Détermination de la Vitesse d'une Tige de Vérin

Comprendre la Vitesse d'un Vérin

La vitesse de déplacement d'un vérin hydraulique est directement liée au débit du fluide qui l'alimente et à la surface sur laquelle ce fluide agit. En supposant un fluide incompressible, le volume de fluide entrant dans une chambre du vérin pendant un certain temps doit être égal au volume balayé par le piston. Cette relation fondamentale, \(Q = S \cdot V\), permet de calculer la vitesse (\(V\)) à partir du débit (\(Q\)) et de la surface du piston (\(S\)). Comme un vérin différentiel a deux surfaces différentes, il aura deux vitesses de déplacement distinctes pour un même débit d'alimentation.

Données de l'étude

Un vérin différentiel est alimenté par une pompe hydraulique à débit constant.

Caractéristiques du système :

Débit de la pompe (\(Q\)) : \(25 \, \text{L/min}\)
Diamètre du piston (alésage) (\(D\)) : \(60 \, \text{mm}\)
Diamètre de la tige (\(d\)) : \(35 \, \text{mm}\)

Schéma : Débit et Vitesse dans un Vérin

Questions à traiter

Convertir le débit de la pompe en \(m^3/s\).
Calculer la surface du piston (\(S_{\text{piston}}\)) et la surface annulaire (\(S_{\text{annulaire}}\)).
Calculer la vitesse de sortie de la tige (\(V_{\text{sortie}}\)).
Calculer la vitesse de rentrée de la tige (\(V_{\text{rentrée}}\)).

Correction : Calcul de la Vitesse d'un Vérin

Question 1 : Conversion du Débit

Principe :

Pour assurer la cohérence des unités dans les calculs physiques, il est impératif de convertir toutes les grandeurs dans le Système International (SI). Le débit, donné en litres par minute (L/min), doit être converti en mètres cubes par seconde (m³/s).

Formule(s) utilisée(s) :

1 \, \text{L} = 0.001 \, \text{m}^3 \quad | \quad 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}

Calcul :

\begin{aligned} Q &= 25 \, \frac{\text{L}}{\text{min}} = 25 \times \frac{0.001 \, \text{m}^3}{60 \, \text{s}} \\ &= \frac{0.025}{60} \, \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \\ &\approx 0.0004167 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le débit de la pompe est \(Q \approx 0.000417 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 2 : Calcul des Surfaces

Principe :

La vitesse du vérin dépend de la surface sur laquelle le fluide agit. En sortie, c'est la surface totale du piston. En rentrée, c'est la surface du piston moins celle de la tige (surface annulaire).

Données et Conversion :

Diamètre piston (\(D\)) : \(60 \, \text{mm} = 0.060 \, \text{m}\)
Diamètre tige (\(d\)) : \(35 \, \text{mm} = 0.035 \, \text{m}\)

Calcul de \(S_{\text{piston}}\) :

\begin{aligned} S_{\text{piston}} &= \frac{\pi \cdot D^2}{4} = \frac{\pi \times (0.060)^2}{4} \\ &\approx 0.002827 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de \(S_{\text{annulaire}}\) :

\begin{aligned} S_{\text{annulaire}} &= \frac{\pi \cdot (D^2 - d^2)}{4} = \frac{\pi \times (0.060^2 - 0.035^2)}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.0036 - 0.001225)}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.002375}{4} \\ &\approx 0.001865 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Surface du piston : \(S_{\text{piston}} \approx 0.002827 \, \text{m}^2\)
Surface annulaire : \(S_{\text{annulaire}} \approx 0.001865 \, \text{m}^2\)

Question 3 : Calcul de la Vitesse de Sortie (\(V_{\text{sortie}}\))

Principe :

La vitesse de sortie (extension) est déterminée par le débit de la pompe divisé par la surface totale du piston, car c'est cette surface qui est poussée par le fluide.

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{sortie}} = \frac{Q}{S_{\text{piston}}}

Calcul :

\begin{aligned} V_{\text{sortie}} &= \frac{0.000417 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.002827 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0.1475 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La vitesse de sortie de la tige est \(V_{\text{sortie}} \approx 0.148 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Calcul de la Vitesse de Rentrée (\(V_{\text{rentrée}}\))

Principe :

La vitesse de rentrée (traction) est déterminée par le débit de la pompe divisé par la surface annulaire. Comme cette surface est plus petite, la vitesse de rentrée sera plus grande que la vitesse de sortie pour un même débit.

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{rentrée}} = \frac{Q}{S_{\text{annulaire}}}

Calcul :

\begin{aligned} V_{\text{rentrée}} &= \frac{0.000417 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.001865 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0.2236 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La vitesse de rentrée de la tige est \(V_{\text{rentrée}} \approx 0.224 \, \text{m/s}\).

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