le moteur électrique doit constamment fournir pour faire tourner la pompe à 1500 tr/min contre une pression de 200 bar. C'est une valeur clé pour dimensionner l'accouplement.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les tr/min en rad/s. Si vous divisez \(P_m\) par \(n\) (14204.5 / 1500), vous obtenez 9.47, ce qui est incorrect. Les unités de la puissance \(P_m = C \cdot \omega\) sont \([\text{W}] = [\text{N.m}] \cdot [\text{rad/s}]\).

Points à retenir
  • La puissance mécanique lie le couple et la vitesse angulaire : \(P_m = C \cdot \omega\).
  • La vitesse angulaire \(\omega\) (rad/s) doit être convertie depuis les tr/min (\(n\)) : \(\omega = n \cdot 2\pi / 60\).
Le saviez-vous ?

Pour un même niveau de puissance, si la vitesse de rotation augmente, le couple requis diminue (et vice-versa). C'est pourquoi les moteurs de Formule 1 (très haute vitesse) ont un couple relativement faible par rapport aux moteurs de camions (basse vitesse) pour une puissance similaire.

FAQ

...

Qu'est-ce que le couple de démarrage ?

Le couple calculé (90.4 N.m) est le couple "en régime établi". Au démarrage, le couple nécessaire peut être plus élevé pour vaincre l'inertie et les frottements "à sec". Les moteurs sont choisis pour pouvoir fournir ce pic de couple au démarrage.

Résultat Final
Le couple nécessaire sur l'arbre de la pompe est d'environ 90.4 N.m.
A vous de jouer

Recalculez le couple \(C\) (en N.m) si la pompe tournait à 1800 tr/min (en supposant la même puissance absorbée \(P_m = 14204.5\) W).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Couple = Puissance / Vitesse angulaire.
  • Formule Essentielle : \(C = P_m / \omega\) avec \(\omega = n \cdot 2\pi / 60\).
  • Raccourci : \(C \text{ (N.m)} \approx 9550 \cdot P_m \text{ (kW)} / n \text{ (tr/min)}\)

Outil Interactif : Simulateur de Pompe

Utilisez les curseurs pour voir comment la vitesse de rotation et la pression de service influencent les performances de la pompe (en gardant Vg, ηv, et ηm constants).

Paramètres d'Entrée
1500 tr/min
200 bar
Résultats Clés
Débit Réel (\(Q\)) - L/min
Puissance Hydraulique (\(P_h\)) - kW
Puissance Mécanique (\(P_m\)) - kW

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) ?

2. Si la pression de service double (à débit constant), comment évolue la puissance hydraulique ?

3. L'unité usuelle de la cylindrée (\(V_g\)) d'une pompe est :

4. La puissance mécanique (\(P_m\)) absorbée par la pompe est toujours...

5. La formule \(P_h \text{ (kW)} = \frac{Q \text{ (L/min)} \cdot p \text{ (bar)}}{600}\) est :

Glossaire

Cylindrée géométrique (\(V_g\))
Le volume de fluide qu'une pompe déplace (théoriquement) en une révolution complète de son arbre. Généralement en cm³/tr.
Rendement volumétrique (\(\eta_v\))
Rapport entre le débit réel et le débit théorique (\(Q / Q_{th}\)). Il quantifie l'efficacité de la pompe à déplacer le fluide (pertes par fuites internes).
Rendement mécanique (\(\eta_m\))
Rapport entre la puissance hydraulique théorique et la puissance mécanique absorbée. Il quantifie l'efficacité de la pompe à vaincre les frottements internes.
Rendement global (\(\eta_t\))
Produit des rendements volumétrique et mécanique (\(\eta_v \times \eta_m\)). Il représente l'efficacité globale de la pompe.
Bar
Unité de pression courante en hydraulique. \(1 \text{ bar} = 100 000 \text{ Pa} = 10^5 \text{ Pa}\). Approximativement la pression atmosphérique terrestre.
Puissance Hydraulique (\(P_h\))
Puissance utile transférée au fluide, calculée par \(P_h = Q \cdot p\).
Puissance Mécanique (\(P_m\))
Puissance d'entrée absorbée par l'arbre de la pompe, calculée par \(P_m = C \cdot \omega\). Elle est toujours supérieure à \(P_h\).
Calcul de la Puissance d'une Pompe Hydraulique

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